Zahlenfolgen, endliche Summen und deren Grenzwerte

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1 Zahlenfolgen, endliche Summen und deren Grenzwerte Wichtige Begriffsbildungen, darunter die reellen Zahlen R, Exponentialfunktion und Logarithmus sowie Stetigkeit, Ableitung und Integral von Funktionen sind definiert (bzw. definierbar) mit Hilfe von Zahlenfolgen und deren Grenzwerte. Systematische Rechenverfahren (Algorithmen) oder Schätzverfahren (Statistik) werden u.a. danach bewertet, ob und wie sie konvergieren. Zahlenfolge Eine eindeutige Aufzählung von Zahlen a i, fortlaufend nummeriert/indiziert mit i N (oder i N 0 ) (kurz: Folge) Allgemeine Schreibweise: a i, i N, unendliche Folgen a i, i =1,...,n, endliche Folgen Eindeutige Aufzählung: Angabe eines Bildungsgesetzes von a i für jeden Index i direkte Aufzählung (nur bei endlichen Folgen) Bsp. a i := 2i 1, i N, die Folge der ungeraden natürlichen Zahlen c k := 0, k N, die konstante Folge von Nullen d n := f(a n ),n N, eine Folge von Funktionswerten (wobei a n,n N, eine Zahlenfolge ist und f eine fest gewählte Funktion) Spezielle Bildungsgesetze Arithmetische Folge konstante absolute Änderung = d Keine abs. Änderung: d =0 Startwert a 0 bzw. a 1, Bildungsgesetz: a i+1 = a i + d (d R fix) Äquivalent: a i = a 1 +(i 1) d i N bzw. a i = a 0 + i d i N 0 Geometrische Folge konstante relative Änderung = q 1 = 0 Keine rel. Änderung: q =1 Startwert (a 0 bzw. a 1 ) = 0, Bildungsgesetz: a i+1 = a i q (q R =0 fix) Äquivalent: a i = a 1 q i 1 i N bzw. a i = a 0 q i i N 0 Der Beginn der Nummerierung wird meist von der Fragestellung abgeleitet, z.b. davon, ob Zeitperioden 1,...,nim Vordergrund stehen oder die hierzu gehörigen Zeitpunkte 0, 1,..., n. Bsp. K 0 fix, d = 1 7 K 0, arithmetisches Folgeglied a 5 = K K 0 = 2 7 K 0 a 1 = 0 fix, q = 6 7, geometrisches Folgeglied a 5 = a 1 ( 7 6)4 ( 54% a 1 ) Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 1 von 5

2 Zeitabhängige ökonomische Betrachtungen: Zahlenfolgen. Grundlegende Abschreibungsmethoden und elementare Zinsformeln basieren auf laufenden Summen arithmetischer oder geometrischer Folgen: 41 Endliche Summe (einer Folge) Aufsummieren der ersten n Folgeglieder einer vorgegebenen Zahlenfolge (a i,i N) bzw. (a i,i N 0 ) liefert die zugehörige Folge der endlichen Summen s 1,n := n i=1 a i,n N bzw. s 0,n := n i=0 a i,n N 0 Die Summe s 1,n wird auch n-te Partialsumme der Folge (a i,i N) genannt (bzw. s 0,n die n-te Partialsumme der Folge (a i,i N 0 )) Bsp. a 0 = Startkapital, und für i 1: a i = Kapitalertrag im Jahr i, s 1,n := n i=1 a i = Kapitalertrag von n Jahren (n N) s 0,n := n i=0 a i = Kapitalstand nach n Jahren (n N 0 ) Manche (endliche) Summen können formelmäßig ausgedrückt werden: 42 Einige Summenformeln beachte: s 0,n = a 0 + s 1,n Summe der ersten n natürlichen Zahlen n i=1 j = 1 (n +1)n 2 Endliche arithmetische Summe Gegeben: a 1, a i+1 := a i + d für i N, d R fix Endliche Summen (n N): s 1,n = na n(n 1)d = n 2 (a 1 + a n ) Endliche geometrische Summe Gegeben: a 1, a i+1 := a i q für i N, q = 1fix Endliche Summen (n N): s 1,n = a 1 (1 + q q n 1 1 q n )=a 1 1 q siehe auch Grundlagen Nrn Bsp. 1 n j=1 a 1 +(j 1)d = na 1 + d n 1 j=0 j = na Bsp. 2 a) n i=1 ( 2 3 )i = 2 1 (2/3) n 3 1 (2/3) = 2(1 (2/3) n ) c) d) n i=1 2i 1 = 1 1 (2/3) n 3 i (2/3) n(n 1)d = 1 (2/3)n 3 4 vergleiche: 2i 1 3 i+4 =( 2 3 )i n i=0 2i 1 = n 3 i i=1 2i 1 = 1/ (2/3) n 3 i (2/3) oder n i=0 2i 1 = 1 n 3 i i=0 ( 2 3 )i = 1 24 j=9 j = 24 j=1 j 8 j=1 j = = (2/3) n (2/3) = 3/2 (2/3)n 3 4 = = 1 (2/3)n Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 2 von 5

3 43 Nullfolge / Konvergenz a n 0 Schranken C>0 Wenn es zu jeder vorgegebenen Schranke c (maximale Abweichung) eine Nummer n c gibt, ab der jedes Folgeglied a n C erfüllt, so heißt (a n,n N) eine Nullfolge und die Zahl 0 Grenzwert/Limes dieser Folge. Der kritische Index n C darf abhängig von der Schranke C gewählt werden. Schreibweise lim a n =0 oder a n 0 oder (a n 0 für n ) lim a n =0 für a n := p n,n N, wenn p R fix, p < 1 für a n := (1/n) r,n N, wenn r Q fix, r>0 44 Konvergente Folge / Konvergenz a n a R Wenn es zu einer Folge (a n,n N) eine Zahl a R gibt, mit der die betraglichen Abweichungen a n a, n N, eine Nullfolge bilden, so heißt die Folge konvergent und die Zahl a Grenzwert/Limes dieser Folge. Schreibweise lim a n = a oder a n a oder (a n a für n ) a n a : a n a 0 mit a R Jede Folge a n,n N, hat entweder keinen oder einen (eindeutigen) Grenzwert. Die Eulersche Zahl e, lim n i=0 1/(i!) = e = lim )n , ist ( n+1 n Grenzwert einer Folge von rationalen Zahlen, aber selbst nicht rational. Gilt a = lim a n, so macht die Sprechweise a a n für genügend große n Sinn und es können nach Vorgabe einer benötigten Genauigkeit C Folgeglieder a n mit n n C für Hilfsüberlegungen verwendet werden. Je nach Folge drastische Unterschiede im benötigten n C (Rechenaufwand!!): Bsp. e n i=0 i! für n 6, e n i=0 i! 1 für n 6 e ( n+1 n )n 10 3 für n 1359, aber e ( n+1 n )n > 10 3 für n<1359 Grenzwerte endlicher Summen (Reihen) Wenn eine endliche Summenfolge s m,n = n i=m a i (Anfang m fix) konvergiert, so wird sie auch konvergente Reihe genannt und der Grenzwert lim s m,n R geschrieben als i=m a i := lim n i=m a i Reihenwert (Grenzwert) R Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 3 von 5

4 Geometrische Reihe x i = 1 für x R fix mit x < 1 1 x i=0 Bsp. 3 a) i=m 2i 1 =? Methode statt weiterer Formeln 3 i+4 1. x bestimmen: a i = 2i 1 3 i+4 x = a i+1 a i = 2(i+1) 1 3i+4 = 2 3 i i 1 3 also konstant mit x < 1 Falls x nicht konstant oder falls x 1: Abbruch 2. a m bestimmen: a m = 2m 1 3 m+4 3. Da x konst. mit x < 1, ist a i = a m x i 1 = a m i=m i=0 Lösung: i=m 2i 1 = 2m i+4 3 m+4 1 (2/3) = 2m 1 3 m+3 i=1 2i 1 = i (2/3) = 1 vgl. auch Bsp (Uneigentlicher) Grenzwert a n bzw. a n a n 1 x + : a n > 0 ab einer Nummer n 0 und (1/a n ) 0 a n : a n < 0 ab einer Nummer n 0 und (1/a n ) 0 lim a n = für a n := q n,n N, wenn q R fix, q > 1 für a n := n r,n N, wenn r Q fix, r>0 j=1 (1/j) =; j=1 (1/j)α R (konvergent) für α R fix, α>1 46 Vergleichskriterien für Folgen (insbes. Summenfolgen) Grenzwertbildung ist monoton wachsend Falls für alle n n 0 der Vergleich a n b n richtig ist und falls lim n = a, lim n = b, dann folgt: a b Einschachtelung Falls für alle n n 0 der Vergleich a n d n b n stimmt und lim n = d = lim n (gleicher Grenzwert d), dann folgt d n d Bsp. Aus 0 d n n 1/2 für alle n>100 folgt d n Aus n 1/2 d n für alle n>100 folgt d n. 0, Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 4 von 5

5 47 Rechenregeln für Folgen Die beteiligten Folgen können auch konstant sein Für konvergente Folgen a n a, b n b, c n c gilt: wenn die Grenzwerte a, b, c R,c = 0sind: a n ± b n a ± b a n b n a b a n c n a c wenn c =0oder uneigentliche Grenzwerte ± beteiligt sind:! Die Rechenausdrücke, 0,... 0, sind nicht definiert entsprechende Folgen a n /c n bzw. a n b n genauer untersuchen Bsp. 4 Bsp. 5 Bsp. 6 Bsp. 7 ansonsten kann der sich ergebende Grenzwert aus den folgenden Rechenregeln erschlossen werden: ( ) := + := d + := für d R := d := für d>0 d/ := 0 für d R /d := für d > 0 (Bei Quotienten mit Potenzen von n passendes) Hilfsmittel zum Umformen von a n /b n,wenna n und b n : Division durch die höchste Nennerpotenz (die > 0, weil lim b n = ) n 1 a) 2n 2 +1 = n 1 n n =0 2n 3/2 4n +5 3n 3/2 +2n 1/2 3 = 2 4n 1/2 +5n 3/ n 1 3n 3/ = 2 3 c) 3n5/3 n 1/2 +1 n 3/2 +2n 3 = 3n1/6 n 1 + n 3/ n 1/2 = 3n 3/ Für α, β > 0 fix: n α n β 0? Nicht definiert, aber 0 falls α<β n α n β = n α β 1 falls α = β falls α>β n +1 n? Nicht definiert, aber n +1 n = (n +1) n n +1+ n 1 + =0 n/ ln(n) /? Nicht definiert, aber n/ ln(n) Mathe II Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 5 von 5

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