Brückenkurs Mathematik

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1 Brückenkurs Mathematik Eine Einführung mit Beispielen und Übungsaufgaben von Prof. Dr. Karl Bosch 14., korrigierte Auflage Oldenbourg Verlag München

2 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen der Mengenlehre Der Begriff einer Menge Darstellungen von Mengen Grundmenge und leere Menge Gleichheit von Mengen Teilmengen Durchschnitt und Vereinigung Differenz- und Komplementärmenge Eigenschaften der Mengenoperationen Aufgaben 11 2 Zahlenbereiche (Zahlenmengen) Die natürlichen Zahlen Die ganzen Zahlen Die rationalen Zahlen (Brüche) Die reellen Zahlen Aufgaben 24 3 Das Rechnen mit reellen Zahlen Allgemeine Rechenregeln Das Rechnen mit Klammern Klammern in Klammern V Aufgaben 30 4 Das Rechnen mit Brüchen 33 5 Summen- und Produktzeichen Das Summenzeichen Das Produktzeichen Aufgaben 44 6 Das Prinzip der vollständigen Induktion und Summenformeln 45 7 Die binomischen Formeln 51

3 VIII Inhaltsverzeichnis 8 Der binomische Lehrsatz Fakultäten Binomialkoeffizienten Fakultäten Binomialkoeffizienten '., Der binomische Lehrsatz Aufgaben 57 9 Das Rechnen mit Quadratwurzeln Potenzen und allgemeine Wurzeln Potenzen mit ganzzahligen positiven Exponenten Potenzen mit ganzzahligen Exponenten n-te Wurzeln (Potenzen mit dem Exponenten ^) Potenzen mit rationalen Exponenten Lösungen von Potenzgleichungen Aufgaben Logarithmen Allgemeine Logarithmen Zehnerlogarithmen (dekadische Logarithmen) Natürliche Logarithmen Rechenregeln für beliebige Logarithmen Lösungen von Exponentialgleichungen Logarithmen zu verschiedenen Basen Aufgaben Lineare Gleichungen mit einer Variablen Geradengleichungen in der a>y-ebene Koordinatengleichung einer Geraden Schnitt zweier Geraden Orthogonale Geraden Aufgaben Quadratische Gleichungen Reinquadratische Gleichungen ax 2 + c = 0; a / Die spezielle quadratische Gleichung ax 2 + bx = 0; a ^ 0; b Die allgemeine quadratische Gleichung (quadratische Ergänzung) Der Satz von Vieta Berechnung der zweiten Lösung aus einer Lösung Polynomdivision bei einer vorgegebenen Lösung Wurzelgleichungen, die auf quadratische Gleichungen führen Gleichungen, die durch Substitution auf quadratische Gleichungen führenlo Gleichungen mit Brüchen mit Unbekannten im Nenner Aufgaben 114

4 Inhaltsverzeichnis IX 15 Parabeln Nach oben geöffnete Normalparabeln Nach unten geöffnete (gespiegelte) Normalparabeln Allgemeine Parabeln, Nullstellen von Parabeln - quadratische Gleichungen Schnitt einer Parabel mit einer Geraden Schnitt zweier Parabeln Aufgaben Ungleichungen und Beträge Das Rechnen mit Ungleichungen Intervalle Lineare Ungleichungen mit einer Variablen Beträge und Abstände. Ungleichungen mit Beträgen Quadratische Ungleichungen Reinquadratische Ungleichungen Allgemeine quadratische Ungleichungen Aufgaben Gleichungen höherer Ordnung Polynomdivision Ausklammern einer Potenz von x Vorgabe einer Lösung (Polynomdivision) Aufgaben Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten Lineare Gleichungen mit drei Unbekannten Aufgaben Grundlagen der ebenen Geometrie Dreieck : * Strahlensätze Viereck Vieleck Kreis Aufgaben Trigonometrische Funktionen und Bogenmaß Trigonometrische Funktionen im rechtwinkligen Dreieck Bogenmaß auf dem Einheitskreis S mus - un d Kosinusfunktion Tangens- und Kotangensfunktion 177

5 X Inhaltsverzeichnis 21 Volumina und Oberflächen von Körpern Quader Würfel Kreiszylinder Prismen Kreiskegel Pyramiden Gerader Kegelstumpf Kugel Aufgaben Folgen (reelle Zahlenfolgen) und spezielle Reihen Definition einer Folge (reelle Zahlenfolge) Monotone und beschränkte Folgen Arithmetische Folge Arithmetische Reihe Die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n Die allgemeine arithmetische Reihe Geometrische Folge Endliche geometrische Reihe Spezielle endliche geometrische Reihe Allgemeine endliche geometrische Reihe Konvergente und divergente Folgen Die unendliche geometrische Reihe Aufgaben Differenzialrechnung bei Funktionen einer Variablen Definition einer Funktion Grenzwerte einer Funktion Stetige Funktionen Die Ableitung einer Funktion Kurvendiskussion Aufgaben Integralrechnung Das bestimmte Integral Die Integralfunktion Stammfunktion und unbestimmtes Integral Berechnung bestimmter Integrale mit Hilfe einer Stammfunktion Aufgaben 232 Lösungen der Aufgaben 233 Index 269

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