SPIRALE AUS RECHTECKEN

Transkript

1 SPIRALE AUS RECHTECKEN Die Rechtecke sid aus eiem Papierblatt im Format DIN A4 durch sukzessives Halbiere herausgeschitte ud da "über Eck" eu ageordet worde. Welche Folge bilde die Flächeihalte der Rechtecke i de Formate A5, A6, A7,...? Bezeiche de Flächeihalt des A4-Papiers mit. Würde ma die Spirale uedlich lag fortsetze, wäre der Flächeihalt der Spirale (alle schwarze Fläche) gleich der Fläche des ursprügliche DIN A4 Papiers. Versuche, diese Sachverhalt mathematisch festzuhalte. Schreibe die Reihe der Flächeihalte der Spirale auf. Vereifache durch heraushebe vo. Welche Reihe etsteht? Zeige:

2 QUADRATFRAKTAL Nimm ei quadratisches Blatt Papier. Scheide lägs eier Diagoale eimal die Hälfte ab. Zerlege die zweite Hälfte i vier rechtwiklige gleichscheklige Dreiecke (Abb. ). Zwei dieser vier Dreiecke kast du u abscheide ud a die Basisecke des große Dreiecks lege (Abb. ). Die restliche zwei Dreiecke zerlege wieder i je vier kleiere Dreiecke vo dee du je zwei a die Basisecke der vorhergehede Dreiecke legst (Abb. ) usw. Das mehrfache Auftrete des kleie Wörtleis "je" im obige Satz hat zur Folge, dass die Dreiecke (ud damit der Arbeitsaufwad) rasch awächst. Abbildug Abbildug Abbildug Wie viele Dreiecke werde im. Arbeitsschritt agefügt? Wie viele im dritte, vierte, füfte, -te Schritt? Hadelt es sich hier um eie arithmetische oder geometrische Folge? Wie sieht die Folge aus, die beschreibt, wie viele Dreiecke isgesamt scho vorhade sid? Im Quadratfraktal halte sich die Farbe Schwarz ud Weiß die Waage. Argumetiere, warum das so ist. Welche Flächeihalt habe die schwarze Dreiecke der Figur im erste, zweite, dritte, vierte,..., -te Schritt, we das Ausgagsquadrat die Fläche hat? Stelle die Folge der Flächeihalte explizit dar! Stelle de Sachverhalt, dass das Fraktal ach uedlich viele Iteratiosschritte Flächeihalt hat mit Hilfe eier Reihe mathematisch dar. Überprüfe mit der Formel für die Summe der uedliche geometrische Reihe.

3 SIERPINSKI-DREIECK Ausgagsfigur für das Sierpiski-Dreieck ist ei gleichseitiges Dreieck mit Seiteläge (Figur 0). Ma scheidet das Mittedreieck aus (Figur ). Es bleibe drei Dreiecke zurück. Aus ihe scheidet ma wiederum die Mittedreiecke heraus (Figur ). Das wiederholt ma beliebig oft, so dass das Ausgagsdreieck immer mehr durchlöchert wird. Figur 0 Figur Figur Figur Figur 4 Figur 5 Bereche Umfag ud Flächeihalt des Sierpiski-Dreiecks, we ma diese Prozedur uedlich oft durchführt. Figur Seiteläge Dreiecke Umfag 0 Figur Seiteläge Dreiecke Flächeihalt 0 Ka der Umfag durch eie geometrische oder arithmetische Folge beschriebe werde? Was ka ma über de Umfag sage, we uedlich viele Schritte durchgeführt werde? Was ka ma über de Flächeihalt sage, we uedlich viele Schritte durchgeführt werde?

4 GEOMETRISCHE REIHEN UND GRAFISCHE BEWEISE I der gegebee Abbildug wurde das Ausgagsdreieck i vier gleich große Teile geteilt ( weiße, graues). Im ächste Schritt wurde eies der Viertel wieder geviertelt usw. Das mittlere Dreieck wurde jeweils grau schraffiert. Die Fläche der Dreiecke ka beschriebe werde durch die Folge Rei aschaulich sehe wir, dass die Fläche aller grau schraffierte Dreiecke ei Drittel des Ausgagsdreiecks sei muss. Wir erkee also ohe Rechug: Reche mit Hilfe der Formel für die geometrische Reihe ach! Was zeigt das folgede Bild? De Wert welcher Reihe köte ma hier "ablese"? Führe ähliche grafische Beweise mit folgede Figure. Überprüft eure Vermutuge mit Hilfe der Formel für die geometrische Reihe.

5 DREIECKSNÄHERUNG DURCH QUADRATE Gegebe sei ei rechtwikliges gleichschekliges Dreieck mit Katheteläge. Bereche de Flächeihalt des Dreiecks äherugsweise durch Quadrate. Stufe Seiteläge d. Quadrats Quadrate Flächeihalt der Quadrate, die dazu komme