Vorkurs Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure 2015

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Edmund Kohl
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1 7 Kombinatorik Grundformeln Binomialkoeffizienten Wahrscheinlichkeiten Anwendungen für A 7.1 Eine Schulklasse besteht aus 18 Jungen und 14 Mädchen. Bei einem Preisausschreiben gewinnt die Klasse 25 Karten für ein Fußball-Länderspiel. Wie viele Möglichkeiten gibt es, eine 25-köpfige Gruppe zusammenzustellen, wenn (a) genau 10 Mädchen in der Gruppe sein sollen, (b) genau 10 Mädchen in der Gruppe sein sollen, aber die beiden Freundinnen Lena und Petra entweder nur gemeinsam oder gar nicht mitfahren wollen? 1

2 A 7.2 Eine Schulklasse besteht aus 18 Jungen und 14 Mädchen. Bei einem Preisausschreiben gewinnt die Klasse 25 Karten für ein Fußball-Länderspiel. Der Klassenleiter beschließt, die Karten zu verlosen. Er gibt dazu 25 Treffer und 7 Nieten in eine Urne und lässt jeden aus der Klasse einmal ziehen. Hans soll als Zweiter ein Los ziehen. Er beschwert sich, dass seine Wahrscheinlichkeit, einen Treffer zu erzielen, geringer sei als bei Jana, die als Erste ziehen wird. Widerlegen Sie die Behauptung von Hans durch Rechnung. A 7.3 Im Raum, in dem die Abiturprüfungen für die Leistungskurse eines Gymnasiums abgehalten werden, befinden sich 20 Plätze, die in 5 Reihen zu je 4 Plätzen angeordnet sind. In jeder Reihe ist ein Fensterplatz. (a) Zeigen Sie, dass es ca. 800 Millionen Möglichkeiten gibt, die 9 Teilnehmer des Physik- Leistungskurses auf die 20 Plätze zu verteilen, wenn 2 der 5 Reihen frei bleiben sollen. (b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, die 12 Teilnehmer des Mathematik- Leistungskurses auf die 20 Plätze zu verteilen, wenn die 5 Fensterplätze besetzt sein sollen? A 7.4 Der Pharmakonzern Medicash forscht nach einem neuen Medikament. Es stehen 6 verschiedene Wirkstoffe zur Auswahl. Im Labor werden Testsubstanzen aus mindestens zwei Wirkstoffen gemischt, wobei von jedem beteiligten Wirkstoff jeweils genau ein Milligramm enthalten sein soll. Wie viele verschiedene Wirkstoffkombinationen sind möglich? 2

3 8 Endliche Folgen & Reihen 8.1 Arithmetisch Geometrisch Anwendungen für A 8.1 Setzen Sie die angegebene Zahlenfolge (a n ) um drei weitere Folgeglieder fort und geben Sie eine Bildungsvorschrift für diese Zahlenfolge an: (a n ) = (4, 7, 12, 19, 28,... ) (Abitur Thüringen 2007) A 8.2 Von einer geometrischen Zahlenfolge sind die Glieder a 2 = 24 und a 5 = 81 gegeben. Geben Sie eine explizite Bildungsvorschrift an! Ab welchem n (n N) sind die Glieder größer als 1000? A 8.3 Für natürliche Zahlen m n und reelles q 0, 1 berechne man die Summe (Abitur Thüringen 2008) n q k. A 8.4 Ein Patient erhält alle 6 Stunden eine Spritze mit 50 mg Wirkstoff, der vorher nicht seinem Blut vorhanden war. Bis zur nächsten Spritze hat der Körper 18% des im Blut vorhandenen Wirkstoffs abgebaut. Beschreiben Sie mittels einer rekursiv definierten Folge, wie viel Wirkstoff sich jeweils direkt nach Verabreichung einer Spritze im Blut befindet. Welche Wirkstoffmenge befindet sich direkt nach der fünften Spritze im Blut? k=m 3

4 In welchem Bereich schwankt die Wirkstoffmenge im Blut langfristig? Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der im Blut vorhandenen Wirkstoffmenge für die ersten 24 Stunden. (Abitur Baden-Württemberg 2007) A 8.5 Gegeben sei die Folge (a n ) mit a n = 1 2n 3 4n mit n N. (a) Welches ist das erste Folgeglied, das kleiner als ist? (b) Beweisen Sie, dass diese Zahlenfolge streng monoton fallend ist! (Abitur Thüringen 2008) 4

5 9 Gleichungssysteme Einsetzungsverfahren Additionsverfahren A 9.1 Lösen Sie das lineare Gleichungssystem 3x 1 x 2 + 2x 3 = 7 x 1 2x 2 + 3x 3 = 14 x 1 5x 2 4x 3 = 21 (Abitur Baden-Württemberg 2007) 4 A 9.2 Im Intervall [ 2, 2] soll die Funktion f(x) = 2 + cos ( π durch eine ganzrationale Funktion g 2 x) vom Grad 2 angenähert werden, die mit f an den Stellen 2, 0 und 2 übereinstimmt. Bestimmen Sie einen geeigneten Funktionsterm für g. (Abitur Baden-Württemberg 2007) A 9.3 In einem ( ) kartesischen ( ) Koordinatensystem ( ) sind die Eckpunkte eines Dreiecks ABC gegeben: A =, B = und C = Ermitteln Sie eine Gleichung seines Umkreises k. (Abitur Sachsen-Anhalt 2013) A 9.4 Gegeben ist in einem kartesischen Koordinatensystem des R 3 die Ebenenschar E k : kx 1 + k 2 x 2 + 2x 3 k 2 = 0 mit k R als Scharparameter. Nun ist weiter die Kugel K mit dem Mittelpunkt 1 M = 2 und dem Radius r = 6 gegeben. Die Scharebene E 1 schneidet die Kugel K in einem 3 Kreis K s mit dem Mittelpunkt M s und dem Radius r s. Berechnen Sie die Koordinaten von M s und den Radius r s. 5

6 10 Kegelschnitte 10.1 Kreis Ellipse Hyperbel Parabel A 10.1 In einem kartesischen Koordinatensystem sind Kreise gegeben. Sie berühren jeweils die x-achse; ihre Mittelpunkte liegen auf einer Geraden g. (a) Von zwei solchen Kreisen ist jeweils eine Gleichung gegeben: SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2008 k 1 : x 2 + (y + 2) 2 = 4 k 2 : x 2 + y 2 4x + 2y + 4 = 0 MATHEMATIK (LEISTUNGSKURSNIVEAU) Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden g, auf der die Mittelpunkte aller Kreise liegen, und berechnen Wahlpflichtaufgaben Sie die Koordinaten des Schnittpunktes deraufgabe Geraden 4.2 g mit der x-achse. Analytische Geometrie (Abitur Sachsen-Anhalt 2008) In einem kartesischen Koordinatensystem sind Kreise gegeben. Sie berühren jeweils die x-achse; ihre Mittelpunkte liegen auf einer Geraden g. t y g e d x c b a A Fortsetzung... a) Von zwei solchen Kreisen ist jeweils eine Gleichung gegeben: k 1 : x 2 + (y + 2) 2 = 4 k 2 : x 2 + y 2 4x + 2y + 4 = 0 Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden g, auf der die Mittelpunkte aller Kreise liegen, und berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden g mit der x-achse. (b) Genau zwei Kreise berühren jeweils beide Koordinatenachsen. Ermitteln Sie von einem dieser Kreise eine Gleichung. Zwei Kreise der Abbildung stellen die Kreise k 1 und k 2 dar. Geben Sie an und begründen Sie, welche das sind. 6

7 als gemein- (c) Weisen Sie nach, dass alle Kreise die Gerade t mit der Gleichung y = 4 3 x 16 3 same Tangente haben. (Abitur Sachsen-Anhalt 2008) 7

8 11 Geometrie 11.1 Elementar Analytisch A 11.1 In einem ( ) kartesischen ( ) Koordinatensystem ( ) sind die Eckpunkte eines Dreiecks ABC gegeben: A =, B = und C = (a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC rechtwinklig ist. (b) Ermitteln Sie eine Gleichung seines Umkreises k. A Fortsetzung... (Abitur Sachsen-Anhalt 2013) (a) Es gibt einen weiteren Punkt C 1 auf dem Umkreises k, für den die Inhalte der Flächen der Dreiecke ABC und ABC 1 gleich groß sind. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes C 1. (b) Was für ein besonderes Viereck ist ACBC 1? A Fortsetzung... (Abitur Sachsen-Anhalt 2013) Berechnen Sie die Koordinaten aller (weiteren) Punkte C k (k = 2,... ), auf dem Umkreises k, für die die Inhalte der Flächen der Dreiecke ABC und ABC k gleich groß sind A 11.4 Die Punkte A = 0, B = 5, C = 6 und S = 3 sind Eckpunkte einer dreiseitigen Pyramide. Zeigen Sie, dass die Mittelpunkte der Kanten AB, BC, SC und AS ein Parallelogramm, jedoch kein Rechteck bilden! (Abitur Thüringen 2007) 8

9 1 2-Ebene und den Hang. Der Schatten des Sendemastes endet in einem Punkt T des Hangs. Vorkurs Beschreiben Mathematik Sie einen fürweg, Naturwissenschaftler wie man die Gesamtlänge und des Ingenieure Schattens bestimmen 2015 kann. (3 VP) c) Bei einem Sturm knickt der Sendemast im Punkt K 6 4 k um. Die Spitze des Sendemastes trifft dabei den Hang im Punkt R A 11.5 Das DreieckBestimmen ABC istsie gleichschenklig die Höhe, in welcher und der rechtwinklig. Sendemast abgeknickt P und Qist. sind die Schnittpunkte (3 VP) der Quadratdiagonalen, Aufgabe 1.2: M ist die Mitte von AB. Das Dreieck ABC ist gleichschenklig und rechtwinklig. BeweisenP Sie, und Q dass sind die Strecken Schnittpunkte MPder und Quadratdiagonalen, MQ orthogonal M ist und die gleich Mitte von lang AB. sind. Beweisen Sie, dass die Strecken MP und MQ orthogonal und (Abitur gleich lang Baden-Württemberg sind. 2007) C P (4 VP) Q A M B A 11.6 In einem Viereck ABCD gilt für die Diagonale AC: AC = 0, 4 AB + AD. In welchem Verhältnis wird die Diagonale AC von der anderen Diagonalen geteilt? (Abitur Baden-Württemberg 2008) 9

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