Esau und Jakob 1 Einführung 2 Situation 2.1 Geschichte 2.2 Geometrische Situation

Transkript

1 Hans Walser, [546a], [33b] Esau und Jakob Einführung Diese Sudie is ensanden aus meiner eigenen Schwierigkei, mir bei zwei gleichzeiigen Bewegungen den Weg des einen Punkes aus Sich des anderen Punkes vorzusellen. Dies wird vor allem dann schwierig, wenn Orienierungsänderungen, ewa durch Kreisbewegungen, mi im Spiel sind. Ein klassisches Beispiel sind die Relaivbewegungen von Erde und Sonne. Wie of dreh sich die Erde im Laufe eines Jahres? Aus der Sich der Fixserne haben wir eine Drehung mehr als aus der Sich der Sonne. Dies, weil sich die Erde aus Sich ewa des Polarsernes im gleichen Drehsinn (es is der posiive Drehsinn) um die eigene Achse dreh wie der Drehsinn ihrer Umlaufsbewegung um die Sonne. Wie is das bei einer Tanzkapelle in der Mie des Tanzsaales, wenn ein anzendes Paar sich sowohl um die eigene Achse dreh wie auch um die Tanzkapelle kurv. Wie of sieh das Paar den Kapellmeiser, wie of sieh es die Tane Frieda, die am Rand des Tanzsaales siz? Siuaion. Geschiche Esau und Jakob sind Zwillingsbrüder, der ersgeborene is Esau (. Mose 5, 5). Dieser verkauf jedoch sein Ersgebursrech an Jakob um ein Linsengerich. Späer berog ihn Jakob auch mi einer Lis um den Segen Isaaks, des Vaers. Daher war Esau dem Jakob gram. Jakob fand es geraen, zu verschwinden. Er zog nach Mesopoamien. Thomas Mann ha diese Geschiche lierarisch umgesez [Mann 933].. Geomerische Siuaion Esau und Jakob rennen sich im Koordinaenursprung; jeder der beiden geh seinen eigenen Weg. Der Weg von Esau wird beschrieben durch e ( ), der Weg von Jakob durch j ( ). Jeder der beiden Brüder führ ein Radargerä mi, in welchem er den Weg des anderen verfolgen kann. Die Radarschirme sind in Bewegungsrichung des jeweiligen Geräeinhabers orienier, die x -Achse des Radarsschirmes schau in Bewegungsrichung. Wie wird die Bewegung des Zwillingsbruders auf dem Radarschirm dargesell? Es geh also um Relaivbewegungen. Wir müssen uns gedanklich in die Lage eines der beiden Brüder versezen und von da aus die Bewegung des anderen Bruders sehen. Of is es hilfreich, sich zunächs die Bewegung des Koordinaensysems vorzusellen. Dieses is ja aus der Sich des bewegen Beobachers nich mehr fes, sondern gleie sozusagen uner ihm weg. Wenn wir uns zum Baispiel vom Koordinaenursprung ausgehend auf einem Kreis vorwärs bewegen, heiß das aus unserer Sich, dass der Koordinaenursprung sich auf einem Kreis von uns enfern.

2 Hans Walser: Esau und Jakob /9.3 Der Radar.3. Konfiguraion der Radarschirme Der Weg des einen der beiden Brüder sei durch x ( ) beschrieben. Der Tangenialeinheisvekor is dann der Einheisvekor x für die x -Achse seines Radarschirmes. Also is: x ( ) x ( ) = x ( ) Daraus ergib sich für den Einheisvekor x der x -Achse des Radarschirmes: x ( ) = x Der Vekor x is der um 9 gedrehe Vekor x..3. Was sehen wir auf dem Radarschirm x() x () x () y() Die beiden Wege Das Radargerä beweg sich mi x ( ). Wir verfolgen den Weg y ( ) des anderen Bruders auf dem Radarschirm. Für die Rechnung werden folgende Bezeichnung verwende: Auf dem x, x - Radarschirm sei y die Koordinae der beobacheen Bewegung von y ( ) in der x - Richung und ensprechend y die Koordinae der beobacheen Bewegung von y x - Richung. Es is dann: in der = x ( ) + y ( ) = x ( ) + y ( ) y y x x Für die prakische Anwendung müssen die beiden Koordinaen y geeigne skalier werden. Das verseh sich aber von selbs und änder nichs an der Form der beobacheen Bewegungskurve. und y ( ) noch

3 Hans Walser: Esau und Jakob 3/9 Mi diesen Formeln kann nun jedes Beispiel analysier und geploe werden. Es is aber lehrreich und dien dem dynamischen Vorsellungsvermögen, sich die Relaivbewegungen aus der Sich jedes der beiden Brüder vorzusellen. 3 Beispiele In den folgenden Beispielen is jeweils der Weg von Esau ro, der Weg von Jakob blau eingezeichne. Zuers werden beide Wege im gemeinsamen Koordinaensysem vorgesell, dann der Weg von Esau auf dem Radarschirm von Jakob und schließlich der Weg von Jakob auf dem Radarschirm von Esau. 3. Geradlinige Wege in engegen gesezer Richung Es is: e = und j = mi, [ [ Die beiden Wege, objekiv gesehen In diesem Beispiel is es naürlich einfach, sich die Relaivbewegungen vorzusellen: Esau zum Beispiel beweg sich aus der Sich des Jakob mi doppeler Geschwindigkei nach hinen. Zur Konrolle die Rechnung: e j = j = j ( ) + e ( ) = j ( ) + e ( ) e und j j = = = = = Jakob sieh also auf seinem Radarschirm den Weg von Esau wie folg.

4 Hans Walser: Esau und Jakob 4/ Umgekehr is: j Der Weg von Esau auf Jakobs Radar e = = e ( ) + j ( ) und e = e = = j ( ) = ( e ( ) + j ( ) ) e ( ) = = Esau sieh also auf seinem Radarschirm den Jakob ebenfalls nach hinen abhauen: Orhogonale geradlinige Wege 3.. Gleiche Geschwindigkeien Es is: Der Weg von Jakob auf Esaus Radar e = und j = mi, [ [

5 Hans Walser: Esau und Jakob 5/ Die beiden Wege, objekiv gesehen Auch hier läss sich die Relaivbewegung noch vorsellen. Der Koordinaenursprung geh nach hinen, der andere Bruder gleich schnell zur Seie. Zusammen gib das eine Bewegung diagonal nach hinen. e j = = j ( ) + e ( ) e und j j j = j ( ) + e ( ) = = = = = Jakob sieh also auf seinem Radarschirm den Weg von Esau wie folg Umgekehr is: Der Weg von Esau auf Jakobs Radar e = und e =

6 Hans Walser: Esau und Jakob 6/9 = e ( ) + j ( ) j j e e = e ( ) + j ( ) = = = = Esau sieh also auf seinem Radarschirm den Weg des Jakob wie folg Ungleiche Geschwindigkeien Es sei zum Beispiel: Der Weg von Jakob auf Esaus Radar e = und j = mi, [ ] Jakob beweg sich doppel so schnell wie Esau. Um das sichbar zu machen, wird mi dem eingeschränken Parameerbereich, [ ] gearbeie Es is immer noch: Die beiden Wege, objekiv gesehen j = und j =

7 Hans Walser: Esau und Jakob 7/9 = j ( ) + e ( ) e e j j = j ( ) + e ( ) = = = = Jakob sieh also auf seinem Radarschirm den Weg von Esau wie folg Umgekehr is: j Der Weg von Esau auf Jakobs Radar e = = e ( ) + j ( ) und e = e = = j ( ) = ( e ( ) + j ( ) ) e ( ) = = Esau sieh also auf seinem Radarschirm den Weg des Jakob wie folg Der Weg von Jakob auf Esaus Radar Werden die beiden Bildschirme überlager, erscheinen die beiden Wege orhogonal. Die Leserin is eingeladen, sich die Siuaion für ein beliebiges Geschwindigkeisverhälnis vorzusellen.

8 Hans Walser: Esau und Jakob 8/9 3.3 Kreis und Gerade Es is: e = + und j = mi, [ [ Es is dann: e Die beiden Wege, objekiv gesehen j = = j ( ) + e ( ) j = und j = + + = e ( ) = ( j ( ) + e ( ) ) j ( ) = = + Jakob sieh auf seinem Radarschirm den Weg von Esau als Zykloide Umgekehr is: Der Weg von Esau auf Jakobs Radar is eine Zykloide

9 Hans Walser: Esau und Jakob 9/9 j e = = e ( ) + j ( ) j e e = e ( ) + j ( ) = = und sin( ) sin( ) e = = ( + )cos = ( + )sin Esau sieh also auf seinem Radarschirm den Weg von Jakob als archimedische Spirale Variane Der Weg von Jakob auf Esaus Radar als archimedische Spirale Wir lassen die Gerade in die andere Richung laufen, und zwar so, dass sich die beiden Brüder wieder reffen. Es is dann: e = + und j = π mi [,π ] Es is dann: Die beiden Wege, objekiv gesehen

10 Hans Walser: Esau und Jakob /9 = j ( ) + e ( ) e e j = j j = j ( ) + e ( ) = = und j = π cos( ) + sin( ) π cos( ) + sin( ) Jakob sieh auf seinem Radarschirm den Weg von Esau wie folg. = = π Umgekehr is: j e = Der Weg von Esau auf Jakobs Radar = e ( ) + j ( ) j = e cos( ) + π sin( ) = e ( ) + j ( ) = e cos( ) + π sin( ) und e = = + cos ( ) π cos( ) = + π sin( ) Esau sieh also auf seinem Radarschirm den Weg von Jakob wie folg.

11 Hans Walser: Esau und Jakob / Der Weg von Jakob auf Esaus Radar Auf den beiden Radarschirmen erscheinen unerschiedliche Schlaufen. Der Unerschied erschein noch dramaischer, wenn wir den Definiionsbereich vergrößern, ewa auf [,6π ]. Jakob sieh dann auf seinem Radarschirm den Weg von Esau eine Zykloide mi Schlingen Der Weg von Esau auf Jakobs Radar, größerer Definiionsbereich Umgekehr sieh Esau den Weg von Jakob immer noch als archimedische Spirale Der Weg von Jakob auf Esaus Radar is eine archimedische Spirale 3.4 Kreis und Kreis 3.4. Gleicher Umlaufssinn, gleiches Tempo Es is:

12 Hans Walser: Esau und Jakob /9 e = + und j = mi [,π ] Die Kreise werden beide im posiiven Drehsinn durchlaufen, wie ein Verkehrskreisel Die beiden Wege, objekiv gesehen Zunächs die Überlegung: Aus der Sich von Jakob beweg sich zunächs der Koordinaenursprung auf einem Kreis mi Radius. Die Lage von Esau ergib sich aus der Lage von Jakob durch Punkspiegelung am Koordinaenursprung. Daher beweg sich Esau aus der Sich von Jakob auf einem Kreis mi Radius. Nun die Rechnung: e j = = j ( ) + e ( ) j = und j ( ) = + + = e ( ) = ( j ( ) + e ( ) ) j ( ) = cos( ) = Jakob sieh auf seinem Radarschirm den Weg von Esau als Kreis Der Weg von Esau auf Jakobs Radar is ein Kreis

13 Hans Walser: Esau und Jakob 3/9 Umgekehr is: j e = = e ( ) + j ( ) j e e = e ( ) + j ( ) = = und e = = = Esau sieh auf seinem Radarschirm den Weg von Jakob ebenfalls als Kreis. Das is naürlich auch aus Symmeriegründen klar Der Weg von Jakob auf Esaus Radar is auch ein Kreis Dieses Beispiel is für mich ein Schlüsselbeispiel zum Versändnis der Relaiviäsheorie (wir sind ja im Einsein-Jahr). Sellen wir uns ein Universum vor, das nur die beiden Zwillingsbrüder enhäl uns sons nichs. Nun drehen sie ihre Kreise. Allerdings kann nun jeder der beiden sagen, aus seiner Sich sei er sehen geblieben, und der andere habe eine Rundreise gemach. Der andere ha also weniger gealer. Somi is jeder jünger als sein Zwillingsbruder. Das is nun eine zusäzliche Schwierigkei zum Problem der Ersgebur. Where is he flaw? Die Siuaion läss sich auch mi Cabri-Géomère simulieren. Das folgende Bild zeig eine saische Siuaion. Es gib allerdings Probleme, da ich es nich geschaff habe, mi orienieren Winkeln zu arbeien.

14 Hans Walser: Esau und Jakob 4/9 Radar von Jakob Radar von Esau Jakob Esau Momenaufnahme 3.4. Gleicher Umlaufssinn, ungleiches Tempo Der Jakob geh seinen Kreis doppel so schnell. Die beiden feindlichen Brüder reffen also ers nach dem zweien Umlauf wieder im Koordinaenursprung zusammen. e = + und j = sin mi [,π ] Es is nun: j = Die beiden Wege, objekiv gesehen sin und j ( ) =

15 Hans Walser: Esau und Jakob 5/9 = j ( ) + e ( ) e e j = = 3 cos( ) + 4 cos ( ) j = j ( ) + e ( ) = = sin( ) 4sin( )cos( ) cos( ) + sin( ) cos( ) + sin( ) Jakob sieh auf seinem Radarschirm den Weg von Esau wie folg. 3 sin Umgekehr is imemr noch: j Der Weg von Esau auf Jakobs Radar is verschlungen e = = e ( ) + j ( ) j e e = e ( ) + j ( ) = = und - -3 e = + cos( ) + sin( ) sin + cos( ) + sin( ) sin Esau sieh auf seinem Radarschirm den Weg von Jakob als Ellipse. = = 3

16 Hans Walser: Esau und Jakob 6/ Der Weg von Jakob auf Esaus Radar is eine Ellipse Engegen gesezer Umlaufssinn Es is: e = + und j = - -3 Jakob dreh seinen Kreis im negaiven Umlaufssinn. mi [,π ] Es is dann: = j ( ) + e ( ) e e Die beiden Wege, objekiv gesehen j = j j = j ( ) + e ( ) = = cos( ) + cos( ) + und j ( ) = = Jakob sieh auf seinem Radarschirm den Weg von Esau wie folg. cos( ) = cos( )sin sin( )

17 Hans Walser: Esau und Jakob 7/ Der Weg von Esau auf Jakobs Radar Diese Kurve is eine so genann Rollkurve: wir lassen auf einem Kreis einen zweien Kreis mi gleichem Radius abrollen und verfolgen den Weg eines Punkes auf der Peripherie dieses zweien Kreises. 3 Für diese Rollkurve gil nämlich: x = Umgekehr is: = e ( ) + j ( ) j j e = e e = e ( ) + j ( ) = = Rollkurve sin und cos( ) + cos( ) + = e = cos cos( ) cos( ) sin( ) = cos( ) = cos( )sin Esau sieh auf seinem Radarschirm den Weg von Jakob spiegelbildlich. + sin( )

18 Hans Walser: Esau und Jakob 8/ Zwei Halbkreise Es is: e = Der Weg von Jakob auf Esaus Radar + und j = + mi [,π ] Es is dann: e j = = j ( ) + e ( ) e Die beiden Wege, objekiv gesehen j j = j ( ) + e ( ) = = und j ( ) = = sin Jakob sieh auf seinem Radarschirm den Weg von Esau als Kreis. = sin( )cos

19 Hans Walser: Esau und Jakob 9/ Umgekehr is: j Der Weg von Esau auf Jakobs Radar is ein Kreis e = e = e ( ) + j ( ) = e ( ) + j ( ) j e = = und sin( ) sin( ) e = = = sin( )cos Esau sieh auf seinem Radarschirm den Weg von Jakob ebenfalls als Kreis. Das is naürlich aus Symmeriegründen klar Zwei Vierelskreise Es is: Der Weg von Jakob auf Esaus Radar is auch ein Kreis e = + und j = + mi, π

20 Hans Walser: Esau und Jakob / Es is dann: e Die beiden Wege, objekiv gesehen j = = j ( ) + e ( ) e = j = j ( ) + e ( ) = + sin( ) cos( ) + j + sin( ) cos( ) + und j ( ) = = cos ( ) sin( ) + sin( )cos( ) = Jakob sieh auf seinem Radarschirm den Weg von Esau als Schlaufe. + sin ( ) cos ( ) + cos( ) - Umgekehr is: Der Weg von Esau auf Jakobs Radar is eine Schlaufe e = und - e =

21 Hans Walser: Esau und Jakob /9 = e ( ) + j ( ) j j = e = e ( ) + j ( ) = cos( ) + + sin( ) e cos( ) + + sin( ) = cos ( )sin( ) + sin( ) + cos( ) = + cos( ) sin( ) + sin ( ) Esau sieh auf seinem Radarschirm den Weg von Jakob ebenfalls als Schlaufe. Das is naürlich aus Symmeriegründen klar Variane Der Weg von Jakob auf Esaus Radar is auch eine Schlaufe Wir ändern den Parameerbereich, so dass zwei Kreise ensehen. Die Rechnungen bleiben unveränder. Es is also: e = + und j = - + mi [,π ] Die beiden Wege, objekiv gesehen -

22 Hans Walser: Esau und Jakob / Was für eine Kurve is das? Der Weg von Esau auf Jakobs Radar Zwei Sinuskurven Es is: e = Der Weg von Jakob auf Esaus Radar und j = mi [,π ] - - Es is dann: Die beiden Wege, objekiv gesehen

23 Hans Walser: Esau und Jakob 3/9 j ( ) = +cos ( ) = j ( ) + e ( ) e j cos( ) = +cos und j ( ) = +cos ( ) cos( ) = +cos e ( ) = ( j ( ) + e ( ) ) j ( ) = +cos ( ) sin( ) cos( ) = Jakob sieh auf seinem Radarschirm den Weg von Esau als Acherkurve. +cos Der Weg von Esau auf Jakobs Radar is eine Acherkurve Bemerkung: Bei dieser Acherkurve handel es sich nich um eine Lemniskae. Umgekehr is: j e ( ) = +cos ( ) = e ( ) + j ( ) e cos( ) = +cos und e ( ) = +cos ( ) cos( ) = +cos j ( ) = ( e ( ) + j ( ) ) e ( ) = +cos ( ) sin( ) cos( ) = sin( )cos( ) +cos ( ) Esau sieh auf seinem Radarschirm den Weg von Jakob ebenfalls als Acherkurve. Das is naürlich aus Symmeriegründen klar.

24 Hans Walser: Esau und Jakob 4/ Der Weg von Jakob auf Esaus Radar is auch eine Acherkurve 3.8 Sinuskurve und Gerade Es is: e = und j = mi,π [ ] - π π - Es is dann: e Die beiden Wege, objekiv gesehen j = = j ( ) + e ( ) j und j = = = e ( ) = ( j ( ) + e ( ) ) j ( ) = sin( ) = Jakob sieh auf seinem Radarschirm den Esau hin und her pendeln.

25 Hans Walser: Esau und Jakob 5/9 - Umgekehr is: j e ( ) = +cos ( ) = e ( ) + j ( ) Der Weg von Esau auf Jakobs Radar e cos( ) = +cos und - e ( ) = +cos ( ) cos( ) = +cos j ( ) = ( e ( ) + j ( ) ) e ( ) = +cos ( ) sin( ) cos( ) = sin( )cos( ) +cos ( ) Esau sieh auf seinem Radarschirm den Weg von Jakob als Acherkurve, bis auf Sreckung dieselbe Kurve wie bei zwei Sinuskurven Zwei Parabeln Es is: Der Weg von Jakob auf Esaus Radar is eine Acherkurve e = und j - = mi [,]

26 Hans Walser: Esau und Jakob 6/9 - Es is dann: e Die beiden Wege, objekiv gesehen j ( ) = 4 + = j ( ) + e ( ) e j j = j ( ) + e ( ) = - und j 4 + = 4 + = = = Jakob sieh auf seinem Radarschirm den Weg von Esau wie folg. Es handel sich um eine nich symmerische Schlaufe Der Weg von Esau auf Jakobs Radar Wenn wir den Parameerbereich auf [,] vergrößern, erhalen wir folgendes Bild.

27 Hans Walser: Esau und Jakob 7/ Umgekehr is: j e ( ) = 4 + = e ( ) + j ( ) j Vergrößerer Parameerbereich e e = e ( ) + j ( ) und = 4 + = 4 + e ( ) = = = Esau sieh auf seinem Radarschirm den Weg von Jakob ebenfalls als Schlaufe. Das is naürlich aus Symmeriegründen klar Der Weg von Jakob auf Esaus Radar is auch eine Schlaufe 3. Archimedische Spirale und Gerade Es is: e = cos π sin π und j = mi,3 [ ]

28 Hans Walser: Esau und Jakob 8/9 3 Es is dann: = j ( ) + e ( ) e e Die beiden Wege, objekiv gesehen j = j j = j ( ) + e ( ) = = - -3 und j + cos π = sin π + cos π sin π = sin π = + cos π Jakob sieh auf seinem Radarschirm den Weg von Esau wie folg. Esau is immer im Rücken von Jakob. Ein unangenehmes Gefühl Umgekehr is: Der Weg von Esau auf Jakobs Radar

29 Hans Walser: Esau und Jakob 9/9 j e ( ) = und e ( ) = e = e ( ) + j ( ) j = sin π +4π cos π cos π +4π sin π + cos π +4π sin( π) +π cos( π) = π + sin π = e ( ) + j ( ) +4π e = = + cos π +4π sin π + cos ( π ) π sin π +4π + π cos( π) + π sin( π) + π sin( π) + π cos( π) sin π + π cos( π) + π sin( π) cos π + π sin( π) + π cos( π) cos π sin π Esau sieh auf seinem Radarschirm den Weg von Jakob immer auf der linken Seie Der Weg von Jakob auf Esaus Radar Lieraur [Mann 933] Mann, Thomas: Joseph und seine Brüder. Der erse Roman: Die Geschichen Jaakobs. Berlin: S. Fischer Verlag, 933