Übung zur Vorlesung Statistik I WS Übungsblatt 9

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1 Übung zur Vorlesung Statistik I WS Übungsblatt Dezember 2012 Aufgabe 26 (4 Punkte): In einer Studie mit n = 10 Patienten soll die Wirksamkeit eines Medikaments gegen Bluthochdruck geprüft werden. Dazu wird bei jedem Patienten vor und nach der Therapie der systolische Blutdruck in mmhg erfasst: PatNr. vorher nachher A B Führen Sie für die Differenz des Blutdrucks (vorher - nachher) den zweiund einseitigen Z-Test durch. Wie lauten die Nullhypothesen? Gehen Sie beim einseitigen Testen davon aus, dass das Medikament nicht für eine Erhöhung des Blutdrucks verantwortlich sein kann. Das Signifikanzniveau sei α = Es sei bekannt, dass die Streuung (=Quadratwurzel aus der Varianz) der Blutdruckdifferenz σ = 10 mmhg beträgt. Führen Sie analog zu A den ein- und zweiseitigen t-test für die Blutdruckdifferenz durch. Wie groß ist die empirisch ermittelte Streuung der Blutdruckdifferenz? Berechnen Sie die P-Werte einmal mit den Formeln aus dem Skript (Folien) und dann mit der R Funkton t.test.

2 Lösung: Hinweis: In die Funktion t.test können die Werte für vorher und nachher direkt eingegeben werden. Die Berechnung der Differenzen erfolgt dann intern durch die Funktion t.test. Für eine korrekte Durchführung des Tests müssen die Argumente paired und alternative richtig spezifiziert werden. A Seien D 1,..., D 10 die Blutdruckdifferenzen der 10 Patienten. Für den Z- Test wird angenommen, dass die D i unabhängig und normalverteilt mit unbekanntem Erwartungswert µ und bekannter Streuung σ = 10 sind. Ein positives µ bedeutet, dass das Medikament den Blutdruck tatsächlich senkt. Ist das Medikament wirkungslos, dann gilt µ = 0 und schadet es, dann ist µ < 0. Die Nullhypothese für zweiseitiges Testen lautet µ = 0 und für einseitiges Testen µ 0. Die Nullhypothese µ 0 ist nicht sinnvoll, da ihre Ablehnung µ < 0 (= Medikament erhöht den Blutdruck) bedeuten würde. Diese Möglichkeit wurde aber ausgeschlossen. > Svorher <- c(205, 206, 166, 160, 204, 186, 194, 165, 190, 196) > Snachher <- c(198, 206, 143, 149, 179, 174, 189, 160, 194, 187) > D <- Svorher - Snachher > D [1] > sigma <- 10 > n <- 10 > Z <- mean(d)/sigma*sqrt(10) > P_zweiseitig <- 2*pnorm(-abs(Z)) > P_einseitig <- pnorm(-z) > P_zweiseitig [1] > P_einseitig [1] Sowohl die ein- als auch die zweiseitige Nullhypothese kann auf dem 5% Niveau abgelehnt werden. Wir dürfen also behaupten, dass das Medikament den Blutdruck wirksam senkt. B Für den t-test muss die Varianz σ 2 der Blutdruckdifferenz zunächst aus den Daten geschätzt werden.

3 > mu_hat <- sum(d)/n > sigma_hat2 <- sum((d-mu_hat)^2)/(n-1) > sigma_hat2 [1] > #einfacher: > sigma_hat2 <- var(d) > sigma_hat2 [1] > #Empirische Streuung: > sqrt(sigma_hat2) [1] Die t-statistik ergibt sich nun mit > T <- mu_hat/sqrt(sigma_hat2)*sqrt(n) > T [1] Die P-Werte werden zu > P_t_zweiseitig <- 2*pt(-abs(T), df=n-1) > P_t_einseitig <- pt(-t,df=n-1) > P_t_zweiseitig [1] > P_t_einseitig [1] berechnet. Mit der Funktion t.test ergibt sich: > #zweiseitig: > t.test(x=svorher,y=snachher, paired=true)

4 Paired t-test data: Svorher and Snachher t = , df = 9, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of the differences 9.3 > #einseitig: > t.test(x=svorher,y=snachher, paired=true, alternative="greater") Paired t-test data: Svorher and Snachher t = , df = 9, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0 95 percent confidence interval: Inf sample estimates: mean of the differences 9.3 Aufgabe 27 (4 Punkte): Durch einen Fehler in der Studiendokumentation wurde versehentlich angenommen, dass die Daten S 1 für vorher und die für nachher S 2 aus Aufgabe 26 von zwei unterschiedlichen Patientengruppen stammen. Die Patienten aus S 1 haben ein Placebo (Scheinmedikament) und nur die aus S 2 das Heilmittel erhalten. A B C Formulieren Sie die Nullhypothesen für ein- und zweiseitiges Testen des Zweistichproben t-tests. Nehmen Sie wieder an, dass das Medikament den Blutdruck nicht steigern kann. Berechnen Sie für die Stichproben S 1 und S 2 die Statistik des Zweistichproben t-tests und die zugehörigen P-Werte für die zwei- und einseitige Nullhypothese. Zeichnen Sie ein Diagramm mit den Dichtefunktionen der Statistiken für den verbundenen (Einstichproben) (Aufgabe 26) und unverbundenen (Zweistichproben) t-test (Aufgabe 27). Markieren Sie im Diagramm den Wert der Teststatistik für den verbundenen und unverbundenen Fall jeweils durch eine vertikale Linie.

5 Lösung: A Sei µ 1 der Erwartungswert für die Placebogruppe und µ 2 für die Medikamentengruppe. Die Nullhypothese für zweiseitiges Testen lautet H 0 : µ 1 = µ 2. Die Nullhypothese für einseitiges Testen lautet H 0 : µ 1 µ 2. Nur diese Richtung ist beim einseitigen Testen sinnvoll, da diese H 0 nur abgelehnt wird, wenn die Medikamentengruppe kleinere Blutdruckwerte als die Placebogruppe aufweist. B > S_Placebo <- c(205, 206, 166, 160, 204, 186, 194, 165, 190, 196) > S_Medikament <- c(198, 206, 143, 149, 179, 174, 189, 160, 194, 187) > n <- 10 > M_P <- mean(s_placebo) > M_M <- mean(s_medikament) > sigma_hat2 <- (sum((s_placebo-m_p)^2)+sum((s_medikament-m_m)^2))/(2*n-2) > T_z <- (M_P-M_M)/sqrt(sigma_hat2)*sqrt(n/2) > df <- 2*n-2 > P_zweiseitig <- 2*pt(-abs(T_z), df=df) > P_einseitig <- pt(-t_z, df=df) > P_zweiseitig [1] > P_einseitig [1] C > x <- seq(-4,4,1/1000) > plot(x=x,y=dt(x,df=n-1), type="l", col="blue") > points(x=x,y=dt(x,df=2*n-2), type="l", col="red") > abline(v=c(t,t_z), col=c("blue","red"))

6 dt(x, df = n 1) x Aufgabe 28 (4 Punkte): A Bestimmen Sie für α = 0.05 und der Fallzahl n = 9 die Grenzen t 0.025,8 und t 0.025,8 des Ablehnungsbereichs für den zweiseitigen Einstichproben t-test. B Sei x 1,..., x 9 eine Stichprobe aus einer normalverteilten Population. Wie lautet die Statistik T für die Nullhypothese H 0 : µ = µ 0 des zweiseitigen t-tests? Bestimmen Sie die Werte µ u und µ o für µ 0, für die T auf dem Rand des Ablehnungsbereichs liegt. Bemerkung: Das Intervall [µ u, µ o ] ist das zweiseitige 95% Konfidenzintervall für den Mittelwert der Stichprobe x 1,..., x 9. C D Berechnen Sie für die Stichprobe {1, 1.3, 2, 3, 6, 1, 0.5, 2.4, 5.1} das zweiseitige 95% Konfidenzintervall. Wie lautet die allgemeine Formel für das (1 α)100% Konfidenzintervall für den Mittelwert einer normalverteilten Stichprobe mit n Elementen?

7 Lösung: Hinweis: Das α Perzentil der t-verteilung mit ν Freiheitsgrade wird mit t α,ν bezeichnet. Ist F ν die Verteilungsfunktion der t-verteilung mit ν Freiheitsgraden, dann gilt F ν (t α,ν ) = α. In R können die Perzentile der t-verteilungen mit der Funktion qt berechnet werden. A Die Grenzen des Ablehnungsbereichs werden zu > qt(0.025,8) [1] > -qt(0.025,8) [1] bestimmt. B Für x 1,..., x 9 berechne man zunächst Mittelwert x = 1 9 (x x 9 ) und Varianz ˆσ 2 = 1 8 ((x 1 x) (x 9 x) 2 ). Für die H 0 : µ = µ 0 lautet dann die T-Statistik T = x µ 0 ˆσ2 9. Löst man die Gleichung nach µ 0 auf, erhält man µ o : Aus T = t 0.025,8 x µ 0 ˆσ2 9 = t 0.025,8 folgt Entsprechend enthält man aus µ o = x ˆσ2 t 0.025,8 /3. T = t 0.025,8 die untere Grenze µ u = x + ˆσ2 t 0.025,8 /3 des Konfidenzintervalls. Da t 0.025,8 negativ ist und t 0.025,8 = t 0.975,8 gilt, ist es üblicher die Grenzen des Konfidenzintervalls durch das 97.5% Perzentil t 0.975,8 auszudrücken: µ u = x ˆσ2 t 0.975,8 /3 und µ o = x + ˆσ2 t 0.975,8 /3.

8 C > S <- c(1,1.3,2,3,6,-1,0.5,2.4,5.1) > Mittelwert <- mean(s) > Varianz <- var(s) > t <- qt(0.975,8) > Unten <- Mittelwert - t*sqrt(varianz)/3 > Oben <- Mittelwert + t*sqrt(varianz)/3 > Mittelwert [1] > Unten [1] > Oben [1] D Die allgemeine Formel für das (1 α)100% Konfidenzintervall erhält man wie in B. α und n dürfen jetzt aber beliebig sein: µ u = x t 1 α/2,n 1 ˆσ2 / n und µ o = x + t 1 α/2,n 1 ˆσ2 / n Schicken Sie Ihre Lösung bis spätestens Sonntag, den direkt an Ihre(n) Tutor(in): franzime@zedat.fu-berlin.de (Franziska Metge). s.richter.fu@gmx.de (Stina Richter) r3p10id0@zedat.fu-berlin.de (Ivo Parchero)