Abbildungen. Kapitel Definition: (Abbildung) 5.2 Beispiel: 5.3 Wichtige Begriffe

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1 Kapitel 5 Abbildungen 5.1 Definition: (Abbildung) Eine Abbildung zwischen zwei Mengen M und N ist eine Vorschrift f : M N, die jedem Element x M ein Element f(x) N zuordnet. Schreibweise: x f(x) 5. Beispiel: M = {a, b, c, d}, N = {1,, 3, } a f = Wichtige Begriffe Für eine Teilmenge A M heißt f(a) := {f(x) x A} das Bild von A. Für B N heißt f 1 (B) := {x M f(x) B} das Urbild von B. Im Beispiel 5.: f({a, b}) = {1}, 7

2 f({a, c}) = {1, }, f 1 ({3}) = {d}, f 1 ({}) =. Hat B nur ein Element, B = {y}, dann setzt man f 1 (y) := f 1 ({y}). Ist f : M N eine Abbildung und A M, dann heißt f A : A N, A x f die Einschränkung von f auf A. Die Relation Γ f := {(x, y) M N y = f(x)} heißt Graph von f. Beispiel: f : R R, x x 5. Definitionsbereich Zu den wichtigsten Abbildungen zählen reelle Funktionen f : D R mit einer nichtleeren Teilmenge D R, dem Definitionsbereich. 5.5 Beispiel: id R : R R, x x identische Abbildung entier-funktion: entier: R Z R entier (x) := größte ganze Zahl x 8

3 (c) f : D R, x x x 1 mit D = R \ { 1, 1}. 5.6 Definition: (surjektiv, injektiv, bijektiv) Eine Abbildung f : M N heißt surjektiv, wenn es für alle y N ein x M gibt mit f(x) = y. (d.h. f(m) = N, Abbildung auf N ) injektiv (eineindeutig), wenn keine zwei verschiedenen Elemente von M auf das selbe Element von N abgebildet werden: f(x 1 ) = f(x ) x 1 = x bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. 5.7 Beispiele f : R R, x x ist nicht surjektiv: z.b. hat -1 kein Urbild nicht injektiv: z.b. ist f() = = f( ) f : R R + 0 := {x R x 0}, x x ist surjektiv, aber nicht injektiv. (c) f : R + 0 R, x x ist injektiv, aber nicht surjektiv. (d) f : R + 0 R+ 0, x x ist sujektiv und injektiv, also bijektiv. 9

4 Bijektive Abbildungen kann man umkehren: 5.8 Definition: (Umkehrabbildung) Ist eine Abbildung f : M N bijektiv, so heißt die Abbildung f 1 : N M, y x mit y = f(x) die Umkehrabbildung von f. 5.9 Beispiele f : R + 0 R+ 0, x x hat die Umkehrabbildung f 1 : R + 0 R+ 0, x x Abbildung lassen sich miteinander verknüpfen: 5.10 Definition: (Komposition) Sind f : A B und g : B C Abbildungen. Dann heißt die Abbildung g f : A C, x g(f(x)) die Komposition (Verknüpfung, Hintereinanderschaltung) von f und g. Sprechweise: g Kringel f Satz: (Assoziativität der Verknüpfung) Seien f : A B, g : B C, h : C D Abbildungen, so gilt: (h g) f = h (g f) d.h. die Komposition ist assoziativ. 50

5 Ist x A, so gilt ((h g) f)(x) = (h g)(f(x)) = h(g(f(x))) = h((g f)(x)) = (h (g f))(x) 5.1 Vorsicht Die Komposition von Abbildungen ist i.a. nicht kommutativ! Beispiel: f : R R, x x + 1 g : R R, x x d.h. f g g f. (f g)(x) = f(x ) = x + 1 (g f)(x) = g(x + 1) = (x + 1) = x + x + 1 Die Komposition kann auch zum Nachweis von Injektivität, Surjektivität und Bijektivität dienen: 5.13 Satz: (Kriterium für Injektivität, Surjektivität, Bijektivität) Sei f : X Y eine Abbildung zwischen den nichtleeren Mengen X und Y. Dann gilt: (c) f injektiv g : Y X mit g f = id X f surjektiv g : Y X mit f g = id Y f bijektiv g : Y X mit g f = id X und f g = id Y In diesem Fall ist g die Umkehrabbildung f 1. : Sei f injektiv. Dann existiert zu jeden y f(x) genau ein x X mit f(x) = y. Setze g(y) := x. Für alle y Y \ f(x) setzen wir g(y) := x 0 mit x 0 X beliebig. Dann hat g : Y X die Eigenschaft g f = id X. : Sei g : Y X mit g f = id X gegeben. Sei ferner f(x 1 ) = f(x ). x 1 = g(f(x 1 )) = g(f(x )) = x f ist injektiv. 51

6 (c) : Sei f surjektiv. Zu jedem y Y wählen wir ein festes x X mit f(x) = y und setzen g(y) := x. Dann hat g : Y X die Eigenschaft f g = id Y. : Sei g : Y X mit f g = id Y gegeben. Sei y Y. y = f(g(y)), d.h. y f(x) f ist surjektiv. : Sei f bijektiv. Dann existiert nach und eine Abbildung g : Y X mit g f = id X und f g = id Y. : Sei g : Y X mit g f = id X und f g = id Y gegeben. Dann ist f nach und injektiv und surjektiv, d.h. bijektiv. Ferner erfüllt g die Def. 5.8 auf Seite 50 der Umkehrabbildung von f : g = f Mächtigkeit von Mengen Eine Menge M heißt endlich, falls ein n N 0 existiert und eine bijektive Abbildung f : {1,, 3,... n} M. n ist eindeutig bestimmt und heißt die Mächtigkeit (Kardinalzahl, Kardinalität) von M. Schreibweise: M = n. Man kann die Elemente von M aufzählen: M = {m 1, m,..., m n }, wobei f(i) = m i für i {1,..., n}. Ist M nicht endlich, so heißt M unendlich. Zwei Mengen sind gleichmächtig, falls eine bijektive Abbildung zwischen ihnen existiert. Wir nennen eine Menge M abzählbar, wenn eine bijektive Abbildung f : N M existiert. Als Symbol für die Kardinalzahl N benutzen wir ℵ 0 ( aleph 0 ) Beispiele {5, 7,, 9} = Z = ℵ 0, denn mit Z = {0, 1, 1,,,...} ergibt sich eine Aufzählung mit der bijektiven Abbildung { n f : N Z, f(n) = für gerades n n 1 für ungerades n 5.16 Abzählbarkeit von Q Q ist abzählbar: Q = ℵ 0. 5

7 Mathematik für Informatiker I, (Cantor) Wir beschränken uns zunächst auf Q + := {q Q q > 0}. Die Elemente von Q + lassen sich nach folgendem Schema anordnen: (Nenner 1) 1 1 (Nenner ) (Nenner 3) 1 3 (Nenner ) Durch Weglassen doppelter Elemente in diesem Polygonzug entsteht die Anordnung 1,, 1, 1 3, 3,, 3, 3, 1,... die sich bijektiv auf N abbilden lässt. Analog wie in 5.15 auf der vorherigen Seite dehnt man den Beweis auf ganz Q aus. Bemerkung: Nicht alle unendliche Mengen sind gleichmächtig. Z.B. ist R überabzählbar (d.h. nicht abzählbar) Satz: (Äquivalenz von Surjektivität und Injektivität) Sei f : X Y eine Abbildung zwischen endlichen, gleichmächtigen Mengen X und Y. Dann sind äquivalent: (c) f ist injektiv. f ist sujektiv. f ist bijektiv. 53

8 Wegen der Def. der Bijektivität genügt es, zu zeigen. : Sei f : X Y injektiv. f 1 (y) 1 y Y (einige y Y könnten kein Urbild haben) X = f 1 (y) 1 = Y y Y y Y Wegen X = Y muss f 1 (y) = 1 y Y gelten. f ist surjektiv, da jedes Elemente in Y zu f(x) gehört. : Sei f : X Y surjektiv. Y = y Y 1 y Y f 1 (y) = X. Wegen X = Y muss f 1 (y) = 1 y Y gelten. f ist injektiv, da keine zwei Elemente aus X auf das selbe y Y abgebildet werden Folgerungen Aus dem Beweis von 5.17 auf der vorherigen Seite folgt für endliche Mengen X, Y : Ist f : X Y injektiv, dann ist X Y. Ist f : X Y surjektiv, dann ist X Y. Die Kontraposition zu liefert: 5.19 Schubfachprinzip Seien X, Y endliche Mengen. Dann ist eine Abbildung f : X Y mit X > Y nicht injektiv. Anders formuliert: Seien m Objekte in n Kategorien ( Schubfächern ) eingeteilt. Wenn m > n ist, gibt es mindestens eine Kategorie, die mindestens Objekte enthält. 5

9 5.0 Beispiele Unter 13 Personen gibt es mindestens, die im selben Monat Geburtstag haben. In jeder Gruppe mit mindestens zwei Personen gibt es zwei, die die gleiche Anzahl von Bekannten innerhalb dieser Gruppe haben. Wir nehmen an, dass bekannt eine symmetrische, nicht reflexive Relation ist. Objekte: Personen der Gruppe. Annahme: m Personen Kategorien: Personen mit der gleichen Zahl von Bekannten K 0, K 1, K,..., K m 1 : Personen mit 0, 1,,..., m 1 Bekannten. Schubfachprinzip nicht direkt anwendbar, da die Objektzahl m identisch mit der Kategorienzahl ist. Es gibt jedoch eine Kategorie, die nicht auftritt: Denn: Angenommen, eine Person ist in K m 1. Sie kennt alle anderen. Alle anderen kennen mindestens 1 Person. K 0 ist leer. Wenn keine Person im K m 1 ist, ist K m 1 leer. Also ist das Schubfachprinzip anwendbar. (c) Für beliebige n + 1 Punkte im Quadrat Q := {(x, y) 0 < x < n, 0 < y < n} gibt es zwei mit Abstand Beispiel: n = 3, 10 Punkte 55

10 Betrachte Teilquadrate Q ij := {(x, y) i 1 x < i, j 1 y < j}. Nach dem Schufachprinzip müssen in einem der n Einheitsquadrate mindestens zwei Punkte liegen. Der Maximalabstand in einem solchen Einheitsquadrat ist. 56

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