Vorkurs Mathematik B

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1 Vorkurs Mathematik B Dr. Thorsten Camps Fakultät für Mathematik TU Dortmund 8. September 2011

2 Für die Mathematik zentral sind Abbildungen und Funktionen. Häufig wird zwischen beiden Begriffen nicht unterschieden. Definition (Abbildung) Eine Abbildung f besteht aus 1 einer Definitionsmenge D, 2 einem Wertebereich W und 3 einer Abbildungsvorschrift, die jedem x D genau ein y W zuordnet. Schreibweise: f : D W mit Angabe der Abbildungsvorschrift in der Form f (x) = y oder x y oder x f (x). Die Angabe von Definitionsmenge und Wertebereich ist für eine Abbildung notwendig! Der Wertebereich wird auch Bildbereich genannt. Ein Element f (x) des Bildbereiches wird auch als Bild (von x) bezeichnet. (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 8. September / 11

3 Definition (Funktion) Ist f eine Abbildung, die als Wertebereich eine Teilmenge von R besitzt, so nennen wir f eine Funktion. Beispiel 1 D = {Teilnehmer des Vorkurses}, W = {Studienfächer an der TU Dortmund} Abbildungsvorschrift: Für x D sei f (x) das Studienfach, für das x eingeschrieben ist. Die Abbildung f ordnet also jedem Studenten sein Studienfach zu. 2 lineare Funktion: D = W = R, f (x) = ax + b. 3 Wurzelfunktion: D = R + 0 := {x R x 0}, W = R, f (x) = x. Weitere Beispiele folgen im Verlauf des Vorkurses. (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 8. September / 11

4 Funktionen stellt man gerne grafisch dar. Dazu bildet man G f := {(x, y) D W f (x) = y} = {(x, f (x)) x D}. Für die Darstellung im Koordinatensystem trägt man D auf der x Achse ab und W auf der y Achse. Ein Punkt (x, y) wird markiert, wenn er zur Menge G f gehört, d.h. wenn f (x) = y. Die Menge aller so markierten Punkte heißt dann der Graph von f. Sie ist genau die Menge G f oben. (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 8. September / 11

5 Definition (injektiv, surjektiv, bijektiv) Sei f eine Abbildung (oder Funktion). Dann heißt f 1 injektiv, falls zwei verschiedene Elemente aus D auch zwei verschiedene Bilder haben. In Formeln: x 1, x 2 D und x 1 x 2 = f (x 1 ) f (x 2 ), 2 surjektiv, falls jedes Element des Wertebereiches von f erreicht wird. In Formeln: y W = x D mit f (x) = y. 3 bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist. (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 8. September / 11

6 Definition (Monotonie) Eine Funktion f heißt 1 streng monoton steigend (oder wachsend), wenn gilt: x, y D und x < y = f (x) < f (y). 2 monoton steigend (oder wachsend), wenn gilt: x, y D und x < y = f (x) f (y). 3 streng monoton fallend, wenn gilt: x, y D und x < y = f (x) > f (y). 4 monoton fallend, wenn gilt: x, y D und x < y = f (x) f (y). Diese Eigenschaften werden immer bezüglich des Definitionsbereiches D (oder Teilen von D) betrachtet. (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 8. September / 11

7 Beispiel 1 Die lineare Funktion f (x) = 2x + 8 mit D = W = R ist streng monoton fallend auf ganz D. 2 Die Funktion f (x) = x 2 mit D = W = R erfüllt auf ganz D keine Monotonieeigenschaft. Allerdings ist f (x) = x 2 streng monoton fallend auf ] ; 0] und streng monoton steigend auf [0; [. Wir werden mit Hilfe der Differentialrechnung Kriterien entwickeln, mit denen man prüfen kann, auf welchen Bereichen eine Funktion (streng) monoton wächst oder fällt. (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 8. September / 11

8 Definition (Komposition von Abbildungen) Sind f : D f W f und g : D g W g Abbildungen, und ist der Wertebereich von f enthalten im Definitionsbereich von g (d.h. W f D g ), dann kann man f und g hintereinander ausführen, d.h. man bildet ein Element von D f erst mit f ab und danach mit g. Man spricht dann von der Komposition, Verkettung oder Hintereinanderausführung von f und g. Schreibweise: g f : D f W g. Für die Abbildungsvorschrift: (g f )(x) := g(f (x)). (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 8. September / 11

9 Beispiel Es seien f (x) = x und g(x) = 2x 1. Dann sind beide Abbildungen definiert auf ganz R, man kann also D = W = R wählen. Man erhält: g(f (x)) = 2 f (x) 1 = 2 (x 2 + 1) 1 = 2x = 2x Die Komposition ist hier aber auch andersrum möglich: f (g(x)) = (g(x)) = (2x 1) = 4x 2 4x = 4x 2 4x + 2. Die Reihenfolge spielt also bei der Verkettung eine wichtige Rolle! (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 8. September / 11

10 Definition (Umkehrabbildung) Sei f : D W eine Abbildung. Gibt es eine Abbildung g : W D mit g(f (x)) = x für alle x D und f (g(y)) = y für alle y W, dann heißt g Umkehrabbildung zu f. Wir nennen f dann umkehrbar. Statt mit g bezeichnet man die Umkehrabbildung häufig auch mit f 1. Beispiel 1 Seien D = W = R und f (x) = 5x 3. Dann ist g(x) = 1 5 x eine Umkehrfunktion zu f. 2 Für f (x) = x 2 ist g(x) = x ein Kandidat für eine Umkehrfunktion. Problem: Für x < 0 ist g(f (x)) x. Lösung: Schränke D und W passend ein: D = W = R + 0. In der Tat ist g nun eine Umkehrfunktion von f. (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 8. September / 11

11 Satz 1 Falls eine Umkehrabbildung existiert, ist sie eindeutig. 2 Eine Abbildung ist genau dann umkehrbar, wenn sie bijektiv ist. 3 Eine streng monotone Abbildung ist injektiv. 4 Eine injektive Abbildung f kann man umkehren, wenn man den Wertebereich verkleinert und alle Elemente entfernt, die von f nicht erreicht werden. Satz (Graph und Umkehrabbildung) Sei f eine Funktion und f 1 ihre Umkehrfunktion. Dann erhält man den Graphen von f 1, indem man den Graphen von f an der 1. Winkelhalbierenden spiegelt. (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 8. September / 11