Lehr- und Übungsbuch Mathematik für Informatiker

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1 Lehr- und Übungsbuch Mathematik für Informatiker Lineare Algebra und Anwendungen Bearbeitet von Wolfgang Preuß, Günter Wenisch 1. Auflage Buch. 328 S. Hardcover ISBN Format (B x L): 17,2 x 23,5 cm Gewicht: 686 g schnell und portofrei erhältlich bei Die Online-Fachbuchhandlung beck-shop.de ist spezialisiert auf Fachbücher, insbesondere Recht, Steuern und Wirtschaft. Im Sortiment finden Sie alle Medien (Bücher, Zeitschriften, CDs, ebooks, etc.) aller Verlage. Ergänzt wird das Programm durch Services wie Neuerscheinungsdienst oder Zusammenstellungen von Büchern zu Sonderpreisen. Der Shop führt mehr als 8 Millionen Produkte.

2 Inhaltsverzeichnis 0 Einleitung: Was ist Lineare Algebra? Drei typische Beispiele Gegeneinander verschobene Koordinatensysteme und die Normalparabel Gegeneinander gedrehte Koordinatensysteme und die Normalparabel Gegeneinander gedrehte Koordinatensysteme und die Lösungskurven von Differentialgleichungen Kommentar zu den Beispielen und Ausblick Grundbegriffe Mengen, Abbildungen, Vektoren Mengen Darstellung von Mengen Mengenverknüpfungen Spezielle Mengen, Zahlbereiche Aufgaben 1.1 bis Relationen und Abbildungen Beispiele für Relationen Äquivalenzrelationen Abbildungen und einige Eigenschaften Bijektive Abbildungen Aufgaben 1.8 bis Vektoren im anschaulichen Raum Darstellung und charakteristische Rechenoperationen Punkte, Geraden und Ebenen in Vektordarstellung Berechnung von Abständen, Längen und Winkeln Volumina und senkrechte Vektoren Aufgaben 1.15 bis Körper Reelle Zahlen und Vektorräume Definition eines Körpers Algebraische Axiome der reellen Zahlen Einfache Folgerungen aus den Axiomen Verallgemeinerung: Axiome eines Körpers Aufgaben 2.1 bis Körper mit den Rechenoperationen der reellen Zahlen Untersuchung der bekannten Zahlbereiche N, Z, Q Körper zwischen Q und R Aufgaben 2.5 und Die komplexen Zahlen als Körpererweiterung von R Einige Bemerkungen zur Verwendung komplexer Zahlen Körpereigenschaften von C Algebraische Struktur der Einheitswurzeln Aufgaben 2.7 bis

3 Inhaltsverzeichnis Restklassen als Beispiele für endliche Körper Beispiele und Gegenbeispiele für Körpereigenschaften bei Restklassen Lösen von Gleichungen in Restklassenkörpern Beispiel eines endlichen Körpers, der nicht aus Restklassen besteht Aufgaben 2.12 bis Vektorräume Allgemeine Vektorräume Aufgaben 3.1 bis Der n-dimensionale Vektorraum R n Aufgaben 3.7 bis Lineare Unabhängigkeit Aufgaben 3.13 bis Der Austauschsatz von Steinitz Aufgabe Basis von Vektorräumen Aufgaben 3.22 bis Lösungsraum von linearen Gleichungssystemen Aufgaben 3.29 bis Lineare Abbildungen Einleitung Aufgaben 4.1 und Definition und Eigenschaften linearer Abbildungen Definition und einfache Schlußfolgerungen Der Vektorraum L(V,W) Aufgaben 4.3 bis Standardbeispiele linearer Abbildungen Veranschaulichungsmethode Streckungen S : V V Diagonalisierbare Abbildungen D : V V Scherungen T : V V Projektionen P : V V Orthogonale Projektionen, Spiegelungen und Drehungen Aufgaben 4.9 bis Der Homomorphiesatz und Folgerungen daraus Der Homomorphiesatz Folgerungen aus dem Homomorphiesatz Aufgaben 4.13 und Matrizen Die Matrix einer linearen Abbildung bezüglich zweier Basen Aufgaben 4.15 bis Der Isomorphismus L(V,W) K m n Verknüpfung linearer Abbildungen und Matrixmultiplikation Der spezielle Isomorphismus L(V,V) K m m Die Transformationsformel für Basiswechsel Aufgaben 4.19 bis

4 8 Inhaltsverzeichnis 4.7 Linearformen Der Dualraum eines Vektorraums Aufgaben 4.22 und Unitäre Räume Das Skalarprodukt Aufgaben 5.1 bis Die Schwarzsche Ungleichung Aufgaben 5.5 bis Winkel, Orthonormierung Aufgaben 5.8 bis Das Abstandsproblem Aufgaben 5.18 bis Semibilinearformen und adjungierte Abbildungen Aufgaben 5.22 bis Eigenwerte Vorbemerkung Zur Bedeutung der beiden Hauptresultate Aufgaben 6.1 bis Invariante Unterräume, Eigenwerte und Eigenvektoren Definition und Eigenschaften invarianter Unterräume Zerlegung in invariante Unterräume Eigenwerte und Eigenvektoren Aufgaben 6.9 bis Das charakteristische Polynom Vorbemerkung über Determinanten Eigenwerte und charakteristisches Polynom Aufgaben 6.18 bis Das erste Hauptresultat Formulierung von Hauptresultat Bemerkungen zu Hauptresultat Aufgaben 6.22 bis Eigenwerte normaler, hermitescher und unitärer Abbildungen Vorbemerkung Normale, hermitesche und unitäre Abbildungen Untersuchung normaler Abbildungen Φ L(V,V) und Hauptresultat Folgerungen für hermitesche und unitäre Abbildungen Aufgaben 6.25 bis Algebraische Strukturen Vorbemerkung zu algebraischen Strukturen Gruppen Gruppen und Körper Beispiele für Gruppen Isomorphe Gruppen Einfache Eigenschaften von Gruppen Untergruppen

5 Inhaltsverzeichnis Ordnung von Elementen und Untergruppen Aufgaben 7.1 bis Ringe Ringe Definition und Beispiele Polynomringe Invertierbare und nicht invertierbare Elemente Der Euklidische Algorithmus Einsetzungen in Polynome Aufgaben 7.11 bis Lineare Optimierung Lineare Programme Aufgaben 8.1 bis Der Simplexalgorithmus Aufgaben 8.6 bis Dualität Aufgaben 8.11 bis Graphentheorie Grundbegriffe ungerichteter Graphen, spezielle Graphen Aufgaben 9.1 bis Planare Graphen, chromatische Zahl Aufgaben 9.7 bis Kürzeste Wege Aufgaben 9.13 bis Steinerbäume, Minimalgerüste, Greedy-Algorithmus Aufgabe Paarungen in paaren Graphen, Ungarischer Algorithmus Aufgaben 9.18 bis Kryptologie Tauschchiffren Aufgaben 10.1 bis Lineare Schieberegister Aufgaben 10.7 bis Schwer interpretierbare Funktionen, RSA-Algorithmus Aufgaben bis Lösungen Literaturverzeichnis Sachwortverzeichnis