Übungen zur Diskreten Mathematik I Blatt 6

Transkript

1 1 Blatt 6 Aufgabe 19 Es sei M := {n N : n 2} und R := {(n, m) M M : n teilt m}. a) Zeigen Sie, dass R eine Ordnungsrelation auf M ist. b) Überprüfen Sie, ob R eine totale Ordnung auf M ist. c) Zeigen Sie, dass M unendlich viele minimale Elemente bezüglich R enthält. d) Zeigen Sie, dass M keine untere Schranke in M besitzt. Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis benutzen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Aufgabe 20 Überprüfen Sie, welche der folgenden Korrespondenzen Abbildungen sind: a) f 1 := {(x, y) R Q : x 2 = y}, b) f 2 := {(x, y) R R : x 2 = y 2 }, c) f 3 := {(x, y) R R : y + x 2 y = 1}, d) f 4 := {([a] 8, [a 2 ] 3 ) Z 8 Z 3 : a Z}, e) f 5 := {([a] 9, [a 2 ] 3 Z 9 Z 3 : a Z}. Aufgabe 21 Überprüfen Sie, ob folgende Abbildungen injektiv, bzw. surjektiv sind: a) f 1 : [a] 5 Z 5 [a 2 ] 5 Z 5, b) f 2 : [a] 5 Z 5 [a 3 ] 5 Z 5, c) f 3 : [a] 5 Z 5 [2a + 3] 5 Z 5, d) f 4 : [a] 5 Z 5 [5a + 3] 5 Z 5, e) f 5 : [a] 6 Z 6 [a 2 ] 6 Z 6, f) f 6 : [a] 6 Z 6 [a 3 ] 6 Z 6, g) f 7 : [a] 6 Z 6 [2a + 3] 6 Z 6, h) f 8 : [a] 6 Z 6 [5a + 3] 6 Z 6. Aufgabe 22 Es seien L, M, N Mengen und f : L M, g : M N Abbildungen. Zeigen

2 2 Sie: a) Ist g f surjektiv, dann ist g surjektiv, b) Ist g f injektiv, dann ist f injektiv, c) Ist g f surjektiv und g injektiv, dann ist f surjektiv, d) Ist g f injektiv und f surjektiv, dann ist g injektiv. Abgabe bis spätestens: Donnerstag, , vor der Vorlesung

3 3 Blatt 7 Aufgabe 23 a) Es seien f : [a] 5 Z 5 [3a + 1] 5 Z 5 ; g : [a] 5 Z 5 [2a + 3] 5 Z 5. Bestimmen Sie f g und g f. Überprüfen Sie, ob f bijektiv ist und bestimmen Sie gegebenenfalls f 1. b) Es sei h : [a] 5 Z 5 [4a + 3] 5 Z 5. Bestimmen Sie h h und überprüfen Sie, ob h bijektiv ist. Aufgabe 24 Zeigen Sie, dass die folgenden Abbildungen bijektiv sind und bestimmen Sie deren Umkehrabbildung: a) f 1 : n N b) f 2 : (x; y) R 2 (2x y, x + 2y) R 2, c) f 3 : x R \ {1} x 1 x R \ { 1}. Aufgabe 25 n 2 Z falls n gerade 1 n 2 Z falls n ungerade, Überprüfen Sie, ob die folgenden Verknüpfungen Gruppenstrukturen auf den jeweiligen Mengen definieren: a) (x, y) Z Z x y := x y Z, b) (x, y) Q Q x y := x + y + 4/7 Q, c) (x, y) R R x y := x R, d) ([x] 5, [y) 5 ) (Z 5 \ {0}) (Z 5 \ {0}) [x] 5 [y] 5 := [xy] 5 Z 5 \ {0}. Aufgabe 26 Es sei (G; ) eine Gruppe mit der Eigenschaft: g g = e für alle g G. Zeigen Sie, dass (G; ) abelsch ist, d.h es gilt g h = h g für alle g; h G.

4 4 Abgabe bis spätestens: Donnerstag, , vor der Vorlesung

5 5 Blatt 8 Aufgabe 27 Es sei G = {e, a, b} eine Gruppe mit drei Elementen (e sei das neutrale Element von G). Bestimmen Sie die Gruppentafel von G. Aufgabe 28 Weisen Sie nach, dass {σ 0, τ 1,2 } kein Normalteiler von S 3 ist (Bezeichnungen wie in Beispiel 2.1.2(iii)). Aufgabe 29 Es sei G eine Gruppe mit vier Elementen (e sei das neutrale Element von G). a) Zeigen Sie, dass es mindenstens ein g G \ {e} gibt, so dass gilt g g = e. b) Zeigen Sie, dass genau eine der beiden folgenden Aussagen zutrifft: (i) Es existiert genau ein g G \ {e}, so dass gilt g g = e. (ii) Für alle g G gilt g g = e. c) Bestimmen Sie die Gruppentafel von G für jeden der beiden Fälle (i) und (ii) aus Aufgabenteil b). Aufgabe 30 Welche der folgenden Abbildungen ϕ : G H sind Homomorphismen: (i) G = (Q \ {0}, ), H = (Q \ {0}, ), ϕ : a G 1 a H, (ii) G = (Q \ {0}, ), H = (Q; +), ϕ : a G 1 a H, (iii) G = (Z 15, +), H = (Z 6, +), ϕ : [a] 15 G [2a] 6 H, (iv) G = (S 3, ), H = (Z 3, +), ϕ : σ G [σ(3)] 3 H. Abgabe bis spätestens: Donnerstag, , vor der Vorlesung

6 6 Blatt 9 Aufgabe 31 Bestimmen Sie Kern und Bild der folgenden Gruppenhomomorphismen ϕ : G H und geben Sie an, ob ϕ injektiv, bzw. surjektiv ist: (i) G = (Z 12, +), H = (Z 4, +), ϕ : [a] 12 G [a] 4 H, (ii) G = (Z 12, +), H = (Z 3, +), ϕ : [a] 12 G [a] 3 H, (iii) G = (Z, +), H = (Z 15, +), ϕ : a G [4a] 15 H, (iv) G = (Z; +), H = (Z 15, +), ϕ : a G [3a] 15 H. Aufgabe 32 a) Zeigen Sie, dass für m, n N 0 die folgenden Aussagen äquivalent sind: (i) nz mz, (ii) n mz, (iii) m teilt n, d.h. es gibt eine ganze Zahl k Z mit n = m k. b) Es sei (U, +) eine Untergruppe von (Z, +). Zeigen Sie, dass es genau ein n N 0 gibt, so dass gilt U = nz. Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass im Fall U {0} (der Fall U = {0} ist trivial) gilt M := U N. Nutzen Sie die Tatsache aus, dass jede nichtleere Teilmenge M der natürlichen Zahlen ein minimales Element n M bezüglich der üblichen -Relation besitzt. Aufgabe 33 Beweisen Sie Lemma (iii),(iv) der Vorlesung. Abgabe bis spätestens: Donnerstag, , vor der Vorlesung

7 7 Blatt 10 Aufgabe 34 Gegeben seien die folgenden Polynome p; q K[T ] mit Koeffizienten im Körper K. a) p(t ) := 3T 6 + T 5 + 2T 3 + T + 4, q(t ) := 2T 2 + 1, K := Q; b) p(t ) := 3T 6 + T 5 + 2T 3 + T + 4;, q(t ) := 2T K := Z 5. Bestimmen Sie jeweils mittels Polynomdivision Polynome s, r K[T ], so dass gilt p(t ) = s(t ) q(t ) + r(t ) grad r < grad q. Aufgabe 35 Gegeben seien die folgenden Polynome p R[T ] mit Koeffzienten im Ring R: a) p(t ) := T 2 1, R := Z 8, b) p(t ) := T 4 T, R := F 4, c) p(t ) := T 3 2, R := Z 7, d) p(t ) := T 2 2, R := Q. Bestimmen Sie für jedes Polynom p den Grad des Polynoms und die Anzahl der Nullstellen von p im Ring R. Aufgabe 36 Zeigen Sie: Ist R ein kommutativer Ring, so ist R[T ] kein Körper. Abgabe bis spätestens: Donnerstag, , vor der Vorlesung

8 8 Blatt 11 Aufgabe 37 Gegeben seien die folgenden Polynome p, q Z 7 [T ]: p(t ) := 5T 5 + 5T 3 + 5T, q(t ) := 4T 3 + 6T + 6. a) Bestimmen Sie mittels Polynomdivision Polynome s, r Z 7 [T ], so dass gilt p(t ) = s(t ) q(t ) + r(t ) gradr < gradq. b) Bestimmen Sie alle Nullstellen von p in Z 7. Aufgabe 38 Es sei V ein Vektorraum über dem Körper K. Ferner seien U, W < V Untervektorräume von V, sowie E, E 1, E 2 V beliebige Teilmengen von V. a) Zeigen Sie, dass U + W := {u + w V : u U w W } ebenfalls ein Untervektorraum von V ist. b) Zeigen Sie, dass gilt span(e 1 E 2 ) = span(e 1 ) + span(e 2 ). c) Zeigen Sie, dass { n } W := a i v i V : n N 0 a 1,..., a n K v 1,..., v n E i=1 ein Untervektorraum von V ist. Aufgabe 39 Prüfen Sie, welche der folgenden Mengen U Untervektorräme der angegebenen Vektorräume V sind a) U := {(x; y; z) R 3 : x + 3y 4z = 0}, V := R 3,

9 9 b) U := {(x; y; z) R 3 : x + 3y 4z = 1}, V := R 3, c) U := {(x; y) R 2 : x y 4 = 0}, V := R 2, d) U := {(x; y) F 2 4 : x y4 = 0}, V := F 2 4. Aufgabe 40 Gegeben seien die Vektoren v 1 := (1, 8, 2, 2), v 2 := (0, 3, 1, 5), v 3 := (7, 1, 1, 1), v 4 := (9, 20, 4, 2) R 4. Zeigen Sie, dass gilt span{v 1, v 4, v 3 } = span{v 1, v 4, v 3, v 4 }. Abgabe bis spätestens: Donnerstag, , vor der Vorlesung

10 10 Blatt 12 Aufgabe 41 Die Vektoren v 1, v 2, v 3, v 4 R 4 seien gegeben durch v 1 := (0, 1, 1, 2), v 2 := (2, 0, 4, 1), v 3 := (1, 1, 3, 1), v 4 := (3, 3, 1, 0). a) Zeigen Sie, dass die Vektoren v 1, v 2, v 3, v 4 eine Basis von R 4 bilden. b) Zeigen Sie, dass die Vektoren w 1 := (2, 1, 5, 3), w 2 := (1, 1, 1, 0) R 4 linear unabhängig sind. c) Bestimmen Sie Indizes 1 i < j 4, so dass w 1, w 2, v i, v j ebenfalls eine Basis von R 4 ist. Aufgabe 42 a) Es sei K ein beliebiger Körper, n N 0 und V := {p K[T ] : grad p n}. Bestimmen Sie dim K V. b) Es sei K := Z 3, V := K 4 und v 1, v 2, v 3, v 4 V gegeben durch v 1 := (0, 1, 1, 1), v 2 := (1, 0, 1, 1), v 3 := (1, 1, 0, 1), v 4 := (1, 1, 1, 0). Bestimmen Sie für U := span{v 1, v 2, v 3, v 4 } die Dimension dim K U. Aufgabe 43 Es sei n N und u, v Z n 2 \ {0}. Zeigen Sie, dass u und v genau dann linear unabhängig sind, wenn gilt u v. Abgabe bis spätestens: Donnerstag, , vor der Vorlesung

11 11 Blatt 13 Aufgabe 44 Die Vektoren v 1, v 2, v 3, v 4 R 4 seien gegeben durch v 1 :=, v 1 2 :=, v 4 3 := , v 4 := Ferner seien w 1, w 2, w 3, w 4 R 3 gegeben durch 8 1 w 1 := 5, w 2 := 1, w 3 := , w 4 := a) Zeigen Sie, dass es genau eine lineare Abbildung ϕ : R 4 R 3 gibt mit ϕ(v i ) = w i, i = 1, 2, 3, 4. b) Berechnen Sie dim(kerϕ) und dim(imϕ) und geben Sie eine Basis von kerϕ und Imϕ an. c) Prüfen Sie, ob es einen Vektor v R 4 gibt, so dass gilt ϕ(v) = Aufgabe 45 Gegeben seien folgende Matrizen über dem Körper der reellen Zahlen A := 0 3, B := , C :=

12 12 Bilden Sie alle möglichen Matrixprodukte aus zwei der obigen Matrizen. Aufgabe 46 Gegeben sei der Vektor v 1 := R 3. a) Bestimmen Sie zwei weitere Vektoren v 2, v 3 R 3, so dass v 1, v 2, v 3 eine Basis von R 3 ist. b) Bestimmen Sie eine Matrix A Mat(2, 3, R), so dass gilt {x R 3 : A x = 0} = span{v 1 }. Abgabe bis spätestens: Donnerstag, , vor der Vorlesung