Lösung Arbeitsblatt Potenzen / Wurzeln / Logarithmen

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1 Fchhochschule Nordwestschweiz FHNW) Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Nturwissenschft Lösung Arbeitsbltt Potenzen / Wurzeln / Logrithmen Dozent: - Klsse: Brückenkurs 0 Büro: - Semester: - Modul: Mthemtik Dtum: 0. Aufgbe Vereinfchen Sie und stellen Sie ds Ergebnis mit positivem Exponenten dr: ) b) c) x y ) x y ) x y ) x y ) x y 6 x y 6 x 8 y y x 8 ) b) ) b) c ) ) b ) c ) c ) ) b ) c ) b c 6 b c 6 0 p q ) p q b ) ) + b) b) p + q) : + b) p q ) p q b ) ) + b) b) p + q) : + b) d) p q) + b) b) p + q) + b) p q) p + q) b) + b) b) + b) b) + b) ) ) ) )

2 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Potenzen / Wurzeln / Logrithmen 0 ) ) ) ) ) ) ) ) 6)) ) 6) ) ) 0 e) x ) xy ) xy ) x ) xy ) xy ) x x y 0 x y 8 x + y 0+8 x y f) ) ) b x y x y) : x y b 7 b ) b x y ) : x y b ) x y) 7 b ) b x y x y x 6 y b b b b x 6 x y y b x y b + x 6+ y + 0 b 0 x 0 y y Seite / 8

3 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Potenzen / Wurzeln / Logrithmen 0 g) h) i) s t ) st) s t ) st) t ) ) s t s 6 s 6 t s t s t s t ) ) 6 ) s t ) ) x ) x ) st) x ) x ) ) x ) x ) 8x 6 x j) b ) b ) Seite / 8

4 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Potenzen / Wurzeln / Logrithmen 0 b ) b ) ) ) ) b) 6 b k) p q p q ) p + q p q ) ) q p) p q p + q))... p q) p + q) p q) p + q) p q) p + q) ) 6 p q) 6 p q) 6 p + q) p q) p + q) + p q) p + q) 6+ 6 p q) 6 p + q) 6 p q) p + q) ) p q p + q l) 6 ) ) Seite / 8

5 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Potenzen / Wurzeln / Logrithmen ) ) 6 ) ) ) ) 6 ) ) 6 6 ) ) ). Aufgbe Vereinfchen Sie und schreiben Sie ds Ergebnis mit einer Wurzel: ) 7 x x 7 b) 7 x x 7 x 7 x 7 x x + x 8 x x x x x x x x x x x x x x x xx x x + + x x 7 60 x 0 0 x c) ) + + ) Seite / 8

6 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Potenzen / Wurzeln / Logrithmen 0 ) + + ) ) ) + ) + ) ) + ) ) 6 + ) ) + ) ) + ) d) b c b : bc b c b : ) b c bc ) bc b ) b c ) bc b bc b ) b c ) + b + c + b c b c b c 6 e) x x + x x ) x x x + x x ) x ) x ) x f) x x + x x ) Seite 6 / 8

7 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Potenzen / Wurzeln / Logrithmen 0 x x + x x ) x ) x + x x ) x ) x ) x ) x ) x ) + x x ) x ) x + x ) x ). Aufgbe Ordnen Sie die folgenden Terme nch ufsteigender Grösse ohne Tschenrechner und mit Begründung!): ), 7 7, 8, 0,, ) Um die Terme Vergleichen zu können, schreiben wir lle Werte mit der gleichen Bsis b ): ) 7 7 ) 7 8 ) ) ) 7 Gesuchte Reihenfolge ufsteigend): 8 8 < 0 < < 7 7 < < ) 7 b) , , , , , 8 8) Seite 7 / 8

8 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Potenzen / Wurzeln / Logrithmen 0 Mn berechnet von llen Werten den Logrithmus zur Bsis : Mn findet: ) 8 w lb lb 88) 66 < w < 77 ) 8 w lb lb 88) < w < 0 88 w lb ) lb 88) 6 < w < 7 ) 8 8 w lb lb 88) 6 8 < w < 7 8 ) 8 w lb lb 8) w 8 w 6 lb ) ) lb 8) w w < w < w < w < w 6 < w D der Logrithmus zur Bsis streng monoton steigt, gilt: < < < < 8 8) 8 < c),,, Drstellung ls Potenzen zur Bsis : : : log log < < log log : : 7 < < 8 log log 77 < < 88 log 0 log Seite 8 / 8

9 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Potenzen / Wurzeln / Logrithmen 0 Somit findet mn: 7 < < 8 <. Aufgbe Bestimmen Sie die folgenden Logrithmen von Hnd: 0 < 77 < < 88 < < < ) b) c) d) e) log 8 log log log log log log 0 00 log 0 00 log 0 0 log 0 0 log 6 log 6 log 6 log6 6 6 log log 8 log log log 7 ) log 7 log 7 log log log f) log 8 log log 6 ))) log 8 log log 6 ))) log 8 log 6)) log 8 log )) log 8 ) log 8 8 ) Seite / 8

10 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Potenzen / Wurzeln / Logrithmen 0 g) h) log ) log ) log ) log 7 log 7 log log log log log i) log log log log log j) log 6 6 log 6 6 log 6 6 log 6 6 log 6 6 k) log log log ) log ) Seite 0 / 8

11 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Potenzen / Wurzeln / Logrithmen 0 l) log log log log log ) m) n) o) log 7 log log 7 ) log log log log log log log ) 0 0 log log log log p) log log log log log q) log 8 log 8 log log ) log 6 6 Seite / 8

12 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Potenzen / Wurzeln / Logrithmen 0 r) log 8 log 8 log 8 log 8 log8 6 log 8 6 log8 8 ) log 8 8 s) log log log log log log ) ) log t) log 8 log 8 log 8 log 6 log ) log. Aufgbe Füllen Sie untenstehendes Wbenmuster us und geben Sie den Wert für p n: x 8 x x p x Nch Oben: 8 Nch Unten: 8 ) 6 Seite / 8

13 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Potenzen / Wurzeln / Logrithmen 0 Nch Rechts-Unten: 8 ) Nch Rechts-Oben: 6 Prmeter nch Rechts-Oben): ) 6 p 8 6p 8 p 6. Aufgbe ) Fssen Sie zu einem Logrithmus zusmmen: [ ln + b) + ln b) + ln + b ) + ln + b )]... [ ln + b) b) + b ) + b ))] [ ln b ) + b ) + b ))] [ ln b ) + b ))] [ ln 8 b 8)] ln 8 b 8 lg x y) ) lg x y ) + lg x + y) Seite / 8

14 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Potenzen / Wurzeln / Logrithmen 0 lg )... lg x y) lg x y ) + lg x + y) lg x y) x + y) x y ) x y) x + y) lg x y ) lg ) 0 ) lg ) lg b) + lg b) lg ) ) ) lg b) + lg b) lg lg b + lg b ) lg b b ) lg 7 7 b ) lg ) lg b c) lg b + c) ) lg b c) lg b + c) lg ) lg b c) + lg b + c) lg ) lg b c) + lg b + c) ) b + c) lg ) b c lg x) lg x ) + lg x ) lg x ) lg x) lg x ) + lg x ) lg x ) lg x x x x b) Schreiben Sie den Term ls Summe/Differenz von Logrithmen: 6 log b ) ) lg x + lg x 60 ) Seite / 8

15 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Potenzen / Wurzeln / Logrithmen 0 6 log b log 6 b ) log 6 log b log 6 + log log b )) + log log + b ) b) + b) ) + log log + b ) log b) log + b) lg b ) ) lg b lg ) + lg ) ) lg ) lg lg ) lg ) ) b ) b lg b ) + lg ) )) lg lg b) + lg ) ) lg ) ) lg ) + 6 lg b) lg ) lg ) lg ) + 6 lg b) ) x lg y b ) x lg y b lg x ) lg ) y ) + lg b lg x) lg y) + ) lg lg x) lg y) + b ) lg lg ) lg b) ) lg x) lg y) + lg ) lg ) lg b) x lg 8 y + z) y 7 y 7 y + z) x Seite / 8

16 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Potenzen / Wurzeln / Logrithmen 0 ) ) )... lg x 8 y + z) y lg y 7 y + z) 7 + lg lg x 8 y + z ) ) lg y 7 y + z ) ) + ) y 7 lg 8 lg x) + lg y + z )) 7 lg y) + lg y + z )) + 7 lg y) lg x)) 8 lg x) + lg y + z ) 7 lg y) lg y + z ) + 7 lg y) lg x) 8 ) 7 lg x) + 7 ) lg y) + ) lg y + z ) 6 lg x) + 7 lg y) + 7 lg y + z ) ) x x + y lg x y x ) x x + y lg x y x lg x) lg x y) + lg x + y) lg x) x x lg x + y) lg x y) lg x) lg y b x ) y lg y b x ) y lg ) + lg y ) + lg ) b + lg x ) lg ) + lg y) + lg b) 6 lg x) + lg ) lg y) lg ) + lg b) 6 lg x) + lg y) 7. Aufgbe Schreiben Sie die folgenden Grössen in SI-Einheiten und wissenschftlicher Schreibweise: y ).86Lichtjhre [m].86lichtjhre m m Seite 6 / 8

17 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Potenzen / Wurzeln / Logrithmen 0 kg m b) ev ) s [ ] kg m eV 8. Aufgbe kg m eV s kg m s ) Ein Kpitl ht sich in 0 Jhren verdoppelt. Zu welchem Zinsstz wurde ds Kpitl ngelegt? Es gilt: K 0 K 0 + p ) 0 00 Nch p uflösen: K 0 + p K p 00 0 p 00 ) p 7. 8 b) Nch welcher Zeit ht sich ein zu % ngelegtes Kpitl verdreifcht? Es gilt: K n K ) n Nch n uflösen: ) 0 K n K 0.0) n lg ) n lg.0) n lg ) lg.0) n 7.7 c) Welches Anfngskpitl wurde zu % ngelegt, wenn nch fünf Jhren ds Kpitl 0000 Frnken beträgt? Es gilt: K K 0.0) Nch K 0 uflösen: K ) s Seite 7 / 8

18 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Potenzen / Wurzeln / Logrithmen 0. Aufgbe Angenommen, die Weltbevölkerung vermehrt sich nch der Formel B t) B 0 e λt 60 gb es c. Mrd. Menschen, c.,6 Mrd.) ) Bestimmen Sie die Konstnte λ setzen Sie für 60 den Strtzeitpunkt, lso t0 und wählen Sie für die Zeiteinheit Jhre B ) entspricht dnn der Bevölkerung im Jhre ))! B 0 B 0) 0 B B ) e λ λ ln ) b) Wieviel Prozent beträgt ds jährliche Wchstum der Weltbevölkerung Setze die Wchstumsformel mit der Zinseszinsformel gleich)? Umwndlung in Zinseszinsformel: B t) B 0 e λt B 0 + p 00 e λt e λ) t + p e λ + p p 00 e λ ) 00 e ).8% c) Wnn wird die Erde Mrd. Einwohner hben, wenn die Bevölkerung im selben Tempo weiter wächst? B t) 0 0 e t ) 0 ln ln e t) t t Somit duert es c. 0Jhre b 60) und etw im Jhre 00 wird die Bevölkerung uf Millirden ngestiegen sein! ) t ) t Seite 8 / 8

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