x + y + z = 6, x = 0, z = 0, x + 2y = 4, indem Sie das Volumen als Dreifachintegral schreiben.

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1 Übungen (Aufg. u. Lösungen) zur Ingenieur-Mathematik II SS 8 Blatt Aufgabe 47: Berechnen Sie das Volumen des von den folgenden Flächen begrenzten Körpers x + y + z 6, x, z, x + y 4, indem Sie das Volumen als Dreifachintegral schreiben. Lösung: Bei den drei Flächen handelt es sich um folgende Ebenen: x + y + z 6 ist eine Ebene, die durch die Punkte (6,, ) T, (, 6, ) T (,, 6) T aufgespannt wird. und z ist die x,y-ebene. x ist die y,z-ebene. x + y 4 ist eine zur x,y-ebene senkrechte Ebene, die durch die Punkte (,, ) T und (4,, ) T läuft. Skizze anfertigen! Wir betrachten die Projektion des Körpers in die x,y-ebene. Der Körper wird bezüglich der z-achse von zwei Flächen begrenzt: Der x, y-ebene und der Ebene x + y + z 6. Wenn wir zuerst über z integrieren ergeben sich daher folgende Grenzen für z. z 6 x y. Bezüglich der x-achse wird der Körper von drei Ebenen begrenzt und bezüglich der y-achse von zwei Ebenen. Daher ist es einfacher als nächstes über y zu integrieren. Die begrenzenden Flächen sind die Ebenen x + y + z 6 und x + y 4, wobei die zweite Ebene die untere Grenze festlegt. x + y 4 y x... untere Grenze x + y + z 6 y 6 x z x y 6 x, da maximales y bei z Nun fehlen noch die Grenzen für x. Die untere Grenze für x ist die y,z-ebene und die obere Grenze ist der Schnittpunkt der Ebenen x + y + z 6, x + y 4 und z. x 8 Nun können wir das Volumen des Körpers berechnen. V ol 3 (K) x x 6 x 6 x y 1 dy dx 6 x y dy dx x

2 8 8 ] 6 x [6y xy y x 8 x + x 8 dx [8x x + x Aufgabe 48: Berechnen Sie das Volumen des Volltorus, der durch Rotation der Kreisscheibe ] 8 dx dx K { (x, y, z) R 3 y, (x b) + z a } mit < a < b um die z-achse entsteht. Lösung: Die Kreisscheibe liegt in der x,z-ebene, hat den Mittelpunkt (b,, ) T und den Radius a. Der Volltorus ergibt sich durch Rotation dieser Kreisscheibe um die z- Achse. Bildlich gesprochen sieht der Körper aus wie ein Fahrradschlauch, da < a < b gilt. Wir benötigen die Formel zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers, der um die z-achse rotiert: z 1 V ol(rot) π f(z) z Dabei ist f(z) der Radius der Kreisscheibe, die durch die Rotation um die z-achse entsteht. Das Volumen des Fahrradschlauches ergibt sich aus der Differenz des Rotationskörpers, der von dem nach außen gerichteten Teil des Schlauchs begrenzt wird und des Rotationskörpers, der von dem nach innen gerichteten Teil des Schlauchs begrenzt wird. Aus der Beziehung (x b) + z a erhalten wir die Radien. Sie lauten f(z) b a z... innen f(z) b + a z... außen Da der Mittelpunkt der rotierenden Kreisscheibe in der x,y-ebene liegt und die rotierende Kreischeibe den Radius a besitzt, gilt z a. Das Volumen des Volltorus ist folglich: V ol(v olltorus) π π a a (b + a z ) π a (b a z ) (b + a z ) (b a z )

3 a π 4b a z An dieser Stelle führen wir eine Koordinatentransformation (Substitution!) durch: z z(t) a sin t, a cos t dt, z a π t π Damit vereinfacht sich das Intergral wie folgt: a V ol(v olltorus) π 4b a z π π 4ab cos t a a sin t dt π π π 4a b cos t dt π π π 4a b(cos(t) + 1 ) dt π [ 1 4πa b sin(t) + t [ π ] 4πa b π a b. Dabei haben wir folgendes verwendet: 1.) Transformationsregel für mehrfache Integrale (Skript MII (Helfrich), Kap. 9, Satz 1; siehe auch aktuelles Skript!) bzw. die Substitutionsregel der eindimensionalen Integralrechnung. f(y)dy f(g(x)) det Dg(x) dx..) Die Formel V U cos (t) cos (t) + 1, die sich aus dem Additionstheorem der Cosinus-Funktion cos (t) cos (t) sin (t) cos (t) (1 cos (t)) cos (t) 1 und der bekannten Formel cos (t) + sin (t) 1 ergibt. ] π π

4 Aufgabe 49: Berechnen Sie das Volumen K dx der Menge K {(x 1, x, x 3, x 4 ) x 1 + x + x 3 + x 4 1} im R 4. Lösung: Bei dem Körper x 1+x +x 3+x 4 1 handelt es sich um eine vierdimensionale Kugel mit dem Radius eins. Daher ist V 1 dx K 1 dx 1 dx dx 3 dx 4 x 1 +x +x 3 +x 4 1 das vierdimensionale Volumen der Kugel. Es gilt V V ol 4 (4D Kugel) 1 1 V ol 3 (3D Kugel mit Radius 1 r ) dr π 1 r 3 dr. Hier führen wir die folgende Substitution durch: 1 Daraus folgt für das Integral V 4 3 π r cos t, dr sin t dt; 1 r 1 π t. π 4 3 π sin 4 t dt 1 cos t 3 sin t dt π 4 3 π π [ 1 8 cos (4t) 1 cos (t) + 3 ] 8 dt 4 3 π [ 1 3 sin (4t) 1 4 sin (t) t ] π 4 3 π 3π 8 π.

5 Dabei haben wir zur Vereinfachung von sin 4 t die Formel sin 4 t 1 (cos (4t) 4 cos (t) + 3) 8 benutzt. Diese Formel erhält man wie folgt: i) Das Additionstheorem der Cosinus-Funktion liefert: cos (t) cos t sin t cos t 1 cos t 1 (1 + cos (t)). Anwenden dieser Formel mit t an Stelle von t liefert ii) Nun gilt: cos (t) 1 (1 + cos (4t)). sin t 1 cos t cos (t) 1 (1 cos (t)) sin 4 t 1 4 (1 cos (t) + cos (t)) 1 4 (1 cos (t) cos (4t)) 1 (cos (4t) 4 cos (t) + 3). 8 Aufgabe 5: Bestimmen Sie die mittlere Dichte ρ mittel eines Kreiskegels mit Radius r > und Höhe h > unter der Annahme, daß für die Dichte ρ(x) a + b d(x) gilt, wobei d(x) > den Abstand des Punktes x zur Drehachse bezeichnet. Die mittlere Dichte ρ mittel ist dabei definiert als die Gesamtmasse des Körpers geteilt durch das Gesamtvolumen des Körpers: ρ mittel M gesamt V ol gesamt. Lösung: Es ist wegen der Symmetrie des Kegels sinnvoll Kugelkoordinaten zu verwenden. x r sin ϑ cos ϕ y r sin ϑ sin ϕ, det Dg(x) r sin ϑ. z r cos ϑ Die Grenzen lauten dann z h, ϕ π und r R R h z, wobei R der Radius des Kegels in der Höhe z und h die Höhe des Kegels ist. Zur Verdeutlichung der Situation fertige man eine Skizze an! Die Masse des Kegels berechnen wir mit Hilfe von Zylinderkoordinaten M gesamt ρ(x) dx (a + bd(x)) dx K K (a + bd(r, ϕ, z) r dr dϕ. K

6 Dabei ist rho(r, ϕ, z) die Massendichte des Kegels. In unserem Fall hängt sie nur von r, dem Abstand zur Drehachse ab. Es gilt ρ(r, ϕ, z) a + br. Wenn wir in der Formel für die Masse in µ(r, ϕ, z) die Werte a 1 und b setzen, erhalten wir das Volumen des Kegels. Wir berechnen also die Masse und können daraus leicht das Volumen ableiten. M gesamt h π R R h z (ar + br ) dr dϕ h π πr πr a (R R h z) + b 3 (R R h z)3 dϕ h h [ a (1 z h ) + br 3 (1 z ] h )3 [ a (1 z h + z h ) + br 3 (1 3 z ] h + 3 z h z3 h ) 3 πr [ a (h h + h 3 ) + br 3 (h 3 h + h 1 4 h) ] Daraus folgt πahr 3 + πbhr3. 6 V ol gesamt (K) πh 3 R. Die mittlere Dichte beträgt also ρ mittel M gesamt πahr + πbhr 3 V ol gesamt 6 a + br a + b R. 3 πhr