Abiturprüfung Mathematik 2012 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1

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1 Abiurprüfung Mahemaik 0 (Baden-Würemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe. (8 Punke) Die Abbildung zeig das Schaubild einer Funkion h mi der Definiionsmenge [-7 ; 4]. Die Funkion H is eine Sammfunkion von h. Begründen Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind. () H ha zwei Wendesellen () h (0,5) is größer als h (3,5) (3) Die Weremenge von h enhäl nur Zahlen, die größer als -3 sind. (4) Das Schaubild von h is überall rechsgekrümm. Gegeben is die Funkion s mi π s(x) = x + + sin x 4 ; x Das Schaubild von s is C... (6 Punke) Zeichnen Sie C für 3 x 7. Unersuchen Sie, welche Were die Seigung von C annehmen kann... ( Punke) Weisen Sie nach, dass die Gerade g mi der Gleichung y = 0,5x das Schaubild C an den Sellen x = und x = 6 berühr und dass C nie unerhalb von g verläuf. C und g begrenzen für x 6 eine Fläche, die von der Parallelen zu g durch den Punk R(0/) in zwei Teilflächen zerleg wird. Berechnen Sie den Inhal der größeren Teilfläche...3 (6 Punke) Berechnen Sie die Koordinaen der Wendepunke von C. Begründen Sie, dass alle Wendepunke auf einer Geraden liegen. Zulez akualisier:

2 .3 Für jedes a und a > 0 is die Funkion f a gegeben durch x x f (x) = ae e ; x Das Schaubild von f a heiß K a. a.3. (4 Punke) Die Tangene und die Normale von K im Punk S(0/) und die x-achse begrenzen ein Dreieck. Berechnen Sie die Länge der Hypoenuse dieses Dreiecks..3. (4 Punke) Berechnen Sie die Koordinaen der Achsenschnipunke von K a. Für welche Were von a lieg der Schnipunk mi der x-achse rechs von der y-achse?.3.3 (5 Punke) Die Abbildung zeig das Schaubild einer Sammfunkion F a von f a. Besimmen Sie den Wer von a sowie den Funkionserm dieser Sammfunkion. Zulez akualisier:

3 Abiurprüfung Mahemaik 0 (Baden-Würemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe. Für * is die Funkion f gegeben durch Das Schaubild der Funkion f heiß K. x ( ) f (x) = e x ; x.. (7 Punke) Zeichnen Sie die Schaubilder K und K in ein gemeinsames Koordinaensysem ein. Geben Sie die Gleichungen der Asympoen von K und K an und zeichnen Sie die Asympoen in das Koordinaensysem ein... (5 Punke) Das Schaubild K und die.winkelhalbierende schließen mi der y-achse und der Geraden mi der Gleichung x = a für a < 0 eine Fläche ein. Besimmen Sie den Inhal dieser Fläche in Abhängigkei von a. Gegen welchen Wer sreb dieser Flächeninhal für a?..3 (7 Punke) Unersuchen Sie K auf Hoch- und Tiefpunke. Besimmen Sie alle Were von, für die die Gerade mi der Gleichung y = - Tangene an K is...4 (6 Punke) P(/0), 3 Q(u / f (u)) und R(u/0) sind für u 4 < die Eckpunke eines Dreiecks. Berechnen Sie den Wer von u, für den der Flächeninhal des Dreiecks maximal is. 3 Zulez akualisier:

4 . Die folgende Abbildung zeig das Schaubild der Funkion g. Das Schaubild einer Sammfunkion G von g is.. (3 Punke) Geben Sie alle Sellen an, an denen denen G C G. C G einen Hochpunk ha, und alle Sellen, an C einen Tiefpunk ha. Begründen Sie Ihre Angaben... (8 Punke) Begründen Sie für jede der folgenden Aussagen, ob sie wahr oder falsch is. () g () > 0 () Im Inervall [- ; 4,5] gib es drei Sellen, an denen das Schaubild C G die Seigung 4 ha. (3) Das Schaubild von g is monoon fallend für 0 x (4) 4 g(x)dx <.3 π Gegeben is die Funkion h mi h(x) = cos x ; x.3. (4 Punke) Beschreiben Sie, wie das Schaubild von h aus dem Schaubild mi der Gleichung y = sin(x) hervorgeh..3. (5 Punke) Es gib Ursprungsgeraden, die das Schaubild von h berühren. Besimmen Sie für eine dieser Geraden den Berührpunk und die Gleichung. 4 Zulez akualisier:

5 Abiurprüfung Mahemaik 0 (Baden-Würemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Lösung Aufgabe. () Die Sammfunkion H ha genau dann eine Wendeselle, wenn die Ableiungsfunkion h eine Exremselle besiz. Da h zwei Exremsellen bei x = 0 und x = 3 besiz, besiz H zwei Wendesellen. Die Aussage is wahr. () h (0,5) is negaiv, da das Schaubild von h an der Selle x = 0,5 rechsgekrümm is. h (3,5) is posiiv, da das Schaubild von h an der Selle x = 3,5 linksgekrümm is. Dami gil h (3,5) > h (0,5). Die Aussage is falsch. (3) Die Weremenge von h sellen die möglichen Seigungen der Tangenen dar, die man an das Schaubild von h anlegen kann. Für x < 0 und für x > 3 sind die Tangenenseigungen posiiv. Im Bereich 0 < x < 3 sind die Tangenenseigungen negaiv. Die kleinse Seigung befinde sich am Wendepunk von h. Die zugehörige Tangene is gesrichel eingezeichne. 6 Die Seigung dieser Tangene beräg ungefähr m = =. 3 Folglich sind alle Seigungen größer als -3. Die Aussage is wahr. (4) Ungefähr bei x = besiz das Schaubild von h einen Wendepunk mi einer Tangene, die eine minimale Seigung besiz. Somi besiz das Schaubild von h an der Selle x = einen Tiefpunk. Ein Schaubild mi einem Tiefpunk is an dieser Selle linksgekrümm. Die Aussage is falsch... Um zu ermieln, welche Seigungen das Schaubild C annehmen kann, muss der Werebereich der Ableiungsfunkion s (x) besimm werden. Dies kann mi dem GTR erfolgen: 5 Zulez akualisier:

6 Der größe Wer von s (x) beräg,0708. Der kleinse Wer von s (x) beräg -,0708. Die Seigung von C kann Were annehmen im Inervall [-,0708 ;,0708] Zeichnung von C:.. Die Gerade g(x) = 0,5x berühr das Schaubild von s(x), wenn folgende beiden Bedingungen erfüll sind: s(x) = g(x) und s (x) = g (x). π π Es gil g (x) = 0,5 und s (x) = + cos x 4 4 Nachweis der Berührung bei x = -: π g( ) = 0,5 ( ) = s( ) = + + sin = also g( ) = s( ) g ( ) = 0,5 und also g ( ) = s ( ) π π s ( ) = + cos = 0,5 4 Dami is die Berührung an der Selle x = - nachgewiesen. Nachweis der Berührung bei x = 6: 3π g(6) = 0,5 (6) = s(6) = sin = also g(6) = s(6) 6 Zulez akualisier:

7 π 3π g (6) = 0,5 und s (6) = + cos = 0,5 4 also g (6) = s (6) Dami is die Berührung an der Selle x = 6 nachgewiesen. Nachweis, dass das Schaubild C oberhalb von g verläuf: Hierzu muss gezeig werden, dass die Ungleichung s(x) g(x) für alle x-were erfüll is. π Zu zeigen is: x + + sin( x) x x 4 π π sin( x) sin( x) und dies is für alle x-were wahr. 4 4 Dami is gezeig, dass die Ungleichung für alle x-were erfüll is und das Schaubild C oberhalb von g verläuf. Flächenberechnung: Die komplee Fläche zwischen dem Schaubild C und der Gerade g beräg: 6 A = (s(x) g(x))dx = 6 Flächeneinheien (GTR) Die Gerade h besiz die Gleichung h(x) = 0,5x + (gleiche Seigung wie g(x) und y-achsenabschni b = ) Berechnung der Schnisellen von s(x) und h(x): π s(x) = h(x) x + + sin x = 0,5x + 4 Mi dem GTR ergib sich als Schnisellen x = 0 und x = 4. 4 Berechnung der Fläche A : A = (s(x) h(x))dx = 5,093 Flächeneinheien Daraus folg für die gesuche größere Teilfläche: A = A A = 6 5,093 = 0,907 Flächeneinheien 0 7 Zulez akualisier:

8 ..3 Berechnung der Wendepunke von C: Nowendige und hinreichende Bedingung: s (x) = 0 und s (x) 0 GTR: Die Exremsellen der Ableiungsfunkion sellen die Wendesellen von s(x) dar. Die Exremsellen liegen bei x = 0 bzw. x = 4 bzw. x = 8, Allgemein: x = 4 k mi k π Es gil: s(4k) = 4k + + sin 4k = k + 4 (die Sinusfunkion nimm den Wer 0 an für alle ganzzahligen Were von k) Das Schaubild C besiz somi unendlich viele Wendepunke mi den Koordinaen W (4k / k + ) k Zur Begründung, dass die Wendepunke alle auf einer Geraden liegen, wird die Orskurve der Wendepunke berechne: x = 4k () und y = k + () Aus () k = x eingesez in (): 4 y = x + y = 0,5x + 4 Da die Orskurve der Wendepunke eine Gerade is, liegen alle Wendepunke auf einer Geraden..3. Es gil x x f (x) e e = und = x x f (x) 4e e Die allgemeine Tangenengleichung laue y = f (u) (x u) + f(u) Im Punk S(0/) also an der Selle u = 0 laue die Tangenengleichung y = f (0) (x 0) + f (0) 0 0 Es gil f (0) = und f (0) = 4e e = 3 y = 3 (x 0) + y = 3x + Tangenengleichung in S(0/) 8 Zulez akualisier:

9 Die allgemeine Normalengleichung laue y = (x u) + f(u) f (u) Im Punk S(0/) also an der Selle u = 0 laue die Normalengleichung y = (x 0) + f (0) f (0) 0 0 Es gil f (0) = und f (0) = 4e e = 3 y = (x 0) + y = x + Normalengleichung in S(0/) 3 3 Die Tangene und die Normale bilden mi der x-achse ein rechwinkliges Dreieck. Schnipunk der Tangene mi der x-achse: 3x + = 0 x = 3 Schnipunk der Normale mi der x-achse: x + = 0 x = Die Hypoenuse des Dreiecks besiz die Länge 3 + = Längeneinheien Schnipunk mi der y-achse: Schnipunk mi der x-achse: f a (x) f a(0) a e e a = = und dami S y(0 / a ) x x = ( ) e ae = 0 x Mi dem Saz vom Nullproduk folg ae = 0 x = ln a und dami N(ln / 0) a Der Schnipunk N lieg rechs von der y-achse, wenn ln > 0 is. a Der Wer des Logarihmus is posiiv, wenn > is, also für 0 a a < <. 9 Zulez akualisier:

10 .3.3 x x Die allgemeine Sammfunkion laue F a(x) = a e e + C. Da in der allgemeinen Sammfunkion nun zwei Parameer a und C enhalen sind, müssen zwei Bedingungen aus dem abgebildeen Schaubild abgelesen werden..bedingung: Die waagreche Asympoe laue y =,5 für x Für x sreb F a(x) C, also is C =,5 Das abgebildee Schaubild enhäl außerdem den Punk R(0/). x x F a(0) = a +,5 = a = also laue die Sammfunkion F (x) = e e +,5 0 Zulez akualisier:

11 Abiurprüfung Mahemaik 0 (Baden-Würemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Lösung Aufgabe.. Zeichnung der Schaubilder für = - und = : Asymooe von K : x+ x+ f (x) = (e x) = e + x Für x sreb Asymooe von K : x f (x) = e x Für x sreb x+ e 0, also laue die schiefe Asympoe y = x x e 0, also laue die schiefe Asympoe y = x.. Die.Winkelhalbierende ha die Gleichung y = x (gesrichele Gerade). Zulez akualisier:

12 Berechnung der gesuchen Fläche: x x x a a a a a A(a) = (f (x) ( x))dx = (e x + x)dx = e dx = e = e e Für a sreb a e 0 und daher A(a) e..3 Berechnung der Ableiungsfunkionen: x f (x) = e x ( ) ( x ) f (x) = e und f (x) = e x Nowendige und hinreichende Bedingung für Exrempunke: f (x) = 0 und f (x) 0 x ( ) f (x) = 0 e = 0 = = 0 f () e = = = x e x ln() x f () = = Außerdem gil ( ) Für > 0 exisier ein Tiefpunk Für < 0 exisier ein Hochpunk T( / ) H( / ) Die Gerade y = - is waagrech. Wenn diese Gerade eine Tangene sein soll, muss der Berührpunk ein Exrempunk sein. Daraus folg, dass der y-wer des Exrempunkes - sein muss. = = 0,..4 ± + 48 ± 7 = = also = 4 oder = -3. Skizze des Dreiecks mi dem Schaubild für = 3: Zulez akualisier:

13 Die Fläche des Dreiecks laue A = PR QR Es is PR = u (Differenz der beiden x-were) und QR = 0 f 3(u) = f 3(u) (Differenz der beiden y-were) Dami gil A(u) = (u ) ( f 3(u)) Gesuch is nun das globale Maximum von A(u) im Inervall < u 4 Nowendige und hinreichende Bedingung für einen Hochpunk: A (u) = 0 und A (u) < 0 GTR: Das Schaubild von A(u) besiz einen Hochpunk bei u = 3,54 mi A(3,54) = 6,95. Für die Randwere gil: A() = 0 und A(4) = 5,77. Dami nimm die Fläche für u = 3,54 ein globales Maximum an und der maximale Flächeninhal beräg 6,95 Flächeneinheien... Die Sammfunkion G besiz dor einen Hochpunk, an der die Ableiungsfunkion g eine Nullselle mi einem Vorzeichenwechsel von + nach - besiz. Dies is bei x = 3 der Fall. Die Sammfunkion G besiz dor einen Tiefpunk, an der die Ableiungsfunkion g eine Nullselle mi einem Vorzeichenwechsel von nach + besiz. Dies is bei x = 4 der Fall. Anmerkung: An der Selle x = lieg eine Nullselle ohne Vorzeichenwechsel vor. Das heiß, dass bei G dor ein Saelpunk vorlieg (also kein Exrempunk).. () An der Selle x = is das Schaubild von g rechsgekrümm, also is g () < 0. Die Aussage is falsch. () Die Seigung an der Sammfunkion G wird berechne über G (x) = g(x). Dami die Seigung 4 is, muss g(x) = 4 gelen. Der Wer 4 wird von g(x) allerdings nur an zwei Sellen angenommen (ungefähr bei x = -0,3 und bei x = 4,5. Die Aussage is falsch. (3) Wenn g (x) monoon fallend is, muss g (x) 0 sein. Dies bedeue wiederum, dass das Schaubild im Bereich 0 x rechsgekrümm sein muss, was jedoch nich so is. Die Aussage is falsch. 3 Zulez akualisier:

14 (4) Die Flächenzahl zwischen dem Schaubild von g und der x-achse im Bereich x = bis x = 3 wird posiiv beim Inegral erfass. Die Fläche zwischen x = 3 und x = 4 wird negaiv beim Inegral erfass, da diese sich unerhalb der x-achse befinde. Da die beiden Flächen ungefähr gleich groß sind, ergib sich als Inegralwer näherungsweise Null auf alle Fälle jedoch ein Wer kleiner als. Die Aussage is wahr..3. Die einzelnen Schrie, wie die Funkionen auseinander hervorgehen, sehen wie folg aus: π π y = sin(x) y = cos(x) y = cos(x) y = cos x y = cos x π.umformung: Verschiebung um nach links π Eine Kosinusfunkion enseh aus einer Sinusfunkion, in dem die Sinusfunkion um nach links verschoben wird..umformung: Sreckung mi Fakor in y-richung 3.Umformung: Sreckung mi Fakor 4 π in x-richung (Kehrwer!!) 4.Umformung: Verschiebung um 5 nach oben.3. Die allgemeine Tangenengleichung laue y = h (u) (x u) + h(u) Nun is ein beliebiger Tangenenpunk O(0/0) bekann. Einsezen des Punkes in die allgemeine Tangenengleichung: 0 = h (u) (0 u) + h(u) Diese Gleichung wird nun mi dem GTR gelös: Eine Lösung laue u = 4,588. Der Berührpunk laue also B(u / h(u)) = B(4,588 / 3,). Die Tangenengleichung laue y = h (4,588) (x 4,588) + h(4,588) y = 0,7(x 4,588) + 3, und vereinfach: y = 0,7x 4 Zulez akualisier: