Affine (lineare) Funktionen und Funktionenscharen

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1 Aine (lineare) Funktionen Funktionenscharen 1. Erkläre olende Berie: a) Ursprunserade b) Steiun bzw. Steiunsdreieck c) steiende u. allende erade d) eradenbüschel, Parallelenschar e) y-achsenabschnitt ) Lineare Funktion ) Normalorm der linearen Funktion 2. Zeichne die durch olende leichunen eebenen eraden in ein Koordinatensystem ib zu jeder eraden ihre Steiun an a) y = 2x c) y = -4,5x e) 1 3 y x = 0 b) y = x d) -2x - 3y = 0 ) 3y - 3x = 0 3. Prüe durch Rechnun nach, ob olende Punkte au der jeweilien eraden lieen a) P 1 ( 2 3 l 1 5 ); P 2 (-0,6 l -1,5); 1 : 5x - 2y = 0 b) A (6 l 3); B (-5 l -2); 2 : -5y + 2x = 0 4. ib jeweils die leichun der eraden an, die durch den Ursprun (0 l 0) einen der olenden Punkte verläut a) A(2,5 l -3) b) B(-4,5 l 0) c) C( 1 3 l ) Anleitun: leichun einer Ursprunseraden hat die Form y = mx. Die Koordinaten der Punkte ehören zur Lösunsmene. Setze die Koordinaten der Punkte ür x y ein ermittle damit m. 5. Prüe durch Rechnun, ob olende Punkte au derselben Ursprunserade lieen a) A 1 (0,3 l 2,7) A 2 (0,6 l 0,54) b) B 1 ( 1 5 l 0,8) B 2(0,4 l 8 5 ) c) C 1 (6 l 3) C 2 (-6 l -3) 6. eeben sind die Funktionsleichunen 1 : y = -1/4x 2 : -5y + 12x = 0. Zeichne jeweils den raphen der Funktion in ein Koordinatensystem dazu den raph der entsprechenden Umkehrunktion ib die Funktionsleichun der Umkehrunktionen an. Hinweis: Die Umkehrunktion erhält man durch Spieelun der Funktion an der eraden y = x. 7. eeben sind die eraden 1 : y - 0,45x = 0 2 : 6x + 10y = 0. Zeichne die eebenen eraden die im Koordinatenursprun au ihnen senkrecht stehenden eraden. Ermittle deren Funktionsleichun. 8. Zeichne die raphen olender Relationen ib an, welche Relationen Funktionen sind. Beründe dies. a) R 1 { (xly)l lyl + x = 0 } b) R 2 { (xly)l y + l2xl = 0 } c) R 3 { (xly)l 2y = 3lxl } M_AU021 **** Lösunen teilweise vorh. 1 (7)

2 Aine (lineare) Funktionen Funktionenscharen 9. Die erade mit y = 2/3 x wird nacheinander wie olt abebildet : 0(0l0); φ = -90 y - Achse Zeichne die Abbildunen in ein Koordinatensystem. Wie lauten die leichunen der eraden 1, 2, 3? wmit y = -x 10. ib zu olenden Funktionen die Umkehrrelation an zeichne die raphen jeweils in ein Koordinatensystem a) 1 = { (xly)l y - 2lxl = 0 } b) 2 = { (xly)l y lxl } 11. Die erade mit y = - 2x wird durch Parallelverschiebun mit dem Vektor Wie lautet die leichun der Bilderaden? v 0 = 2 abebildet 12. Die erade hat die Steiun m = 2,5 verläut durch den Punkt S (-3 / -17). Wie lautet die eradenleichun in der Normalorm? 13. Ermittle durch Rechnun die Normalorm der eradenleichun bei der der y-achsenabschnitt - 4,5 beträt die durch den Punkt A( 2 3 l 5 6 ) verläut. 14. ib die leichunen der jeweils durch die Punkte P 1 (5 I 2), P 2 (-2 I 8) P 3 (-3 I -7) verlauenden Parallelen zu den Koordinatenachsen an. 15. Wie lauten die leichunen der Koordinatenachsen? 16. Ermittle die Nullstellen der Umkehrunktionen zu den durch olende leichunen eebenen Funktionen: y = 0,5(x - 4) + 3 b) -4x - 5y + 8 = Bestimme durch Zeichnun Rechnun die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Achsen (x = 0; y = 0) a) 5x - 2y + 1 = 0 b) y = -2(x + 2) + 6 c) 0,75(x + 2) y = Bestimme die leichunen der eraden durch olende Punkte: a) A(0 l -3) b) P(-6 l -7) B(1,5 l 4) Q(-11 l 2,5) 19. eeben ist die erade mit y + 3,5(x-2) + 5 = 0. Bestimme die au der eebenen eraden senkrecht stehende erade '. Der Schnittpunkt beider eraden soll au der x-achse lieen. ib die eradenleichun von ' an. M_AU021 **** Lösunen teilweise vorh. 2 (7)

3 Aine (lineare) Funktionen Funktionenscharen 20. a) Zeichne die Mene aller Punkte S(x l -0,5x + 2) mit den aneebenen Koordinaten in ein Koordinatensystem ( x ). Au welcher Ortslinie lieen sie? 2 b) Die Punkte S werden um den Vektor v parallel verschoben. Die Bildpunkte heißen T. = 2,5 Zeichne die Ortslinie der Punkte T ein. ib die Mene aller Punkte T in Koordinatenschreibweise an. 21. Die leichun y = 3x - (a + 2) mit a beschreibt bezülich = die Parallelenschar (a). a) ib die leichun der Scharparallelen 1 an, die durch den Punkt A(-6 l 1,5) verläut. b) Belet man a einmal mit 2 dann mit -8, erhält man zwei eraden 2 3. Ermittle die leichun der Mittelparallelen 4 zu den Parallelen 2 3. ib die zuehörie Zahl a an. 22. eeben ist die leichun einer Parallelenschar (t): y = -2x + t. a) Prüe rechnerisch, ob die erade 1 : 2x - 3y + 5 = 0 der Parallelenschar anehört. b) Für welchen Wert von t erhält man jeweils die leichun der Schareraden, die durch die Punkte A(-2 l 3) B(1,5 l -8) verlauen? c) ibt es eine Scharerade die zuleich durch die Punkte P 1 (-4 l 4) P 2 (3 l -5) verläut? Zeie dies rechnerisch. d) Wie lautet die leichun der Parallelenschar, deren eraden au denen der eebenen Schar senkrecht stehen? 23. eraden, die einen emeinsamen Schnittpunkt haben, ehören einem eradenbüschel an. a) Durch welchen Punkt Q verlauen alle eraden des eradenbüschels (m): y = mx + 3 b) Für welche Werte von m erhält man die leichunen der Büscheleraden, die durch die Punkte A(0,4 l 3), B(-2 l 4) C(2,5 l 1 3 ) verlauen? c) Zeie rechnerisch, ob es eine Büschelerade ibt, die leichzeiti durch die Punkte U(2 l 5) V(-3 l 0) verläut. d) Ein zweites eradenbüschel h(m) hat den Büschelpunkt R(3 l 4). ib die leichun des eradenbüschels an. e) Wie lautet die leichun der eraden, die beiden Büscheln leichzeiti anehört? ) ib die leichunen der eraden beider Büschel an, die au der eraden mit y = 1/3x + 3 senkrecht stehen. 24. Das eradenbüschel (m) mit y - mx + 2m + 5 = 0 die Parallelenschar (t) mit y - 2x - t = 0 sind eeben. a) Brine die Büschelleichun au die Form y = m(x - x 1 ) + y 1 (Punktsteiunsorm) ib die Koordinaten des Büschelpunktes B an. b) Zeichne den Büschelpunkt, die Büscheleraden ür m { 0; ±1; ±3 } die Schareraden ür t [-4; 4] in ein Koordinatensystem. c) ib die leichun der Büscheleraden an, die Ursprunserade ist. d) Welche erade der Parallelenschar ist leichzeiti Büschelerade? e) Welche Büschelerade steht au allen Schareraden der Parallelenschar senkrecht? M_AU021 **** Lösunen teilweise vorh. 3 (7)

4 Aine (lineare) Funktionen Funktionenscharen 25. eeben seien die Punkte P(0 l 2) Q(k l -2). a) Stelle in Abhänikeit vom Parameter k die Funktionsleichun der Schar k (x) au, die durch die Punkte P Q bestimmt wird. Welche Werte dar hierbei der Parameter k annehmen? b) Bestimme die Schnittpunkte S x S y der Funktionenschar mit den Koordinatenachsen in Abhänikeit vom Parameter k. c) ebe diejenien eraden aus der Schar an, die parallel zur x-achse bzw. parallel zur Winkelhalbierenden des I. III. Quadranten verlauen. d) Welche erade aus der Schar steht senkrecht au der eraden h(x) = -4x + 3? ib die leichun dieser eraden an. Bestimme außerdem den Schnittwinkel dieser eraden mit der y-achse. e) Ermittle die leichun der eraden (x), die denselben Abstand vom Ursprun hat wie h(x) parallel zu dieser verläut (keine Scharerade). ) Haben alle eraden der Funktionenschar einen emeinsamen Schnittpunkt? Wenn ja, ib diesen an. ) Zeichne die eraden aus c), d) e) in ein Koordinatensystem. 26. Eine erade verläut durch den Punkt P(1 I 3) hat eine Nullstelle bei x = 5. a) Erstelle die Funktionsleichun. b) Berechne den Neiunswinkel α een die x-achse. c) Q(3 I q) soll unterhalb von lieen. Welche Bedinunen muß q erüllen? 27. eeben ist die erade : (x) = -2/3x + 1 a) Erstelle die leichun aller eraden, die zu parallel sind. b) Erstelle die leichun aller eraden, die den leichen Schnittpunkt mit der y-achse haben. 28. eeben ist der Punkt P(4 I 1) die Funktionenschar mit der leichun m (x) = (m - 1)x + 2m m a) Bestimme die Funktionsleichun der eraden, die den Punkt P enthält. b) Bestimme die leichun der eraden aus der Schar, die au h(x) = -2x + 8 senkrecht steht. c) Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte S x S y mit den Koordinatenachsen. d) ibt es einen emeinsamen Schnittpunkt aller eraden der Schar? e) Zeichne die in a) b) ermittelten eraden in ein Koordinatensystem ein. 29. eeben ist die eradenschar k : y = (2k - 1)x + k; k a) Für welches k verläut die zuehörie erade der Schar durch den Punkt P(1 I -3)? ib die entsprechende Funktionsleichun an. b) Bestimme k so, daß die Scharerade parallel zur Winkelhalbierenden des I. III. Quadranten verläut. c) Berechne die Nullstelle sowie den Schnittpunkt des raphen mit der y-achse in Abhänikeit von k. d) ibt es einen emeinsamen Schnittpunkt aller eraden der Schar? e) Zeichne die ermittelten Erebnisse in ein Koordinatensystem ein. M_AU021 **** Lösunen teilweise vorh. 4 (7)

5 Aine (lineare) Funktionen Funktionenscharen 30. Die eraden einer Schar haben olende Eienschat: Die Koordinatenachsen eine Scharerade bestimmen jeweils ein rechtwinklies Dreieck im ersten Quadranten mit dem Flächeninhalt 8 FE. (FE = Flächeneinheiten) a) Bestimme die Scharunktion. b) Welche Nullstelle hat? 31. Ein Zeichner will die erade mit der leichun 6 3 x y = 0 durch die Punkte P 1( 2 3 I 15 2 ) P 2 ( 1 3 I 20) ziehen. Lieen die Punkte au der eraden? 32. eeben ist das leichschenklie Dreieck ABC mit A(2 l 1). Die Dreieckshöhe h [AB] liet au der eraden : y = -2x + 12,5. Berechne die Koordinaten des Höhenußpunktes H. (siehe nebenstehende Skizze). 33. eeben sind die erade mit y x - 4 = 0 der Punkt P (12 l 15,5). Der Punkt P ist mit als Spieelachse mittels Achsenspieelun au P' abzubilden. Berechne die Koordinaten von P'. 34. Die eraden 1 = AB mit A(-1,5 l 0) B(0 l 3) sowie 2 = CD mit C(0 l -2) D(6 l 0) als auch 3 = EF mit E(8 l 1) F(2 l 9) sind eeben. Ermittle zeichnerisch rechnerisch die Punkte S 1 T 2, deren Verbindunsstrecke [PQ] zu 3 parallel verläut 6 cm lan ist. (im Koordinatensystem: 1LE = 1cm) 35. Der Neiunswinkel einer eraden beträt 60. Au ihr liet der Punkt P(-4 l 0,5). a) Stelle die Funktionsleichun au. b) Berechne die Schnittpunkte des raphen mit den Achsen. c) Wie heißt die Funktion mit derselben Nullstelle, deren raph die Steiun m = 1 hat? eeben ist die Funktion (x) = -x + 2; D = Durch den Punkt P(1 l y) von bildet. Wie lautet die eradenleichun? soll eine erade elet werden, die mit einen Winkel von eeben sind die Punkte A(1 l 1); B(-2 l -2); C(-3 l 2). ib die Mene aller ainen Funktionen an, ür die ilt Fertie eine Zeichnun an. A [ BC] θ. 38. eeben sind ein Achsenschnittpunkt N(-2 I 0) einer eraden die Enternun der beiden Achsenschnittpunkte: NT = 6. Stelle die leichun der eraden au berechne die Koordinaten des zweiten Achsenschnittpunktes. M_AU021 **** Lösunen teilweise vorh. 5 (7)

6 Aine (lineare) Funktionen Funktionenscharen Scharen ainer Funktionen 39. eeben ist die Scharunktion t (x) = tx I t I; t ; D t = a) Welche Nullstellen haben die Scharunktionen? b) Für welche Werte von t schneiden sich zwei Schareraden au der y-achse? 40. eeben ist die Scharunktion a (x) = IaIx + a; a ; D a = a) Welche Nullstellen hat diese Schar? b) Für welche Werte von a sind zwei eraden aus der Schar zueinander parallel? 41. eeben ist die Scharunktion h t (x) = - tx + t; t ; D h t = a) Zeie, dass alle raphen der Schar eine emeinsame Nullstelle haben. b) Bestimme den Inhalt der Dreiecksläche, die von der y-achse zwei zueinander senkrechten Schareraden berenzt ist. c) Für welches t schließt die Scharerade mit der y-achse einen Winkel von 30 ein? 42. Die beiden Achsenschnittpunkte jeder Schareraden haben die Enternun 10. Bestimme die leichunen der eraden. Zeichne einie dieser eraden. 43. eeben ist die Scharunktion x = tx+ t + D = ; t 2 t ( ) 2 1; t a) Für welches t ist der raph parallel zur Winkelhalbierenden des 1.Quadranten? Zeichne den raphen! b) Für welches t ist der raph senkrecht zu einer eraden mit der leichun y = 2x + 333? c) Welche raphen der Schar schließen mit der x - Achse einen Winkel von 60 ein? d) Bei welchen t-werten sind die Nullstellen vom Ursprun 2 2 enternt? e) Welche Stellen der x-achse sind keine Nullstellen von Schareraden? ) Bestimme die Enternun d, die die beiden Achsenschnittpunkte der eraden zum Parameterwert 5 haben. ) Bestimme die Enternun der Achsenschnittpunkte einer Schareraden allemein. h) Für welches t beträt die Enternun der Achsenschnittpunkte enau 4? i) Zeichne die zu t { 0; ± 0,25; ± 0,5; ± 1; ± 2; ± 4} ehörenden raphen. 44. eeben sind: ( x) = mx+ t ; ( x) a) Bestimme den Schnittpunkt von leichun y = x? b) Verleiche die Winkel, unter denen c) Wie lieen = 1 t x ; m m m {0; 1; 1} D = D =. Wo schneiden die erade mit der die erade mit der leichun y = x schneiden. die erade mit der leichun y = x zueinander? M_AU021 **** Lösunen teilweise vorh. 6 (7)

7 Aine (lineare) Funktionen Funktionenscharen 45. eeben sind die Punkte A(-4 l -3); B(4 l -3); C(a l 2 25 a ) Die beiden esten Punkte A, B der variable (von a abhänie) Punkt C bestimmen ein Dreieck. Ermittle den Winkel γ= ACB bei C. 46. eeben sind: ( x) = 0,75x + 3; P(-7 l 2); hx ( ) = 0,75x 9,5; D = Dh = a) Bestimme den Schnittwinkel von mit der x-achse. b) Bestimme die leichunen der eraden, die durch die Achsenpunkte von ehen au senkrecht stehen. c) Bestimme die leichun der eraden, die durch P eht au senkrecht steht. d) Bestimme den Schnittpunkt S von ) Welchen Abstand haben, ) Welchen Abstand haben h?. Welchen Abstand haben P h vom Ursprun? h) Unter welchem Winkel schneiden sich die y-achse mit?? M_AU021 **** Lösunen teilweise vorh. 7 (7)