Fehler- und Ausgleichsrechnung

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Fehler- und Ausgleichsrechnung"

Transkript

1 Fehler- und Ausgleichsrechnung Daniel Gerth Daniel Gerth (JKU) Fehler- und Ausgleichsrechnung 1 / 12

2 Überblick Fehler- und Ausgleichsrechnung Dieses Kapitel erklärt: Wie man Ausgleichsrechnung betreibt Wie man Messreihen statistisch auswertet und interpretiert Wie man Fehlerfortpflanzung kontrolliert Daniel Gerth (JKU) Fehler- und Ausgleichsrechnung 2 / 12

3 Regressionsgerade Wir betrachten die folgende Aufgabe: Von einem gegebenen naturwissenschaftlichen Prozess sei bekannt, dass er durch einen eindimensionalen linearen Zusammenhang y = f(x) = mx + c modelliert werden kann. Unbekannt jedoch sind die Geradenparameter m (Steigung) und c (y Achsenabschnitt). Ausgehend von den x Werten x 1,..., x r, die allesamt verschieden voneinander sein sollen und welche wir als Messstellen interpretieren wollen, und den an diesen Stellen vorliegenden y Werten y 1,..., y r, interpretierbar als Messwerte, wollen wir auf die unbekannten Parameter m und c schließen. Wo liegt das Problem? (theoretisch reichen zwei Punktepaare (x 1, y 1 ) und (x 2, y 2 ) aus, um die Parameter m und c festzulegen).bedingt durch Fehler oder Ungenauigkeiten beim Messvorgang liegen die Punkte (x 1, y 1 ),..., (x r, y r) typischerweise jedoch nicht auf einer Geraden, d.h. y i = m x i + c + ɛ i wobei ɛ i klein ist. Wir suchen nach Kompromisse: Zu bestimmen ist dann eine Gerade y = mx + c welche den Punktepaaren zumindest leidlich nahekommt. Hinweis: Die hier präsentierte Theorie gilt analog für beliebige Polynome! Daniel Gerth (JKU) Fehler- und Ausgleichsrechnung 3 / 12

4 Für jedes Paar (x i, y i ) setzen wir trotz des Fehlers ɛ an: y i = m x i + c = ( x 1 1 ) ( ) m Man kann damit das gesamte Problem schreiben c als y 1 x 1 1 y 2 y =. = x 2 1 ( ) m = A v.. c y r x r 1 Es entsteht also eine Matrixgleichung mit y R r, A R r n und v R n in der typischerweise r > n. Bedingt durch die Messfehler hat diese Gleichung keine Lösung. Stattdessen sucht man nach Werten m und c, so dass der resultierende Vektor v einen kleinen Fehler produziert: v = min y A v 2 v Rn (Man kann dies für alle linearen Systeme y = Ax machen, wir behandeln hier jedoch nur den oben genannten Spezialfall) Daniel Gerth (JKU) Fehler- und Ausgleichsrechnung 4 / 12

5 Nun ist y A v 2 eine Funktion von R n nach R, fällt also in ein bekanntes Schema. Wir benötigen noch folgende hilfreiche Werkzeuge: Theorem 1 Sei x R n, y R m und M R m n. Dann gilt für das Skalarprodukt in R m bzw. R n : Mx, y = x, M T y Desweiteren gilt, falls M = A T : grad x ( Mx, x ) = 2Mx und grad x ( x, z ) = z Damit gilt: A v y 2 = A v y, A v v = A v, A v 2 A v, y + y, y = A T A v, v 2 A T y, v + y 2 Daniel Gerth (JKU) Fehler- und Ausgleichsrechnung 5 / 12

6 Um f( v) = y A v 2 zu minimieren, müssen wir den Gradienten gleich Null setzen: 0 = grad( y A v 2 ) = grad( A T A v, v 2 A T y, v + y 2 ) = 2A T A v 2A T y Damit ist v Lösung der so genannten Normalengleichung A T A v = A T y Die Lösung ist eindeutig, falls rang(a) = n. Dann ist A T A symmetrisch und positiv semidefinit, und die Lösung stellt tatsächlich ein Minimum dar. Daniel Gerth (JKU) Fehler- und Ausgleichsrechnung 6 / 12

7 Gegeben sei die Messreihe (x i, y i ): (1, 0.9) (3, 5.5) (5, 9.1) Wir suchen den linearen Zusammenhang y = mx + c, also ist 0.9 ( ) 1 1 y = 5.5 m, v =, A = 3 1 c Die Normalengleichung A T A v = A T y lautet ( ) 1 ( ) m = c 5 1 ( ( ) 35 9 m = 9 3) c ( ( ) ) ( ) 2.05 Die Lösung lautet v =, also gilt die Funktionsgleichung 0.98 y = 2.05x 0.98, zum Vergleich: die Gleichung mit fehlerlosen Daten ist y = 2x 1. Daniel Gerth (JKU) Fehler- und Ausgleichsrechnung 7 / 12

8 Messreihenauswertung Wir nehmen an, wir messen ein Größe x (z.b. die Dicke eines Blatt Papiers, den PH-Wert einer Lösung, usw). Für eine einzelne Messung haben wir folgende Begriffe: Definition 2.1 Gegeben sei eine Messgröße x, für welche ein Messwert x existiere. Der wirkliche, unbekannte Wert der Messgröße sei ebenfalls mit x bezeichnet. Dann heißt die Differenz x := x x der absolute Fehler der Größe x. Der Quotient heißt relativer Fehler der Größe x. x x = x x x Daniel Gerth (JKU) Fehler- und Ausgleichsrechnung 8 / 12

9 Angenommen, wir haben nun n Messwerte x 1, x 2,..., x n für unsere Größe x. Definition 2.2 Der Mittelwert der Messung ist x := 1 n die Standardabweichung ( gemittelter Fehler der Einzelmessungen ) beträgt σ := 1 n (x i x) n 1 2 und der mittlere Fehler des Mittelwertes, aslo die zu erwartende Unsicherheit für σ die Schätzung des Mittelwertes, ist n n i=1 i=1 x i Damit gilt bzw. P( x σ x i x + σ) = P( x 0.677σ x i x σ) = 0.5 Daniel Gerth (JKU) Fehler- und Ausgleichsrechnung 9 / 12

10 Fehlerfortpflanzung Als wichtige Anwendung des totalen Differentials wollen wir die unabhängigen Variablen x 1,..., x n einer Funktion f(x 1,..., x n ) als Messgrößen eines naturwissenschaftlichen Experiments interpretieren. Abhängig davon soll eine weitere Größe z = f(x 1,..., x n ) errechnet werden. Ideal wäre es, die obigen Messgrößen exakt zu x Messung = ( x 1,..., x n ) bestimmen zu können. Unter diesen Umständen resultierte daraus die ebenfalls exakt bestimmbare abhängige Größe z Messung = f( x 1,..., x n ). Die Wirklichkeit sieht anders aus. Bedingt durch Ungenauigkeiten der Messmethoden o.ä. sind die Messwerte x 1,..., x n fehlerbehaftet: Die wirklichen, aber leider unbekannten Messgrößen x 1,..., x n weichen von den gemessenen Werten x 1,..., x n geringfügig ab. Daniel Gerth (JKU) Fehler- und Ausgleichsrechnung 10 / 12

11 Welche Auswirkung haben kleine Abweichungen der realen Größen von den Messwerten auf das zu berechnende Endergebnis z? Wir wirken sich Fehler in den Messwerten auf die davon abhängige Größe z = f(x 1,..., x n) auf? Satz 3.1 Die Größe x 1,..., x n seien gemessen zu x 1,..., x n und fehlerbehaftet mit maximalen Abweichungen max x 1,..., max x n. Ist f differenzierbar in ( x 1,..., x n ), so gilt für den maximalen absoluten Fehler der abhängigen Größe z = f(x 1,..., x n ) max z f x1 ( x 1,..., x n ) max x f xn ( x 1,..., x n ) max x n. (1) Daniel Gerth (JKU) Fehler- und Ausgleichsrechnung 11 / 12

12 Wir betrachten zwei Größen x und y, deren Werte zu x 0 und ȳ 0 ermittelt wurden, aber maxx bzw. maxy fehlerbehaftet sind. Fehlerfortpflanzung bei Summation und Differenzbildung max z = max x + max y, wobei z = f(x, y) = x ± y. Fehlerfortpflanzung bei Produkt- und Quotientenbildung max p = ȳ max x + x max y, wobei p(x, y) = xy. wobei q(x, y) = x y. max q = 1 ȳ maxx + x ȳ 2 maxy, Daniel Gerth (JKU) Fehler- und Ausgleichsrechnung 12 / 12

1 Messfehler. 1.1 Systematischer Fehler. 1.2 Statistische Fehler

1 Messfehler. 1.1 Systematischer Fehler. 1.2 Statistische Fehler 1 Messfehler Jede Messung ist ungenau, hat einen Fehler. Wenn Sie zum Beispiel die Schwingungsdauer eines Pendels messen, werden Sie - trotz gleicher experimenteller Anordnungen - unterschiedliche Messwerte

Mehr

Anwendungen der Differentialrechnung

Anwendungen der Differentialrechnung KAPITEL 3 Anwendungen der Differentialrechnung 3.1 Lokale Maxima und Minima Definition 16: Sei f : D R eine Funktion von n Veränderlichen. Ein Punkt x heißt lokale oder relative Maximalstelle bzw. Minimalstelle

Mehr

Mathematik. für das Ingenieurstudium. 10 Funktionen mit mehreren Variablen. Jürgen Koch Martin Stämpfle.

Mathematik. für das Ingenieurstudium. 10 Funktionen mit mehreren Variablen. Jürgen Koch Martin Stämpfle. 10 Funktionen mit mehreren Variablen www.mathematik-fuer-ingenieure.de 2010 und, Esslingen Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdruckes und der Vervielfältigung

Mehr

Überbestimmte lineare Gleichungssysteme

Überbestimmte lineare Gleichungssysteme Überbestimmte lineare Gleichungssysteme Fakultät Grundlagen September 2009 Fakultät Grundlagen Überbestimmte lineare Gleichungssysteme Übersicht 1 2 Fakultät Grundlagen Überbestimmte lineare Gleichungssysteme

Mehr

Einführung in die Theorie der Messfehler

Einführung in die Theorie der Messfehler Einführung in die Theorie der Messfehler Ziel der Vorlesung: Die Studentinnen/Studenten sollen die Grundlagen der Theorie der Messfehler sowie den Unterschied zwischen Ausgleichsrechnung und statistischer

Mehr

Extremwerte von Funktionen mehrerer reeller Variabler

Extremwerte von Funktionen mehrerer reeller Variabler Extremwerte von Funktionen mehrerer reeller Variabler Bei der Bestimmung der Extrema von (differenzierbaren) Funktionen f : R n R ist es sinnvoll, zuerst jene Stellen zu bestimmen, an denen überhaupt ein

Mehr

Begleitmaterial zur Vorlesung. Fehlerrechnung und Fehlerabschätzung bei physikalischen Messungen

Begleitmaterial zur Vorlesung. Fehlerrechnung und Fehlerabschätzung bei physikalischen Messungen Institut für Technische Thermodynamik und Kältetechnik Leiter: Prof. Dr.-Ing. K. Schaber Begleitmaterial zur Vorlesung Fehlerrechnung und Fehlerabschätzung bei physikalischen Messungen Verfasst von Dr.

Mehr

Versuch 11 Einführungsversuch

Versuch 11 Einführungsversuch Versuch 11 Einführungsversuch I Vorbemerkung Ziel der Einführungsveranstaltung ist es Sie mit grundlegenden Techniken des Experimentierens und der Auswertung der Messdaten vertraut zu machen. Diese Grundkenntnisse

Mehr

28. Lineare Approximation und Differentiale

28. Lineare Approximation und Differentiale 28. Lineare Approximation und Differentiale Sei y = f(x) differenzierbar. Die Gleichung der Tangente t im Punkt x 0 lautet t : y f(x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Für x nahe bei x 0 können wir f(x) durch den

Mehr

Fehlerfortpflanzung. M. Schlup. 27. Mai 2011

Fehlerfortpflanzung. M. Schlup. 27. Mai 2011 Fehlerfortpflanzung M. Schlup 7. Mai 0 Wird eine nicht direkt messbare physikalische Grösse durch das Messen anderer Grössen ermittelt, so stellt sich die Frage, wie die Unsicherheitsschranke dieser nicht-messbaren

Mehr

Physikalische Übungen für Pharmazeuten

Physikalische Übungen für Pharmazeuten Helmholtz-Institut für Strahlen- und Kernphysik Seminar Physikalische Übungen für Pharmazeuten Ch. Wendel Max Becker Karsten Koop Dr. Christoph Wendel Übersicht Inhalt des Seminars Praktikum - Vorbereitung

Mehr

Statistik, Datenanalyse und Simulation

Statistik, Datenanalyse und Simulation Dr. Michael O. Distler distler@kph.uni-mainz.de Mainz, 31. Mai 2011 4. Methode der kleinsten Quadrate Geschichte: Von Legendre, Gauß und Laplace zu Beginn des 19. Jahrhunderts eingeführt. Die Methode der

Mehr

Abb. 5.10: Funktion und Tangentialebene im Punkt ( ) ( ) ( ) 3.) Die Zahlenwerte und in Gleichung (Def. 5.11) berechnen sich durch ( ) ( )

Abb. 5.10: Funktion und Tangentialebene im Punkt ( ) ( ) ( ) 3.) Die Zahlenwerte und in Gleichung (Def. 5.11) berechnen sich durch ( ) ( ) Abb. 5.0: Funktion und Tangentialebene im Punkt Aus der totalen Differenzierbarkeit folgt sowohl die partielle Differenzierbarkeit als auch die Stetigkeit von : Satz 5.2: Folgerungen der totalen Differenzierbarkeit

Mehr

Protokoll Grundpraktikum: O1 Dünne Linsen

Protokoll Grundpraktikum: O1 Dünne Linsen Protokoll Grundpraktikum: O1 Dünne Linsen Sebastian Pfitzner 22. Januar 2013 Durchführung: Sebastian Pfitzner (553983), Jannis Schürmer (552892) Arbeitsplatz: 3 Betreuer: A. Ahlrichs Versuchsdatum: 16.01.2013

Mehr

1 Umkehrfunktionen und implizite Funktionen

1 Umkehrfunktionen und implizite Funktionen Mathematik für Physiker III WS 2012/2013 Freitag 211 $Id: implizittexv 18 2012/11/01 20:18:36 hk Exp $ $Id: lagrangetexv 13 2012/11/01 1:24:3 hk Exp hk $ 1 Umkehrfunktionen und implizite Funktionen 13

Mehr

Einführung in die Fehlerrechnung und Messdatenauswertung

Einführung in die Fehlerrechnung und Messdatenauswertung Grundpraktikum der Physik Einführung in die Fehlerrechnung und Messdatenauswertung Wolfgang Limmer Institut für Halbleiterphysik 1 Fehlerrechnung 1.1 Motivation Bei einem Experiment soll der Wert einer

Mehr

Partielle Ableitungen, Gradient, Lineare Näherung, Extrema, Fehlerfortpflanzung

Partielle Ableitungen, Gradient, Lineare Näherung, Extrema, Fehlerfortpflanzung Partielle Ableitungen, Gradient, Lineare Näherung, Extrema, Fehlerfortpflanzung Jörn Loviscach Versionsstand: 29. Juni 2009, 18:41 1 Partielle Ableitungen, Gradient Die Ableitung einer Funktion f an einer

Mehr

13 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren

13 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren 3 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren Bisher haben wir uns ausschließlich mit Zufallsexperimenten beschäftigt, bei denen die Beobachtung eines einzigen Merkmals im Vordergrund stand. In diesem

Mehr

Fehlerabschätzung und Fehlerrechnung

Fehlerabschätzung und Fehlerrechnung Fehlerabschätzung und Fehlerrechnung 4 März 2010 I Fehlerabschätzung I1 Allgemeines Jeder physikalische Messwert ist mit einem Fehler behaftet Man unterscheidet nach systematischen und zufälligen Fehlern

Mehr

Einführung Fehlerrechnung

Einführung Fehlerrechnung Einführung Fehlerrechnung Bei jeder Messung, ob Einzelmessung oder Messreihe, muss eine Aussage über die Güte ( Wie groß ist der Fehler? ) des Messergebnisses gemacht werden. Mögliche Fehlerarten 1. Systematische

Mehr

Wiederholung von Linearer Algebra und Differentialrechnung im R n

Wiederholung von Linearer Algebra und Differentialrechnung im R n Wiederholung von Linearer Algebra und Differentialrechnung im R n 1 Lineare Algebra 11 Matrizen Notation: Vektor x R n : x = x 1 x n = (x i ) n i=1, mit den Komponenten x i, i {1,, n} zugehörige Indexmenge:

Mehr

y (k) (0) = y (k) y(z) = c 1 e αz + c 2 e βz. c 1 + c 2 = y 0 k=1 k=1,...,m y k f k (x)

y (k) (0) = y (k) y(z) = c 1 e αz + c 2 e βz. c 1 + c 2 = y 0 k=1 k=1,...,m y k f k (x) 9 Ausgleichsrechnung 9.1 Problemstelllung Eine Reihe von Experimenten soll durchgeführt werden unter bekannten Versuchsbedingungen z Ê m. Es sollen Größen x Ê n bestimmt werden, für die ein Gesetz gelten

Mehr

Dieses Kapitel vermittelt:

Dieses Kapitel vermittelt: 2 Funktionen Lernziele Dieses Kapitel vermittelt: wie die Abhängigkeit quantitativer Größen mit Funktionen beschrieben wird die erforderlichen Grundkenntnisse elementarer Funktionen grundlegende Eigenschaften

Mehr

Einführungsseminar S1 Elemente der Fehlerrechnung. Physikalisches Praktikum der Fakultät für Physik und Astronomie Ruhr-Universität Bochum

Einführungsseminar S1 Elemente der Fehlerrechnung. Physikalisches Praktikum der Fakultät für Physik und Astronomie Ruhr-Universität Bochum Einführungsseminar S1 Elemente der Fehlerrechnung Physikalisches Praktikum der Fakultät für Physik und Astronomie Ruhr-Universität Bochum Literatur Wolfgang Kamke Der Umgang mit experimentellen Daten,

Mehr

1. Versuchsaufbau 2. Versuchsauswertung a. Diagramme b. Berechnung der Zerfallskonstanten und Halbwertszeit c. Fehlerbetrachtung d.

1. Versuchsaufbau 2. Versuchsauswertung a. Diagramme b. Berechnung der Zerfallskonstanten und Halbwertszeit c. Fehlerbetrachtung d. Christian Müller Jan Philipp Dietrich K2 Halbwertszeit (Thoron) Protokoll 1. Versuchsaufbau 2. Versuchsauswertung a. Diagramme b. Berechnung der Zerfallskonstanten und Halbwertszeit c. Fehlerbetrachtung

Mehr

TU Dresden Fachrichtung Mathematik Institut für Numerische Mathematik 1. Dr. M. Herrich SS 2017

TU Dresden Fachrichtung Mathematik Institut für Numerische Mathematik 1. Dr. M. Herrich SS 2017 TU Dresden Fachrichtung Mathematik Institut für Numerische Mathematik 1 Prof. Dr. K. Eppler Institut für Numerische Mathematik Dr. M. Herrich SS 2017 Aufgabe 1 Übungen zur Vorlesung Mathematik II 4. Übung,

Mehr

Methode der kleinsten Quadrate

Methode der kleinsten Quadrate 1. Phase: Methode der kleinsten Quadrate Einführung Im Vortrag über das CT-Verfahren hat Herr Köckler schon auf die Methode der kleinsten Quadrate hingewiesen. Diese Lösungsmethode, welche bei überbestimmten

Mehr

2. Spezielle anwendungsrelevante Funktionen

2. Spezielle anwendungsrelevante Funktionen 2. Spezielle anwendungsrelevante Funktionen (1) Affin-lineare Funktionen Eine Funktion f : R R heißt konstant, wenn ein c R mit f (x) = c für alle x R existiert linear, wenn es ein a R mit f (x) = ax für

Mehr

0. Mathematische Grundlagen

0. Mathematische Grundlagen 0. Mathematische Grundlagen Literatur: S. Großmann Mathematischer Einführungskurs für die Physik Teubner Studienbücherei Physik 1991 ISBN 3-519-03074-8 Inhalt von Kap. 0: Mathematische Beschreibung physikalischer

Mehr

8. Statistik Beispiel Noten. Informationsbestände analysieren Statistik

8. Statistik Beispiel Noten. Informationsbestände analysieren Statistik Informationsbestände analysieren Statistik 8. Statistik Nebst der Darstellung von Datenreihen bildet die Statistik eine weitere Domäne für die Auswertung von Datenbestände. Sie ist ein Fachgebiet der Mathematik

Mehr

Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik

Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik Hartmut Stadie, Christian Autermann 15.01.2009 Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik Christian Autermann 1/ 47 Methode der kleinsten Quadrate

Mehr

Fehlerfortpflanzung & Extremwertbestimmung. Folie 1

Fehlerfortpflanzung & Extremwertbestimmung. Folie 1 Fehlerfortpflanzung & Etremwertbestimmung Folie 1 Fehlerfortpflanzung Einführung In vielen technischen Zusammenhängen sind die Werte bestimmter Größen nicht genau bekannt sondern mit einer Unsicherheit

Mehr

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Wahrscheinlichkeitsverteilungen Universität Bielefeld 3. Mai 2005 Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung Das Ziehen einer Stichprobe ist die Realisierung eines Zufallsexperimentes. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung betrachtet

Mehr

Vorlesung: Analysis II für Ingenieure. Wintersemester 07/08. Michael Karow. Themen: Niveaumengen und Gradient

Vorlesung: Analysis II für Ingenieure. Wintersemester 07/08. Michael Karow. Themen: Niveaumengen und Gradient Vorlesung: Analysis II für Ingenieure Wintersemester 07/08 Michael Karow Themen: Niveaumengen und Gradient Wir betrachten differenzierbare reellwertige Funktionen f : R n G R, G offen Zur Vereinfachung

Mehr

Rückblick auf die letzte Vorlesung. Bemerkung

Rückblick auf die letzte Vorlesung. Bemerkung Bemerkung 1) Die Bedingung grad f (x 0 ) = 0 T definiert gewöhnlich ein nichtlineares Gleichungssystem zur Berechnung von x = x 0, wobei n Gleichungen für n Unbekannte gegeben sind. 2) Die Punkte x 0 D

Mehr

Statistik II. Lineare Regressionsrechnung. Wiederholung Skript 2.8 und Ergänzungen (Schira: Kapitel 4) Statistik II

Statistik II. Lineare Regressionsrechnung. Wiederholung Skript 2.8 und Ergänzungen (Schira: Kapitel 4) Statistik II Statistik II Lineare Regressionsrechnung Wiederholung Skript 2.8 und Ergänzungen (Schira: Kapitel 4) Statistik II - 09.06.2006 1 Mit der Kovarianz und dem Korrelationskoeffizienten können wir den statistischen

Mehr

Kapitel 8 Einführung der Integralrechnung über Flächenmaße

Kapitel 8 Einführung der Integralrechnung über Flächenmaße 8. Flächenmaße 8.1 Flächenmaßfunktionen zu nicht negativen Randfunktionen Wir wenden uns einem auf den ersten Blick neuen Thema zu, der Ermittlung des Flächenmaßes A von Flächen A, die vom nicht unterhalb

Mehr

13. Funktionen in einer Variablen

13. Funktionen in einer Variablen 13. Funktionen in einer Variablen Definition. Seien X, Y Mengen. Eine Funktion f : X Y ist eine Vorschrift, wo jedem Element der Menge X eindeutig ein Element von Y zugeordnet wird. Wir betrachten hier

Mehr

2. Prinzipien der Datenreduktion

2. Prinzipien der Datenreduktion 2. Prinzipien der Datenreduktion Man verwendet die Information in einer Stichprobe X 1,..., X n, um statistische Inferenz über einen unbekannten Parameter zu betreiben. Falls n groß ist, so ist die beobachtete

Mehr

CHEMISCHES RECHNEN II ANALYT. CHEM. FÜR FORTGS

CHEMISCHES RECHNEN II ANALYT. CHEM. FÜR FORTGS Arbeitsunterlagen zu den VU CHEMISCHES RECHNEN II - 771.119 Einheit 5 ANALYT. CHEM. FÜR FORTGS. - 771.314 Einheit 4 ao. Prof. Dr. Thomas Prohaska (Auflage Mai 2005) Einführung in die Metrology in Chemistry

Mehr

Forschungsstatistik I

Forschungsstatistik I Prof. Dr. G. Meinhardt 2. Stock, Nordflügel R. 02-429 (Persike) R. 02-431 (Meinhardt) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung Forschungsstatistik I Dr. Malte Persike persike@uni-mainz.de http://psymet03.sowi.uni-mainz.de/

Mehr

Länge eines Vektors und Abstand von zwei Punkten 2. 4 = 6. Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren

Länge eines Vektors und Abstand von zwei Punkten 2. 4 = 6. Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren Länge eines Vektors und Abstand von zwei Punkten Aufgabe Bestimme die Länge des Vektors x. Die Länge beträgt: x ( ) =. Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren Aufgabe Es sind die Eckpunkte A(; ), B(

Mehr

Mathematische Grundlagen für das Physik-Praktikum:

Mathematische Grundlagen für das Physik-Praktikum: Mathematische Grundlagen für das Physik-Praktikum: Grundwissen: Bruchrechnung Potenzen Logarithmen Funktionen und ihre Darstellungen: Lineare Funktionen Proportionen Exponentialfunktion Potenzfunktionen

Mehr

Kapitel 7. Regression und Korrelation. 7.1 Das Regressionsproblem

Kapitel 7. Regression und Korrelation. 7.1 Das Regressionsproblem Kapitel 7 Regression und Korrelation Ein Regressionsproblem behandelt die Verteilung einer Variablen, wenn mindestens eine andere gewisse Werte in nicht zufälliger Art annimmt. Ein Korrelationsproblem

Mehr

d) Produkte orthogonaler Matrizen sind wieder orthogonal.

d) Produkte orthogonaler Matrizen sind wieder orthogonal. Die orthogonale Matrizen Definition: Eine Matrix Q R n n heißt orthogonal, falls QQ T = Q T Q = I gilt. Die Eigenschaften orthogonaler Matrizen: a) det(q) = ±1; b) Qx 2 = x 2 für alle x R n, also Q 2 =

Mehr

Physik für Biologen und Zahnmediziner

Physik für Biologen und Zahnmediziner Physik für Biologen und Zahnmediziner Übungen zur Klausur über das Propädeutikum Dr. Daniel Bick 08. November 2013 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 08. November 2013 1 / 27 Information

Mehr

Banach scher Fixpunktsatz. 1) D ist abgeschlossen und konvex; 2) f ist selbstabbildend, d.h. f(d) D;

Banach scher Fixpunktsatz. 1) D ist abgeschlossen und konvex; 2) f ist selbstabbildend, d.h. f(d) D; Institut für Geometrie und Praktische Mathematik Höhere Mathematik IV (für Elektrotechniker und Technische Informatiker) - Numerik - SS 2007 Dr. S. Börm, Dr. M. Larin Banach scher Fixpunktsatz Gegeben

Mehr

MATHEMATIK 2 FÜR DIE STUDIENGÄNGE CHE- MIE UND LEBENSMITTELCHEMIE

MATHEMATIK 2 FÜR DIE STUDIENGÄNGE CHE- MIE UND LEBENSMITTELCHEMIE Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik MATHEMATIK 2 FÜR DIE STUDIENGÄNGE CHE- MIE UND LEBENSMITTELCHEMIE Differentialrechnung für Funktionen mehrerer

Mehr

Was ist eine Funktion?

Was ist eine Funktion? Lerndomino zum Thema Funktionsbegriff Kopiereen Sie die Seite (damit Sie einen Kontrollbogen haben), schneiden Sie aus der Kopie die "Dominosteine" zeilenweise aus, mischen Sie die "Dominosteine" und verteilen

Mehr

Ausgleichsproblem. Definition (1.0.3)

Ausgleichsproblem. Definition (1.0.3) Ausgleichsproblem Definition (1.0.3) Gegeben sind n Wertepaare (x i, y i ), i = 1,..., n mit x i x j für i j. Gesucht ist eine stetige Funktion f, die die Wertepaare bestmöglich annähert, d.h. dass möglichst

Mehr

3 Funktionen in mehreren Variablen

3 Funktionen in mehreren Variablen 3 Funktionen in mehreren Variablen Funktionen in mehreren Variablen Wir betrachten nun Abbildungen / Funktionen in mehreren Variablen. Dies sind Funktionen von einer Teilmenge des R d nach R. f : D f R,

Mehr

1 Singulärwertzerlegung und Pseudoinverse

1 Singulärwertzerlegung und Pseudoinverse Singulärwertzerlegung und Pseudoinverse Singulärwertzerlegung A sei eine Matrix mit n Spalten und m Zeilen. Zunächst sei n m. Bilde B = A A. Dies ist eine n n-matrix. Berechne die Eigenwerte von B. Diese

Mehr

Geometrie. 1 Vektoren, Vektorielle analytische Geometrie der Ebene

Geometrie. 1 Vektoren, Vektorielle analytische Geometrie der Ebene Geometrie Geometrie W. Kuhlisch Brückenkurs 207. Vektoren, Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes 3. Anwendungen in der Geometrie, Lagebeziehungen

Mehr

Praktikum zur Vorlesung Einführung in die Geophysik

Praktikum zur Vorlesung Einführung in die Geophysik Praktikum zur Vorlesung Einführung in die Geophysik Hinweise zum Praktikum: Messunsicherheit und Fehlerrechnung Stefan Wenk, Prof. Thomas Bohlen TU Bergakademie Freiberg Institut für Geophysik www.geophysik.tufreiberg.de/pages/studenten/praktika/nebenfaechlerpraktikum.htm

Mehr

Brückenkurs Mathematik. Mittwoch Freitag

Brückenkurs Mathematik. Mittwoch Freitag Brückenkurs Mathematik Mittwoch 5.10. - Freitag 14.10.2016 Vorlesung 4 Dreiecke, Vektoren, Matrizen, lineare Gleichungssysteme Kai Rothe Technische Universität Hamburg-Harburg Montag 10.10.2016 0 Brückenkurs

Mehr

4.5 Überbestimmte Gleichungssysteme, Gauß sche Ausgleichrechnung

4.5 Überbestimmte Gleichungssysteme, Gauß sche Ausgleichrechnung 4.5 Überbestimmte Gleichungssysteme, Gauß sche Ausgleichrechnung In vielen Anwendungen treten lineare Gleichungssysteme auf, die eine unterschiedliche Anzahl von Gleichungen und Unbekannten besitzen: Ax

Mehr

KLAUSUR zur Numerik I mit Lösungen. Aufgabe 1: (10 Punkte) [ wahr falsch ] 1. Die maximale Ordnung einer s-stufigen Quadraturformel ist s 2.

KLAUSUR zur Numerik I mit Lösungen. Aufgabe 1: (10 Punkte) [ wahr falsch ] 1. Die maximale Ordnung einer s-stufigen Quadraturformel ist s 2. MATHEMATISCHES INSTITUT PROF. DR. ACHIM SCHÄDLE 9.8.7 KLAUSUR zur Numerik I mit Lösungen Aufgabe : ( Punkte) [ wahr falsch ]. Die maximale Ordnung einer s-stufigen Quadraturformel ist s. [ ]. Der Clenshaw

Mehr

Messunsicherheit und Fehlerrechnung

Messunsicherheit und Fehlerrechnung Messunsicherheit und Fehlerrechnung p. 1/25 Messunsicherheit und Fehlerrechnung Kurzeinführung Peter Riegler p.riegler@fh-wolfenbuettel.de Fachhochschule Braunschweig/Wolfenbüttel Messunsicherheit und

Mehr

Datenanalyse. (PHY231) Herbstsemester Olaf Steinkamp

Datenanalyse. (PHY231) Herbstsemester Olaf Steinkamp Datenanalyse (PHY23) Herbstsemester 207 Olaf Steinkamp 36-J-05 olafs@physik.uzh.ch 044 63 55763 Vorlesungsprogramm Einführung, Messunsicherheiten, Darstellung von Messdaten Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

Regularisierung in Bildrekonstruktion und Bildrestaurierung

Regularisierung in Bildrekonstruktion und Bildrestaurierung Regularisierung in Bildrekonstruktion und Bildrestaurierung Ulli Wölfel 15. Februar 2002 1 Einleitung Gegeben seien Daten g(x, y), die Störungen enthalten. Gesucht ist das (unbekannte) Originalbild ohne

Mehr

Mathematik II Frühjahrssemester 2013

Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Kapitel 8. Funktionen von mehreren Variablen 8.2 Partielle Differentiation Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 8.2 Part. Diff.

Mehr

Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.4 Anwendungen (Teil 2): Extremwerte

Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.4 Anwendungen (Teil 2): Extremwerte Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.4 Anwendungen (Teil 2): Extremwerte www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs2015/other/mathematik2 biol Prof. Dr.

Mehr

Konvexe Optimierungsprobleme

Konvexe Optimierungsprobleme von: Veronika Kühl 1 Konvexe Optimierungsprobleme Betrachtet werden Probleme der Form (P) min x C f(x) wobei f : C R eine auf C konvexe, aber nicht notwendigerweise differenzierbare Funktion ist. Ziel

Mehr

6 Polynomielle Gleichungen und Polynomfunktionen

6 Polynomielle Gleichungen und Polynomfunktionen 6 Polynomielle Gleichungen und Polynomfunktionen Lineare Gleichungen Eine lineare Gleichung in einer Variablen ist eine Gleichung der Form ax + b = cx + d mit festen Zahlen a und c mit a c. Dies kann man

Mehr

Vorlesung: Angewandte Sensorik

Vorlesung: Angewandte Sensorik zhang@informatik.uni-hamburg.de Universität Hamburg AB Technische Aspekte Multimodaler Systeme zhang@informatik.uni-hamburg.de Inhaltsverzeichnis 1. Allgemeine Informationen..................... 3 2. Sensorgrundlagen..........................

Mehr

Lösungen zur Klausur GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK

Lösungen zur Klausur GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK Institut für Stochastik Dr. Steffen Winter Lösungen zur Klausur GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK für Studierende der INFORMATIK vom 17. Juli 01 (Dauer: 90 Minuten) Übersicht über

Mehr

Konvexe Menge. Eine Menge D R n heißt konvex, wenn für zwei beliebige Punkte x, y D auch die Verbindungsstrecke dieser Punkte in D liegt, d.h.

Konvexe Menge. Eine Menge D R n heißt konvex, wenn für zwei beliebige Punkte x, y D auch die Verbindungsstrecke dieser Punkte in D liegt, d.h. Konvexe Menge Eine Menge D R n heißt konvex, wenn für zwei beliebige Punkte x, y D auch die Verbindungsstrecke dieser Punkte in D liegt, dh Kapitel Extrema konvex: h x + h y D für alle h [0, ], und x,

Mehr

Datenanalyse. (PHY231) Herbstsemester Olaf Steinkamp

Datenanalyse. (PHY231) Herbstsemester Olaf Steinkamp Datenanalyse PHY31 Herbstsemester 016 Olaf Steinkamp 36-J- olafs@physik.uzh.ch 044 63 55763 Vorlesungsprogramm Einführung, Messunsicherheiten, Darstellung von Messdaten Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

5. Meßfehler. Zufällige Messfehler machen das Ergebnis unsicher - ihre Abschätzung ist nur unter Verwendung statistischer Methoden durchführbar

5. Meßfehler. Zufällige Messfehler machen das Ergebnis unsicher - ihre Abschätzung ist nur unter Verwendung statistischer Methoden durchführbar 5. Meßfehler Man unterscheidet... zufällige Meßfehler systematische Meßfehler Zufällige Messfehler machen das Ergebnis unsicher - ihre Abschätzung ist nur unter Verwendung statistischer Methoden durchführbar

Mehr

Lösung zu Serie [Aufgabe] Faktorisieren Sie die folgenden Polynome so weit wie möglich:

Lösung zu Serie [Aufgabe] Faktorisieren Sie die folgenden Polynome so weit wie möglich: Lineare Algebra D-MATH, HS 04 Prof. Richard Pink Lösung zu Serie. [Aufgabe] Faktorisieren Sie die folgenden Polynome so weit wie möglich: a) F (X) := X 5 X in R[X] und C[X]. b) F (X) := X 4 +X 3 +X in

Mehr

i j m f(y )h i h j h m

i j m f(y )h i h j h m 10 HÖHERE ABLEITUNGEN UND ANWENDUNGEN 56 Speziell für k = 2 ist also f(x 0 + H) = f(x 0 ) + f(x 0 ), H + 1 2 i j f(x 0 )h i h j + R(X 0 ; H) mit R(X 0 ; H) = 1 6 i,j,m=1 i j m f(y )h i h j h m und passendem

Mehr

Mathematik für Anwender II

Mathematik für Anwender II Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2012 Mathematik für Anwender II Vorlesung 49 Zu einer reellwertigen Funktion Extrema auf einer offenen Menge G R n interessieren wir uns, wie schon bei einem eindimensionalen

Mehr

Statistik, Datenanalyse und Simulation

Statistik, Datenanalyse und Simulation Dr. Michael O. Distler distler@kph.uni-mainz.de Mainz, 24. Mai 2011 3. Schätzung von Parametern Problemstellung: Aus fehlerbehafteten Messungen möglichst genaue Ergebnisse erarbeiten zusammen mit Aussagen

Mehr

Varianz und Kovarianz

Varianz und Kovarianz KAPITEL 9 Varianz und Kovarianz 9.1. Varianz Definition 9.1.1. Sei (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω eine Zufallsvariable. Wir benutzen die Notation (1) X L 1, falls E[ X ]

Mehr

Differenzialrechnung für Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen. Graphentheorie

Differenzialrechnung für Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen. Graphentheorie Differenzialrechnung für Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Graphentheorie Differenzialrechnung für Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Def.: eine Funktion n f :D mit D,x (x,...x

Mehr

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vom

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vom INSTITUT FÜR STOCHASTIK SS 2007 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Priv.-Doz. Dr. D. Kadelka Dipl.-Math. oec. W. Lao Klausur (Maschineningenieure) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vom 2.9.2007 Musterlösungen

Mehr

9.2 Invertierbare Matrizen

9.2 Invertierbare Matrizen 34 9.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen

Mehr

Fortgeschrittene Mathematik Raum und Funktionen

Fortgeschrittene Mathematik Raum und Funktionen Fortgeschrittene Mathematik Raum und Funktionen Thomas Zehrt Universität Basel WWZ Thomas Zehrt (Universität Basel WWZ) R n und Funktionen 1 / 33 Outline 1 Der n-dimensionale Raum 2 R 2 und die komplexen

Mehr

Numerische Verfahren

Numerische Verfahren Numerische Verfahren 1. Kapitel: Prof. Dr.-Ing. K. Warendorf Hochschule für Angewandte Wissenschaften München Fakultät 03 WS 13/14 Prof. Dr.-Ing. K. Warendorf (Fakultät 03) Numerische Verfahren WS 13/14

Mehr

KAPITEL 3. Konvexe Funktionen

KAPITEL 3. Konvexe Funktionen KAPITEL 3 Konvexe Funktionen Sei F R n ein Definitionsbereich und f : F R eine Funktion. Unter dem Epigraphen von f versteht man die Menge epif = {(x, z) R n+1 x F, z R, z f(x)}. Man nennt f konvex, wenn

Mehr

Kalmanfiter (1) Typische Situation für den Einsatz von Kalman-Filtern

Kalmanfiter (1) Typische Situation für den Einsatz von Kalman-Filtern Kalmanfiter (1) Typische Situation für den Einsatz von Kalman-Filtern Vorlesung Robotik SS 016 Kalmanfiter () Kalman-Filter: optimaler rekursiver Datenverarbeitungsalgorithmus optimal hängt vom gewählten

Mehr

Kapitel 6. Differenzialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen

Kapitel 6. Differenzialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen Kapitel 6. Differenzialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen 6.1 Funktionen von mehreren Variablen Eine Abbildung f : D R, D R n, ordnet jedem n-tupel x = (x 1, x 2,...,x n ) D (eindeutig) eine

Mehr

1 Beispiel zur Methode der kleinsten Quadrate

1 Beispiel zur Methode der kleinsten Quadrate 1 Beispiel zur Methode der kleinsten Quadrate 1.1 Daten des Beispiels t x y x*y x 2 ŷ ˆɛ ˆɛ 2 1 1 3 3 1 2 1 1 2 2 3 6 4 3.5-0.5 0.25 3 3 4 12 9 5-1 1 4 4 6 24 16 6.5-0.5 0.25 5 5 9 45 25 8 1 1 Σ 15 25

Mehr

$Id: integral.tex,v /05/05 13:36:42 hk Exp $

$Id: integral.tex,v /05/05 13:36:42 hk Exp $ $Id: integral.tex,v.5 07/05/05 3:36:4 hk Exp $ Integralrechnung.4 Integration rationaler Funktionen In diesem Abschnitt wollen wir die Integration rationaler Funktionen diskutieren. Es wird sich herausstellen

Mehr

Einführung in einige Teilbereiche der Wirtschaftsmathematik für Studierende des Wirtschaftsingenieurwesens

Einführung in einige Teilbereiche der Wirtschaftsmathematik für Studierende des Wirtschaftsingenieurwesens in einige Teilbereiche der für Studierende des Wirtschaftsingenieurwesens Sommersemester 2013 Hochschule Augsburg Graphische Repräsentation von Kontingenztabellen Beispiel Autounfälle Verletzung leicht

Mehr

2 Extrema unter Nebenbedingungen

2 Extrema unter Nebenbedingungen $Id: lagrangetex,v 18 01/11/09 14:07:08 hk Exp $ $Id: untermfgtex,v 14 01/11/1 10:00:34 hk Exp hk $ Extrema unter Nebenbedingungen Lagrange-Multiplikatoren In der letzten Sitzung hatten wir begonnen die

Mehr

Lineare Algebra. 10. Übungsstunde. Steven Battilana.

Lineare Algebra. 10. Übungsstunde. Steven Battilana. Lineare Algebra. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch November 3, 26 Erinnerung Gram-Schmidt Verfahren Sei V ein euklidischer/unitärer Vektorraum mit dim(v ) n < Gegeben: W span{v,...,

Mehr

FACHHOCHSCHULE ESSLINGEN - HOCHSCHULE FÜR TECHNIK

FACHHOCHSCHULE ESSLINGEN - HOCHSCHULE FÜR TECHNIK FACHHOCHSCHULE ESSLINGEN - HOCHSCHULE FÜR TECHNIK Sommersemester 006 Zahl der Blätter: 5 Blatt 1 s. unten Hilfsmittel: Literatur, Manuskript, keine Taschenrechner und sonstige elektronische Rechner Zeit:

Mehr

Folgerungen aus dem Auflösungsatz

Folgerungen aus dem Auflösungsatz Folgerungen aus dem Auflösungsatz Wir haben in der Vorlesung den Satz über implizite Funktionen (Auflösungssatz) kennen gelernt. In unserer Formulierung lauten die Resultate: Seien x 0 R m, y 0 R n und

Mehr

Statistik. Ronald Balestra CH St. Peter

Statistik. Ronald Balestra CH St. Peter Statistik Ronald Balestra CH - 7028 St. Peter www.ronaldbalestra.ch 17. Januar 2010 Inhaltsverzeichnis 1 Statistik 1 1.1 Beschreibende Statistik....................... 1 1.2 Charakterisierung von Häufigkeitsverteilungen...........

Mehr

Einführung in die linearen Funktionen. Autor: Benedikt Menne

Einführung in die linearen Funktionen. Autor: Benedikt Menne Einführung in die linearen Funktionen Autor: Benedikt Menne Inhaltsverzeichnis Vorwort... 3 Allgemeine Definition... 3 3 Bestimmung der Steigung einer linearen Funktion... 4 3. Bestimmung der Steigung

Mehr

Mathematik. Mai 2017 AHS. Kompensationsprüfung 2 Angabe für Kandidatinnen/Kandidaten

Mathematik. Mai 2017 AHS. Kompensationsprüfung 2 Angabe für Kandidatinnen/Kandidaten Name: Datum: Klasse: Kompensationsprüfung zur standardisierten kompetenzorientierten schriftlichen Reifeprüfung AHS Mai 2017 Mathematik Kompensationsprüfung 2 Angabe für Kandidatinnen/Kandidaten Hinweise

Mehr

Über die Bedeutung der zwei Zahlen m und x 1 für das Aussehen des Graphen wird an anderer Stelle informiert.

Über die Bedeutung der zwei Zahlen m und x 1 für das Aussehen des Graphen wird an anderer Stelle informiert. Lineare Funktionen - Term - Grundwissen Woran erkennt man, ob ein Funktionsterm zu einer Linearen Funktion gehört? oder Wie kann der Funktionsterm einer Linearen Funktion aussehen? Der Funktionsterm einer

Mehr

Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.2 Partielle Differentiation

Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.2 Partielle Differentiation Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.2 Partielle Differentiation www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs2015/other/mathematik2 biol Prof. Dr. Erich Walter

Mehr

Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010

Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010 Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010 Lektion 7 11. Mai 2010 Kapitel 8. Vektoren Definition 76. Betrachten wir eine beliebige endliche Anzahl von Vektoren v 1, v 2,..., v m des R n, so können

Mehr

Geraden. Somit scheiden die Gerade im Punkt N(-b/m; 0) die x-achse.

Geraden. Somit scheiden die Gerade im Punkt N(-b/m; 0) die x-achse. Geraden Eine Gerade wird durch eine Gleichung der Form y = mÿx + b bzw. f(x) = mÿx + b beschrieben. Die Schreibweise f(x) = wird teils erst in der Oberstufe verwendet. b ist der y- Achsenabschnitt, d.h.

Mehr

Dr. Maike M. Burda. Welchen Einfluss hat die Körperhöhe auf das Körpergewicht? Eine Regressionsanalyse. HU Berlin, Econ Bootcamp

Dr. Maike M. Burda. Welchen Einfluss hat die Körperhöhe auf das Körpergewicht? Eine Regressionsanalyse. HU Berlin, Econ Bootcamp Dr. Maike M. Burda Welchen Einfluss hat die Körperhöhe auf das Körpergewicht? Eine Regressionsanalyse. HU Berlin, Econ Bootcamp 8.-10. Januar 2010 BOOTDATA.GDT: 250 Beobachtungen für die Variablen... cm:

Mehr

Fehlerrechnung. Einführung. Jede Messung ist fehlerbehaftet! Ursachen:

Fehlerrechnung. Einführung. Jede Messung ist fehlerbehaftet! Ursachen: Fehlerrechnung Einführung Jede Messung ist fehlerbehaftet! Ursachen: Ablesefehler (Parallaxe, Reaktionszeit) begrenzte Genauigkeit der Messgeräte falsche Kalibrierung/Eichung der Messgeräte Digitalisierungs-Fehler

Mehr

5 Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen

5 Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen 47 5 Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen Zur Charakterisierung von Verteilungen unterscheidet man Lageparameter, wie z. B. Erwartungswert ( mittlerer Wert ) Modus (Maximum der Wahrscheinlichkeitsfunktion,

Mehr

Einführungsbeispiel Kostenfunktion

Einführungsbeispiel Kostenfunktion Einführungsbeispiel Kostenfunktion Sie bauen eine Fabrik für Luxusautos auf und steigern die Produktion jeden Monat um 1000 Stück. Dabei messen Sie die jeweiligen Kosten und stellen sie grafisch dar. Die

Mehr