Funktion. Analysis einer Veränderlichen. Beispiel: Eine Funktion. f : D R,

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1 Funktion Eine Funktion Anlysis einer Veränderlichen f : D R, f () ordnet jedem Argument us dem Definitionsbereich D R einen Wert f () us dem Wertebereich W R zu. Ds Hndout ist Bestndteil der Vortrgsfolien zur Höheren Mthemtik; siehe die Hinweise uf der Internetseite für Erläuterungen zur Nutzung und zum Copyright. Anlysis - Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Grundlgen - Der Grph von f besteht us den Pren (, y) mit y = f (). y f () = ln( ) D f Einschränkungen n die uftretenden elementren Funktionen: Argument des Logrithmus positiv, Argument der Wurzel nichtnegtiv >, W Nenner ungleich Null Definitionsbereich Wie us der Abbildung ersichtlich ist, sind der Definitionsbereich (hellgru) und der Wertebereich (dunkelgru) die Projektionen des Grphen uf die - bzw. y-achse. D = [, )\{} = [, ) (, ) =.. = f () =.. Wertebereich W = R Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Grundlgen - Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Grundlgen -

2 y 4 W f Definitions- und Wertebereiche einiger elementrer Funktionen - -4 D f () D W / R \ {} R \ {} ln (, ) R tn R \ { : = (k + )π/, k Z} R [, ) [, ) Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Grundlgen - Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Grundlgen - Umkehrfunktion y y = f () Die Umkehrfunktion einer injektiven Funktion f : D W mit Definitionsbereich D und Wertebereich W R ist durch y = definiert. Dbei gilt f : W D R, f () y = f() y = f () = f (y). Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion ist der Wertebereich von f. Ihr Grph y = f () ist ds Spiegelbild des Grphen von f n der ersten Winkelhlbierenden (y = ): Die Schreibweise f () knn leicht zu Verwechslungen mit dem Kehrwert f () = f () führen. Insbesondere, wenn ds Argument der Funktion weggelssen wird, sollte us dem Zusmmenhng klr sein, ws gemeint ist. Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Grundlgen 4- Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Grundlgen 4-

3 einige Umkehrfunktionen 5 4 y = y = y = 4 5 y = y = tn y = rctn y = y = y = y = e y = ln Definitionsbereiche: f D f D R [, ) e R ln() (, ) R \ {} R \ {} tn R \ { : = (z + )π/, z Z} rctn R FÃ 4r Funktionen, die nicht injektiv sind, eistieren Umkehrfunktionen nur uf Teilmengen des Definitionsbereichs. Beispielsweise ist f : y = uf R + oder R invertierbr. Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Grundlgen 5- Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Grundlgen 5- Rechnen mit Funktionen Linerkombintionen von Funktionen sind punktweise definiert, d.h. durch die entsprechenden Opertionen uf den Funktionswerten: (rf + sg)() = rf () + sg(). Anlog erklärt mn ds Produkt fg und den Quotienten f /g. Beim Quotienten müssen dbei die Nullstellen von g vom Definitionsbereich usgeschlossen werden. Schließlich bezeichnet (f g)() = f (g()) die Hintereinnderschltung zweier Funktionen. rithmetische Verknüpfungen: f () = 4, g() = + (f + g)() = + (fg)() = ( ) f () =, g Quotient mit hebbrer Definitionslücke bei = (Nullstelle des Zählers 4 = ( + )( ) n der Polstelle bei = ) Hintereinnderschltung: (f g)() = ( + ) + 4 (g f )() =, Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Grundlgen 6- ( ist nicht kommuttiv) Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Grundlgen 7-

4 Gerde und ungerde Funktionen Eine Funktion f ist gerde, wenn f () = f ( ), d.h., wenn der Grph symmetrisch zur y-achse ist. Für eine ungerde Funktion ist f () = f ( ), und der Grph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. y y gerde (links) und ungerde Funktionen (rechts) 4 4 y = y = cos() y = / y = y = y = sin() gerde Funktion ungerde Funktion Ds Produkt zweier gerder oder ungerder Funktionen ist gerde. Hingegen ist ds Produkt einer gerden und einer ungerden Funktion ungerde. Beim Bilden von Summen oder Differenzen bleibt der Typ erhlten. Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Grundlgen 8- Kombintionen von Funktionen: (gerde) (ungerde) f () = cos sin, g() = + h() = f () sin g() Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Grundlgen 9- Monotone Funktion y Eine Funktion f ist uf einem Intervll D (strikt) monoton wchsend, wenn < f ( ) (<) f ( ), k D, bzw., flls f stückweise stetig differenzierbr ist, wenn f () (>) D monoton wchsend D strikt monoton wchsend für lle D bis uf isolierte Punkte. Anlog definiert mn (strikt) monoton fllend. Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Grundlgen - Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Grundlgen -

5 Monotoniebereiche der Funktion f () = ( ) ( + ) = y = ( ) ( + ) Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Grundlgen - Nullstellen von f () = =, = f > für < und > f strikt monoton wchsend uf (, ] und [, ) f < für < < f strikt monoton fllend uf [, ] Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Grundlgen - Konvee Funktion Eine Funktion ist (strikt) konve uf einem Intervll D, wenn jede Seknte (echt) oberhlb des Grphen liegt, d.h. für lle i D. f (( t) + t ) (<) ( t) f ( ) + t f ( ), t (, ) f( ) y Ist f zweiml stückweise stetig differenzierbr, so ist (strikte) Konveität äquivlent zu f () (>) für lle D bis uf isolierte Punkte. Die Summe konveer Funktionen ist konve. Die Opertionen,, / sowie die Hintereinnderschltung erhlten die Konveität im llgemeinen nicht. Schließlich ist jede konvee Funktion stetig. Anlog definiert mn konkv. Für eine konkve Funktion liegen die Seknten unterhlb des Grphen, d.h. die n der -Achse gespiegelte Funktion f ist konve. ( t) f( ) + t f( ) f( ) ( t) + t Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Grundlgen - Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Grundlgen -

6 Polynom Ein Polynom p vom Grd n lässt sich in der Form kubische (n = ) und qurtische (n = 4) Polynome mit qulittiv verschiedenen Funktionsgrphen p() = n n Kubische Polynome Qurtische Polynome mit n schreiben. Die Vrible und die Koeffizienten k können reell oder komple sein. Entsprechend spricht mn von einem reellen bzw. kompleen Polynom. y = y = 8 4 y = y = Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Polynome - Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Polynome - Linere Funktion Alterntive Drstellungen sind die Punkt-Steigungs-Form Der Grph einer lineren Funktion f () = + b und die Zwei-Punkte-Form y y = ist eine Gerde mit Steigung und y-achsenbschnitt b. y y y = y y, wobei (, y ) und (, y ) Punkte uf der Gerden sind. b y = + b Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Polynome - Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Polynome -

7 Die Abbildung illustriert die unterschiedlichen Drstellungsformen linerer Funktionen: 8 y 4 7 y 4 5 = 5 = (5, 4) y = 4 4 y = + = y = (, ) Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Polynome - In vielen Modellen in der Mkroökonomie wird ngenommen, dss der Gesmtkonsum für Güter und Dienstleistungen C eine linere Funktion des Volkseinkommens ist: C = + b Die Steigung b ist die Grenzneigung zum Konsum. Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Polynome - In einem lineren Model sind die Nchfrgefunktion D und Angebotsfunktion S durch D = bp, S = c + dp gegeben, wobei p den Preis bezeichnet und, b, c, d >. Ds Gleichgewichtspreis p tritt ein, wenn die Nchfrge gleich dem Angebot ist: D = S = bp = c + dp = p = c b + d Die zugehörige Gleichgewichtsmenge ist Qudrtische Funktion Der Grph einer qudrtischen Funktion ist eine Prbel der Form mit Scheitel f () = + b + c y = ( ) + y (, y ) = ( ), b b 4 + c. bp = b c b + d = d + bc b + d Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Polynome 4- Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Polynome -

8 y y = ( ) + y Polynomdivision Zu Polynomen p und q mit m = Grd q Grd p = n gibt es eindeutig bestimmte Polynome f und r mit y p = fq + r, Grd f = n m, Grd r < m. Diese Zerlegung knn durch Division mit Rest bestimmt werden. Speziell folgt für eine Nullstelle t von p dss p() = f ()( t) mit Grd f = n. Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Polynome - Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Polynome - Polynomdivision für p() = , q() = + + verfhre nlog zur schriftlichen Division ( ) : ( + + ) = r() q() ( ) ( ) ( + + ) + = r() Zerlegung: }{{} p() = ( + + ) ( + + ) }{{}}{{} f () q() + ( + ) }{{} r() Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Polynome - Fktorisierung von Polynomen Ein Polynom p vom Grd n besitzt, einschließlich Vielfchheiten, genu n komplee Nullstellen z k und lässt sich somit ls Produkt der entsprechenden Linerfktoren schreiben: p(z) = c(z z ) (z z n ) mit einer Konstnten c, dem Koeffizienten von z n. Ist p reell, so treten komplee Nullstellen in komple konjugierten Pren k ± iy k uf. Eine reelle Fktorisierung knn lso neben reellen Linerfktoren uch qudrtische Fktoren der Form enthlten. (z k iy k )(z k + iy k ) = (z k ) + y k Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Polynome -

9 Die Nullstellen eines Polynoms lssen sich für Grd mit der Mitternchtsformel und für Grd und 4 mit den Crdnischen Formeln eplizit ls lgebrische Ausdrücke bestimmen. Für höhere Grde müssen i.. numerische Verfhren verwendet werden. Ist jedoch eine Nullstelle beknnt, so knn mn durch den entsprechenden Linerfktor dividieren, q(z) = p(z)/(z z ), und z,..., z n ls Nullstellen des Polynoms q vom Grd n bestimmen. Fktorisierung von p(z) = z 5z + 9z 5 Division durch den Linerfktor zur Nullstelle z = p(z)/(z ) = z 4z + 5 Mitternchtsformel Nullstellen des qudrtischen Polynoms: komplee Fktorisierung: z, = ± 5 = ± i p(z) = (z )(z i)(z + i) Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Polynome - Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Polynome - reelle Fktorisierung durch Zusmmenfssen der komple konjugierten Fktoren: (z i)(z + i) = (z ) + p(z) = (z )(z + 4z + 5) Rtionle Funktion Eine rtionle Funktion r mit Zählergrd m und Nennergrd n ist der Quotient zweier Polynome: r() = p() q() = m m b + b + + b n n. Diese Drstellung bezeichnet mn ls irreduzibel, wenn p und q keinen gemeinsmen Linerfktor besitzen. Die Nullstellen des Nenners sind dnn Definitionslücken der rtionlen Funktion r und werden ls Polstellen bezeichnet. Ihre Ordnung entspricht der Vielfchheit der Nullstelle. Die Vrible und die Koeffizienten k, b k können reell oder komple sein. Entsprechend spricht mn von einer reellen oder kompleen rtionlen Funktion. Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Polynome - Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Rtionle Funktionen -

10 Reelle Prtilbruchzerlegung f () = 4 ( + )( ) einfcher Pol bei = Vorzeichenwechsel doppelter Pol bei = kein Vorzeichenwechsel Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Rtionle Funktionen - Eine reelle rtionle Funktion r mit reellen Polstellen j und komple-konjugierten Polstellen u k ± iv k der Vielfchheit m j bzw. n k r = p q, lässt sich in der Form r() = f () + j q() = c j m j ν= ( j ) m j (( u k ) + vk )n k j,ν ( j ) ν + k k n k µ= b k,µ ( u k ) + c k,µ (( u k ) + v k )µ zerlegen, mit einem Polynom f vom Grd d = Grd p Grd q (f =, flls d < ). Die Zhl der Summnden pro Polstelle entspricht der Vielfchheit. Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Rtionle Funktionen - Insbesondere gilt für einfche Polstellen r() = f () + j j j + k b k ( u k ) + c k ( u k ) + v k Ds Polynom f knn durch Polynomdivision bestimmt werden p = fq + g, Grd g < Grd q, d.h. g ist der Rest bei Division von p durch q. Die Koeffizienten lssen sich dnn durch Koeffizientenvergleich in der Drstellung von r f = g/q nch Multipliktion mit dem Nennerpolynom berechnen. Die reelle Prtilbruchzerlegung lässt sich uch us der kompleen Form gewinnen, indem mn komple-konjugierte Terme zusmmenfsst.. reelle Prtilbruchzerlegung von r() = p() q() = (i) Polynomdivision (Grd p Grd q): ( ) : ( 4 + 5) = Rest g() = + + Zerlegung r() = f () + g() q() = Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Rtionle Funktionen - Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Rtionle Funktionen -

11 (ii) Fktorisierung des Nennerpolynoms: Polstelle = weitere Polstellen durch qudrtische Ergänzung: q()/ = = ( ) + u ± iv = ± i Anstz: + + (( ) + ) = + b( ) + c ( ) + (iii) Koeffizientenvergleich: Multipliktion mit dem Nennerpolynom q im Anstz + + = (( ) + ) + b( ) + c Vergleich der Koeffizienten von, und = 5 = 4 b + c = + b Lösungen = 5, b = 6 5, c = 5 resultierende reelle Prtilbruchzerlegung: r() = /5 6/5( ) + ( /5) + ( ) + Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Rtionle Funktionen - Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Rtionle Funktionen - Sinus und Kosinus Mit (cos t, sin t), t R werden die Koordinten des um den Ursprung mit Winkel t gedrehten Punktes (, ) bezeichnet. Bis uf ds Vorzeichen entsprechen lso Kosinus und Sinus den Verhältnissen von Ktheten zur Hypothenuse in einem rechtwinkligen Dreieck. t cos t sin t cos t sin t Die beiden Kreisfunktionen sind π-periodisch und es gilt cos t = sin(t + π/), cos t = cos( t), sin t + cos t =. Einige spezielle Werte sind: sin t = sin( t), π 6 sin cos π 4 π π π π π π Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Trigonometrische Funktionen - Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Trigonometrische Funktionen -

12 Additionstheoreme von Sinus und Kosinus Tngens und Cotngens Für die Kreisfunktionen sin t und cos t gelten folgende Beziehungen: cos(α ± β) = cos α cos β sin α sin β sin(α ± β) = sin α cos β ± sin β cos α Insbesondere ist cos(α) = cos α sin α, sin(α) = sin α cos α. Die Funktionen Tngens und Kotngens sind durch tn t = sin t cos t, cos t cot t = sin t definiert. Bis uf ds Vorzeichen geben sie ds Verhältnis der Ktheten in einem rechtwinkligen Dreieck n. cot t 4 4 t tn t 4 π π/ π/ π Tngens 4 π π/ π/ π Kotngens Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Trigonometrische Funktionen - Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Trigonometrische Funktionen - Einige spezielle Werte sind: Arkusfunktionen π 6 tn nicht def. cot nicht def. π 4 π π Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen werden mit bezeichnet. rccos, rcsin, rctn, rccot /π π π /π π/ π π/ π/.5.5 Arkussinus.5.5 Arkuskosinus Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Trigonometrische Funktionen - Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Trigonometrische Funktionen -

13 π π Eponentilfunktion π/ π/ π 4 4 Arkustngens π/ π/ π 4 4 Arkuskotngens Ihre Definitions- und Wertebereiche können den obigen Abbildungen entnommen werden. Dbei sind die Huptäste jeweils fett gezeichnet. Die Potenzfunktion y = e = ep() mit der Eulerschen Zhl e = wird ls Eponentilfunktion bezeichnet. Sie ist für lle R positiv und erfüllt die Funktionlgleichung Insbesondere ist e = /e. e +y = e e y y = ep() Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Trigonometrische Funktionen - Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Eponentilfunktionen - Verzinsung Ein Strtkpitl ergibt nch n-fcher Aus- bzw. Einzhlung einer Rte r (r < bzw. r > ) bei einem Zinsfktor ( + p) ds Endkpitl y = ( + p) n + ( + p)n r. p Dbei entspricht p = einem Zinsstz von %. Der effektive Jhreszins p j berechnet sich bei montlicher Verzinsung mit einem Zinstz p m zu p j = ( + p m ) p m. Dmit knn in der Formel für ds Endkpitl y mit p = p m und n der Anzhl der Montsrten die Potenz ( + p m ) n durch ( + p j ) n/ (n/: Anzhl der Jhre) ersetzt werden. Verkuf von Mnhttn 66: Morgen für 6 Gulden jährlicher Zinsstz von 7 Prozent Guthben im Jhr von 6 NLG (.7) 74 = NLG ( =.658 EUR) montliche Verzinsung: 6 NLG ( + 7/) 4488 =. NLG ( = 5.9 EUR) kontinuierliche Verzinsung (( + p/n) n ep(p)): 6 NLG ep(.7 74) = 4.6 NLG ( = 6.8 EUR) Fläche von Mnhttn: c. 89 Qudrtkilometer bei Wohnungspreis von 65 USD/Qudrtmeter usreichend Kpitl für ein Wohnhus mit 4 Stockwerken über der Gesmtfläche Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Eponentilfunktionen - Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Eponentilfunktionen -

14 Drlehen: Betrg = Euro, Lufzeit n = Jhre, Festzins p j = 5/ montlicher Zinsstz: p m = ( + p j ) / =.474% montliche Rte: r = p m( + p j ) n ( + p j ) n = 6. EUR Nullsetzen des Drlehnsrestbetrges y in der Zinseszinsformel y = ( + p m ) n + ( + p m) n p m ( r) (( + p m ) = + p j ) Gesmtzhlung r = EUR um 9.8% höher ls die Drlehenssumme Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Eponentilfunktionen 4- montliche Rte für ein Drlehen von EUR ls Funktion des Zinsstzes für verschiedene Lufzeiten montliche Rte Jhre Jhre 5 Jhre Jhre Jhre 4 Jhre Zinsstz Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Eponentilfunktionen 4- (i) Rtenspren: jährliche Zhlung r = Euro (gebucht m Jhresende), Zinsstz von 7%, Zeitrum n = Jhre = ( + p j) n r =.7 EUR = EUR p j.7 (ii) montliche Rente us ngesprtem Kpitl: Zhlungszeitrum Jhre, Auszhlungen m Montsende Betrg r = p m ( + p j ) ( + p j ) = EUR = 57.7 EUR Berechnung mit Hilfe der Verzinsungsformel y = ( + p m ) n + ( + p m) n p m ( r), n =, (effektiver Jhreszins: + p j = ( + p m ) ) Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Eponentilfunktionen 5- Kpitlentwicklung in Abhängigkeit von der Lufzeit für verschiedene Zinssätze Endkpitl % 4% 5% 6% 7% Lufzeit Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Eponentilfunktionen 5-

15 Ntürlicher Logrithmus Die Logrithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Eponentilfunktion: y = e = ln y. Sie bildet (, ) streng monoton wchsend uf R b und erfüllt die Funktionlgleichung ln(y) = ln + ln y. Insbesondere ist ln(/) = ln. y = ln Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Eponentilfunktionen - Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Eponentilfunktionen - rdioktiver Zerfll N(t) = N()e kt mit N(t) der Anzhl der Atome zum Zeitpunkt t Hlbwertszeit T N(T ) = N() e kt = T = ln /k Tschernobyl Verstrhlung von Pilzen mit Bq/kg durch Cäsium-7 (Hlbwertszeit: 9.7 Jhre) N(t) = ep( kt), k = ln 9.7 =. Erreichen des zulässigen Grenzwertes von 6Bq/kg nch t = 5 Jhren: 6 = ep(.t).t = ln(6/) }{{}. Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Eponentilfunktionen - Allgemeine Potenzfunktion und Logrithmus Für > definiert mn mit der Umkehrfunktion y = = ep( ln ) = log y, y >. Insbesondere schreibt mn log = log für den Logrithmus zur Bsis und ld = log für den dulen Logrithmus f () = f () = ld() Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Eponentilfunktionen -

16 Rechenregeln für Potenzen und Logrithmen Aus den Definitionen und Funktionlgleichungen für Eponentil- und Logrithmusfunktion folgen die Regeln s+t = s t, log + log y = log (y), s t = s / t, log log y = log (/y), ( s ) t = st log t = t log. Drüberhinus gilt für die Umrechnung zwischen verschiedenen Bsen die Beziehung log b = log b log. Insbesondere ist log = (log e) ln. Anwendung der Rechenregeln (i) ln(4 ) ln() = ln( ) + ln( ) ln = ln + ln ln = ln (ii) log 4 = / log 4 ( ) + ld() = (log 4 ld) + ld + ld }{{} log 4 Ausdruck = ld + ld + ld = ld + ld = ld( ) Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Eponentilfunktionen - Anlysis Funktionen einer Veränderlichen Eponentilfunktionen - Grenzwert einer Folge 5 Eine Folge ( n ) =,,... + ε konvergiert gegen einen Grenzwert, = lim n n, wenn es zu jedem ε > ein n ε gibt mit ε 4 5 n < ε für lle n > n ε. Mn benutzt ebenflls die Schreibweise n für eine konvergente Folge. Besitzt ( n ) keinen Grenzwert, so bezeichnet mn die Folge ls divergent n ε... n Anlysis Konvergenz und Grenzwerte Folgen - Anlysis Konvergenz und Grenzwerte Folgen -

17 Nchweis des Konvergenz-Kriteriums n < ε für n > n ε (i) Vereinfchung des Ausdrucks n durch Abschätzung nch oben: n f (n) (ii) Auflösen der Ungleichung f (n) < ε nch n: konkretes Beispiel n = n + n n + mit Grenzwert = (i) n = n + n n + = n n + (ii) n < ε n > ε = n ε n n + < n n > g(ε) = n ε Anlysis Konvergenz und Grenzwerte Folgen - Anlysis Konvergenz und Grenzwerte Folgen - geometrische Folge, q, q,... konvergent für q < oder q = mit Grenzwert bzw. divergent für q > oder q = Rechenregeln für Grenzwerte bei Folgen Für konvergente Folgen ( n ) und (b n ) mit Grenzwerten und b gilt: lim ( n ± b n ) = ± b n lim ( nb n ) = b n lim ( n/b n ) = /b, flls b n Anlysis Konvergenz und Grenzwerte Folgen - Anlysis Konvergenz und Grenzwerte Folgen -

18 rtionle Folgen n = p(n) q(n) Bestimmung des Grenzwerts nch Kürzen durch die höchste Potenz, z.b.: lim n n n n + 4n = lim /n n + 4/n = Grenzwert bei Zählergrd j und Nennergrd k: p j n j { + p, für j < k lim n q k n k = + q für j = k Divergenz für j > k p j q k, flsche Argumenttion: lim n ( n + n + ) n = ( lim n keine konstnte Anzhl der Fktoren! benutze ( lim + ) n = e n n lim n ) n + n = n = n + ( ) n + n ( = lim + ) n+ ( lim + ) n + n n + n n + = e = e Anlysis Konvergenz und Grenzwerte Folgen - Anlysis Konvergenz und Grenzwerte Folgen - Monotone Konvergenz einer Folge Eine Folge ( n ) heißt monoton wchsend bzw. monoton fllend, wenn n+ n bzw. n+ n für lle n. Sie heißt streng monoton wchsend bzw. streng monoton fllend, wenn n+ > n bzw. n+ < n für lle n. Schrnke Supremum n Eine beschränkte, für n > n monoton wchsende oder fllende Folge ( n ) ist konvergent. Der Grenzwert ist ds Supremum bzw. Infimum der Folgenelemente n, n > n. Anlysis Konvergenz und Grenzwerte Folgen - n n Eulersche Zhl e = lim n ( + /n)n }{{} n monotone Konvergenz Eistenz des Grenzwertes (i) Beschränktheit: binomische Formel n = ( + /n) n = + ( ) n n + ( ) n n(n ) (n k + ) = k k = n ( ) n n + n k Anlysis Konvergenz und Grenzwerte Folgen -

19 (ii) Monotonie: binomische Formel ( n + n+ = + ) n + + ( ) n + (n + ) + größere Terme ls in der Drstellung von n : ( ) n n(n ) (n k + ) = k nk k n k ( ) (n + ) n (n k + ) n + k (n + ) k = k (n + ) k, Uneigentliche Grenzwerte Eine Folge ( n ) besitzt den uneigentlichen Grenzwert ( ), wenn es für lle > ein n gibt, so dss n > (< ) für lle n > n gilt. Folgen, die einen uneigentlichen Grenzwert besitzen, werden uch ls bestimmt divergente Folgen bezeichnet. denn n j n n + j n + Anlysis Konvergenz und Grenzwerte Folgen - Anlysis Konvergenz und Grenzwerte Folgen - uneigentlicher Grenzwert: n = n! n zu zeigen: n! n > für n > n schätze n durch einfcheren Ausdruck nch unten b: n = n n Vergleichskriterium für Folgen Gilt n b n c n für genügend große n mit lim n = lim c n = g, so konvergiert uch die Folge b n gegen g. n > für n 4 > bzw. n > 4 = n Anlysis Konvergenz und Grenzwerte Folgen - Anlysis Konvergenz und Grenzwerte Folgen -

20 (i) lim n n n = Beweis mit Vergleichskriterium, ngewndt uf die Ungleichungen n n + n rechte Ungleichung folgt us binomischer Formel: n + n n(n ) + 4 n n + (ii) Beweis mit Produktregel (iii) llgemeiner: lim n lim n n ( n k = lim n ) k n = n n p(n) =, p(n) = k n k + +, k > Beweis durch Vergleich mit n-ten Wurzeln us j n j < k p (n) = ( k /)n k, p + (n) = ( k )n k k n k für j < k und hinreichend großes n (n > k j k ) = p (n) p(n) p + (n) Anlysis Konvergenz und Grenzwerte Folgen - Anlysis Konvergenz und Grenzwerte Folgen - Spezielle Grenzwerte von Folgen Einige wichtige Grenzwerte sind in der folgenden Tbelle ngegeben. n = lim n n n n n α q n, q < n α ln n, α > q n /n! n!/n n ( + /n) n e ( /n) n /e (i) Grenzwert der Folge n = setze m = n +, n = (m )/: lim n = n ( ( + ) 4n, n =,,... n + lim m n = = e 6 = e ( + ) m 6 m ( + ) m ) ( m lim m ( + )) 6 m Anlysis Konvergenz und Grenzwerte Folgen - Anlysis Konvergenz und Grenzwerte Folgen -

21 (ii) Grenzwert der Folge Umformung [...] = n = n = = ( ) n / n, n =,,... n (n)(n ) (n + ) n (n ) [ /n + /n lim n lim n n n n n! = n ] nn n! Berechnung von Grenzwerten der Form n ± b n c n ± d n durch Division durch die betrgsmäßig größeren Folgenelemente z.b: Umformung von n = ( + n + 4) 5n + ln n n n + 4 5n + ln n /n, /n, (ln n)/n = = /n + 6 /n + 4/n (ln n)/n lim n = n 5 + = 5 Anlysis Konvergenz und Grenzwerte Folgen - Anlysis Konvergenz und Grenzwerte Folgen - Grenzwert einer Reihe Eine Summe k mit unendlich vielen Summnden bezeichnet mn ls k= Reihe. Sie konvergiert gegen einen Grenzwert Der Grenzwert knn von der Reihenfolge der Summnden bhängen, bzw. brucht nch dem Umordnen nicht mehr zu eistieren. Notwendig für die Konvergenz einer Reihe ist, dss lim n =. s = k, k= wenn die Folge (s n ) der Prtilsummen s n = n k= gegen s konvergiert. Eistiert kein Grenzwert, so bezeichnet mn die Reihe ls divergent. k Anlysis Konvergenz und Grenzwerte Reihen - Anlysis Konvergenz und Grenzwerte Reihen -

22 Prtilbruchzerlegung Umformung der Reihe ( ) + ( 4 n= n n = n = n n + ) ( + ) ( ) ( ) + 7 Grenzwert n n = / wegen Aufhebung ller Terme ußer / und / Geometrische Reihe Die geometrische Reihe q k konvergiert genu, dnn wenn q <. k= Mit der geometrische Summenformel s n = + q + + q n = qn+ q lässt sich der Grenzwert eplizit berechnen: für q <. lim s n = + q + q + q + + q n + = n q Anlysis Konvergenz und Grenzwerte Reihen - Anlysis Konvergenz und Grenzwerte Reihen - Koch-Schneeflocke, generiert durch itertive Modifiktion von Knten n-te Schneeflocke: 4 n Knten mit Länge n (i) Umfng: Kntenzhl Kntenlänge = ( 4 n ) ( n ) = ( 4 ) n Divergenz frktler Rnd (ii) Flächeninhlt: n-ter Schritt: 4 n gleichseitige Dreiecke mit Kntenlängen n und Flächeninhlten /4 ( n ) Gesmtfläche nch N Schritten 4 + N n= ( 4 n 4 ( n ) ) ( = + 4 N geometrische Reihe mit Grenzwert ( + ) = 4 4/9 5 N n= ) 4 n 9 n Anlysis Konvergenz und Grenzwerte Reihen - Anlysis Konvergenz und Grenzwerte Reihen -

23 Die Eulersche Zhl ls Grenzwert einer Folge und einer Reihe Die Eulersche Zhl e =, lässt sich ls Grenzwert einer Folge und einer Reihe drstellen: ( lim + ) n = e = n n n= n!. Spezielle Reihen k= q k = + q + q + = q, q < k= k ( ) k k k= k= k! = = = + 4 ± = ln = +! +! +! + = e k= ( ) k k! =! +!! ± = e Anlysis Konvergenz und Grenzwerte Reihen - Anlysis Konvergenz und Grenzwerte Reihen - Stetigkeit y Eine Funktion f ist stetig im Punkt, wenn für lle Folgen ( n ) mit Grenzwert die Funktionswerte f ( n ) gegen f () konvergieren: n = f ( n ) f (). Nch Definition des Grenzwerts gibt es zu jedem ε > ein δ ε mit und mn schreibt lim f () = f (). f () f () < ε für < δ ε, f() D Sprung Eine Funktion ist stetig uf einem Intervll D, wenn sie in jedem Punkt von D stetig ist. Dies bedeutet, dss der Grph von f zusmmenhängend ist, die Funktion besitzt keine Sprung- oder Polstellen. Anschulich bedeutet Stetigkeit, dss sich der Grph ohne bzusetzen zeichnen lässt. Pol Anlysis Konvergenz und Grenzwerte Stetigkeit - Anlysis Konvergenz und Grenzwerte Stetigkeit -

24 verschiedene Typen von Unstetigkeitsstellen f () = sign() g() = + Signum-Funktion sign: Sprung bei, Funktionswert sign() =, kein Grenzwert von f () für rtionle Funktion g: Definitionslücken bei = ± Polstelle bei = : hebbre Definitionslücke bei = : = g() g() = + =, g stetig bei = nch Ergänzen des Funktionswertes g( ) = Anlysis Konvergenz und Grenzwerte Stetigkeit - Anlysis Konvergenz und Grenzwerte Stetigkeit - f () = sin(/): unstetig bei = wegen Oszilltionen zwischen ± g() = sin(/): hebbre Definitionslücke bei = g() stetige Ergänzung g() =.5.5 f () = sin(/) g() = sin(/) Regeln für stetige Funktionen Für in einem Punkt stetige Funktionen f und g sind rf (r R) f ± g fg f /g (flls g() ) f g in stetig. Entsprechendes gilt für uf einem Intervll D stetige Funktionen sowie für links- und rechtsseitige Stetigkeitsstellen. Anlysis Konvergenz und Grenzwerte Stetigkeit - Anlysis Konvergenz und Grenzwerte Stetigkeit -

25 Zwischenwertstz Ableitung Eine stetige Funktion f nimmt uf einem bgeschlossenen Intervll [, b] jeden Wert zwischen f () und f (b) n. Eine Funktion f ist in einem Punkt differenzierbr, wenn der ls Ableitung bezeichnete Grenzwert f(b) y eistiert. f () = lim h f ( + h) f () h y f () f() b f() Anlysis Konvergenz und Grenzwerte Stetigkeit - Anlysis Differentition Grundbegriffe - Geometrisch bedeutet Differenzierbrkeit, dss die Steigungen der Seknten gegen die Steigung der durch y = f () + f ()( ) gegebenen Tngente konvergieren. Mn schreibt uch f () = d dy f () = d d mit y = f (). Diese Schreibweise symbolisiert den Grenzübergng in dem Differenzenquotienten y = f ( + ) f () + Höhere Ableitungen werden mit f, f,... bzw. f (), f (),... bezeichnet. Eine Funktion f heißt differenzierbr uf einer Menge D, wenn f () für lle D eistiert.. (i) Ableitung der Funktion f () = : Definition f () = lim h ( + h) h = lim h h + h h f () = (ii) beliebiges Monom f () = n, n N: binomische Formel f () = lim h ( + h) n n h O(h ): Terme mit Fktoren h = lim h ( n = lim h ( + h) = ) n h + O(h ) h = n n Anlysis Differentition Grundbegriffe - Anlysis Differentition Grundbegriffe -

26 Ableitung von f () = sin Additionstheorem = sin(t ± h/) = sin t cos(h/) ± cos t sin(h/) t = + h/ Umformung des Differenzenquotienten sin( + h) sin h rechte Seite cos für h, d = sin ( ( + h/) + h/ ) sin ( ( + h/) h/ ) h cos( + h/) sin(h/) = h Linerität der Ableitung Die Ableitung ist liner, d.h. für differenzierbre Funktionen f und g gilt (rf ) = rf, r R, (f ± g) = f ± g. sin(h/) sin(h/) lim = lim = h h h h/ Anlysis Differentition Grundbegriffe - Anlysis Differentition Grundbegriffe 4- Wichtige Ableitungen Produktregel f () f () f () f () c r, r r r e e ln sin cos rcsin Die Ableitung des Produktes zweier differenzierbrer Funktionen f und g ist (fg) = f g + fg. Allgemeiner gilt für ein Produkt f = f f n f = n i= f f i f i f i+ f n = n i= f i f. f i cos sin rccos tn tn + rctn cot sin + rccot + Anlysis Differentition Grundbegriffe - Anlysis Differentition Ableitungsregeln -

27 Ableitung des Polynoms nlog: = p() = ( ) ( n) Produktregel p() = ( )( )( ) p () = ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) p (k) = (k ) (k (k )) (k (k + )) (k n) f r k =,..., n = ( ) n k (n k)! (k )! n den Nullstellen =,, jeweils nur ein Fktor relevnt: p () = ( )( ) = p () = ( )( ) = p () = ( )( ) = Anlysis Differentition Ableitungsregeln - Anlysis Differentition Ableitungsregeln - Quotientenregel Die Ableitung des Quotienten zweier differenzierbrer Funktionen ist ( ) f = f g fg g g n llen Punkten mit g(). Insbesondere gilt ( ) = g g g. Ableitung der rtionlen Funktion f () g() = 4 + Quotientenregel (f /g) = (f g fg )/g ( ) (4 + ) ( )(4 + ) (4 + ) = (4 + ) ( )(6) (4 + ) = (4 + ) lterntiv: Produktregel und Formel (/g) = g /g ( ) ( ) 4 + = ( ) ( ) 6 (4 + ) Anlysis Differentition Ableitungsregeln - Anlysis Differentition Ableitungsregeln -

28 Kettenregel Für die Verkettung von Funktionen ist die Ableitung h() = (f g) () = f ( g() ) h () = f (g())g (). Mit f (y) = z, g() = y, h() = z schreibt mn uch dz d = dz dy dy d. Ableitung von Kettenregel = h() = sin ( ln( + ) ) }{{} y=g() h () = d dy sin(y)g () = cos ( ln( + ) ) g () innere Ableitung, berechnet ebenflls mit der Kettenregel: g () = + () insgesmt: h () = cos(ln( + )) + Anlysis Differentition Ableitungsregeln - Anlysis Differentition Ableitungsregeln - lterntiv: Verwendung der differentiellen Schreibweise z = sin y, y = ln w, w = + dz d = dz dy dw dy dw d = cos(y) w = cos ( ln( + ) ) + () Ableitung der Umkehrfunktion Ist eine Funktion y = f () stetig differenzierbr mit f (), so ist f in einer Umgebung von invertierbr, und es gilt (f ) (y) = f (), bzw. d/dy = (dy/d) ; die Steigungen von f und f sind reziprok. y (f ) (y) f () f() Anlysis Differentition Ableitungsregeln - Anlysis Differentition Ableitungsregeln -

29 Ableitung der Umkehrfunktion = rctn y der Tngensfunktion d d tn = d sin d cos = cos + sin cos Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion = ( ) d dy rctn y = cos = cos = cos tn rctn rccot cot Drstellung ls Funktion von y = cos = + sin cos = + y d dy rctn y = + y nloge Berechnung der Umkehrfunktion des Kotngens Anlysis Differentition Ableitungsregeln - Anlysis Differentition Ableitungsregeln - Umkehrfunktionen g von y = f () = ( ) verschiedene Zweige g ± uf den Intervllen (, /] und [/, ) y ( = g (y), y) ( = g + (y), y) / Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion = g (y) = f () = nochmliges Differenzieren mit Hilfe der Kettenregel ( ) g d (y) = dy = ( ) z.b. =, y = (rechter Zweig g + ) g +() =, g +() = Überprüfung durch eplizite Berechnung der Umkehrfunktionen: Auswertung der Ableitungen: + y = g ± (y) = ± /4 y g +() = (/4 y) / y= = g +() = 4 (/4 y) / y= = 4 8 Anlysis Differentition Ableitungsregeln - Anlysis Differentition Ableitungsregeln -

30 Stz von Rolle Die Ableitung einer stetig differenzierbren Funktion f mit f () = f (b) = ht mindestens eine Nullstelle c (, b). Mittelwertstz Für eine stetig differenzierbre Funktion f gilt f (b) f () = f (t)(b ) für ein t (, b). y f c Allgemeiner gilt: Ht eine gltte Funktion n Nullstellen in einem Intervll [, b] (einschließlich Vielfchheiten), so besitzt die k-te Ableitung dort n k Nullstellen. c b y t b Anlysis Differentition Anwendungen - Anlysis Differentition Anwendungen - Geometrisch bedeutet die Identität, dss die Tngente in einem Punkt t prllel zu der durch die Endpunkte (, f ()) und (b, f (b)) verlufende Seknte ist. Mn schreibt uch y = f (t). Regel von l Hospitl Hben zwei stetig differenzierbre Funktionen f und g eine gemeinsme Nullstelle oder Polstelle in, so gilt f () lim g() = lim f () g (), flls der rechte Grenzwert eistiert (gegebenenflls im uneigentlichen Sinn). Eine wiederholte Anwendung der Regel ist möglich, flls der Quotient f ()/g () ebenflls ein unbestimmter Ausdruck der Form / oder / ist. Anlysis Differentition Anwendungen - Anlysis Differentition Anwendungen -

31 (i) Fll /: (ii) Fll / : lim = lim 6 7 = ln() lim ln() = lim + + / = lim / + / = lim = + (iii) Fll : (iv) mehrfche Anwendung: ( lim ) sin() = lim sin() sin() cos() = lim sin() + cos() sin() = lim cos() sin() = bechte: Eistenz der zu berechnenden Grenzwerte erst durch die Eistenz der nch Anwendung der Regel von l Hospitl enstehenden Grenzwerte gesichert π/ rctn lim / /( + ) = lim / = Anlysis Differentition Anwendungen - Anlysis Differentition Anwendungen - Tylor-Polynom Ds Tylor-Polynom p n () = f () + f ()( ) + + f (n) () ( ) n n! interpoliert die Ableitungen einer Funktion f im Punkt bis zur Ordnung n, d. h. p n (k) () = f (k) (), k =,..., n. Ist f (n + )-ml stetig differenzierbr, so gilt f () = p n () + R, für ein t zwischen und. R = f (n+) (t) ( )n+ (n + )! (i) Tylor-Polynome der Sinusfunktion f () = sin : Ableitungen f = cos, f = sin, f = cos, f (4) = f = sin,... f () =, f () =, f () =, f (4) () =,... p () = p () = p () = p 4 () = 6 p 5 () = p 6 () = Anlysis Differentition Anwendungen - Anlysis Differentition Anwendungen -

32 (ii) Tylor-Polynome der Kosinusfunktion f () = cos(): p () = p () = p () = p () = p 4 () = p 5 () = (iii) Fehler: sehr genue Approimtion für kleine, z.b.: Restglied R = sin. p 4 (.) = cos t 5! p p p 5 p 7 sin Fehler der Tylor-Polynome für einige -Werte p p p 4 p 6 cos π π/ π/ π/4 π/5 π/6 p () p () p 5 () p () p () p 4 () Anlysis Differentition Anwendungen - Anlysis Differentition Anwendungen - qudrtisches Tylor-Polynom der Logrithmus-Funktion f () = ln im Punkt = Ableitungen: Auswertung bei = f () =, f () =, f () = Abschätzung: r() min(, ) Fehlerschrnke für [.75,.5]: r() /4 /4 = 8 p() = + ( ) ( ) Restglied: r() = f () p() =! f (ξ) ( ) = ( ) ξ mit ξ zwischen und Anlysis Differentition Anwendungen - Anlysis Differentition Anwendungen -

33 Etremwert Eine Funktion f ht in ein globles Minimum uf einer Menge D, wenn f () f () D. Für eine stückweise stetig differenzierbre Funktion uf einem bgeschlossenen Intervll können Etremwerte nur n den Nullstellen der Ableitung, Unstetigkeitsstellen oder Rndpunkten uftreten. Der Typ knn mit Hilfe höherer Ableitungen und durch Vergleichen der Funktionswerte ermittelt werden. Bei einem loklen Minimum ist der Funktionswert f () nur in einer hinreichend kleinen Umgebung ( δ, + δ) D miniml. Globles und lokles Mimum sind nlog definiert. y globle Etrem lokle Etrem D Anlysis Differentition Kurvendiskussion - Anlysis Differentition Kurvendiskussion - (i) f () = 4 /4, D = R: ein lokles und ein globles Minimum, ein lokles Mimum kein globles Mimum, d f () für ± y = 4 4 (ii) f () = /, D = R \ {}: strikt monoton uf (, ) und (, ) keine Etrem 4 y = lokles Mimum lokles Minimum globles Minimum Anlysis Differentition Kurvendiskussion - Anlysis Differentition Kurvendiskussion -

34 (iii) f () = + +, D = R: Monotoniebereiche: Etrem m Rnd Bereiche mit konstntem Wert: lle Punkte lokl Etremstellen 5 4 lokle Mim lokle Minim globles Mimum globles Minimum lokles Minimum y = + + lokle Mim globle Minim (iv) f () =, D = (, ]: unter Umständen kein Etremum bei offenen oder hlboffenem Definitionsbereich y = globles Minimum Anlysis Differentition Kurvendiskussion - Anlysis Differentition Kurvendiskussion -4 Etremwerttest Der Typ eines Etremwerts lässt sich mit Hilfe höherer Ableitungen entscheiden. y f Verschwindet die zweite Ableitung n der Stelle, so müssen höhere Ableitungen zur Entscheidung herngezogen werden. Gilt f () = f () = = f (n ) () = und f (n) (), so ht f in genu dnn eine Etremstelle, wenn n gerde ist. In diesem Fll ht f in ein lokles Mimum bzw. Minimum, wenn f (n) () < bzw. f (n) () > ist. f f Ist f zweiml stetig differenzierbr und f () =, f () > (f () < ), so ht f ein lokles Minimum (Mimum) bei. Anlysis Differentition Kurvendiskussion - Anlysis Differentition Kurvendiskussion -

35 keine globlen Etrem, d Etrem des Polynoms p() = ( + ) ( ) 4 p() = ( + ) ( ) 4 lim p() = ± ± (i) Nullstellen der Ableitung bei =,, : p ( ) =, p ( ) = ( ) ( ) 4 < = lokles Mimum, Funktionswert p () = p () =, p () (ungerde Ordnung der ersten nichttrivilen Ableitung) = kein Etremwert p () = p () = p () =, p (4) () = 4! > (gerde Ordnung der ersten nichttrivilen Ableitung) = lokles Minimum, Funktionswert.5.5 Anlysis Differentition Kurvendiskussion - Anlysis Differentition Kurvendiskussion - (ii) weitere Nullstellen von p p( ) = p() = p() = = mindestens je eine weitere lokle Etremstelle in (, ) und (, ) Grd p = 8, Gesmtvielfchheit der Nullstellen von p bei,, gleich 6 = Ableitung n genu zwei Stellen s (, ) und t (, ) Null Typ der Etrem bei ± lokles Minimum bei s (p < uf (, )) und lokles Mimum bei t (p > uf (, )) Die Kostenfunktion K eines Betriebs gibt die Produktionskosten K() in Abhängigkeit von der produzierten Menge einer Wre n, die Erlösfunktion E den Erlös E() in Abhängigkeit von der verkuften Menge der Wre. Für einen Musterbetrieb sei K() = und E() = 5 Für welche Produktionsmenge ist der Gewinn G() = E() K() miml, wenn vorusgesetzt werden knn, dss die hergestellte Wre vollständig verkuft wird? G() = E() K() = 5 ( ) = G () = = = = 5, = Lösung = = 5 nicht zulässig. G () = = G () = 5 < M. = Lösung = Anlysis Differentition Kurvendiskussion - Anlysis Differentition Kurvendiskussion -

36 Schchtel möglichst großen Volumens gemäß dem bgebildeten Schnittmuster Volumen V (h) = ( h) ( h)/ }{{}}{{}}{{} h = h h + h Länge Breite Höhe Nullsetzen der Ableitung, V (h) = 6h 4h +! =, h { geometrisch sinnvoll: h = /6 mit h = ± 9 = ± 6 V (/6) = 6 = 7 Mimum uf zulässigem Bereich h [, /], d Volumen Null n den Rndpunkten Anlysis Differentition Kurvendiskussion 4- Anlysis Differentition Kurvendiskussion 4- Wendepunkte An einem Wendepunkt einer Funktion f wechselt die zweite Ableitung ds Vorzeichen. y kubisches Polynom f Wendepunkt 4 f() = f Für eine gltte Funktion ist notwendig, dss f () = und hinreichend, dss f (). Anlysis Differentition Kurvendiskussion - 5 f () = linere zweite Ableitung = Eistenz genu eines Wendepunktes Anlysis Differentition Kurvendiskussion -

37 t4 t t t Asymptoten Eine linere Funktion p() = + b ist eine Asymptote von f, wenn f () p() für oder. Asymptoten der Funktion f () = + + e.5 f() = + + e p () =.5 p () = + Wie in der Abbildung illustriert, beschreibt eine Asymptote ds Verhlten der Funktion f für große. Anlysis Differentition Kurvendiskussion Anlysis Differentition Kurvendiskussion - (i) : lim f () = lim = + = ( + ) e e + rtionle Funktion r() = p() q() linere Asymptote, flls Grd p Grd q + = -Achse ls Asymptote (ii) : e = Asymptote p() = + y y y Grd p < Grd q = -Achse ist Asymptote lim r() =, ± Anlysis Differentition Kurvendiskussion - Anlysis Differentition Kurvendiskussion -

38 Grd q Grd p Grd q + linere Asymptote, bestimmt mit Hilfe von Polynomdivision: r() = p() p() = + b + q() q() mit Grd p < Grd q wgrechte Asymptote ( = ), flls Grd p = Grd q Kurvendiskussion Zur Beurteilung des qulittiven Verhltens einer Funktion können folgende Merkmle herngezogen werden: Symmetrien Periodizität Unstetigkeitsstellen Nullstellen ( Vorzeichen) Etrem ( Monotoniebereiche) Wendepunkte ( Konveitätsbereiche) Polstellen Asymptoten Anlysis Differentition Kurvendiskussion - Anlysis Differentition Kurvendiskussion - y Funktionsuntersuchung der Funktion f () = sin + sin() Wendepunkt Etremum Polstelle Etremum Wendepunkt Sprungstelle Nullstelle Nullstelle Sprungstelle Eine entsprechende Anlyse der Funktion wird ls Funktionsuntersuchung bezeichnet. Anlysis Differentition Kurvendiskussion - (i) Symmetrie: undegrde, d sin = sin( ) (ii) Periodizität: Periode π betrchte nur ds Intervll [ π, π] (iii) Unstetigkeitsstellen: keine (iv) Nullstellen: Additionstheorem sin() = sin 4 sin f () = sin 4 ( sin = sin 4 ) sin }{{} = Nullstellen bei und ±π Anlysis Differentition Kurvendiskussion -

39 (v) Etrem: Ableitung f () = cos 4 sin cos = cos + 4 cos (sin = cos ) Null für cos = oder cos = ±/ mögliche Etrem bei = ±π/ = ±π/4 = ±π/4 Periodizität keine Rndwerte zu untersuchen zweite Ableitung f () = sin cos sin Vorzeichen der zweiten Ableitung und Vergleich der Funktionswerte Typ der Etrem f () f () Typ π/4 8/ > globles Minimum π/ / < lokles Mimum π/4 8/ > globles Minimum π/4 8/ < globles Mimum π/ / > lokles Minimum π/4 8/ < globles Mimum Anlysis Differentition Kurvendiskussion - Anlysis Differentition Kurvendiskussion - (vi) Wendepunkte: Umformung der zweiten Ableitung f () = sin cos sin = sin + sin (cos = sin ) Null für sin = oder sin = ± 5/6, d.h. = = ±π ±.5 ±.99 dritte Ableitung ungleich Null Wendepunkte bei (, ), (±π, ), (.99,.8), (.5,.8), (.5,.8), (.99,.8) (vii) Polstellen: keine (viii) Asymptoten: keine, d f periodisch und nicht konstnt.5.5 Nullstellen Etrem Wendepunkte Anlysis Differentition Kurvendiskussion -4 Anlysis Differentition Kurvendiskussion -5

40 Funktionsuntersuchung der Funktion f () = (i) Symmetrie: ungerde, d Quotient us ungerdem Zähler und gerdem Nenner (ii) Periodizität: nicht periodisch (iii) Unstetigkeitsstellen: Nennernullstellen ±, Zähler ungleich Null nicht hebbr (iv) Nullstellen: Zähler (5 + 4) Null bei = (v) Etrem: Ableitung f () = ( ) = ( 4)(5 + ) ( )! = mögliche Etrem bei = ± einfche Pole (Vorzeichenwechsel) keine globlen Etrem f () für und = lokles Mimum in (, ) nlog lokles Minimum in (, ) lokle Etrem n den beiden Nullstellen der Ableitung lokles Mimum: (, 6), lokles Minimum: (, 6) (vi) Wendepunkte: zweite Ableitung f () = 8( + )! ( ) = Wendepunkt (, ), d dritte Ableitung bei ungleich Null Anlysis Differentition Kurvendiskussion - Anlysis Differentition Kurvendiskussion - (vii) Polstellen: einfche Polstellen bei = ± (viii) Asymptoten: Polynomdivision Asymptote: p() = 5 f () = Nullstellen Etrem Wendepunkte Anlysis Differentition Kurvendiskussion - Anlysis Differentition Kurvendiskussion -4

41 Funktionsuntersuchung der Funktion (v) Etrem: Ableitung f () = e + 4 e 4 sign()! =, f () = e + 4 e 4 (i) Symmetrie: gerde, d und gerde (ii) Periodizität: nicht periodisch (iii) Unstetigkeitsstellen: stetig, Ableitung unstetig bei Null wegen Betrgsfunktion (iv) Nullstellen: keine, wegen Positivität der Eponentil- und Betrgsfunktion mögliche Etrem bei = ± zusätzlich Unstetigkeitsstelle der Ableitung bei = f () für ± = kein globles Mimum, mindestens ein globles Minimum Vergleich der Funktionswerte der möglichen Etrem (, y) : (, 9/e 4 ), (, ), (, 9/e 4 ) Symmetrie globle Minim bei = ± lokles Mimum bei = wegen Eistenz eines Mimums in [, ] Anlysis Differentition Kurvendiskussion 4- Anlysis Differentition Kurvendiskussion 4- (vi) Wendepunkte: zweite Ableitung f () = e + 4 e! =, dritte Ableitung n den Nullstellen = ±/ nicht Null Wendepunkte ( ± /, e / + 4 ) e 4 Nullstellen Etrem Wendepunkte (vii) Polstellen: keine (viii) Asymptoten: e schneller gegen Null ls ls für Asymptoten für ± p + () = 4 e 4, p () = 4 e 4 4 Anlysis Differentition Kurvendiskussion 4- Anlysis Differentition Kurvendiskussion 4-4

42 Riemnn-Integrl y Ds bestimmte Integrl einer stückweise stetigen Funktion f ist durch b f () d = b lim f = lim f (ξ k ) k k definiert. Dbei bezeichnet : = < < < n = b eine Zerlegung von [, b], k = k k, f() = m k k ist die mimle Intervllänge und ξ k ist ein beliebiger Punkt im k-ten Intervll. Die Summen uf der rechten Seite der Integrldefinition werden Riemnn-Summen gennnt und können ls Integrl f einer Treppenfunktion interpretiert werden. = k ξ k k+ n = b Für eine positive Funktion f entspricht b f () d dem Inhlt der Fläche unterhlb des Grphen von f. Anlysis Integrtion Bestimmtes und unbestimmtes Integrl - Anlysis Integrtion Bestimmtes und unbestimmtes Integrl - Berechnung von d mit Riemnn-Summen Folge von Prtitionen Auswertungsstellen n : i = i/n, i =,..., n ξ i = (i )/(n), i =,..., n y Grenzwert der Riemnn-Summen n ( ) ( i f n = = n n 4n 4 i= = ( 4n(n + )(n + ) 4n 6 = lim n n i 4 i= f n = 4n(n + ) n i + i= ) + n ) n i= = n y = k ξk k n Anlysis Integrtion Bestimmtes und unbestimmtes Integrl - Anlysis Integrtion Bestimmtes und unbestimmtes Integrl -

43 Eigenschften des Integrls Stmmfunktion Ds bestimmte Integrl besitzt folgende Eigenschften: Linerität: rf = r f, f + g = f + g Monotonie: f g = f g b c c Additivität: f + f = f b In Übereinstimmung mit der letzten Eigenschft definiert mn b f = b f. Eine Funktion F mit F = f ist eine Stmmfunktion von f, und mn schreibt f () d = F () + c für die Menge ller Stmmfunktionen, die ls unbestimmtes Integrl von f bezeichnet wird. Die Integrtionskonstnte c R ist beliebig. Beispielsweise ist F () = f (t) dt mit F () = eine mögliche Stmmfunktion. Nicht zu llen elementren Funktionen ist die eplizite Angbe einer solchen Stmmfunktion möglich, ein Beispiel ist f () = ep ( ). Anlysis Integrtion Bestimmtes und unbestimmtes Integrl - Anlysis Integrtion Bestimmtes und unbestimmtes Integrl - Stmmfunktionen einiger Grundfunktionen Huptstz der Integrlrechnung f () F () f () F () s, s s+ /(s + ) / ln ep ep ln ln cos sin sin cos tn ln cos /( + ) rctn cosh sinh sinh cosh / + rsinh / rcsin Ist F eine Stmmfunktion einer stetigen Funktion f, d.h. f = F, so gilt bzw. in Kurzschreibweise b f () d = F (b) F () b f = [F ] b. Ein bestimmtes Integrl lässt sich lso ls Differenz der Funktionswerte einer Stmmfunktion n den Intervllendpunkten berechnen. Anlysis Integrtion Bestimmtes und unbestimmtes Integrl - Anlysis Integrtion Bestimmtes und unbestimmtes Integrl -

44 (i) Eponentilfunktion: d d e = e = y b e d = e b e (ii) Logrithmusfunktion: F () = ln, f () = F () = /, = b / d = ln b ln = ln b/, / [, b] y = ep() e b e b Die Fläche unter dem Grph zwischen und b entspricht einem Rechteck mit Breite und dem Abstnd der Funktionswerte ls Höhe. Anlysis Integrtion Bestimmtes und unbestimmtes Integrl - Anlysis Integrtion Bestimmtes und unbestimmtes Integrl - Arkustngensfunktion: Stmmfunktion von f () = /( + ) z.b. d + = rctn() rctn() = π 4 Stmmfunktion der Tngensfunkion F () = ln(cos ), < π/ (Kontrolle mit der Kettenregel: F () = (cos ) ( sin )) z.b. π/4 tn d = [ln(cos )] π/4 = ln(/ ) + ln() = }{{} ln().47 Prtielle Integrtion Aus der Produktregel (fg) = f g + fg ergibt sich eine nloge Formel für unbestimmte Integrle: f ()g()d = f ()g() f ()g () d. Entsprechend gilt b b f g = [fg] b fg für bestimmte Integrle. Dbei ist zu bechten, dss der Rndterm [fg] b verschwindet, wenn eine der beiden Funktionen n den Intervllendpunkten Null ist. Er entfällt ebenflls für periodische Funktionen mit Periodenlänge (b ). Anlysis Integrtion Bestimmtes und unbestimmtes Integrl - Anlysis Integrtion Integrtionsregeln -

45 ( + ) α d = ( + ) α+ /(α + ) + c für α = nlog }{{} + d = }{{} u v d = u v ( + )/ } {{} v }{{} u ( + )/ d = ( + )/ 4 5 ( + )5/ + c [ ( )/ ] + [ ] 4 = ( )5/ = ( )/ d prtielle Integrtion logrithmischer Fktoren, z.b. n ln d = n + n+ ln n + n+ d = n + n+ ln (n + ) n+ + c nloge Integrtion von Ausdrücken der Form j,k j (ln ) k j,k jede prtielle Integrtion reduziert den Eponenten des Logrithmus d (ln )k = k(ln ) k Anlysis Integrtion Integrtionsregeln - Anlysis Integrtion Integrtionsregeln - prtielle Integrtion von Produkten us Monomen und Eponentilfunktionen rekursive Berechnung durch Reduktion des Polynomgrdes: n e d = n e n n e d = n e n n e + n(n ) n e d = n = e ( ) k= n k n! k! k + c nlog: prtielle Integrtion von Produkten us Monomen und Sinus oder Kosinus prtielle Integrtion von Produkten us Eponentilfunktionen und Sinus oder Kosinus zweimlige prtielle Integrtion e sin(b) d = e sin(b) b e cos(b) d = e sin(b) b e cos(b) b Umformung e sin(b) d = e sin(b) be cos(b) + b + c e sin(b) d n { cos sin } { d = n sin cos } n n { sin cos } d = Anlysis Integrtion Integrtionsregeln 4- Anlysis Integrtion Integrtionsregeln 5-

46 Vriblensubstitution Aus der Kettenregel d d F (g()) = f (g())g (), f = F, folgt durch Bilden von Stmmfunktionen für eine Substitution y = g() f (g())g () d = F (y) + c = f (y) dy. Entsprechend gilt b f (g())g () d = F (g(b)) F (g()) = für bestimmte Integrle. g(b) g() f (y) dy Mit Hilfe von Differentilen läßt sich diese Formel in der Form b f (g()) dy d d = g(b) g() f (y) dy schreiben. Ein einfcher Spezilfll ist eine linere Vriblensubstitution: In diesem Fll ist bzw. b y = p + q. f (p + q) d = p F (y) + c f (p + q) d = p [F ]pb+q p+q. Anlysis Integrtion Integrtionsregeln - Anlysis Integrtion Integrtionsregeln - einfche Vriblensubstitution bei erkennbrer innerer Ableitung z.b. (ln ) d Substitution y = g() = ln, g () = / g() g () d = y dy = y + c Rücksubstitution ln d = (ln ) + c Anlysis Integrtion Integrtionsregeln - Substitution e y e y dy = e y, d = e y dy Trnsformtion des Integrls, Prtilbruchzerlegung ( d = + ) d / / = d + d + d = + ln + + c Rücksubstitution von = e y F (y) = e y + e y e y + + c Anlysis Integrtion Integrtionsregeln -

47 π/ε sin(ε) d Substitution u = ε, d = du/ε Trnsformtion der Integrtionsgrenze = π/ε u = π π/ε llgemeine Trnsformtionregel: b sin(ε) π d = sin u u du f (r) d rb = f (u) du r u bei Sklierung der Vriblen, d.h. u = r, d/ = du/u Anlysis Integrtion Integrtionsregeln 4- d = d ( ) 4 = (i) unbestimmtes Integrl Substitution y = ( )/, d = dy d = dy y d (( )/) Substitution y = cosh t, dy = sinh t dt dy sinh t dt = = dt = t + c y sinh t = rcosh y + c = rcosh(( )/) + c = ( = ln + ) c (cosh t = sinh t, Formel für die Umkehrfunktion von cosh) Anlysis Integrtion Integrtionsregeln 5- (ii) Beispiel eines bestimmten Integrls 7 5 d = ln(4/ + /) ln = ln( + ) Viertelkreis K : y = f () =, ½ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ½ Flächeninhlt f ()d = π 4 Anlysis Integrtion Integrtionsregeln 5- Anlysis Integrtion Integrtionsregeln 6-