Kurvendiskussion. Gesetzmäßigkeiten. Lineare Funktionen. Funktionsgleichung

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1 Kurvendiskussion Gesetzmäßigkeiten Lineare Funktionen Funktionsgleichung y = mx + c m: Steigung c: y-achsenabschnitt (Funktionswert für y, bei dem der Graph die y-achse schneidet Beispiel : y = x 3 mit m =, c = -3 Allgemeine Geradengleichung ax + by + c =0 y = a c x + b b nur für b 0! Achsenabschnittsform x a + y b = Daraus ergibt sich für die Lage der Geraden: Grafische Darstellung: -5

2 m = Steigung ergibt sich aus y m x Punkt-Steigungsform Berechnung der Funktionsgleichung mit Hilfe der Steigung und einem gegebenen Punkt P(x y): m y x y y x x Durch Einsetzen des Punktes und der Steigung ergibt sich durch Umformen in y=mx+c die Geradengleichung. -5

3 Beispiel : Berechnen Sie die Geradengleichung, die gegeben ist durch m=-3 und P(- ). Stellen Sie die Geradengleichung auf. Lösung: Einsetzen in die Punktsteigungsform: 3 = y x + 3(x + ) = y y = 3x Zwei-Punkte-Form Berechnung der Funktionsgleichung mit Hilfe der von zwei gegebenen Punkten P(x y) und P(x y): Δy Δx y x y x y x y x m ( x x ) Durch Einsetzen der beiden Punkte ergibt sich durch Umformen in y=mx+c die Geradengleichung. Beispiel : Berechnen Sie die Geradengleichung, die gegeben ist durch P (- ) und P( ). Lösung: Einsetzen in die zwei-punkte-form y x + = + y x + = 3 y = (x + ) 3 y = 3 x

4 Besondere Geraden und ihre Gleichungen: Winkelhalbierende Parallele zu den Achsen Parallele zur y-achse sind keine Funktionsgraphen (da b=0) 4-5

5 Definitions- und Wertemenge Eine Funktion f von A nach B ist eine Vorschrift, die jedem Element von A genau ein Element von B zuordnet. A heißt auch Definitionsbereich B heißt auch Wertebereich oder Wertevorrat Schreibweise: f f: A B A B x f(x) = y y= f(x) y= x²+x- x², wenn _ x 0 x, wenn _ x 0 Wichtige Faktoren für die Definitionsmenge: Gebrochenrationale Funktionen: Nenner muss ungleich 0 sein Wurzelfunktion: Der Term unter der Wurzel muss größer oder gleich Null sein Logarithmusfunktion: Das Argument muss größer Null sein. Für die Wertemenge gibt es keine allgemeinen Anhaltspunkte, sie muss für jede Funktion berechnet werden. 5-5

6 Beispiel 3: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und kürzen Sie soweit es geht: ) ) 3) 3 5x 36xy 5x 60xy 36y 6ax bx 3by 9ay 7a 3b 3 5x 30x y 5xy 4 3y x 3x 4) a x 8x x ax 5) x x y x y 3 3x 3x z x z 6) 5xy z 80x yz 360x y z 7) 8) 9) 3x 3 4x x 8x 3 5x 60x x 6a 9a 6a a 36a 7a Bringen Sie den folgenden Term auf den in Klammern angegebenen Nenner und vereinfachen dann nur den Zähler. 3bc 0) 0x yz 30xy 4b ) a bx 3a b 6ax Lösung: ) 3a x 5x 6y 5x 6y x 3y ) 33a b (5 y x) 3) x(y x) 6-5

7 ( a ) 4) x y 3z 5) y 3x z 7y 5x 6) 0xy 7) 4 3x x 8) x 3 5x a ; D = Q/{0} ; 3 0; ; D = Q/ 5 3 Q / ;0 9) a a 3 5xzbc 0) 0x yz D 8ab x 4ab ) 3a(x )ab (x ) 7-5

8 Symmetrie Grundlegende Symmetrien Eine Funktion f : D R heißt symmetrisch zur y-achse, wenn für alle x Dgilt: f(x) = f( x) Eine Funktion f : D R heißt symmetrisch zum Ursprung, wenn für alle x D gilt: f(x) = f( x) f : x x 3 f : x x 8-5

9 Beispiel 4: Überprüfen Sie die folgenden ganzrationalen Funktionen auf Symmetrie: (Vergleiche f(x) mit f(-x)) a) f ist symmetrisch zur y-achse b) f ( x) x 5x x f x x x x x x f x ( ) ( ) 5( ) ( ) 5 ( ) f ist symmetrisch zum Ursprung c) f x x x 4 ( ) 5 f x x x x x f x 4 4 ( ) 5( ) ( ) 5 ( ) f () x x x 4 3 f ( x) ( x) ( x) x x Die Funktion ist weder symmetrisch zur y-achse noch zum Ursprung. 9-5

10 Symmetrie zu einer beliebigen Achse Der Graph einer Funktion f ist genau dann achsensymmetrisch bezüglich der Geraden mit der Gleichung x = u, wenn die folgende Bedingung für beliebige Werte von x richtig ist: f(u x) = f(u + x) Durch Substitution von x mit u x erhält man die äquivalente Bedingung: f(x) = f(u x) Um die Verschiebung der Symmetrieachse darzustellen wird die Funktion f(x) = x 4 x wie folgt verändert: g(x) = (x ) (x ) + 0,. Der Graph zeigt deutlich, dass die Achse um den Vektor u der Länge LE nach rechts verschoben wurde. Natürlich wurde die Funktion auch um den Vektor v der Länge 0, nach oben verschoben, dies ändert jedoch nichts an der Position Symmetrieachse. 0-5

11 Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt Eine Funktion f(x) heißt punktsymmetrisch zum Punkt P, wenn gilt (Dabei bezeichnet a die x-koordinate und b die y-koordinate von P.) f(a + x) b = f(a x) + b Die genannte Bedingung ist durch Substitution von x mit x a gleichwertig zu f(x) = b f(a x) Um die Verschiebung des Symmetriezentrums zu veranschaulichen wird die Funktion f(x) = 5x 5 5x 3 wie folgt verändert: g(x) = 5(x ) 5 5(x ) 3 + 0,5. Der Graph zeigt deutlich, dass das Zentrum um den Vektor a der Länge LE nach rechts und um den Vektor b der Länge 0,5 nach oben verschoben wurde. Die Summe der Vektoren a und b ist genau der Verbindungsvektor vom ursprünglichen Zentrum, dem Ursprung, zum neuen Zentrum P. Eine ganzrationale Funktion ist genau symmetrisch zur y-achse, wenn ihr Funktionsterm nur gerade. x-potenzen enthält. symmetrisch zum Ursprung, wenn ihr Funktionsterm nur ungerade x-potenzen enthält. -5

12 Schnittpunkte mit den Achsen Um die Nullstellen einer Funktion f (und damit die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der x-achse) zu finden, berechnet man die Lösungsmenge der Gleichung f(x) = 0. Wie man dabei im Detail vorgeht, hängt davon ab, welche Funktion man untersucht. Ist die Funktion f beispielsweise durch einen Bruchterm gegeben, so setzt man den Zähler gleich 0, um die Nullstellen zu erhalten. Im Nenner sind Nullstellen nicht zulässig, da die Division durch 0 nicht erlaubt ist. Der Funktionswert wäre in diesem Fall nicht definiert. Um den Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der y-achse zu bestimmen, setzt man für x den Wert 0 ein. Der y-achsenabschnitt liegt dann folglich bei (0 f(0)). Den Schnittpunkt mit der y-achse erhält man, indem man x=0 einsetzt. Dann ist f(0) der y-wert und x=0 der x-wert des Schnittpunkts. -5

13 Extrempunkte Graphenpunkte, an denen sich das Monotonieverhalten ändert. Kriterium für differenzierbare Funktionen: Gf hat an der Stelle x0 einen Hochpunkt, falls f x ) 0 und f ( x ) 0 ( 0 0 Gf hat an der Stelle x0 einen Tiefpunkt, falls f x ) 0 und f ( x ) 0, ( 0 0 Ein Vorzeichenwechsel muss durchgeführt werden, falls f x ) 0 und f ( x ) 0. ( 0 0 Vorzeichenwechsel Statt zu prüfen, ob die zweite Ableitung an der Stelle xe kleiner oder größer als Null ist, kann man auch untersuchen, ob die erste Ableitung an der Stelle xe ihr Vorzeichen wechselt. Durchläuft man (im wörtlichen und übertragenen Sinne) eine Kurve an einem Hochpunkt von links nach rechts, so lässt sich das Verhalten von f bzw. das der Steigung von f folgendermaßen beschreiben: Vor der Hochstelle steigt die Kurve, es geht bergauf. Die Steigung ist positiv An der Hochstelle selbst ist die Steigung Null (die Tangente also waa gerecht). Hinter der Hochstelle fällt die Kurve, es geht bergab. Die Steigung ist negativ. Zusammengefasst: An einer Hochstelle wechselt die Steigung von plus nach minus. Oder: Dort hat die Steigung (also f ) einen Vorzeichenwechsel von plus nach minus (von + nach ). Analog gilt für eine Tiefstelle: An einer Tiefstelle wechselt die Steigung von minus nach plus. Oder: Dort hat die Steigung (also f ) einen Vorzeichenwechsel von minus nach plus (von nach + ). 3-5

14 Wendepunkte Graphenpunkte, an denen sich das Krümmungsverhalten ändert. Gf hat an der Stelle x0 einen Wendepunkt, falls f x ) 0 und f ( x ) 0 ( 0 0 Terrassenpunkt: Wendepunkt mit waagrechter Wendetangente (zusätzlich: f ( x 0 ) 0) Die Wendepunkte einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion f sind die Extrempunkte der Ableitungsfunktion f'. Man erhält sie, indem man die zweite Ableitung mit Null gleichsetzt, d. h. die Lösungsmenge der Gleichung f''(x) = 0 berechnet. Auch hier hat man es nur mit einer notwendigen Bedingung zu tun, sodass weitere Untersuchungen zu machen sind. Wenn zum Beispiel die dritte Ableitung der Funktion f an der fraglichen Stelle ungleich Null ist, so handelt es sich tatsächlich um eine Wendestelle. Ist die dritte Ableitung jedoch gleich 0, so ist damit noch nicht gezeigt, dass an dieser Stelle keine Wendestelle ist. In diesem Fall sollte man auf Vorzeichenwechsel der. Ableitung unmittelbar vor und hinter der fraglichen Stelle untersuchen (vgl. Untersuchung auf Extrempunkte). Tritt ein Vorzeichenwechsel auf, so handelt es sich um eine Wendestelle. Ist das Vorzeichen der. Ableitung vor und hinter der Stelle gleich, so kann man in der Schule zwar davon ausgehen, dass es sich um keine Wendestelle handelt, es gibt jedoch Funktionen, bei denen dann trotzdem eine Wendestelle vorliegt. Dieses Kriterium kann alternativ zum erstgenannten Kriterium (3. Ableitung ungleich 0) angewendet werden und ist in der Schule auch etwas sichererer und bei gebrochenrationalen Fun ktionen sogar sinnvoller. Ist der Wert der dritten Ableitung an dieser Stelle größer 0, handelt es sich um eine Wendestelle mit Übergang in eine Linkskrümmung, ist er jedoch kleiner 0, so handelt es sich um eine Wendestelle mit Übergang in eine Rechtskrümmung. Sattelpunkte Einen Wendepunkt mit zugleich waagerechter Tangente nennt man einen Sattelpunkt oder Terrassenpunkt. Für ihn gilt demnach f'(x) = 0 und f''(x) = 0, wie im Beispiel der Funktion mit der Gleichung f(x) = x 3 an der Stelle x =

15 Allerdings ist das kein hinreichendes Kriterium, es kann auch f'(x)=0 und f''(x) = 0 werden, ohne dass ein Sattelpunkt auftritt, wie im nachfolgenden Beispiel gezeigt. f(x) = x 4 Erst wenn f ''' 0 ist, ist ein Sattelpunkt erwiesen; allgemeiner gilt: Es liegt ein Wendepunkt vor, wenn der Grad der ersten von 0 verschiedenen Ableitung ungerade ist; ist der Grad gerade, so handelt es sich um ein Extremum. 5-5

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