Lösungsvorschlag 4. Übung Technische Grundlagen der Informatik II Sommersemester 2009

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1 Fachgebiet Rechnerarchitektur Fachbereich Informatik Lösungsvorschlag 4. Übung Technische Grundlagen der Informatik II Sommersemester 2009 Aufgabe 4.1: Zahlensysteme a) Bitte füllen Sie die leeren Zellen der folgenden Tabelle aus. Alle Zahlen sind positiv. Basis 2 (Dualzahl) Basis 8 Basis 10 Basis F A b) In der folgenden Tabelle sind zwei Zahlen im Zweikomplement angegeben. Berechnen Sie die äquivalenten Werte (positiv, negativ) zu den anderen Basen. Zweikomplement-Zahl Basis 8 Basis 10 Basis c) Welche Zahl ist größer? Konvertieren Sie die Zahlen vorher in die Basis 16. c1) oder A9 16 1A 16 < A9 16 c2) 7F1 16 oder F1 16 > 7E3 16 d) Führen Sie die folgenden Additionen aus, indem Sie die Werte zuerst in die Basis 10 umwandeln: d1) = 108 d2) E = 3909 e) Konvertieren Sie in die Basis 2 mit der Divisionsmethode. 22/2 = 11 r=0 11/2 = 5 r=1 5/2 = 2 r=1 2/2 = 1 r=0 1/2 = 0 r= f) Konvertieren Sie in die Basis Seite 1 von 7

2 g) Konvertieren Sie in die Basis h) Geben Sie die Darstellung der folgenden zwei Zahlen, die in Vorzeichen-Betrag Darstellung angegeben sind, als 1K-Zahl und 2K-Zahl an. Basis 2 mit Vorzeichen und Betrag Einskomplement-Zahl Zweikomplement-Zahl i) BCD (Binary coded decimal) stellt jede (vorzeichenlose) Dezimalziffer mittels 4 Bit dar. In der ungepackten Version (unpacked BCD) ist je Byte eine Ziffer, in EBCDIC (von IBM) werden die oberen 4 Bits mit 1111 belegt. Bei der gepackten Version (packed BCD) sind zwei Dezimalziffern in einem Byte. Füllen Sie die folgende Tabelle aus. Dez. Binär BCD unpacked (EBCDIC) BCD packed Aufgabe 4.2: Zahlenbereich a) Welcher größte dezimale Wert lässt sich mit 128 Bit ohne Vorzeichen (unsigned) darstellen? 2 n - 1 = ( = ) b) Im welchen Bereich lassen sich vorzeichenbehaftete Dualzahlen (Vorzeichenzahlen) mit 128 Bit darstellen, wenn das erste Bit (MSB) das Vorzeichen angibt? 2 n-1-1 = ( = ± ) c) In UNIX Systemen wird aus historischen Gründen die Zeit in Sekunden seit dem 1. Januar 1970, 0 Uhr gezählt. In welchem Jahr gibt es Probleme mit 32-Bit- Maschinen, wenn die Zahl vorzeichenlos gespeichert ist? 2 32 = /(60*60*24*365) = 2106 Der genaue Zeitpunkt ist Sonntag, 7. Februar 2106 um 6:27:15 Uhr GMT d) Im welchen Jahr ist dieser Zeitpunkt, wenn die Zahl als Zweikomplement interpretiert wird? = /(60*60*24*365) = 2038 Der genaue Zeitpunkt ist Dienstag, 19. Januar 2038 um 03:14:07 Uhr GMT Aufgabe 4.3: Gleitkommazahlen a) Konvertieren Sie die folgenden Zahlen in die angegebene Basis. a1) 10111, in die Basis 10; Seite 2 von 7

3 Zunächst die Stellen vor dem Komma in die Basis 10 umrechnen: = Jetzt die Stellen nach dem Komma mit Hilfe des Algorithmus' aus dem Anhang von Foliensatz Kapitel 1 - Zahlendarstellungen (Folie 55) berechnen: Stellen nach dem Komma: 0, Schritt: 1,1011 (Stellen um 1 Stelle nach links verschoben) + 110,11 (Stellen um 3 Stellen nach links verschoben) 1000,0111 (vor dem Komma steht eine 8) Nun mit den übrigen Nachkommastellen jeweils genauso verfahren: 2. Schritt: 0, ,1 100,011 (vor dem Komma steht eine 4) 3. Schritt: 0, ,0 11,11 (vor dem Komma steht eine 3) 4. Schritt: 1, ,0 111,1 (vor dem Komma steht eine 7) 5. Schritt: 1, ,0 101,0 (vor dem Komma steht eine 5) (nun Ende, da keine Nachkommastellen mehr übrig sind) Die Lösung ist also 23, a2) 37, in die Basis 2; Zunächst die Dezimalstellen vor dem Komma wie gewohnt in eine Binärzahl umwandeln: = Jetzt die Nachkommastellen mit Hilfe des Algorithmus' aus dem Anhang von Foliensatz Kapitel 1 - Zahlendarstellungen (Folie 54) berechnen: 0,203125*2 = 0, ,40625*2 = 0,8125 0,8125*2 = 1,625 0,625*2 = 1,25 0,25*2 = 0,5 0,5*2 = 1,0 Aus dieser Rechnung lassen sich nun die binären Nachkommastellen aus der Stelle vor dem Komma jedes Ergebnisses auf der rechten Seite von oben nach unten ablesen. Das Ergebnis lautet also ,001101(0) 2 b) IEEE-754 Standard Gegeben ist die folgende binäre Gleitkommazahl nach IEEE-754-Standard: (fraction) Geben Sie die Dezimalzahl an. Das erste Bit ist das Vorzeichen, hier 0, also ist die Zahl positiv. Die nächsten 8 Bit sind der Exponent der Zahl: = Der Exponent ist also = 16. Die letzten 23 Bit sind die Nachkommastellen der Mantisse (die Stelle vor dem Komma ist immer 1). Man kann nun die Mantisse nach der Methode aus Aufgabe a2) berechnen oder auch einzeln die jeweiligen Brüche aufaddieren (sehr Seite 3 von 7

4 aufwendig). Die Mantisse ist dann 1,537777, das Ergebnis lautet 2 16 *1, ,75. Die etwas schnellere Methode besteht darin, zunächst die Mantisse um genau so viele Stellen nach links zu verschieben, wie der Exponent es zulässt, in diesem Fall also um 16 Stellen (implizite 1 vor dem Komma nicht vergessen!). Dann kann man den Wert vor dem Komma berechnen: = Dann noch die übrigen Nachkommastellen (nun weniger): 0,11 2 = 0,75 10 Das Ergebnis ist also auch hier ,75. c) Geben Sie IEEE-754-Darstellung für 10001, an. Zunächst muss die Zahl so nach links oder rechts verschoben werden, dass eine 1 vor dem Komma steht, in diesem Fall muss die Zahl um 4 Stellen nach rechts verschoben werden: 1, Die Mantisse ist also (auf 23 Bit aufgefüllt). Der Exponent ist 4, da wir die Zahl um 4 Stellen nach rechts verschoben haben (also 4-mal durch 2 geteilt). Auf 4 muss nun noch 127 addiert werden, dies ergibt = Das Vorzeichen ist 0, da die Zahl positiv ist, das Gesamtergebnis ist also: Binärer Wert Vorzeichen, (biased) Exponent, Fraction , Aufgabe 4.4: Addition von positiven Dualzahlen Addieren Sie die folgenden Dualzahlen und geben Sie an, ob ein Überlauf und/oder Übertrag aufgetreten ist. Geben Sie dazu auch die entsprechenden dezimalen Werte an. Welcher größte Wert kann jeweils mit den vorhandenen Bits dargestellt werden? a) = kein Überlauf = 31 größter Wert = 31 b) = kein Überlauf = 83 größter Wert = 127 c) = kein Überlauf = 241 größter Wert = 255 d) = Überlauf = 342 größter Wert = 255 Seite 4 von 7

5 Aufgabe 4.5: Addition von 2K-Zahlen Addieren Sie die folgenden 2K-Zahlen und geben Sie an, ob ein Überlauf und/oder Übertrag aufgetreten ist. Geben Sie dazu auch die entsprechenden dezimalen Werte an. Welcher kleinste und welcher größte Wert kann jeweils mit den vorhandenen Bits dargestellt werden? a) = kein Überlauf = -1 kleinster Wert: -2 4 = -16, größter Wert = 15 b) = (0) Überlauf (alte Vorzeichen waren beide 0, danach Vorzeichenwechsel) Ergebnis ist mit n Stellen nicht mehr darstellbar, aber mit n+1 Stellen = 51 bei n+1 Stellen = -13 bei Betrachtung von n Stellen kleinster Wert: -2 5 = -32, größter Wert 2 5 1=31 c) = kein Überlauf = -15 kleinster Wert: -2 7 = -128, größter Wert = 127 d) = (1) Überlauf = -170 bei n + 1 Stellen = 86 bei Betrachtung von n Stellen kleinster Wert: -2 7 = -128, größter Wert = 127 Aufgabe 4.6: Subtraktion von positiven Dualzahlen Subtrahieren Sie die folgenden Dualzahlen unter Berücksichtigung der Borge-Bits (nach der ersten Methode in der Vorlesung, Vollsubtrahierer-Prinzip). Ergibt sich ein nicht mehr darstellbares negatives Ergebnis? Geben Sie dazu auch die entsprechenden dezimalen Werte an. a) Borge-Bits (darstellbar) = 141 b) Seite 5 von 7

6 (1) 1 Borge-Bits (1) (nicht mehr darstellbar) Unter Berücksichtigung des Borrow-Outs ergibt sich mit dem negativen Stellengewicht (hier -32) der richtige Wert. Das Ergebnis kann auch als 2K-Zahl interpretiert werden, wenn die Borrow-Out-Stelle zusätzlich hinzugenommen wird = 26 (32) = -6 Das Ergebnis ist negativ geworden, ist nicht mehr als positive Dualzahl darstellbar, also Überlauf. Kann zum Vergleich benutzt werden. Die zweite Zahl war größer als die erste. Aufgabe 4.7: Addierer in Verilog Verwenden Sie für die folgenden Teilaufgaben die Verzögerungszeiten 8ns für NOT, 10ns für NAND/NOR, 13ns für AND/OR, 15ns für XOR. a) Beschreiben und simulieren Sie einen Halbaddierer. module HalfAdder(A, B, Sum, Carry); input A, B; output Sum, Carry; assign #15 Sum = A ^ B; assign #13 Carry = A & B; endmodule b) Beschreiben Sie in Verilog einen Volladdierer unter Benutzung des Moduls aus Teilaufgabe a als Untereinheit. Verwenden Sie die gleichen Verzögerungszeiten. module FullAdder(A, B, Cin, Sum, Cout); input A, B, Cin; output Sum, Cout; wire s1, c1, c2; HalfAdder ha1(a, B, s1, c1); HalfAdder ha2(cin, s1, Sum, c2); assign #13 Cout = c1 c2; endmodule c) Beschreiben Sie einen Volladdierer (siehe Abbildung) unter Benutzung von wire- Hilfsvariablen und Gatter-Primitive (z. B. nor #13 O2(out, in1, in2); ). Seite 6 von 7

7 A B Cin X1 S1 X2 Sum A1 T3 A3 T1 O1 Cout A2 T2 module fulladd(a, B, Cin, Sum, Cout); input A, B, Cin; output Sum, Cout; wire S1, T1, T2, T3; xor #15 X1(S1, A, B), X2(Sum, S1, Cin); and #13 A1(T3, A, B), A3(T1, Cin, A), A2(T2, B, Cin); or #13 O1(Cout, T3, T1, T2); endmodule Seite 7 von 7