Grundlagen der Informatik I ATI / MB

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1 Grundlagen der Informatik I ATI / MB Dipl.-Inf. Michael Wilhelm Hochschule Harz FB Automatisierung und Informatik mwilhelm@hs-harz.de Raum Tel / FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 1 Inhalt 1. Einführung, Literatur, Begriffe 2. Zahlensysteme 3. Rechnen in den Zahlensystemen 4. Rechneraufbau 5. Nichtnumerische Informationen 6. WWW / HTML / CSS 7. Unix 8. Unix Shellprogrammierung 9. XML Einführung 10. Betriebssysteme (Aufgaben, Dateien, Speicher, Prozesse, E-A-Geräte) FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 2 1

2 Rechnen in den Zahlensystemen In allen Zahlensystemen lassen sich die Grundoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division mit dem vom Dezimalsystem bekannten Verfahren ausführen. Addition Multiplikation FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 3 Rechnen in den Zahlensystemen Addition von Oktalziffern Addition FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 4 2

3 Rechnen in den Zahlensystemen Addition von Hexadezimalziffern Add A B C D E F A B C D E F FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 5 Rechnen in den Zahlensystemen Addition von Hexadezimalziffern Add A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A A B C D E F B B C D E F A C C D E F A 1B D D E F A 1B 1C E E F A 1B 1C 1D F F A 1B 1C 1D 1E FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 6 3

4 Rechenbeispiele Addition: Die Addition wird von rechts nach links durchgeführt. Folgendes Beispiel soll dabei die Grundlage bilden: Beispiel: Addition von Dezimalzahlen: =? Übertrag = = FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 7 Rechenbeispiele Beispiel: Addition von Dualzahlen: =? Übertrag = = FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 8 4

5 Rechenbeispiele Beispiel: Addition von Oktalzahlen: =? Übertrag = = FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 9 Rechenbeispiele Beispiel: Addition von Hexadezimalzahlen: 7CC =? 7CC Übertrag 0110 = 1A33 7CC = 1A33 16 FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 10 5

6 Rechenbeispiele Auch die Multiplikation kann mit Hilfe der Tabellen in gleicher Art und Weise, wie im Dezimalsystem auch in den anderen Zahlensystemen durchgeführt werden: Beispiel: Multiplikation von Dezimalzahlen: =? 1996 x Übertrag 111 = = FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 11 Rechenbeispiele Beispiel: Multiplikation von Dualzahlen: =? Übertrag Σ FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 12 6

7 Rechenbeispiele Beispiel: Multiplikation von Dualzahlen: =? Übertrag Σ FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 13 Rechenbeispiele Beispiel: Multiplikation von Dualzahlen: =? Übertrag Σ FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 14 7

8 Rechenbeispiele Beispiel: Multiplikation von Oktalzahlen: =? Überträge Σ FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 15 Rechenbeispiele Beispiel: Multiplikation von Hexadezimalzahlen: 7CC 16 C 16 =? 7 C C C 5 D 9 0 FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 16 8

9 Rechnen in den Zahlensystemen Multiplikation von Oktalziffern Mult FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 17 Rechnen in den Zahlensystemen Multiplikation von Oktalziffern Mult FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 18 9

10 Rechnen in den Zahlensystemen Multiplikation von Hexadezimalziffern A B C D E F A B C D E F A C E A 1C 1E C F B 1E A 2D C C C C A F E D C B C E 24 2A C E 54 5A E 15 1C 23 2A F 46 4D 54 5B B 24 2D 36 3F A 63 6C 75 7E 87 A 0 A 14 1E C A 64 6E C 96 B 0 B C D E F 9A A5 C 0 C C C C A8 B4 D 0 D 1A AE 5B F 9C A9 B6 C3 E 0 E 1C 2A E 8C 9A A8 B6 C4 D2 F 0 F 1E 2D 3C 4B 5A A5 B4 C3 D2 E1 FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 19 Rechenbeispiele mit einem 8-Bit-Computer Addition von Binärzahlen = = = FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 20 10

11 Rechenbeispiele mit einem 4-Bit-Computer Addition von Binärzahlen = 1+13 = 3+13 = 5+13 = FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 21 Zahlenformate Für die Bearbeitung von Zahlen in Computern ist es erforderlich Vereinbarungen über die Formate zur Darstellung und Speicherung von Zahlen zu treffen. Computerzahlenformate begrenzen die darstellbaren Zahlenmengen auf Mengen mit nur endlich vielen Zahlen. Daneben steht für die Darstellung einer Zahl selbst nur ein beschränktes Format zur Verfügung (z.b. nur endlich viele Ziffern für die Darstellung einer irrationalen Zahl oder einer rationalen Zahl mit periodischer Dezimalbruchentwicklung) Beim Rechnen mit diesen Zahlen gelten nicht alle mathematischen Gesetze, (a+b)+c = a+(b+c) FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 22 11

12 Zahlenformate Für die Darstellung von Daten als Zahlen lassen sich entsprechend der unterschiedlichen Aufgabenstellungen auch unterschiedliche Zahlenformate unterteilen. Beispielsweise müssen die Forderungen: großer Zahlenbereich oder gleichbleibende Genauigkeit im gesamten Zahlenbereich durch verschiedene Zahlenformate realisieren lassen. Dabei ist ein Kompromiss zwischen den beiden Forderungen zu finden. Verwendete Zahlenformate: Festkommazahlen, Vorzeichenbetragszahlen Komplementdarstellung und Gleitkommazahlen. FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 23 Festkommazahlen Es ist ein Zahlenformat mit fester Zuordnung der Kommastelle, die damit nicht dargestellt werden muss. Denkbar sind folgende Festlegungen bezüglich der Kommastelle: Komma links der Zahl (linksbündig). Damit lassen sich nur gebrochene Zahlen darstellen. Komma rechts der Zahl (rechtsbündig). Damit lassen sich nur ganze Zahlen darstellen. Fünf Stellen vor und zwei Stellen nach dem Komma Alle diese Möglichkeit werden selten benutzt, da die Gleitkommazahlen deren Anwendungsgebiet voll abdecken. (Eingeschränktes Numerikmodell) FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 24 12

13 Festkommazahlen Dezimalsystem mit zwei Stellen Daten-Bereich 0,1,2,3,4, Addition: = =? Binärsystem mit 8 Stellen Daten-Bereich 0,1,2,3,4,5...? Addition: =? =? = FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 25 Festkommazahlen Addiert man also in einem Stellenwertsystem, speziell hier mit der Basis 2 (Dualzahlen), zu der Zifferndarstellung einer Zahl a (bis Stelle 2 n einschließlich) jetzt die Zahl a mit der invertierten Zifferndarstellung (d.h. alle Einsen durch Null, alle Nullen durch Eins ersetzt), so erhält man die Zahl bei der alle Stellen mit 1 besetzt sind, also 2 (n+1) = // Vertauschung (Einerkomplement) // Summe FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 26 13

14 Negative Zahlen: Einerkomplement Binärsystem mit 4 Bit Länge positiver Zahlenbereich: von 0 bis 15 Möglicher Zahlenbereich: von -8 bis +8 von -7 bis +7 von -8 bis +7 von -7 bis +8 Welche Auswählen? FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 27 Negative Zahlen: Einerkomplement Binärsystem mit 4 Bit Länge Vollständiger Code? FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 28 14

15 Negative Zahlen Binärsystem mit 8 Bit Länge positiver Zahlenbereich: von 0 bis 255 Möglicher Zahlenbereich: von -128 bis +128 von -127 bis +127 von -128 bis +127 von -127 bis +128 FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 29 Negative Zahlen: Einerkomplement Binärsystem mit 8 Bit Länge Bit FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 30 15

16 Negative Zahlen: Einerkomplement Binärsystem mit 8 Bit Länge Bit FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 31 Negative Zahlen: Einerkomplement Regeln: Die Subtraktion einer positiven Zahl wird auf die Addition des Komplements zurückgeführt. Das Komplement einer Zahl ist die bitweise Vertauschung von Nullen und Einsen. Falls ein Überlauf stattfindet, muss diese Eins zum Ergebnis hinzuaddiert werden. FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 32 16

17 Negative Zahlen: Einerkomplement Beispiele: Σ Σ 10 2 FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 33 Negative Zahlen: Einerkomplement Beispiele: Σ = Σ = -5 FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 34 17

18 Negative Zahlen: Einerkomplement Beispiele: Σ Σ FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 35 Negative Zahlen: Zweierkomplement Binärsystem mit 4 Bit Länge positiver Zahlenbereich: von 1 bis 15 Möglicher Zahlenbereich: von -8 bis +8 von -7 bis +7 von -8 bis +7 von -7 bis +8 FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 36 18

19 Negative Zahlen: Zweierkomplement Binärsystem mit 4 Bit Länge FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 37 Negative Zahlen: Zweierkomplement Regeln: Die Subtraktion einer positiven Zahl wird auf die Addition des 2-Komplements zurückgeführt. Das Komplement einer Zahl ist die bitweise Vertauschung von Nullen und Einsen. Danach die Addition von Eins. Ein Überlauf wird ignoriert. FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 38 19

20 Negative Zahlen: Zweierkomplement Vorteile: MSB zeigt Vorzeichen Die Zahlen sind modulo 16 (2 n ) in der richtigen Reihenfolge. Beispiele: = = = = = 16 FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 39 Negative Zahlen: Zweierkomplement Herleitung der Eigenschaften für 4 Bits pro Zahl: 1111 entspricht entspricht entspricht dem1- Komplement von5= entspricht der Summe (a + a) a + a a + a + 1 a + ( a + 1) a + a a = = = = = a + 1 FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 40 20

21 Negative Zahlen: Zweierkomplement Beispiele: Σ Σ FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 41 Negative Zahlen: Zweierkomplement Beispiele: Σ = Σ = 5 FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 42 21

22 Negative Zahlen: Zweierkomplement Beispiele: Σ Σ FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 43 Addition: Zweierkomplement Beispiele: Σ Σ FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 44 22

23 Zweierkomplement Es macht also Sinn,"a + 1"als"-a"zu betrachten In Computern kann für feste Zahlenformate damit das Subtrahieren auf Invertieren und Addieren von 1 zurückgeführt werden. Bezeichnungen: a heißt "invertierte Darstellung von a" oder Einerkomplement von a bzw. B -1- Komplement". a + 1 heißt " Zweierkomplement von a bzw. B - Komplement" FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 45 Mathematischer Befehlssatz einer CPU Aus diesen Beispielen kann abgeleitet werden, daß die Einführung von Komplementzahlendarstellungen eine deutliche Vereinfachung der arithmetischen Operationen in einem Computer erfolgen kann. Für die vier Grundrechenarten werden nur wenige Befehle aus dem Befehlssatz der CPU benötigt: Addition mit Übertragsrechnung bitweise Verschiebung nach links und nach rechts bitweise Negation Abschließend sei erwähnt, dass alle Mikrorechner auf der Basis des B-Komplementes Festkommazahlen verarbeiten. FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 46 23

24 Gleitkommazahlen / Floating Points 1. Variante: Ganzzahliges Format mit festen Nachkomastellen Ganzzahliges Format, die letzten Ziffern sind Nachkommastellen Beispiel: 2 Nachkomastellen 64 Bit Datenlänge: ± ,00 FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 47 Gleitkommazahlen 1. Variante: Eigenschaften: Einfache und schnelle Berechnung Feste Nachkommastellen Vorkommastellen abhängig von den Nachkommastellen Kein einheitliches Format (Datentransfer), da die Nachkommastellen unterschiedlich sein können FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 48 24

25 Gleitkommazahlen 2. Variante: Dieses Zahlenformat gestattet die Beherrschung praktisch unbegrenzter Wertebereiche mit befriedigender Genauigkeit. Grundlage der Darstellung ist, dass eine reelle Zahl im Zahlensystem mit der Basis wie folgt darstellt werden kann: X = ± m B ±e e ist ganzzahlig m ist ganzzahlig e = ± e m = ± m Das Vorzeichen der Mantisse m ist gleich dem der Zahl. FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 49 Gleitkommazahlen Normierung: Bei Punktverschiebung (Kommaverschiebung) in der Mantisse m um eine Stelle nach rechts (links) bleibt der Wert von erhalten, wenn gleichzeitig der Exponent e um 1 erniedrigt (erhöht) wird. Beispiel: 1996 = = 199, = 1, = 0, Steht, wie in den letzten beiden Darstellungsformen, die erste von Null verschiedene Mantissenziffer stets unmittelbar vor bzw. hinter dem Punkt (Komma), bezeichnet man als normiert. Damit gilt für die Gleitkommadarstellung folgende Festlegung: 1 B m < 10 B mit B=2,8,10,16 FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 50 25

26 Gleitkommazahlen Dabei ist zu beachten, dass die Zahl Null nicht normiert werden kann und damit eine Sonderbehandlung erfährt. Gründe? FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 51 Gleitkommazahlen / Floating Points Aus dieser Darstellung folgt eine weitere Festlegung: m = 1,f Mantisse = 1,Fraction Für die weitere Betrachtung wird nur noch f, die Fraktion verwendet. f ist die um 1, reduzierte Mantisse m, mit der Festlegung, dass der Punkt (Komma) stets links von der Mantisse, dargestellt als f, definiert wird, aber nicht geschrieben wird. Charakteristik: Für den Exponenten genügt ein relativ kleiner Wertebereich (z.b.: bei B = 10), um extrem kleine bis extrem große Zahlenbeträge darstellen zu können. FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 52 26

27 Gleitkommazahlen Die Vorzeichenbehandlung des Exponenten wird umgangen, indem mittels Verschiebekonstante K zur Charakteristik Ch übergewechselt wird und damit der Wertebereich an den Anfang des positiven Zahlenbereichs verschoben wird: Ch = e + K Mit dieser letzten Maßnahme wird das Vorzeichen des Exponenten in den positiven Bereich verschoben und wird nicht mehr (als negative Zahl) dargestellt. FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 53 Gleitkommazahlen Für das Vorzeichen der Mantisse gelten die gleichen Vereinbarungen, wie für das Vorzeichen der Vorzeichenbetragzahlen: s = 0 z 0 s = 1 z < 0 Damit sind alle Komponenten zur Zahlendarstellung eingeführt: das Vorzeichen der Mantisse s, die Abspaltung der Mantisse f die Charakteristik Ch FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 54 27

28 Gleitkommazahl Single: 1 8 Bits s Ch msb lsb msb 23 Bits f lsb k = 127 k =?F Single-Zahl hat 4 Byte =32 Bit Falls 0 < e < 255, e = Ch - k Ch = e+k m = 1.f (Hidden-Bit) s=1; e = 0 ; f = 0, Zahl = -0.0 (signed zero) s=0; e = 0 ; f = 0, Zahl = 0.0 (unsigned zero) e = 0 ; f = 0, Zahl = (-1) s f (subnormal numbers) s={0,1} ; Ch =255 ; f = 0, Zahl = ±INF s=undef ; Ch =255 ; f 0, Zahl = NAN (Not any Number) msb = most significant bit lsb = least significant bit FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 55 Zahlendarstellung Min. Single: e-38 Max. Single: e F7FFFFF FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 56 28

29 Zahlendarstellungen im Singleformat x Nächste Zahl (x, +) Lücke FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 57 Beispiel Single: 1,0 x=1, = 1,0 2 0 e = 0 Ch = = 7F = m = 1, m = 1,f s = 0 Vorzeichen Zusammenbauen: s Ch f Sortieren: Hexadezimal Darstellung: 3F FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 58 29

30 Beispiel nächste Zahl nach Single: 1,0 x=1,0 + x Hexadezimal Darstellung: 3F s=0 Ch= Ch=127 e=0 m=1, Differenz: = 2-23 = 0, FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 59 Beispiele Single: k = 127 Ch = 8 Bit d = = = s = 0, Ch = 8B, f = 267 d = 1 10 = 1 16 = 3F s = 0, Ch = 7F, f = 0 d = = 1 16 = BF s = 1, Ch = 7F, f = 0 d = 2 10 = 2 16 = s = 0, Ch = 80, f = 0 FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 60 30

31 Beispiel Single: 2,0 x=2,0 Hexadezimal Darstellung: x=2,0 + (1) Hexadezimal Darstellung: s=0 Ch= Ch=128 e=1 m=1, X=10, Differenz: = 2-22 = 0, FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 61 Beispiel Single: -51, x=-51,625 = , = -1, e = 5 Ch = = = m = 1, m = 1,f s = 1 Vorzeichen Zusammenbauen: s Ch f Sortieren: Hexadezimal Darstellung: C24E 8000 FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 62 31

32 Gleitkommazahl Double: 1 11 Bits 52 Bits s Ch f msb lsb msb k = 1023 k = 3FF 16 lsb e = Ch - k Ch = e+k m = 1.f Double-Zahl hat 8 Byte =64 Bit 0 < e < 2047, (-1) s f (normal numbers) e = 0 ; f 0, (-1) s f (denormalized numbers ) s=0 ; e = 0 ; f = 0, Zahl = +0.0 s={0,1} ; Ch = 2047 ; f = 0, Zahl = ±Infimum s=undef ; Ch = 2047 ; f 0, Zahl = NaN (Not any Number). msb = most significant bit lsb = least significant bit FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 63 Beispiel Double: -51, x=-51,625 = , = -1, e = 5 Ch = = = m = 1, m = 1,f s = 1 Vorzeichen Zusammenbauen: s Ch=11 Bits f Sortieren: Hexadezimal Darstellung: C049 D FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 64 32

33 Beispielwerte im Doubleformat Bezeichung Bit Pattern (Hex) Dezimal Wert FF Max normal Zahl 7FFFFFFF FFFFFFFF e+308 Min positive normal Zahl e-308 Max subnormal Zahl 000FFFFF FFFFFFFF e-308 min positive subnormal Zahl e FF Infinity - FFF Infinity Not-any-Number 7FF NaN FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 65 Beispiele Double: k = 1023 Ch = 11 Bit d = = = 40B s = 0, Ch = 40B, f = 267 d = 1 10 = 1 16 = 3FF s = 0, Ch = 3FF, f = 0 d = = 1 16 = BFF s = 1, Ch = 3FF, f = 0 d = 2 10 = 2 16 = s = 0, Ch = 400, f = 0 FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 66 33

34 Gleitkommazahl Extended: k = k = 3FFF 1 s 15 Bits Ch 1 j 63 Bits f msb lsb msb lsb Extended-Zahl hat 10 Byte =80 Bit e = Ch k m = j.f -23,5625 j=1 ; 0 < e < 32767, f 0 (-1) s f (normal numbers) j=0 ; e=0, f 0 (-1) s f (denormalized) s=0 ; e = 0 ; f = 0, Zahl = +0.0 s={0,1} ; Ch = ; f = 0, Zahl = ± Infimum s=undef ; Ch = und f 0, Zahl = NaN. msb = most significant byte lsb = least significant byte FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 67 Gleitkommazahl Extended: Double-Extended Bit Pattern (x86) j = 0, 0 < e <32767 j = 1, 0 < e < j = 0, e = 0; f 0 (at least one bit in f is nonzero) j = 1, e = 0 j = 0, e = 0, f = 0 (all bits in f are zero) j = 1; s = 0; e = 32767; f = 0 (all bits in f are zero) j = 1; s = 1; e = 32767; f = 0 (all bits in f are zero) j = 1; s = u; e = 32767; f =.1uuu -- uu j = 1; s = u; e = 32767; f =.0uuu -- uu 0 (at least one of the u in f is nonzero) Value Unsupported (-1) s f (normal numbers) (-1) s f (subnormal numbers) (-1) s f (pseudo-denormal numbers) (-1) s 0.0 (signed zero) +INF (positive infinity) -INF (negative infinity) QNaN (quiet NaNs) SNaN (signaling NaNs) FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 68 34

35 Beispielwerte im Extendedformat Bit Pattern (Hex) j = 0, 0 < e <32767 j = 1, 0 < e < j = 0, e = 0; f 0 j = 1, e = 0 j = 0, e = 0, f = 0 j = 1; s = 0; e = 32767; f = 0 j = 1; s = 1; e = 32767; f = 0 Dezimal Wert Unsupported (-1) s f (normal numbers) (-1) s f (subnormal numbers) (-1) s f (pseudo-denormal numbers) (-1) s 0.0 (signed zero) +INF (positive infinity) -INF (negative infinity) j = 1; s = u; e = 32767; f =.1uuu -- uuqnan (quiet NaNs) j = 1; s = u; e = 32767; f =.0uuu -- uu 0 SNaN (signaling NaNs) quiet NaN with greatest fraction 7FFF FFFFFFFF FFFFFFFF QNaN quiet NaN with least fraction 7FFF C QNaN signaling NaN with greatest fraction 7FFF BFFFFFFF FFFFFFFF SNaN signaling NaN with least fraction 7FFF SNaN FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 69 Beispiele Extended: k = 16383=3FFF Ch = 15 Bit d = = = s = 0, 1, e = 12 Ch = k + e = = = 400B 16 Tetrade f wird von links mit der 1, berechnet!! jf = jf = = 40 0B FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 70 35

36 Beispiele Extended: k = 16383=3FFF Ch = 15 Bit d = = = 400B s = 0, Ch = 400B, f = d = 1 10 = 1 16 = 3FFF s = 0, Ch = 3FFF, f = d = = 1 16 = BFFF s = 1, Ch = 3FFF, f = d = 2 10 = 2 16 = s = 0, Ch = 4000, f = FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 71 Beispiele Extended: k = 16383=3FFF Ch = 15 Bit d =?? 10 = A s = 0 Ch = = e = Ch-k = = 10 f = 9A f = ( ) 16 m = 1,f = 1, Zahl = s*m*2 e = 1, *2 10 = Zahl = ,1 = ,1 Zahl = 4D2 + 0,5 = 1234,5 FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 72 36

37 Probleme mit Floating-Points Abbildungen sind mehrdeutig Mathematische Gesetze gelten nicht immer Beispiel: a+a+a = 3 a? mit a=0,1 oder a=0,3 float d, s; d=0.3f; s=0.0f; s=s+d; s=s+d; s=s+d; if ( s = = 0.9 ) System.out.println("3*0.3 == 0.9"); else System.out.println("3*0.3!= 0.9"); FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 73 Berechnung 0,3 ohne Rundung 0, ,3 mit Rundung 0, ,9 Berechnet mit Summe der abgerundeten 0,3 0, ,9 Berechnet mit Summe der aufgerundeten 0,3 0, FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 74 37

38 Berechnung 0,3 = 0,0 P(1001) ohne Rundung 0,3 = 0, , ,3 = 0,0 P(1001) mit Rundung 0,3 = 0, , ,9 = 0,1 P(1100) 0,9 = 0, , ,9 Berechnet mit Summe der aufgerundeten 0,3 0,9 = 0, , FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 75 Probleme mit Floating-Points Beispiel für einen mathematischen Ausdruck 7 x = 1 + = 1,46 15 x = 1, = 1,P(0111) direkte Umrechnung 3FF Nach Rechnung 3FF Gerundet wird bei der Division, siehe nächste Folie Bei Single funktioniert dieses Beispiel! FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 76 38

39 Probleme mit Floating-Points Erläuterung: x = 0, = 0,0P(1110) = 3EEE EEEF x = 1, x = 0, x+1= 1, Zwei Bits fallen rechts raus, aber es wird aufgerundet! x+1= 1, FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 77 Rechnen mit Floating-Points Das Rechnen geschieht nach folgenden Regeln: Umwandeln der Operanden ins interne Rechnerformat Normalisieren, Komma verschieben Operation ausführen Umwandeln des Ergebnisses in Ausgabeformat Mögliche Rundungen: Round to nearest Round to even Truncate FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 78 39

40 Rechnen mit Floating-Points Eigenes Floating-Point-System: Signed (Vorzeichen) Exponent mit 4 Bit Länge Mantisse mit 8 Bit Länge, ohne Hidden-Bit Aufgabe: 0, ,0 127 = ,5625 = 0, FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 79 Integer-Zahlenformate in Visual C / Delphi Integer-Zahlen sind ganze Zahlen. Sie werden durch Festkommazahlen mit rechtsbündigen Komma dargestellt. Dabei wird ein symmetrischer Zahlenbereich, d.h. annähernd gleiche Bereiche positiver und negativer ganzer Zahlen zu Grunde gelegt. Negative Zahlen werden dabei als B-Komplement bzw. 2k-Zahlen intern verarbeitet. FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 80 40

41 Integer-Zahlenformate in Visual C / Delphi Delphi C++ Bereich Format shortint short Bit integer int Bit longint long Bit int64 long long Bit byte char Bit word unsigned int Bit DWord unsigned long Bit longword dword Bit 4. Sem FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 81 Integer-Zahlenformate in Java Java Bereich Format byte Bit short Bit int Bit long Bit char Bit Bit Bit Bit FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 82 41

42 Real-Zahlenformate in Visual C / Delphi Delphi C++ Bereich Stellen Format Real Byte Single float Byte Double double Byte Extended long double Byte Weitere Angaben: Delphi C++ Länge Ch Wert K Real Single single 8 7F 16 Double double 11 3FF 16 Extended long double 15 3F FF 16 FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 83 Real-Zahlenformate in Java Java Bereich Stellen Format 2.9* * Byte float 1.5* * Byte double 5.0* * Byte 3.4* * Byte Weitere Angaben: float f; f = f; // Initialisierung mit einer float-zahl sonst wäre es eine double-zahl FB Automatisierung / Informatik: Grundlagen der Informatik I 84 42