Lineare Quellen. Martin Schlup. 7. Februar 2014

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1 Lineare Quellen Martin Schlup 7. Februar 204. Ideale Quellen Ideale Quellen sind Modelle mit Eigenschaften, die in Wirklichkeit nur näherungsweise realisiert werden können. Ideale Quellen sind z. B. in der Lage beliebig hohe Stromstärken und Spannungen und somit unbegrenzte Energiemengen abzugeben. Hier sollen zwei Arten von solchen idealen aktiven Elementen betrachtet werden: Spannungs- und Stromquellen... Ideale Spannungsquelle Eine ideale Spannungsquelle liefert eine vom Klemmenstrom I unabhängige Klemmenspannung U: U = U Q für alle Werte von I () Gleichung () gilt unabhängig vom Vorzeichen von I also auch für den Fall, wo die Quelle passiv wirkt, bzw. Energie aufnimmt 2. Die Abb. zeigt das Schaltzeichen einer idealen Spannungsquelle nach DIN 3. Das Bezugspfeilsystem (siehe Anhang A) entspricht hier dem eines Energielieferanten (Erzeugerpfeilsystem 4 ). Abbildung : Schaltzeichen einer idealen Spannungsquelle Als aktive Elemente bezeichnet man Zweipole deren U-I-Kennlinie nicht durch den Ursprung verläuft. 2 Praktisch können ideale Quellen mit elektronischen Mitteln realisiert werden (Stabilisierschaltung). Sie können aber im Allgemeinen nicht passiv betrieben werden, d. h. so, dass sie Energie aufnehmen. 3 EN 6067 Reihe, siehe: 4 Bei diesem Bezugspfeilsystem bedeutet P = U I = U Q I > 0, dass die Quelle Energie abgibt, andernfalls für P < 0 Energie aufnimmt. Die Bezeichnung Erzeugerpfeilsystem ist nicht zutreffend, da ja bekanntlich Energie nicht erzeugt werden kann...

2 2. Lineare Quellen.2. Ideale Stromquelle Eine ideale Stromquelle liefert eine von der Klemmenspannung U unabhängige Klemmenstromstärke I. I = I Q für alle Werte von U (2) Gleichung (2) gilt unabhängig vom Vorzeichen von U also auch für den Fall, wo die Quelle passiv wirkt, bzw. Energie aufnimmt. Die Abb. 2 zeigt das Schaltzeichen einer idealen Stromquelle nach DIN. Abbildung 2: Schaltzeichen einer idealen Stromquelle 2. Lineare Quellen Im Gegensatz zu idealen Quellen, verändern sich bei nichtidealen oder realen Quellen Klemmenspannung und -stromstärke mit der Belastung. Die bei leerlaufender Quelle vorhandene Klemmenspannung heisst Leerlaufspannung U 0 und die bei kurzgeschlossener Quelle fliessende Stromstärke Kurzschlussstromstärke I 0. Wirkt die Quelle aktiv, so ist ihre Klemmenspannung kleiner als die Leerlaufspannung, bzw. die Stromstärke kleiner als die Kurzschlussstromstärke. Ist die Differenz zwischen der Leerlauf- und der Klemmenspannung proportional zur Klemmenstromstärke (U 0 U I) oder äquivalent dazu, zwischen der Kurzschluss- und der Klemmenstromstärke proportional zur Klemmenspannung (I 0 I U), so spricht man von einer linearen Quelle. Die entsprechende Kennlinie ist in Abb. 3 normiert dargestellt. Offensichtlich ist die Kennlinie einer linearen Quelle eine Gerade zwischen den Punkten (U = U 0, I = 0) und (U = 0, I = I 0 ): U = U 0 U 0 I 0 I oder aufgelöst nach I: (3) I = I 0 I 0 U 0 U (4) Leerlaufspannung und Kurzschlussstromstärke beschreiben das elektrische (Klemmenverhalten) einer linearen Quelle vollständig. Theoretisch kann eine lineare Quelle auch passiv betrieben werden, d. h. im 2. oder 4. Quadranten (gestrichelter Teil der Kennlinie in der Abb. 3). 2

3 2. Lineare Quellen Abbildung 3: Normierte U-I-Kennlinie einer linearen Quelle Die auf der x-achse (Abszisse) entspricht der Kurzschlussstromstärke I 0, die auf der y-achse (Ordinate) der Leerlaufspannung U 0 der Quelle. Die Kennlinie einer linearen Quelle erstreckt sich über drei Quadranten: in ersten Quadrant wirkt die Quelle aktiv (gibt Energie ab), im 2. und 4. Quadrant wirkt sie passiv (nimmt Energie auf). 2.. Lineare Spannungsquelle Der an den Klemmen der belasteten linearen Quelle fehlende Spannungsanteil kann durch einen Innenwiderstand erklärt werden. Das Verhalten einer linearen Quelle kann somit durch die Serieschaltung einer idealen Spannungsquelle mit der Quellenspannung U Q = U 0 und eines Innenwiderstandes mit dem Widerstandswert R I = U 0 /I 0 nachgebildet werden (cf. Abb. 4). An diesem Widerstand entsteht ein dem Quellenstrom proportionalen Spannungsverlust. Die Gleichung der U-I-Kennlinie der linearen Spannungsquelle ergibt sich entsprechend der Gleichung (3): U = U Q R I I (5) 2.2. Lineare Stromquelle Der an den Klemmen der belasteten linearen Quelle fehlende Stromanteil kann ebenfalls durch einen Innenwiderstand erklärt werden. Das Verhalten einer linearen Quelle kann somit durch die Parallelschaltung einer idealen Stromquelle mit der Quellenstromstärke I Q = I 0 und eines Innenwiderstandes mit dem Leitwert G I = I 0 /U 0 nachgebildet werden (cf. Abb. 5). An diesem Widerstand entsteht ein der Klemmenspannung proportionaler Stromverlust. 3

4 3. Quellenersatzschaltungen Abbildung 4: Lineare Spannungsquelle mit idealer Spannungsquelle, Innenwiderstand und Lastwiderstand Für die lineare Quelle bilden die Bezugspfeilrichtungen für U und I ein Erzeugerpfeilssytem, für den Lastwiderstand hingegen, ein Verbraucherpfeilsytem. Die Gleichung der I-U-Kennlinie der linearen Stromquelle ergibt sich entsprechend der Gleichung (4): I = I Q G I U (6) Abbildung 5: Lineare Stromquelle mit idealer Stromquelle, Innenwiderstand und Lastwiderstand (die letzten zwei Grössen sind hier als Leitwerte angegeben) 3. Quellenersatzschaltungen Da sich von der Kennlinie her eine lineare Spannungs- nicht von einer linearen Stromquelle unterscheiden lässt, kann frei gewählt werden, welches der beiden Modelle benutzt werden soll, um die Kennlinie zu erklären. Je nach Anwendung eignet sich das eine besser als das andere. Zudem kann gezeigt werden, dass für eine beliebige Zusammenschaltung von idealen Quellen und linearen (ohm schen) Widerständen die U-I-Kennlinie immer eine Gerade bildet, egal wie kompliziert die Schaltung aussieht. Das bedeutet aber, dass das Verhalten jeder (linearen) Widerstandsschaltung durch eine Spannungsquellenersatz- oder Stromquellenersatzschaltung wiedergeben werden kann. Um eine Quellenersatzschaltung für eine komplexere lineare Schaltung zu finden, müssen nur Leerlaufspannung und Kurzschlussstromstärke ermittelt werden. Mit diesen beiden Parametern lässt sich dann eine Ersatzspannungs- oder -stromquelle finden, die das exakt gleiche Klemmenverhalten wie die Originalschaltung aufweist. 4

5 3. Quellenersatzschaltungen Die Quellenersatzschaltungen beschreiben nur das elektrische Verhalten der linearen Quelle an den Klemmen (d. h. die Kennlinie) und nicht den inneren Aufbau des Zweipols. Anstelle von Leerlaufspannung oder Kurzschlussstromstärke kann auch der Innenwiderstand R I = U 0 /I 0 oder -leitwert G I = I 0 /U 0 direkt ermittelt werden. Dazu müssen alle Quellen der betrachteten Schaltung Null gesetzt werden: d. h. Spannungsquellen kurzgeschlossen und Stromquellen leerlaufend, so dass nur noch ein reines Widerstandsnetzwerk übrig bleibt. Diese Widerstände können dann zu einem Ersatzwiderstand zusammengefasst werden, welcher dem Innenwiderstand entspricht. Beispiel: Potentiometerschaltung Um die belastete Potentiometerschaltung gemäss Abb. 6 einfach berechnen zu können, kann das Potentiometer mit der idealen Quelle durch eine Spannungsersatzquelle dargestellt werden. Dazu wird der Lastwiderstand R gedanklich entfernt. Für die Leerlaufspannung erhält man ziemlich direkt (Spannungsteiler): U 0 = R 2 R + R 2 U B = x R P ( x) R P + x R P U B = x U B Dabei ist offensichtlich, dass U 0 nicht mit U B übereinstimmt, ausgenommen für x =. Abbildung 6: Potentiometerschaltung mit Lastwiderstand R Das Potentiometer wird hier durch die beiden Widerstände R und R 2 dargestellt. Die Grösse x entspricht der normierten Stellung des Schleifers: x = 0 für unten, x = für oben. Nullsetzen (Kurzschliessen) der Quelle hinterlässt die Parallelschaltung der Widerstände R und R 2, welche dem gesuchten Innenwiderstand R I = U 0 /I 0 entspricht: R I = R + = R R 2 = R R 2 + R 2 ( x) R P x R P ( x) R P + x R P = x ( x) R P Der Innenwiderstand ändert sich mit der Schleiferstellung: er ist unter anderem Null für x = 0 und x = und maximal für x = /2. Mit dem obigen Ergebnis kann auch die Kurzschlussstromstärke bestimmt werden: I 0 = U 0 = U B R I x R P 5

6 3. Quellenersatzschaltungen Beispiel: Parallelschaltung zweier Gleichstromquellen Um die Belastung zweier parallelgeschalteten Spannungsquellen berechnen zu können (siehe Abb. 7, linke Seite), ist es zweckmässig die beiden linearen Spannungsquellen durch eine Ersatzspannungsquelle zu ersetzen (siehe Abb. 7, rechte Seite). Dazu wird der Lastwiderstand R gedanklich entfernt. Abbildung 7: Parallelschaltung zweier linearen Spannungsquellen mit Lastwiderstand Diese Konfiguration findet sich häufig, wenn ein Gleichstromgenerator (U Q, R ) einen Akkumulator (wiederaufladbare Batterie) auflädt und gleichzeitig eine Last (R) speist. In diesem Fall nimmt die durch die Quelle (U Q2, R 2 ) modellierte Batterie Energie auf, d. h. wird passiv betrieben. Für die Kurzschlussstromstärke (entspricht der Last R = 0) erhält man durch Superposition der von jeder einzeln genommenen Spannungsquelle gelieferten Stromanteilen: U Q2 = 0 I 0 = U Q R U Q = 0 I 02 = U Q2 R 2 I 0 = I 0 + I 02 = U Q R 2 + U Q2 R R R 2 Nullsetzen (Kurzschliessen) der beiden Quelle hinterlässt die Parallelschaltung der Widerstände R und R 2, welche dem gesuchten Ersatzinnenwiderstand R E = U 0 /I 0 entspricht: R E = R + = R R 2 R R 2 + R 2 Mit dem obigen Ergebnis kann auch die Leerlaufspannung und somit die Ersatzquellenspannung U E bestimmt werden: U E = U 0 = R E I 0 = U Q R 2 + U Q2 R R + R 2 6

7 A. Anhang Bezugspfeilsysteme A. Anhang Bezugspfeilsysteme Physikalische Grössen wie die elektrische Spannung, die Stromstärke oder der Energiefluss an den Klemmen eines Zweipols sind gerichtet (siehe Abbildung 8), d. h. sie besitzen einen wirklichen Richtungssinn 5. Diesem muss zur Beschreibung oder Berechnung eine, meistens willkürlich gewählte, Bezugsrichtung zugeordnet werden. Damit erhält die betrachtete Grösse ein Vorzeichen: Ist diese Grösse positiv, so deckt sich die Bezugsrichtung mit dem wirklichen Richtungssinn der betrachteten Grösse, ist sie negativ, liegt sie entgegengesetzt. Abbildung 8: Zweipol mit eingetragenen Bezugsrichtungen für Spannung U, Stromstärke I und Energiefluss P (Energiestrom: P = dw/dt) Es sind hier die beiden grundsätzlichen Varianten dargestellt. Da die Grössen Spannung U, Stromstärke I und Energiefluss P miteinander verknüpft sind 6, können nicht alle Kombinationen von Bezugsfeilen sinnvoll gewählt werden, wenn der formale Zusammenhang P = U I in allen Situationen gelten soll. Grundsätzlich gibt es zwei verschiedene, aber gleichberechtigte Bezugspfeilsysteme, welche sich durch die Festlegung der Richtung der Energieströme P unterscheiden. Die Festlegung einer Bezugsrichtung für P lässt zwei Varianten für die Wahl der Bezugsrichtungen von U und I offen: parallele oder antiparallele Pfeilrichtungen. Welches von den beiden Systemen benutzt wird ist willkürlich, insbesondere können je nach Situation beide nebeneinander eingesetzt werden, wie z. B. in den Abb. 4 und 5, wo für die linearen Quellen das eine und für den Lastwiderstand das andere Bezugspfeilsystem gilt. 5 Unter wirklich versteht man z. B. die Richtung der Verschiebung positiver Ladung (konventionelle Stromrichtung) oder eine positive Potentialdifferenz für die Spannung. Auch diese Festlegungen sind willkürlich aber allgemein üblich, da universell akzeptiert. 6 Der Energiestrom P = dw/dt am Tor der Zweipols wird durch die Grössen U und I bestimmt. Dabei ist die Spannung die intensive (treibende) und die Stromstärke die extensive (mengenartige) Grösse. 7

8 A. Anhang Bezugspfeilsysteme A.. Verbraucherpfeilsystem Im Verbraucher-Bezugspfeilsystem zeigt die Bezugsrichtung des Energieflusses in das Tor des Zweipols hinein (siehe Abb. 8, linke Seite und die Beispiele aus Abb. 9). Damit sind die Bezugsrichtungen der Spannung und der Stromstärke parallel zueinander. Abbildung 9: Verbraucherpfeilsystem für aktive und passive Zweipole Für die ideale Spannungsquelle sind dabei zwei Betriebsarten möglich: aktiv wirkend für P < 0 und passiv wirkend für P > 0. Der Widerstand kann nur passiv betrieben werden: also P > 0. A.2. Erzeugerpfeilsystem Im Erzeuger-Bezugspfeilsystem 7 zeigt die Bezugsrichtung des Energieflusses aus dem Tor des Zweipols heraus (siehe Abb. 8, rechte Seite und die Beispiele aus Abb. 0). Damit liegen die Bezugsrichtungen der Spannung und der Stromstärke antiparallel. Abbildung 0: Erzeugerpfeilsystem für aktive und passive Zweipole Für die ideale Spannungsquelle sind dabei zwei Betriebsarten möglich: aktiv wirkend für P > 0 und passiv wirkend für P < 0. Der Widerstand kann nur passiv betrieben werden: also P < 0. 7 Diese Bezeichung ist falsch, da keine Energie erzeugt werden kann. Besser wäre der Begriff Energielieferant genau wie für den Verbraucher Energieabnehmer treffender wäre. 8