Chr.Nelius: Zahlentheorie (WS 2006/07) ggt und kgv

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1 ChrNelius: Zahlentheorie (WS 2006/07) 8 3 ggt und kgv Wir erinnern uns hoffentlich an die folgenden Definitionen des ggt s und des kgv s zweier ganzer Zahlen (31) DEF: Eine ganze Zahl g heißt größter gemeinsamer Teiler (ggt) zweier ganzer Zahlen a und b, wenn gilt: GGT 1 ) g 0 GGT 2 ) g a und g b GGT 3 ) Für alle t Z mit t a und t b folgt t g Bezeichnung: g = ggt(a, b) GGT 1 ) hat die Eindeutigkeit des ggt s zur Folge (s Bem (32)) GGT 2 ) besagt, daß g ein gemeinsamer Teiler von a und b ist GGT 3 ) bedeutet, daß g von jedem gemeinsamen Teiler von a und b geteilt wird (32) BEM: Zu je zwei ganzen Zahlen a und b gibt es höchstens einen ggt (33) DEF: Eine ganze Zahl k heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgv) zweier ganzer Zahlen a und b, wenn gilt: KGV 1 ) k 0 KGV 2 ) a k und b k KGV 3 ) Für alle v Z mit a v und b v folgt k v Bezeichnung: k = kgv(a, b) KGV 1 ) hat die Eindeutigkeit des kgv s zur Folge (s Bem (34)) KGV 2 ) besagt, daß k ein gemeinsames Vielfaches von a und b ist KGV 3 ) bedeutet, daß k Teiler eines jeden gemeinsamen Vielfachen von a und b ist (34) BEM: Zu je zwei ganzen Zahlen a und b gibt es höchstens ein kgv Als nächstes werden wir uns Gedanken über die Existenz von ggt und kgv machen

2 ChrNelius: Zahlentheorie (WS 2006/07) 9 (35) Der euklidische Algorithmus (EA) Seien a, b Die Folgen (r k ) k 0, (q k ) k 1 seien rekursiv definiert durch: r 0 := a, r 1 := b Für k 0 sei q k+1 der Quotient und r k+2 der Rest bei Division von r k durch r k+1, falls r k+1 0, dh ( ) r k = q k+1 r k+1 + r k+2 mit 0 r k+2 < r k+1 Dann gibt es eine Zahl n mit r n 0 und r n+1 = 0, wobei gilt r n = ggt(a, b) Bew: Wir führen wiederholte Division mit Rest aus Dies ist solange möglich, wie die Zahl, durch die geteilt ist, von 0 verschieden ist r 0 = a, r 1 = b r 0 = q 1 r 1 + r 2 mit 0 r 2 < r 1 r 1 = q 2 r 2 + r 3 mit 0 r 3 < r 2 r 2 = q 3 r 3 + r 4 mit 0 r 4 < r 3 r k = q k+1 r k+1 + r k+2 mit 0 r k+2 < r k+1 Annahme: r k > 0 für alle k 2 Dann folgt b = r 1 > r 2 > r 3 > r 4 > > r k > > 0, dh es gibt unendlich viele natürliche Zahlen < b Widerspruch! Folglich gibt es ein n mit r n+1 = 0 und r n 0 Zu zeigen bleibt, daß r n wirklich der ggt von a und b ist Dazu schreiben wir noch einmal das Divisionsschema auf: r 0 = a, r 1 = b (1) r 0 = q 1 r 1 + r 2 mit 0 < r 2 < r 1 (2) r 1 = q 2 r 2 + r 3 mit 0 < r 3 < r 2 (3) r 2 = q 3 r 3 + r 4 mit 0 < r 4 < r 3 (n 1) r n 2 = q n 1 r n 1 + r n mit 0 < r n < r n 1 (n) r n 1 = q n r n + r n+1 }{{} =0 Aus der letzten Gleichung folgt r n r n 1, so daß sich aus der (n 1) ten Gleichung wegen r n r n mit (23g) r n r n 2 ergibt, aus der Gleichung davor dann r n r n 3 usw Bei der zweiten Gleichung gilt dann r n r 3 und r n r 2, so daß r n ein Teiler von r 1 = b ist Schließlich ist r n eine Teiler von r 1 und r 2, und damit ein Teiler von r 0 = a Folglich ist r n ein gemeinsamer Teiler von a und b Sei nun t ein beliebiger gemeinsamer Teiler von a und b Zu zeigen ist: t r n Zum Beweis durchlaufen wir die Gleichungskette von oben nach unten

3 ChrNelius: Zahlentheorie (WS 2006/07) 10 Wenn t die Zahlen a = r 0 und b = r 1 teilt, dann teilt t nach (23g) auch r 2 = r 0 q 1 r 1 Aus (2) folgt damit t r 3, aus (3) t r 4 usw Aus der (n 1) ten Gleichung folgt dann t r n Da auch r n 0 gilt, sind also alle drei Bedingungen aus der Definition (31) erfüllt Damit ist r n der ggt von a und b (36) BEM: a) Nach (35) existiert zu je zwei positiven ganzen Zahlen ein ggt b) Der ggt zweier positiver ganzer Zahlen läßt sich mit dem EA berechnen (37) SATZ: Zu je zwei ganzen Zahlen a und b existiert der eindeutig bestimmte ggt (38) BEM: Für a, b gilt: a) ggt(a, b) = ggt(b, a) b) ggt(a, b) = a a b c) ggt(a, 0) = a d) ggt(0, 0) = 0 e) ggt(a, b) = ggt( a, b ) (39) BEM: Seien a und b zwei ganze Zahlen, die nicht beide 0 sind Nach GGT 2 ) ist g ein gemeinsamer Teiler von a und b, dh g T(a) T(b)Ist nun t T(a) T(b) ein beliebiger gemeinsamer Teiler von a und b, so folgt mit GGT 3 ) t g, also t t g = g nach (23e), da g 0 Damit gilt g = max(t(a) T(b)), dh g ist unter allen gemeinsamen Teilern von a und b der größte Dies gilt nicht für ggt(0, 0) = 0!!! (310) Der erweiterte euklidische Algorithmus (EEA) Seien a, b Die Zahlen r k und q k seien wie in (35) definiert, dh ( ) r k = q k+1 r k+1 + r k+2 (0 r k+2 < r k+1 ) Die Folgen (x k ) k 0 und (y k ) k 0 seien rekursiv definiert durch x 0 := 1, x 1 := 0 ( ) x k+1 := x k 1 q k x k (k 1) y 0 := 0, y 1 := 1 ( ) y k+1 := y k 1 q k y k (k 1) a) Es gilt r k = x k a + y k b für alle k 0 b) Für die Zahl n mit r n 0 und r n+1 = 0, die nach (35) existiert, gilt insbesondere ggt(a, b) = r n = x n a + y n b, dh ggt(a, b) ist eine ganzzahlige Linearkombination von a und b (311) SATZ: Der ggt g zweier ganzer Zahlen a und b läßt sich als ganzzahlige Linearkombination oder als Vielfachensumme von a und b darstellen, dh es gibt x, y mit g = xa + yb Diese Koeffizienten x und y sind nicht eindeutig bestimmt

4 ChrNelius: Zahlentheorie (WS 2006/07) 11 (312) DEF: a 1, a 2,, a n (n 2) seien ganze Zahlen Eine ganze Zahl g heißt größter gemeinsamer Teiler (ggt) von a 1, a 2,, a n, wenn gilt: GGT 1 ) g 0 GGT 2 ) g a 1, g a 2,, g a n GGT 3 ) Für alle t mit t a 1, t a 2,, t a n folgt t g Bezeichnung: g = ggt(a 1, a 2,, a n ) (313) BEM: a) Für n = 2 ist die alte Definition (31) des ggt s zweier ganzer Zahlen ein Spezialfall von (312) b) Die Existenz von ggt(a, b, c) wird in Aufgabe 12 bewiesen Es gilt allgemein: Zu je n ganzen Zahlen existiert ein eindeutig bestimmter ggt c) Beispiel: ggt(6, 9, 15) = 3 T(6) = { 6, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 6} T(9) = { 9, 3, 1, 1, 3, 9} T(15) = { 15, 5, 3, 1, 1, 3, 5, 15} T(6) T(9) T(15) = { 3, 1, 1, 3} = T(3) Also ggt(6, 9, 15) = 3 (314) DEF: a) Zwei ganze Zahlen a und b heißen teilerfremd, wenn ihr ggt gleich 1 ist b) Die ganzen Zahlen a 1, a 2,,a n (n 2) heißen teilerfremd, wenn ggt(a 1, a 2,, a n ) = 1 gilt paarweise teilerfremd, wenn je 2 Zahlen a i und a k mit i k teilerfremd sind (315) BEM: a) 4 und 21 sind teilerfremd, ebenso 50 und 221 Die Zahlen 2, 3, 4 sind teilerfremd (ggt(2, 4, 3) = 1), aber nicht paarweise teilerfremd, da ggt(2, 4) = 2 1 Die Zahlen 1, 4, 7, 9 sind paarweise teilerfremd und auch teilerfremd b) Sind die Zahlen a 1, a 2,,a n (n 2) paarweise teilerfremd, so sind sie auch teilerfremd c) Die Umkehrung von b) gilt ia nicht, dh teilerfremde Zahlen müssen nicht paarweise teilerfremd sein Gegenbeispiel: s a) (316) SATZ: Zwei ganze Zahlen a und b sind genau dann teilerfremd, wenn es Zahlen x, y gibt mit xa + yb = 1

5 ChrNelius: Zahlentheorie (WS 2006/07) 12 (317) SATZ: Für a, b, c gelten die folgenden Aussagen: a) a c und b c und ggt(a, b) = 1 = (a b) c b) a (b c) und ggt(a, b) = 1 = a c BEM: Ohne die Voraussetzung, daß die Zahlen a und b teilerfremd sind, gelten die obigen Aussagen ia nicht: Gegenbeispiel zu a): 4 12 und 6 12, aber 4 6 = 24 ist kein Teiler von 12 b) 6 (4 9), aber 6 4 und 6 9 (318) SATZ: Jede rationale Zahl r läßt sich eindeutig in gekürzter Form dartstellen, dh es gibt eindeutig bestimmte ganze Zahlen a und b mit r = a b, b > 0, ggt(a, b) = 1 Wir wollen uns nun noch kurz Gedanken zum kgv zweier ganzer Zahlen machen Die Definition hatten wir schon in (33) gegeben Wir wollen jetzt zeigen, daß ein kgv immer existiert Die Eindeutigkeit ergibt sich dann aus (34) Wir gehen wieder schrittweise vor: (319) SATZ: Zu je zwei natürlichen Zahlen a, b existiert ein eindeutig bestimmtes kgv (320) BEM: Für a, b gilt: a) kgv(a, 0) = 0 b) kgv(0, b) = 0 c) kgv(0, 0) = 0 (321) SATZ: Zu je zwei ganzen Zahlen existiert ein eindeutig bestimmtes kgv (322) BEM: Für a, b gilt: a) kgv(a, b) = kgv(b, a) b) kgv(a, b) = a b a c) kgv(a, b) = kgv( a, b ) (323) BEM: Seien a, b zwei ganze Zahlen, die beide ungleich 0 sind Nach KGV 2 ) ist k ein gemeinsames positives Vielfaches von a und b, dh k V (a) V (b) Ist nun v V (a) V (b) ein beliebiges gemeinsames positives Vielfaches von a und b, so folgt k v nach KGV 3 ), also k = k v = v nach (23e) Damit gilt k = min(v (a) V (b) ), dh k ist unter allen gemeinsamen positiven Vielfachen von a und b das kleinste

6 ChrNelius: Zahlentheorie (WS 2006/07) 13 (324) DEF: a 1, a 2,,a n (n 2) seien ganze Zahlen Eine ganze Zahl k heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgv) von a 1, a 2,, a n, wenn gilt: KGV 1 ) k 0 KGV 2 ) a 1 k, a 2 k,, a n k KGV 3 ) Für alle v mit a 1 v, a 2 v,, a n v folgt k v Bezeichnung: k = kgv(a 1, a 2,, a n ) (325) BEM: a) Zu je n ganzen Zahlen existiert immer ein eindeutig bestimmtes kgv b) Sind r 1 = a 1, r 2 = a 2,,r n = a n rationale Zahlen, so ist ihr Hauptnenner gerade das b 1 b 2 b n kgv der einzelnen Nenner b 1, b 2,,b n Diese Bildung ist wichtig für die Addition rationaler Zahlen Ist k = kgv(b 1, b 2,,b n ) und gilt b i c i = k für alle k = 1, 2,, n, so folgt r 1 + r r n = a 1 b 1 + a 2 b a n b n = a 1 c 1 + a 2 c a n c n k Zum Abschluß untersuchen wir den Zusammenhang zwischen dem ggt und dem kgv zweier ganzer Zahlen: (326) SATZ: Für ganze Zahlen a und b gilt ggt(a, b) kgv(a, b) = a b (327) BEM: Berechnungsverfahren für das kgv Sind a und b ganze Zahlen, für die ggt(a, b) 0 gilt, so folgt kgv(a, b) = a b ggt(a, b), wobei sich ggt(a, b) (leicht!) mit Hilfe des euklidischen Algorithmus berechnen läßt