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1 Polynome Definition 1. Ein Polynom f über einem Körper K mit der Unbestimmten x ist eine formale Summe f(x) = i 0 a i x i, (1) wobei nur endlich viele der Koeffizienten a i K von Null verschieden sind. (Koeffizienten, die Null sind, werden normalerweise weggelassen.) Zwei Polynome heißen gleich, wenn alle ihre Koeffizienten übereinstimmen. Ein Teil der folgenden Betrachtungen gilt auch, wenn man den Körper durch einen Ring ersetzt. Definition 2 (Summe und Produkt von Polynomen). Die Summe i c ix i der Polynome i a ix i und i b ix i ist definiert durch c i = a i + b i, (2) das Produkt i d ix i durch d i = k+l=i a k b l (3) Satz 3. Die Polynome bilden einen Ring K[x]. Beweis. Die Eigenschaften der Addition und das Distributivgesetz folgen sofort aus den Körperaxiomen von K für die Koeffizienten. Das Assoziativgesetz der Multiplikation folgt aus ( ) a k b m c n = a k b m c n, (4) k+l=i l+n=i ( k+m=l m+n=l a k b m ) k+m+n=i c n = k+m+n=i a k b m c n. (5) Definition 4. Der Grad eines Polynoms ist der größte Index i, für den a i 0 ist. Dieser Koeffizient a i wird auch Anfangskoeffizient bzw. höchster Koeffizient genannt. Für den Grad des Nullpolynoms setzt man symbolisch. Lemma 5. K[x] ist nullteilerfrei. Beweis. Seien a n und b m die höchsten Koeffizienten von f und g. Dann ist a n b m der höchste Koeffizient von f g. Bemerkung 6. Polynomringe über Ringen sind genau dann nullteilerfrei, wenn es der Grundring ist. 1

2 Lemma 7. grad(f + g) max(grad(f), grad(g)), grad(f g) = grad(f) + grad(g). Lemma 8. Seien f und g Polynome mit grad(f) grad(g) 0. Dann gibt es Polynome q und r mit grad(r) < grad(f), so dass f = q g + r. Beweis. Sei f(x) = n i=0 a ix i und g(x) = m i=0 b ix i, a n 0, b m 0 und n m. Wir setzen q(x) = an b m x n m, dann ist der Grad von r := f qg höchstens n, der n-te Koeffizient verschwindet jedoch, also ist grad(r) < n. Satz 9 (Polynomdivision). Für zwei Polynome f und g 0 gibt es Polynome q und r mit grad(r) < grad(g), so dass f = q g + r. Beweis. Durch iterierte Anwendung von Lemma 8 kann der Grad des Restpolynoms r so lange verringert werden, bis er kleiner als der Grad von g ist. Beispiel 10. 2x 4 x 3 + 3x 2 x + 1 = ( x 3 2x 2 + x 2 ) ( 2x + 3 ) + 7x x 4 + 4x 3 2x 2 + 4x 3x 3 + x 2 + 3x + 1 3x 3 + 6x 2 3x + 6 7x (6) Definition 11. g ist ein Teiler von f, falls es ein q mit f = q g gibt. Falls 0 < grad(g) < grad(f), dann heißt g ein echter Teiler. Hat f keine echten Teiler, dann heißt f irreduzibel. Definition 12. h heißt gemeinsamer Teiler von f und g, falls h ein Teiler von f und g ist. Ein gemeinsamer Teiler h ist ein größter gemeinsamer Teiler, wenn jeder gemeinsame Teiler ein Teiler von h ist. Lemma 13. Der größte gemeinsame Teiler ist bis auf einen Faktor aus der Einheitengruppe von K[x] eindeutig. (Diese stimmt mit der Einheitengruppe von K überein.) Satz 14. Zu je zwei Polynomen f und g gibt es einen größten gemeinsamen Teiler. Beweis. Es sei F = {af +bg a, b K[x]} die Menge aller Linearkombinationen aus f und g. Man wähle ein h F so, dass es den kleinsten Grad in F \ {0} hat. Wir zeigen jetzt, dass h ein größter gemeinsamer Teiler ist. h f: Nach Satz 9 gibt es Polynome q und r mit f = qh + r. Da r einen kleineren Grad als h hat und auch in F liegt, folgt r = 0. Also: f = qh. h g: analog. Jeder gemeinsame Teiler von f und g ist auch Teiler jeder Linearkombination von f und g, insbesondere also ein Teiler von h. 2

3 Algorithmus 15 (Euklidischer Algorithmus). Der größte gemeinsame Teiler zweier Polynome f und g kann mit dem Euklidischen Algorithmus bestimmt werden: 1. a f, b f. 2. a = qb + r laut Satz a b, b r. 4. Falls b 0 gehe zu Ausgabe: a. Beispiel 16. 2x 4 x 3 + 3x 2 x + 1 = ( x 3 2x 2 + x 2 ) (2x + 3 ) + ( 7x ) x 3 2x 2 + x 2 = ( 7x ) ( 1 7 x 7) (7) Definition 17. Zwei Polynome heißen teilerfremd, falls 1 ein größter gemeinsamer Teiler ist. Lemma 18. Sei f ein irreduzibles Polynom und f gh. Dann f g oder f h. Beweis. Angenommen f g. Da der größte gemeinsame Teiler von f und g ein Teiler des irreduziblen Polynoms f, jedoch nicht f selbst ist, sind f und g teilerfremd. Es folgt: 1 = af + bg = h = afh + bgh = f h. (8) Satz 19. Jedes Polynom mit positivem Grad lässt sich als Produkt irreduzibler Polynome darstellen. Diese Darstellung ist bis auf Reihenfolge und Faktoren aus K eindeutig. Beweis. Existenz ist klar, Eindeutigkeit folgt aus dem vorherigen Lemma. Beispiel 20. K = R: 2x 4 x 3 + 3x 2 x + 1 = (x 2 + 1) (2x 2 x + 1). (9) Bemerkung 21. Ein Ring mit Grad-Funktion und Division mit Rest heißt Euklidischer Ring. Dann folgt analog die Existenz und Eindeutigkeit eines größten gemeinsamen Teilers und die eindeutige Primzahlzerlegung. Satz 22 (Fundamentalsatz der Algebra). Jedes Polynom über C[x] zerfällt in das Produkt von linearen Faktoren. 3

4 Definition 23 (Polynome als Abbildungen). Wir ordnen jedem Polynom f(x) = i a ix i K[x] eine Abbildung f : K K zu: f(z) := i a i z i. (10) Lemma 24. f(z) + g(z) = (f + g)(z), f(z) g(z) = (f g)(z). Lemma 25. Der einzige nicht-triviale Unterring wird von den Polynomen vom Grad höchstens 0 gebildet. Er ist isomorph zum Grundkörper K. Definition 26. Eine Zahl α K heißt Nullstelle des Polynoms f(x) K[x], wenn f(α) = 0. Lemma 27. Wenn α eine Nullstelle von f ist, dann ist (x α) f. Beweis. Nach Satz 9 gibt es ein Polynom q und ein konstantes Polynom r mit f(x) = q(x) (x α) + r. Einsetzen von α liefert r = 0. Folgerung 28. Sind α 1,..., α k verschiedene Nullstellen von f, so folgt (x α 1 ) (x α k ) f. Folgerung 29. Ein Polynom n-ten Grades hat höchstens n verschiedene Nullstellen. Satz 30. Ist K ein endlicher Körper mit q Elementen, so ist jedes α K Nullstelle des Polynoms x q x. Beweis. Die Aussage gilt offensichtlich für α = 0. Wenn α 0, dann gehört α zur multiplikativen Gruppe K. Die Ordnung dieser Gruppe ist q 1, also ist nach dem Satz von Lagrange α q 1 = 1 = α q = α. Folgerung 31. Ist K ein endlicher Körper mit q Elementen, so gilt: x q x = α K(x α). (11) Definition 32. Es sei f(x) = i a ix i ein Polynom. Dann heißt f (x) = i ia ix i 1 die Ableitung von f. Bemerkung 33. Aus dieser Definition erhält man die üblichen Ableitungsregeln (Summenregel, Produktregel, Kettenregel), die auch aus der Analysis bekannt sind. Definition 34. Eine Nullstelle α von f heißt k-fache Nullstelle, falls (x α) k ein Teiler von f ist, (x α) k+1 aber nicht. Lemma 35. Eine mehrfache Nullstelle von f ist auch Nullstelle von f. Beweis. f(x) = (x α) k g(x) = f (x) = k(x α) k 1 g(x) + (x α) k g (x). 4

5 Folgerung 36. Die mehrfachen Nullstellen von f sind Nullstellen vom größten gemeinsamen Teiler von f und f. Lemma 37. Sei f(x) Z[x] ein Polynom vom Grad n. Dann gilt für jede rationale Nullstelle α = p/q (p und q teilerfremd) von f: p a 0 und q a n. Beweis. f(α) = 0 = a n q n + a n 1 q n 1 p + + a 1 qp n 1 + a 0 p n = 0 = p a n q n = p a n und umgekehrt. Beispiel 38. Man bestimme die (rationalen) Nullstellen von f(x) = 2x 7 19x x 5 139x x 3 121x x 9. f (x) = 14x 6 114x x 4 556x x 2 242x g = ggt(f, f ) = x 2 4x + 3. f(x) = (2x 3 3x 2 + 3x 1) (x 2 4x + 3) 2. f(x) = (x 2 x + 1)(2x 1)(x 1) 2 (x 3) 2. Definition 39. Sei f ein irreduzibles Polynom über K. Wir nennen zwei Polynome g, h äquivalent, wenn f g h. Die Menge der Äquivalenzklassen bezeichnen wir mit K[f]. Satz 40. K[f] ist ein Körper. (ob) Beispiel 41. f(x) = x 2 +1 ist irreduzibel über R. C = R[f]: a+bi [a+bx] = {a + bx + g(x) (x 2 + 1) g(x) R[x]}. Beispiel 42. f(x) = x 2 + x + 1 ist irreduzibel über Z 2. Z 2 [f] ist ein Körper mit 4 Elementen. 5

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