Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Transkript

1 Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 016/17 Dr. K. Rothe Analsis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Hörsaalübung mit Beispielaufgaben zu Blatt 3 Gegeben sei eine Funktion f : D R R mit = f). Beschränktheit von Funktionen Gibt es eine Konstante K R, so dass für alle D gilt a) f) K, dann heißt f beschränkt in D, b) f) K, dann heißt f nach oben beschränkt in D, c) K f), dann heißt f nach unten beschränkt in D. Monotonie bei Funktionen Gilt für alle 1, D mit 1 < a) f 1 ) < f ), dann heißt f streng monoton wachsend in D, b) f 1 ) f ), dann heißt f monoton wachsend in D. Bei Umkehrung der Ungleichung >, ) spricht man von streng) monoton fallend. Konveität bei Funktionen Gilt für alle 1, D mit 1 < und alle α mit 0 < α < 1 a) fα α) ) < αf 1 ) + 1 α)f ), dann heißt f streng konve in D, b) fα α) ) αf 1 ) + 1 α)f ), dann heißt f konve in D. Bei Umkehrung der Ungleichung >, ) spricht man von streng) konkav. Smmetrie bei Funktionen Eine Funktion f : D R R besitzt folgende Smmetrien, wenn für alle D gilt f ) = f), f ) = f), dann heißt f gerade, dann heißt f ungerade.

2 Analsis I, K.Rothe, WiSe 016/017, Hörsaalübung 3 Beispielaufgaben 9-1) Aufgabe 9: Zu den Abbildungsvorschriften f) und g) seien die folgenden Funktionsgraphen gegeben: f) =? g) =?. a) Man begründe, welche der Abbildungsvorschriften f 1 ) = + 3, f ) = 1 1, f 3) = sinh, f 4 ) = ln ) mit f) und welche mit g) übereinstimmt. b) Man untersuche, ob es sich bei f und g um gerade, ungerade oder beschränkte Funktionen handelt. c) Anhand der Funktionsgraphen von f und g gebe man die Bereiche an, in denen die Funktion monoton wächst oder fällt und konkav oder konve von unten) ist. Lösung: a) Aus dem Funktionsgraph von f) folgt, dass f ungerade ist f 1 ) = + 3 f) = f 3 ) = sinh. Damit kommen nur die ungeraden Funktionen f 1 und f 3 in Frage. Es gilt f 1 ) = 10 > f). Damit muss f) = f 3 ) = sinh gelten.

3 Analsis I, K.Rothe, WiSe 016/017, Hörsaalübung 3 Beispielaufgaben 9-1) 3 Aus dem Funktionsgraph von g) folgt, dass g gerade ist g) = f ) = 1 1 f 4 ) = ln ) Damit kommen nur die geraden Funktionen f und f 4 in Frage. Es gilt f 4 5) > 1 > g5). Damit muss g) = f ) = 1 1 gelten. b) f ist unbeschränkt. f ist im Definitionsbereich D = R ungerade, denn dort gilt f ) = sinh ) = 1 e e )) = 1 e e ) = f). g ist im Definitionsbereich D = R\{0} nach oben beschränkt: g) = 1 1 < 1. g ist in D gerade, denn es gilt g ) = 1 1 ) = 1 1 = g). c) Für alle R wächst f streng monoton. In ], 0] ist f streng konkav von unten und in [0, [ streng konve von unten. Im Intervall ], 0[ fällt g streng monoton und ist streng konkav von unten. Im Intervall ]0, [ wächst g streng monoton und ist streng konkav von unten.

4 Analsis I, K.Rothe, WiSe 016/017, Hörsaalübung 3 Beispielaufgaben 9-1) 4 Eponentialfunktion und natürlicher Logarithmus ep : R R +, = ep) = e ln : R + R, = ln) Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion zur Eponentialfunktion: = e = ln, = e ln, = lne ), ln1) = 0, lne) = 1. Rechenregeln für den natürlichen Logarithmus Aus der Funktionalgleichung e e = e + der Eponentialfunktion und e ) a = e a mit a R ergibt sich: ) ln) + ln) = ln ), ln) ln) = ln, ln a ) = a ln). Vietascher Wurzelsatz Das normierte d.h. a = 1) Polnom p mit, a 1, a 0 R p ) = + a 1 + a 0 besitze die reellen Nullstellen 1 und, dann gilt p ) = 1 ) ) = 1 + ) + 1. Es gilt also a 0 = 1 und a 1 = 1. In Verallgemeinerung besitzte das Polnom p n beachte a n = 1) p n ) = n + a n 1 n a + a 1 + a 0 mit den Koeffizienten a k R, k = 0, 1,,..., n 1 die reellen Nullstellen 1,..., n. Dann besitzt p n die Linearfaktorzerlegung und es gilt a 0 = 1) n 1 n. p n ) = 1 ) ) n ) Strategie zum Raten von Nullstellen von p n : Sollten alle Nullstellen 1,..., n ganzzahlig sein, so sind sie Teiler von a 0. Beim Raten von Nullstellen testet man also zunächst die Teiler von a 0. gebrochen rationale Funktionen Eine Funktion, die sich als Bruch zweier Polnome schreiben lässt f) = p n) q m ) = a n n + a n 1 n a + a 1 + a 0 b m m + b m 1 m b + b 1 + b 0, heißt gebrochen rationale Funktion. Gilt Zählergrad n größer oder gleich Nennergrad m, so kann von f durch Polnomdivision ein Polnom p vom Grad n m abgespalten werden. Für den Grad des Rest-Zählerpolnoms r k gilt k < m f) = p) + r k) q m ).

5 Analsis I, K.Rothe, WiSe 016/017, Hörsaalübung 3 Beispielaufgaben 9-1) 5 Aufgabe 10: a) Man vereinfache die folgende Abbildungsvorschrift f) = ln b) Für die unecht gebrochen rationale Funktion ln + ) + ln). f) = spalte man den polnomialen Anteil durch Polnomdivision ab. c) Für das Polnom Lösung: p 3 ) = bestimme man die Linearfaktorzerlegung unter Verwendung der Methode der Polnomdivision. a) f) = ln ln + ) + ln) = ln ) ln) ln + ) + ln) b) = ln + ) ln + ) = ln + ) ln + ) = ln + ) ) : ) = ) ) c) Unter Verwendung des Vietaschen Wurzelsatz, testen wir die Teiler der Konstanten 35 ±1, ±5, ±7, ±35 darauf hin, ob es Nullstellen sind. 1 = 1 stellt sich als Nullstelle von p 3 heraus: ) : 1) = 35 3 ) ) ) 0

6 Analsis I, K.Rothe, WiSe 016/017, Hörsaalübung 3 Beispielaufgaben 9-1) 6 Für p ) = 35 stellt sich = 7 als Nullstelle heraus: 35) : 7) = + 5 7) ) 0 Die Linearfaktorzerlegung lautet damit insgesamt p 3 ) = = + 5) 1) 7).

7 Analsis I, K.Rothe, WiSe 016/017, Hörsaalübung 3 Beispielaufgaben 9-1) 7 Trigonometrische Funktionen = sin, = cos, = tan := sin cos, cos = cot := sin Additionstheoreme sin + cos = 1, sin + ) = sin cos + cos sin sin ) = sin cos cos sin cos + ) = cos cos sin sin cos ) = cos cos + sin sin Definitionen der ) Hperbelfunktionen sinh := 1 e e ), cosh := 1 e + e ), tanh := sinh cosh, cosh = coth := sinh Additionstheoreme cosh sinh = 1, sinh + ) = sinh cosh + cosh sinh sinh ) = sinh cosh cosh sinh cosh + ) = cosh cosh + sinh sinh cosh ) = cosh cosh sinh sinh Areafunktionen Umkehrfunktionen zu den Hperbelfunktionen) arsinh = ln + + 1), arcosh = ln + 1), artanh = 1 ) 1 + ln 1

8 Analsis I, K.Rothe, WiSe 016/017, Hörsaalübung 3 Beispielaufgaben 9-1) 8 Aufgabe 11: a) Unter Verwendung der Additionstheoreme für trigonometrische Funktionen, zeige man, dass für t = tan gilt cos = 1 t t + 1. b) Mit Hilfe der Definitionen von sinh und cosh weise man die Gültigkeit des folgenden Additionstheorems nach cosh sinh = 1. c) Die Funktion = cosh) besitzt für [0, [ eine Umkehrfunktion. Diese wird mit arcosh) bezeichnet. Man zeige, dass gilt arcosh) = ln + 1). Lösung: a) b) 1 t t + 1 = 1 tan /) tan /) + 1 = 1 = 1 sin /) cos /) sin /) cos /) sin /) cos /) + 1 ) cos /) sin /) + cos /) = cos /) sin /) sin /) + cos /) = cos /) sin /) = cos/) cos/) sin/) sin/) = cos cosh sinh = 1 e + e ) 1 e e ) = 1 4 e ) + e e + e ) e ) e e + e ) )) = 4e e 4 = 1

9 Analsis I, K.Rothe, WiSe 016/017, Hörsaalübung 3 Beispielaufgaben 9-1) 9 c) Für [0, [ folgt = cosh) [1, [ Bild 11 f) = cosh) f 1 ) = arcosh) Die Umkehrfunktion wird berechnet durch Auflösen von = 1 e + e ) 1 nach. Dafür setzen wir zunächst z = e und lösen dann nach z auf: = 1 z + 1/z) z = z + 1 z z + 1 = 0 z = ± 1. Für [0, [ kommt die Minusvariante bei der Umkehrung nicht in Frage, denn 0 < e = z = 1 = Also erhält man e = + 1 = ln 1 ], 0]. + ) 1.

10 Analsis I, K.Rothe, WiSe 016/017, Hörsaalübung 3 Beispielaufgaben 9-1) 10 Zahlenfolgen Definition: Unter einer reellen Zahlenfolge a n ) n N versteht man eine Abbildung Funktion) der Form N R n a n. Berechnung von Folgen: a) direkte Berechnung über den Inde n, z.b.: a n := n n + 1, b) rekursive Berechnung, z.b.: a n+1 := a n 3, mit a 1 := 1 Definition: Eine reelle Zahlenfolge a n ) n N heißt Nullfolge, falls für alle insbesondere beliebig kleine) ε > 0 ein Nε) N eistiert, so dass gilt a n < ε, für alle n Nε). Die Folge konvergiert oder strebt dann gegen den Grenzwert Null und man schreibt dafür auch lim a n = 0 oder a n 0 für n. a 1 a 3 a 5 a Nε) a a Nε)+1 a 6 a 4 a a ε a + ε ε-umgebung um a: a n a < ε a ε < a n < a + ε Definition: Eine reelle Zahlenfolge a n ) n N konvergiert gegen den Grenzwert a R, wenn a n a) n N eine Nullfolge ist, d.h. falls für alle insbesondere beliebig kleine) ε > 0 ein Nε) N eistiert, so dass gilt Man schreibt dafür auch a n a < ε, für alle n Nε). lim a n = a oder a n a für n. divergente Folge: a n ) n N konvergiert nicht uneigentlich konvergente Folge: spezielle Form der Divergenz) lim a n = oder lim a n =

11 Analsis I, K.Rothe, WiSe 016/017, Hörsaalübung 3 Beispielaufgaben 9-1) 11 Rechenregeln für Grenzwerte von Zahlenfolgen Satz: Für konvergente Zahlenfolgen a n ) n N und b n ) n N mit lim a n = a und lim b n = b gilt: a) lim a n + b n ) = a + b, b) lim a n b n ) = a b, c) lim c a n ) = c a, für eine Konstante c R, d) lim a n b n ) = a b, ) an e) lim = a b, falls b 0 und für alle n N b n 0 gilt, b n f) lim a n ) k = a k, für eine Konstante k N. Rechnen mit : a) zulässig ist: =, =, + =, b) nicht erklärt ist: 0, 0,,, 0 ± = 0 Elementare Zahlenfolgen mit Grenzwerten a) lim n k = lim qn = + ; k Z + 1 ; k = 0 0 ; k Z b) geometrische Folge mit q R + ; q > 1 1 ; q = 1 0 ; 1 < q < 1 q < 1 divergent ; q 1 c) Eponentialfunktionsfolge: mit R und e = n) n = e, d) lim n n = 1, lim e) lim n c = 1 für eine Konstante c > 0.

12 Analsis I, K.Rothe, WiSe 016/017, Hörsaalübung 3 Beispielaufgaben 9-1) 1 Aufgabe 1: Man untersuche die nachstehenden Folgen auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls die Grenzwerte a n = 3 n + ) n 3n 3 + 1, b 6n n =, + 1 n n 7 c n = n + n n n, d n = n + 4n + 3, n e n = 1 ) 17n, 3n f n = n n 3 n+1 +. n Lösung: a) lim 3 n + n 6n + 1 = lim 3/n 1/n + ) lim 6 + 1/n ) n = lim n 3/n 1/n + 3/n 1/n + = lim 6 + 1/n 6 + 1/n = lim 3/n lim 1/n + lim lim 6 + lim = /n = 6 = 1 3 ) 3n 3 ) + 1 n b) lim = lim n n 7 n 3 + 1/n 3 1/n 7/n 3 + 1/n = lim 1/n 7/n ) 3 = lim ) 3 + 1/n 3 = 1/n 7/n ) 3 3 = 7 8 c) lim n + n n n = lim n + n n n) n + n + n n n = lim n 4 4 = lim = /n + 1 /n 1 + /n + 1 /n = d) lim n + 4n + 3 = lim 1 + /n 4 + 3/n n = 1 ) 17n = lim 1 + /3 ) n ) 17 n = lim 1 + /3 ) n ) 17 = e /3) 17 = e 34/3 n e) lim 1 3n n n f) lim 3 n+1 + = lim 3 n n 3 /3)n + 1 n 3 + /3) = lim /3) n + 1 n 3 + /3) = n = 1 3