Lösen von Gleichungen mittels Ungleichungen

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Inken Siegel
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1 Lösen von Gleichungen mittels Ungleichungen. März 00 Die Aufgaben sind mit Schwierigkeitsstufen leicht, mittel, schwer markiert. Aufgabe (leicht) Ermittle alle nichtnegativen reellen Zahlen a, b, c, für die gilt a 6 + b + c = 6abc, a + b + c =. Lösung : Da wir Summanden links und Faktoren rechts haben, versuchen wir die Ungleichung vom arithmetischen-geometrischen Mittel anzuwenden auf die Zahlen a 6,b,b,c,c,c. Das liefert: 6 a 6 + b + c 6 a 6 b c 6 = abc a 6 + b + c 6abc. Gleichheit tritt genau dann ein, wenn alle 6 Zahlen gleich sind, also wenn gilt a 6 = b = c bzw. b = a und c = a. Setzt man dies in die zweite Gleichung ein, so hat man a + a + a =. Man erkennt sofort eine Lösung, nämlich a =, denn =. Andererseits ist dies die einzige Lösung mit a 0, denn die Funktion f (a ) = a + a + a ist streng monoton wachsend und nimmt daher jeden Wert höchstens einmal an. Aufgabe (mittel) Ermittle alle Paare (x,y ) reeller Zahlen, für die gilt: 5x x y + y x 8y + 6 = 0. Lösung : Eine geschlossene Behandlung dieses Aufgabentyps geschieht in der Regel am Ende des. Semetser einer Lineare-Algebra-Vorlesung im Abschnitt Quadriken/ quadratische Formen. Die Grundidee ist, durch quadratische Ergänzung zu vereinfachen. In der Tat ist die linke Seite gleich (x y ) + (x + y 5), welche nur gleich Null ist, wenn beide Terme verschwinden. Also ist die Gleichung zu zwei linearen Gleichungen äquivalent: Einzige Lösung ist x =, y =. x y = 0, x + y 5 = 0. Aufgabe (leicht MO9) Man ermittle alle positiven reellen Zahlen a und b, für die gilt a + b + + a = b.

2 Lösung : Die Gleichung ist äquivalent zu was sofort a = b = liefert. ( a b) + ( b ) = 0, Aufgabe (mittel) Für welche reellen Zahlen x 0 gilt x + x + 7 = x + 80? Lösung : Man erkennt sofort x = als Lösung. Setzt man y = x, x = + y, so lautet die Gleichung, + y y = 8 + y, wobei y. Ziel ist es zu zeigen, dass für y > 0 die linke Seite der Gleichung schneller wächst als die recht und umgekehrt für y < 0 die rechte Seite schneller wächst. Damit wäre gezeigt, dass y = 0 die einzige Lösung ist. Fall. y > 0. Wir zeigen + y > 8 + y = + y 8, 8 + y > 8 + y = + y 8. Addiert man diese beiden Ungleichungen, so hat man + y y > 8 + y. Wegen y > 0 ist + y > + y 8 und weiter + y + y 8 > + y 8, da für alle z > gilt z > z. Aus analogen Schlüssen folgt Damit ist der Fall y > 0 erledigt. Fall. < y < 0. Wir zeigen 8 + y = + y 8 > + y 8 > + y 8. + y < 8 + y = + y 8, + y 8 < 8 + y = + y 8. Im Bereich 0 < z < gilt m z < n z genau dann, wenn 0 < m < n. Also folgt aus + y < + y 8 die erste Behauptung mit m = und n = ; analog ist + y < + y und die Behauptung 8 8 folgt mit m = und n =. Aufgabe 5 (schwer) Man ermittle alle reellen Zahlen x, für die gilt (x + x) = (x 5 x ) 5 Lösung : Beide Seiten der Gleichung sind ungerade Funktionen, also ist mit x auch stets x eine Lösung. x = 0 ist eine erste Lösung. Wir beschränken uns auf die Suche nach x > 0. Wir klammern x aus, formen äquivalent um und setzen schließlich x = z. x (x + ) = x 5 (x ) 5 (x + ) = x (x ) 5 (z + ) = z (z ) 5. Man erkennt leicht, dass z =, x = eine Lösung ist. Außerdem muss z > gelten, da sonst die rechte Seite negativ und die linke Seite positiv ist. Wir unterscheiden wieder zwei Fälle.Fall z >. Wir zeigen, dass (z + ) < z (z ) 5 gilt. Zunächst folgt aus z > nacheinander z >, 8z > z und 6z (z ) = 6z z > 8z. Beachtet man ferner (z ) 5 > ( ) (z ) = 6(z ) und z > z +, so erhält man z (z ) 5 > 6z (z ) > (z ) > (z + ).

3 Damit ist dieser Fall erledigt. Fall. < z <. Hier gilt < z <. Wir wollen zeigen, dass (z + ) > z (z ) 5 gilt. Wir setzen dazu y = z bzw. z = y. Dann ist > y > 0 und wir wollen zeigen, dass ( y ) > ( y )( y ( y )) 5. Aus > y > 0 folgt schrittweise < y <, + < y <, y (+ ) < y ( y ) < y und schließlich y ( + ) > y ( y ) > y. Daher genügt es zu zeigen, dass ( y ) > ( y ) ( y ) > ( y )( y ( + )) 5. Die erste Ungleichung ist äquivalent zu 6 8y +y y > 6( 8y +y ) = 6 y + 8y. Dies ist äquivalent zu y 6y +96y > 0 bzw. y 6y +96 > 0. Dies ist wegen 0 < y < erfüllt. Aufgabe 6 (mittel) Gesucht sind alle monoton wachsenden Funktionen f : R R, die die Cauchysche Funktionalgleichung f (x + y ) = f (x ) + f (y ) erfüllen. Lösung : Wie üblich zeigt man, dass für alle rationalen Zahlen q gilt, f (q) = mq, wobei wegen der Bedingung m 0 gelten muss. Sei nun x R beliebig und C = f (x ). Dann gilt für alle rationalen Zahlen q < x, dass mq < C. Geht man in der letzten Ungleichung zum Supremum über alle q < x über, so hat man mx C, also mx f (x ). Analog kann man alle q > x betrachten und erhält aus der Monotonie mq > C für alle q > x Geht man zum Infimum über alle q über, so hat man mx C = f (x ). Zusammen ist also f (x ) = mx. Aufgabe 7 (leicht) Ermittle alle x R, für die gilt x + 9 x + 6 x = 6 x + 8 x + x. Lösung : Man erkennt sofort, dass x = 0 eine Lösung ist. Man zeigt für x > 0, dass x + 9 x + 6 x 6 x 8 x x > 0 und umgekehrt gilt diese Ungleichung auch für x < 0. In der Tat erhält man durch Ausklammern x 6 x + 9 x + 6 x + 6 x 8 x x = ( x x ) + x ( x x ) + x ( x x ) = ( x x ) + ( x x )( x x ). man überprüft leicht, dass der zweite Term immer positiv ist für alle x 0. Aufgabe 8 (leicht) Ermittle alle Paare (x,y ) von ganzen Zahlen, für die gilt y = x + x + x + x +. Lösung : Die Grundidee hier ist, dass die rechte Seite meist zwischen zwei vierten Potenzen liegt, nämlich zwischen x und (x + ). Dies ist ein Widerspruch. Genauer, es ist für x > 0 (x + ) = x + x + 6x + x + > x + x + x + x + = y > x. Zieht man die vierte Wurzel, so ist x + > y > x, was der Ganzzahligkeit von y widerspricht. Für x < setzen wir x = z, z > 0, also z = x und erhalten z + z + z + z + = y Wie oben erhält man daraus z < y < z +, was keine Lösung hat. Es verbleiben x = und x = 0, was zu den vier Lösungen führt (,±) und (0,±).

4 Aufgabe 9 (mittel) Ermittle alle Paare (x,y ) von ganzen Zahlen, für die gilt y +y = x +x + x + x. Lösung : Es gibt 6 Lösungen (, ), (,0), (0, ), (0,0), (, 6) und (,5). Aufgabe 0 (mittel) Ermittle alle Paare (x,y ) von ganzen Zahlen, für die gilt y = x + 8x 6x + 8. Lösung : Es gibt genau Lösungen (0,) und (9,). Aufgabe (schwer) Ermittle alle Paare (x,y ) von ganzen Zahlen, für die gilt y = x + x + x + x +. Lösung : Es gibt 6 Lösungen (0,±), (,±) und (,±). Man beachte y = x + x + x + x + > y = x + x + + x x < x + x, x R. x + x +, x : x <,x >. In den angegebenen Bereichen ist nämlich die quadratische Funktion x x = (x +)(x ) > 0 positiv. In diesen Bereichen gilt dann x + x + > y > x + x. Da links und rechts Halbzahlen aus Z/ liegen, ist dies für ganzzahlige y nicht möglich. Es genügt daher die ausgeschlossenen Fälle x {,0,,,} zu untersuchen, wobei man genau die oben angegebenen 6 Lösungen erhält. Aufgabe (mittel) Finde alle positiven Lösungen (x,...x 0 ) des Gleichungssystems x + x =, x + x =, x + x =,...,x 0 + x =. Lösung : Man erkennt die Lösung x = x = = x 9 =, x = x = = x 0 =. Die Ungleichung über das arithmetisch-harmonische Mittel, angewandt auf die Zahlen x,x,...x 9,/x,/x,...,/x 0 liefert dann 0 x i + i x i = 0 (0 ) = 0 i + x i i x i = 0 0 =. Gleichheit tritt aber genau dann ein, wenn alle Elemente gleich sind. Hieraus folgt die Eindeutigkeit. Aufgabe (mittel) Finde alle positiven Lösungen (x,...,x 00 ) des Gleichungssystems x + x + x + x = 8, x + x + x + x 5 = 5, x + x + x 5 + x 6 =, x + x 5 + x 6 + x 7 = 5, x 5 + x 6 + x 7 + x 8 = 8,..., x 00 + x + x + x = 5.

5 5 Lösung : Die Lösung geschieht analog zur vorangegangenen. Dabei erhält man x = x = x 5 = x 6 = = x 97 = x 98 = und x = x = x 7 = x 8 = = x 99 = x 00 =. Man beachte, dass man hierbei nur die Gleichungen mit ungeraden Nummern benötigt. Alle geraden Gleichungen sind überflüssig.

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