Arbeitsblatt Gleichungen höheren Grades

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1 Mathematik-Service Dr. Fritsch Tel. 061/776 Arbeitsblatt Gleichungen höheren Grades 1. Lösen Sie folgenden quadratischen Gleichungen mittels quadratischer Ergänzung! (a) x x + = 0 (b) x + x 8 = 0 (c) x = 0 (d) x x + = 0. Lösen Sie folgenden quadratischen Gleichungen mittels p-q-lösungsformel! (a) x + 1x + = 0 (b) x 9 = 0 (c) x + 6x + 9 = 0 (d) x x + 18 = 0 (e) x + = 0 (f) x + 6x = 0. Lösen Sie folgende Gleichungen durch Faktorisierung der Summen (Ausklammern)! (a) +=0 (b) 0 +1 =0 (c) + =0 (d) 5 0 =0. Lösen Sie diese einfachen biquadratischen Gleichungen x + px + q = 0 durch die Substitution: z = x, z = x! (a) x 0x (b) x + 6x (c) x x (d) x x 0 5. Lösen Sie diese allgemeinen biquadratischen Gleichungen Ax + Bx + C = 0 durch B C eine Umformung mit p = und q = und anschließende Substitution wie in Aufgabe! A A (a) x x + 18 = 0 (b) x 7 = 0 (c) 0,5x + x,5 = 0 (d) 1x 8x = 0 6. Lösen Sie folgende Gleichungen durch Anwendung Ihres Wissens über biquadratische Gleichungen! 5 = (a) x + x + x 0 (b) 7x 1x + 1x = 0 (c) = x x x + x + 0 (d) = 0 x 7. Gegeben sei das folgende Polynom y = f ( x) = x + x x vierten Grades. (a) Berechnen Sie alle Nullstellen des Polynoms! (b) Geben Sie die Produktdarstellung des Polynoms an! 8. Bestimmen Sie die vier verschiedenen natürlichen Nullstellen des Polynoms f (x) = x x + 71x 5x + 10 und geben Sie eine Produktdarstellung für das Polynom an! 9. Berechnen Sie alle Nullstellen der folgenden Polynome und geben Sie die Produktdarstellung an! (a) f ( x) = x + x x (b) f ( x) = x x + x 10. Lösen Sie die folgenden Wurzelgleichungen und machen Sie immer eine Probe! I. Gleichungen mit einer Wurzel - Lösen durch einmaliges Quadrieren: (a) 5 x = 1 (b) 7 x + = 0 (c) 0 = x 5 (d) 5 5x = 1 6

2 Mathematik-Service Dr. Fritsch Tel. 061/776 (e) 0 = + x + 6 (f) 6 =,5x, II. Gleichungen mit zwei Wurzeln Lösen durch einmaliges Quadrieren: (a) x + = x (b) x + 5x = 0 (c) x + x 7 = x x + 1 (d) x 5x + 8 = x (e) x + x + = x x III. Gleichungen mit zwei Wurzeln Lösen durch zweimaliges Quadrieren: (a) x = x (b) x 5 = + x 6 (c) 5 x x = 9 (d) x + 6 x + 1 =

3 Mathematik-Service Dr. Fritsch Tel. 061/776 Lösungen Gleichungen höheren Grades 1. Lösung mit quadratischer Ergänzung: 0 = x x + = x x + + = x + = x (a) ( ) ( ) ( ) ± =±0 + / = (doppelte Lösung) (b) 0 = x + x 8 = ( x + 1x + 1 ) 8 = ( x + 1) 8 = ( x + 1) =9 ± +1=± = = =+= ( verschiedene Lösungen) (c) x = 0 + = ± = = ( verschiedene Lösungen) 0 = x x + = x 1x = x + = x = ist nicht lösbar. (d) ( ) ( ) ( ) +. Lösung mit p-q-lösungsformel: / = ± (a) x + 1x + = 0 p = 1, q = / = ± = 6± = 6 = 8 = 6+= (b) x 9 = 0 p = 0, q = 9 / = ±+9=± 9 = = ( verschiedene Lösungen) (c) x + 6x + 9 = 0 p = 6, q = 9 ( verschiedene Lösungen) / = ± 9= ± 0= (doppelte Lösung) (d) : x x + 18 = 0 p = 6, q = 9 / = ± 9=± 0= (e) x + = 0 p = 0, q = / = ± =± ist nicht lösbar. (f) : x + 6x = 0 p =, q = 8 (doppelte Lösung) / = ± +8=± 9 = = =+= ( verschiedene Lösungen). Lösung durch Faktorisierung/Ausklammern: (a) 0= += +1 1.Fall: =0. Fall: 0= +1 / = ± =1± 0=1

4 Mathematik-Service Dr. Fritsch Tel. 061/776 (b) 0= 0 +1 = Fall: =0. Fall: 0= 5+6 / =0 / = ± 6=,5±0,5 =,5 0,5= =,5+0,5= (c) 0= + = +8 1.Fall: =0. Fall: 0=+8 / =0 = 8 (d) 0= 5 0 = Fall: 5 =0. Fall: 0=+ // =0 =. Lösen durch Substitution z = x, z = x : (a) x 0x + 9 = 0 0+9=0 / =5± 16=5± =1 / =± 1=± 1 =9 / =± 9=± 6 = (b) x + x =0 / = ± = ± = keine Lösung in x = 5 keine Lösung in x (c) x x =0 / =6,5±6,5=6,5±,5 = / =± =± =9 / =± 9=± = (d) x x 0 =0 / =1,5±6,5=1,5±,5 = keine Lösung in x = / =± =± 5. Lösen durch Substitution : z = x, z = x : (a) x x + 18 = =0 6+9=0 / =± 0= : / =± (b) x 7 = 0 : 9=0 9=0 =0 9= : keine Lösung in x =0+ 9= : / =± (c) 0,5x + x,5 = 0 :, 6 +5=0 6+5=0 = =1 : / =± 1=± 1 =+ =5 : / =± 5 : (d) 1x 8x = 0 =0 =0 = =0 : / =0 =+ = : / =± 6. Anwendung biquadratischer Gleichungen: 5 (a) x + x + x = x ( x + x + ) = 0 1.Fall: =0. Fall: 0= + + (biquadratisch)

5 Mathematik-Service Dr. Fritsch Tel. 061/776 0= ++ / = ± 0= 6 (b) 7x 1x + 1x = 7x ( x x + ) = 0 1.Fall: 7 =0 / =0 (c) x + 10x + 6 = 0 1. Fall: 0= + (biquadratisch) 0= + / =1,5±0,5=1,5±0,5 =1 : / =± 1=± 1 = : / =± =1 Quadrieren! = =0 (biquadratisch) +10+5=0 / = 5± 0= 5 keine Lösung in x (d) 5 x + 100x = x = 0 x 5=0 +5 =5 ± / =± 5 7. y = f ( x) = x + x x (a) 0 = + x x = x ( x + x ) keine weitere Lösung in x wobei 0 sein muss. x liefert über die Zwischenstationen 0= und 0= + die doppelte Lösung x 0 und die einfachen Lösungen x 1 und x N =. (b) x + x x = x ( x )( x + ) N1 / = 8. f (x) = x x + 71x 5x + 10 = 0 Erraten einer ersten Nullstelle z.b. durch Wurzelsatz von Vieta, da dort: 10 = ( ) x1x xx (wobei die verschiedenen Nullstellen lt. Aufgabenstellung natürliche Zahlen sind) 1. NST: z.b. x Linearfaktor: ( x ) 1 = Polynomdivision: ( x x + 71x 5x + 10) : ( x ) = x x + 7x 60 Erraten einer zweiten Nullstelle von f (x), die auch Nullstelle von x x + 7x 60 ist, z.b. durch Wurzelsatz von Vieta, da dort: 60 = ( ) x xx. NST: z.b. x Linearfaktor: ( x ) = Polynomdivision: ( x x + 7x 60) : ( x ) = x 9x + 0 Berechnen der letzten zwei Nullstellen durch Lösen der quadratischen Gleichung x 9x + 0 = 0. NST: z.b. x Linearfaktor: ( x ) =. NST: z.b. x 5 Linearfaktor: ( x 5) = Produktdarstellung: x x + 71x 5x + 10 = ( x )( x )( x )( x 5) 9.(a) f ( x) = x + x x = 0 N =

6 Mathematik-Service Dr. Fritsch Tel. 061/776 Nach dem Wurzelsatz von Vieta gilt für das Absolutglied in f (x) : 1 = ( ) x1 x x, d.h. 1 = x1 x x. Damit sind die ganzzahligen Teiler von 1, also -1, 1, -, -,, -,, - 6, 6, -1 und 1, gute Kandidaten für eine erste Nullstelle. Das Einsetzen in f (x) liefert: f ( ) = ( ) + ( ) ( ) = 6 0, f ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) ( + 1) = 0, f ( ) = ( ) + ( ) ( ) = 0. Damit ist die erste Nullstelle x 1 =. Durch Polynomdivision erhält man dann ein Polynom. Grades, dessen Nullstellen die fehlenden Nullstellen von f (x) sind: ( x + x x ) : ( x + ) ( x + x ) x x ( x + x) 6x ( 6x ) 0 = x + x 6 quadratische Gleichung: 0 = x + x 6 mit den Lösungen x = und x =. Damit erhält man die Produktdarstellung: f ( x) = ( x + )( x )( x + ). (b) f ( x) = x x + x = 0 Variante 1: Gemäß dem Binomischen Lehrsatz ist x x + x = ( x ), was sofort der Produktdarstellung entspricht, d.h. es gibt hier mit 1 eine dreifache Nullstelle. Variante : Nach dem Wurzelsatz von Vieta gilt für das Absolutglied in f (x) : 1 = ( ) x1 x x, d.h. 1 = x1 x x. Damit sind die ganzzahligen Teiler von 1, also -1 und +1, gute Kandidaten für eine erste Nullstelle. Das Einsetzen in f (x) lie- fert: f ( ) = ( ) ( ) + ( ) = 8 0, f ( + 1) = ( + 1) ( + 1) + ( + 1) = 0. Damit ist die erste Nullstelle x 1 = 1. Durch Polynomdivision erhält man dann ein Polynom. Grades, dessen Nullstellen die fehlenden Nullstellen von f (x) sind: ( x x + x ) : ( x ) ( x x ) x + x ( x + x) x ( x ) 0 = x x + 1 quadratische Gleichung: 0 = x x + 1 mit der doppelten Lösung x / = 1. Damit hat man 1 als dreifache Nullstelle berechnet und obige Produktdarstellung erhalten.

7 Mathematik-Service Dr. Fritsch Tel. 061/ Wurzelgleichungen (immer mit Probe!): I. Gleichungen mit einer Wurzel - Lösen durch einmaliges Quadrieren: (a) 5 x = 1 Quadrieren! 5 =1 5 Probe: 5 = 1 = = 1 = 1 (wahre Aussage) (b) 7 x + = = Quadrieren! 7+=9 Probe: 7 1+ = 0 7 =7 7 0 = 0 (wahre Aussage) =1 (c) 0 = x = 5 Quadrieren! =5 =1 Probe: 0 = ( 1 ) 5 = 0 = 0 (wahre Aussage) (d) 5 5x = = Quadrieren! 5 = =0 5 = (e) 0 = + x + 6 = +6 Quadrieren! 9=+6 6 = =0,75 (f) 6 =,5x, Probe: 5 5 = 1 1 = 1 (wahre Aussage) Probe: 0 = + 0, = 6 (falsche Aussage) Aufgabe ist nicht lösbar. =,5,5 Quadrieren! Probe: 6 =,5 7,7, =,5,5 +,5 19,5=,5,5 6 = 1 (falsche Aussage) =7,7 Aufgabe ist nicht lösbar II. Gleichungen mit zwei Wurzeln Lösen durch einmaliges Quadrieren: (a) x + = x Quadrieren! += + =1 Probe: 7 + = 7 =7 10 = 10 (wahre Aussage) (b) x + 5x = = 5 Quadrieren! += = 8 8 Probe: ( ) + 5 ( ) = 0 = 0 = 0 (wahre Aussage) (c) x + x 7 = x x + 1 Quadrieren! + 7= =8 = Probe: + 7 = + 1 = (wahre Aussage)

8 Mathematik-Service Dr. Fritsch Tel. 061/776 (d) x 5x + 8 = x Quadrieren! 5+8= + +=0 / =± 0= Probe: = = (wahre Aussage) (e) x + x + = x x Quadrieren! ++= Probe: ++ ++=0 ( ) + ( ) + = ( ) / = ± 0= = (wahre Aussage) III. Gleichungen mit zwei Wurzeln Lösen durch zweimaliges Quadrieren: (a) x = x 1. Quadrieren! = =17. Quadrieren! = = = = + / = ± = ± = = = = 7 + = Probe 1: 89 d.h. (falsche Aussage) ist keine Lösung. (b) x 5 = + x = Quadrieren! 5= =6 6. Quadrieren! +6=6 6 +6= =0 7+70=0 / =8,5±,5=8,5±1,5 =7 =10 Probe : = = 9 (wahre Aussage) d.h. ist eine Lösung. Probe 1: 7 5 = Probe : 10 5 = = (wahre Aussage) = (wahre Aussage) d.h. 7 ist eine Lösung. d.h. 10 ist eine Lösung. ( )

9 Mathematik-Service Dr. Fritsch Tel. 061/776 (c) 5 x x = =9 1. Quadrieren! 5+11= =8 = 6. Quadrieren! 6+59=6 6+59= =0 / =59± 916=59±5 =5 =11 Probe 1: = 9 Probe : = 9 9 = 9 (wahre Aussage) d.h. 5 ist eine Lösung. 9 = 9 (falsche Aussage) d.h. 11 ist keine Lösung. (d) x + 6 x + 1 = = Quadrieren! +6= = +1. Quadrieren! +1+9= = =0 / =± 0= Probe: ( ) + 6 ( ) + 1 = = (wahre Aussage) d.h. ist eine Lösung. 9

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