Mathematik leicht gemacht

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1 Mathematik leicht gemacht von Hans Kreul, Harald Ziebarth überarbeitet Mathematik leicht gemacht Kreul / Ziebarth schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG Harri Deutsch 2006 Verlag C.H. Beck im Internet: ISBN

2 Inhaltsverzeichnis Hinweise zur Benutzung des Buches Zur Technik des Zahlenrechnens DerZahlbegriff DienatürlichenZahlen DasdekadischePositionssystem DasdualePositionssystem DasrömischeZahlensystem KonstanteundVariable DasRechnenmitZahlen Bezeichnungen DieTeilbarkeitvonZahlen TeilereinerZahl Teilbarkeitsregeln Primzahlen DergrößtegemeinsameTeiler DaskleinstegemeinsameVielfache GewöhnlicheBrüche Begriffserklärungen ErweiternundKürzenvonBrüchen Addition und Subtraktion gewöhnlicher Brüche Multiplikation von Brüchen DerKehrwerteinesBruches DivisionvonBrüchen Doppelbrüche Dezimalbrüche Begriffserklärungen Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen Multiplikation von Dezimalbrüchen DivisionvonDezimalbrüchen UmwandlungvonBrüchen Das Runden von Dezimalbrüchen BruchoderDezimalzahl? GrößenvergleichvonBrüchen Rechenhilfsmittel Taschenrechner Grundrechenarten Eingeben, Editieren, Löschen Werteabspeichern Termeberechnen Funktionentasten VerschiedeneArbeitsmodi KaufkriterienfüreinenTaschenrechner Tabellenkalkulation KurzeEinführunginExcel MathematikmitExcel... 83

3 x Inhaltsverzeichnis Computeralgebrasystem Anwendungen für Derive Funktionenplotter Arithmetik DieRollederSpracheinderMathematik Allgemeine Bemerkungen AussagenundAussageformen Verknüpfung von Aussagen EinführendesBeispiel DieKonjunktion DieDisjunktion DieImplikation DieÄquivalenz Grundbegriffe der Mengenlehre DerBegriffderMenge Zahlenmengen DieBeschreibungvonMengen Mengenschreibweise Intervallschreibweise Mengenrelationen Teilmengen GleichheitzweierMengen Mengenoperationen Vereinigung von Mengen DurchschnittvonMengen DifferenzzweierMengen DasRechnenmitVariablen Die vier Grundrechenoperationen Einfache Rechenoperationen mit Variablen DienegativenZahlen Addition und Subtraktion Multiplikation Division DasRechnenmitalgebraischenSummen ÜberdieBedeutungderKlammern SetzenundAuflösenadditiverundsubtraktiverKlammern Multiplikation von Klammerausdrücken AusklammerngemeinsamerFaktoren BinomischeFormeln DieQuadratischeErgänzung Bruchrechnung ErweiternundKürzenvonBrüchen Addition und Subtraktion von Brüchen Multiplikation und Division von Brüchen Doppelbrüche Potenzrechnung Begriffserklärungen...167

4 Inhaltsverzeichnis xi Potenzgesetze Addition und Subtraktion von Potenzen Multiplikation von Potenzen DivisionvonPotenzen PotenziereneinerPotenz Klammergesetze ErsteErweiterungdesPotenzbegriffs PotenzenvonBinomen Polynomdivision Ausklammern für Fortgeschrittene Anwendungen der Potenzen SchreibweiserationalerZahlenmithilfevonZehnerpotenzen SchreibweisevonMaßeinheiten ÜbersichtderPotenzgesetze Wurzelrechnung RadizierenalsersteUmkehrungdesPotenzierens DerWurzelbegriff Definitionsbereich und einschränkende Bedingungen Die Berechnung von Wurzelwerten DiereellenZahlen ZweiteErweiterungdesPotenzbegriffs Wurzelgesetze Addition und Subtraktion von Wurzeln Multiplikation von Wurzeln mit gleichen Wurzelexponenten Teilradizieren Division von Wurzeln mit gleichen Wurzelexponenten RationalmachendesNenners RadizierenvonPotenzenundWurzeln Wurzeln mit verschiedenen Wurzelexponenten RückblickaufdiePotenz-unddieWurzelgesetze Logarithmenrechnung LogarithmierenalszweiteUmkehrungdesPotenzierens DerLogarithmusbegriff Logarithmengesetze SpezielleLogarithmensysteme DiedekadischenLogarithmen DienatürlichenLogarithmen DiedualenLogarithmen WeitereLogarithmensysteme Zusammenfassung Algebra Lineare Gleichungen und Ungleichungen Vorbemerkungen und Begriffserklärungen Definitionsbereich Gleichungen Ungleichungen Umformung von Gleichungen Äquivalente Umformung von Gleichungen...254

5 xii Inhaltsverzeichnis Nichtäquivalente Umformung von Gleichungen Elektronische Hilfsmittel beim Lösen von Gleichungen Lösung linearer Gleichungen mit einer Variablen Begriffserklärungen Einfache lineare Gleichungen Gleichungen mit Klammerausdrücken Bruchgleichungen Wurzelgleichungen Gleichungen mit eingeschränktem Definitionsbereich DasUmstellenvonFormeln Anwendungen Schlussbemerkungen Das Rechnen mit Ungleichungen Gleichungen und Ungleichungen mit Beträgen Proportionen Begriffserklärungen Rechengesetze für Proportionen Fortlaufende Proportionen Direkte Proportionalität Indirekte Proportionalität Proportionen als Gleichungen Prozentrechnung Grundbegriffe Berechnung des Prozentsatzes Berechnung des Prozentwertes Berechnung des Grundwertes Promillerechnung Zinsrechnung Zinseszinsrechnung Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen Lösungsverfahren für LGS mit zwei Variablen Das Einsetzungsverfahren Das Gleichsetzungsverfahren DasAdditionsverfahren Bemerkungen zu den drei Lösungsverfahren Die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme mit zwei Variablen Schwierigere Gleichungssysteme LGSmitdreiundmehrVariablen Begriffserklärungen Lösungsverfahren für LGS mit drei und mehr Variablen LGS mit elektronischen Hilfsmitteln lösen Taschenrechner CAS Quadratische Gleichungen Begriffserklärungen Spezielle Formen der quadratischen Gleichung Die reinquadratische Gleichung Die gemischtquadratische Gleichung ohne Absolutglied...346

6 Inhaltsverzeichnis xiii Die Normalform der quadratischen Gleichung Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen Die Lösung der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung Beziehungen zwischen den Koeffizienten und den Lösungen einer quadratischen Gleichung DieDiskriminante Der Wurzelsatz von VIETA Die Produktform quadratischer Terme Funktionen Begriffsbestimmungen Der Begriff der Abbildung DerBegriffderFunktion ArtenderDarstellungvonFunktionen DarstellungeinerFunktiondurchdieAngabedergeordnetenPaare DarstellungeinerFunktiondurcheineWertetabelle DarstellungeinerFunktiondurchGraphen Darstellung einer Funktion durch wörtliche Formulierung der Zuordnungsvorschrift DarstellungeinerFunktiondurchmathematischeRelationen DarstellungeinerFunktiondurcheineKurve DasrechtwinkligeKoordinatensystem DarstellungvonFunktioneninFormvonKurven Grafische Darstellung von Funktionen, die nicht von vornherein alskurvengegebensind Zusammenhänge zwischen der Gleichung einer Funktion und derzugehörigenkurve Schnittpunkt zweier Kurven WichtigeEigenschaftenvonFunktionen Monotonie Stetigkeit GeradeFunktionen UngeradeFunktionen Schnittpunkte mit den Achsen LineareFunktionen Vorbemerkungen Begriffserklärungen Die Funktion y = mx Die Funktion y = mx + b GrafischeDarstellungderlinearenFunktion Grafische Lösung linearer Gleichungen und linearer Gleichungssysteme mitzweivariablen QuadratischeFunktionen Begriffserklärungen Die quadratische Funktion y = x Die quadratische Funktion y = x 2 + q Die quadratische Funktion y = x 2 + px + q Grafische Lösung quadratischer Gleichungen Die allgemeine quadratische Funktion y = ax 2 + bx+ c...406

7 xiv Inhaltsverzeichnis 4.6 Potenzfunktionen y = x n für ganzzahliges positives n Die Potenzfunktion y = x y = x n für ganzzahliges negatives n y = x a für gebrochene Werte von n WichtigetranszendenteFunktionen Die Exponentialfunktionen DielogarithmischenFunktionen Planimetrie Grundbegriffe der Geometrie Lagebeziehungen zwischen Geraden und Winkeln ParalleleGeraden SchnittzweierGeraden WinkelanParallelen Symmetrie AxialeSymmetrie ZentraleSymmetrie Geometrische Grundkonstruktionen Punktmengen DasDreieck AllgemeinesDreieck SpezielleDreiecke Dreieckstransversalen und deren Schnittpunkte DasViereck AllgemeinesViereck SpezielleVierecke DasVieleck UnregelmäßigesVieleck RegelmäßigeVielecke Kongruenz Was ist Kongruenz? Kongruenz von Dreiecken Ähnlichkeit ÄhnlichkeitimAllgemeinen ÄhnlichkeitvonDreiecken Strahlensätze DasrechtwinkligeDreieck StreckenundWinkelamKreis KreisundGerade WinkelamKreis ÄhnlichkeitamKreis DerGoldeneSchnitt Berechnung von Flächen und Umfängen Vierecke Dreiecke UnregelmäßigeVielecke RegelmäßigeVielecke...472

8 Inhaltsverzeichnis xv KreisundKreisteile UmfangundFlächeninhaltähnlicherFlächen Goniometrie DasBogenmaß Winkelfunktionen Definition der Winkelfunktionen KurvenbilderderWinkelfunktionen DieZahlenwertederWinkelfunktionen DieUmkehrungderWinkelfunktionen Elementare Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen Trigonometrie DieWinkelfunktionenamrechtwinkligenDreieck SätzeüberbeliebigeDreiecke DerSinussatz DieFlächenformelfürDreiecke DerKosinussatz Die Berechnung schiefwinkliger Dreiecke Additionstheoreme Goniometrische Gleichungen Stereometrie EinteilungderKörper Ebenflächner Krummflächner DarstellungvonKörpern Mehrtafelprojektion Axonometrische Projektion IsometrischeProjektion DimetrischeProjektion Körperberechnung Berechnungsgrundlagen Ebenflächner QuaderundWürfel GeradesPrisma Satz des CAVALIERI Pyramide Pyramidenstumpf Krummflächner Kreiszylinder Kegel Kegelstumpf KugelundKugelteile Die GULDIN schenregeln Anhang Mathematische Zeichen Lösungen Sachwortverzeichnis...701