2 Regression, Korrelation und Kontingenz

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1 Regresso, Korrelato ud Kotgez I desem Kaptel lerst du de Zusammehag zwsche verschedee Merkmale durch Grafke zu beschrebe, Maßzahle ür de Stärke des Zusammehags zu bereche ud dese zu terpretere, das Wsse darauf azuwede um de Kursetwckluge verschedeer Akte mteader krtsch vergleche zu köe.. Eführug Betrachtet ma de Körpergröße x ud das Gewcht (de Masse) y veler Mesche, so besteht gemäß der ebesteheder Abbldug dargestellte Puktwolke zwsche dese bede Größe e uübersehbarer Zusammehag. Obwohl deser Zusammehag zwsche x ud y erschtlch cht de Forderuge a ee Fukto geügt Begrüde!, modellert ma de Zusammehag (aus Bequemlchket) deoch gere durch ee Fukto y = f (x) bzw. x = g(y). We ebestehede Abbldug zegt, st es (her) cht güstg, als Modellfukto ee Fukto zu verwede, dere Graph möglchst vele Pukte der Puktwolke aufädelt. Vel güstger st ee Fukto, welche de Tred der Puktwolke wderspegelt. De Graphe eer solche Fukto et ma Regressoskurve (Ausglechskurve).. Leare Regresso Der efachste Fall eer Regressoskurve st ee Gerade; desem Fall beschrebt ma de Abhäggket der Größe y vo x durch ee leare Fukto y = kx + d. Offe blebt dabe, welche Gerade ma als Regressosgerade wähle soll. Ee Möglchket besteht dar, de Regressosgerade mt Augemaß de Puktwolke ezupasse ud k ud d aus der Zechug abzulese. Be deser Vorgagswese erhalte verschedee Persoe jedoch e m Allgemee verschedees Ergebs. Wll ma jedoch ee edeutg bestmmte Regressosgerade, so muss ma e geegetes Verfahre bzw. ee Formel agebe, welches bzw. welche zu eem edeutge Ergebs ührt. Wr verwede dazu de Methode der kleste Quadrate (sehe HAKmatk 3).

2 . Leare Regresso 5 Wr gehe aus vo Messwerte (x, y ) ( ) ud suche y = kx + d so, dass e mmal wrd. Offebar äquvalet herzu st, dass de Größe z = (y y ) = (y kx d) = = (d + kx y ) mmal st. Des st e Extremwertproblem ür ee vo zwe Varable (k, d) abhägge Größe z = z(k, d). Da wr e solches Problem cht löse köe (das Wsse herüber überstegt de Lehrstoff), verwede wr ee Trck ud forme geschckt um: z = z = = (d + kx y ) Mmum d + kx y (d + kx y) + (d + kx y) = k(x x) (y y) + (d + kx y) k (x x) (y y) + k(x x) (y y) + (d + kx y) = (d + kx y) = = [k(x x) (y y)] + (d + kx y) Da ee Summe vo Quadrate mmal wrd, we de Summade möglchst kle sd, muss daher (d + kx y) mmal se, ämlch, we d = y kx st, sodass wr ur mehr jees k bestmme müsse, ür das z = [k(x x) (y y)] Mmum Dese Extremwertaufgabe löse wr we gewoht: Wr dfferezere ach k ud setze de Abletugsfukto ull: [k(x x) (y y)] (x x) = k Dvdere wr durch ud durch, erhalte wr de Satz 3: (x x) (x x)(y y) = Formel der Regressosgerade: De Koeffzete k ud d der Regressosgerade y = kx + d der Puktwolke (x y ); =,,, werde ermttelt gemäß k = (x x) (y y) (x x) d = y k x 3

3 6 Regresso, Korrelato ud Kotgez Bespel : De folgede Tabelle stellt de Körpergröße ( cm) ud de Körpermasse ( kg) vo Persoe gegeüber: Körpergröße (x) Körpermasse (y) Beschrebe de Zusammehag durch ee Regressosgerade! Lösug: Fasst ma x ud y als (erwartugsgemäß) voeader abhägge Größe auf ud trägt de Messergebsse e Koordatesystem e, so erhält ma ee Puktwolke, de erschtlch ee (ugeähr) leare Tred erkee lässt (sehe Abbldug). De Glechug der Tredgerade berechet ma gemäß der obge Formel. Steht ke Tascherecher oder Computer daür zur Verügug, so behlft ma sch mt eer Tabelle ud dem Verschebugssatz. x y x x y = x = 4,5 y = 4, , 3 38, σ x = x x = 3 485, 4,5 = 34,85 ud σ xy = x y x y = 3 38, 4,5 4,5 = 38,45 k = σ xy σ = 38,45 =, ud d = y k x = 4,5, 4,5 = 8, x 34,85 Als Glechug der Regressosgerade erhält ma somt: y =,x 8, Bemerkuge:. De Ausdruck (x x) (y y) et ma Kovaraz vo x ud y ud schrebt daür σ xy ; als Kurzschrebwese ür de obge Formel erhält ma daher k = σ xy σ x. De Kovaraz σ xy st ebeso we de Varaz σ x auf ege Tascherecher auf Tastedruck verügbar. Auch de Koeffzete k ud d der Regressosgerade sd auf mache Tascherecher umttelbar auf Tastedruck verügbar!

4 . Leare Regresso. Auch ür de Kovaraz gbt es ee Verschebugssatz ud zwar glt σ xy = (x x)(y y) = x y x y (Bewes sehe Aufg. ). 3. De Regressosgerade geht mmer durch de Pukt (x y), de so geate Schwerpukt der Puktwolke (vgl. de Defto vo d). 4. Mttels der. Abletug ka ma zege, dass e Mmum vorlegt (Aufg. 6). 5. Mt Hlfe der Regressosgerade ka ma zu jedem gegebee x de zugehörge y-wert schätze; ma bezechet dese Schätzwert mest mt y. Umgekehrt ka ma zu jedem y de zugehörge x-wert schätze; ma bezechet dese Schätzwert mest mt x. Bespel 8: Jemad teressert sch ür ee Frma, de Drehbäke herstellt, um sch a hr fazell zu betelge. Bezüglch der Kostestuato brgt er aus der Betrebsbuchührug des Uterehmes de achfolged tabellerte Date Erfahrug. () Stelle de Kostestuato eem Kostedagramm dar! () Modellere de Kostestuato durch ee möglchst efache Kostefukto! (3) Iterpretere de Bedeutug der Parameter deser Kostefukto! (4) We groß sd de (vorausschtlche) Stückkoste be eer Produkto vo 5 bzw. Stück? Stückzahl Gesamtkoste (Mo. ) 4,8 4 5, 5 5,3 6,3 8 6,5, Lösug: () Kostedagramm (Sehe Abb. rechts!) () Das Kostedagramm legt es ahe, dem Kosteverlauf K(x) zur Verefachug ee leare Tred zu uterstelle. Wr bereche aalog zu Bespel k ud d ud erhalte K(x) = 34,6 x (3) De Tredgerade hat de Gestalt y = kx + d! Aus d = 4 lest ma ab, dass de Fxkoste 4 betrage, de auch da afalle, we der Betreb (ee Zet lag) gar chts produzert. Zusätzlch etstehe pro produzertem Stück varable Koste vo rud 3. Des sd aber cht de Stückkoste. Dese sd durch K(x) = K(x) 4 4 = 3 + gegebe, also um höher. x x x (4) Be eer Produkto vo 5 Stück betrage de Stückkoste (etwa) 4 K(5) = ud aalog K() =

5 8 Regresso, Korrelato ud Kotgez Bemerkuge:. De aus dem Modell berechete Stückkoste K(5) werde vo de tatsächlche Koste cht allzu wet abweche. Es hadelt sch ja um e leares Iterpolere der Tabellewerte. Begrüde! Hgege köte der aus dem Modell progostzerte Wert K() vom tatsächlche Wert erheblch abweche. Deser durch Extrapolere gewoee Wert setzt ja voraus, dass sch der leare Kostetred (zumdest bs x = ) fortsetzt, was wr aber cht wsse.. Das Modell Bespel 8 zegt, dass mt wachseder Produkto de Stückkoste ske. Daraus ergbt sch sbesodere ür große Uterehme mt hohe Fxkoste e Zwag zur Produkto. Begrüde!. Der (leare) Korrelatoskoeffzet Ob es svoll st, de Zusammehag zwsche x ud y durch ee Regressos-Gerade zu modellere möglch st es ja mmer!, hägt vo der Gestalt der Puktwolke ab. I de bede lke Abblduge st des re optsch offebar der Fall, de bede rechte Abblduge st des eher cht der Fall. De Beurtelug der Sachlage ka aber vo Perso zu Perso verschede se. Um e ehetlches Urtel zu erreche, wurde e Maß r xy defert, das msst, we stark de Puktwolke um de Regressosgerade verstreut st. De Idee dabe st de folgede: De Zusammehag zwsche x ud y ka ma auf zweerle Wese beschrebe: als Abhäggket y = f (x) ud als Abhäggket x = g(y). Im Fall learer Modellfuktoe f ud g hat ma zwe Regressosgerade: y = k y x + d y ud x = k x y + d x, de m Fall ees exakt leare Zusammehags zwsche x ud y eader überdecke. Im allgemee Fall werde de bede Gerade aber ee Schere blde, dere Öffugswkel umso größer se wrd, je weger der wahre Zusammehag e learer st (sehe de bede lke Abblduge). Forme wr de zwete Regressosrechug um, erhalte wr y = x + d x. Je besser daher de Stegug k k x k y mt überestmmt, d. h., je besser x k x k x k y = glt, umso eher besteht e learer Zusammehag. Setzt ma ür k x ud k y aus der Formel ür de Regressosgerade e, so erhält ma k x k y = σ xy σ x σ yx σ y Wege σ xy = σ yx Begrüde ahad der Formel! erhält ma

6 . Der (leare) Korrelatoskoeffzet 9 k x k y = σ xy σ x σ y Aus Dmesosgrüde zeht ma de Wurzel ud gbt de Def. : Als (leare) Korrelatoskoeffzete bezechet ma de Zahl (x x) (y y) σ xy r xy = = (x x) (y y) σ x σ y Das Quadrat des Korrelatoskoeffzete et ma Bestmmthetsmaß. Bemerkuge:. r xy st stets ee Zahl aus [ ; ]. Begrüde (Aufg. 8)!. Für r xy = besteht ke learer Zusammehag, ür r xy = e streg postver learer ud ür r xy = e streg egatver learer Zusammehag r = r = -, r = -, r = Bespel : Fortsetzug Bereche de Korrelatoskoeffzete zwsche der Körpergröße ud der Körpermasse! Lösug: r xy = σ xy σ x σ y = 38,45 34,85 63,85,85 Der Zusammehag zwsche Körpergröße ud Körpermasse lässt sch also zemlch gut durch ee leare Zusammehag modellere. Ma sagt: Körpergröße ud Körpermasse sd (zemlch gut) lear korrelert. Da eer Zuahme (Abahme) der ee Größe auch ee Zuahme (Abahme) der adere Größe etsprcht, sagt ma geauer: Körpergröße ud Körpermasse sd (zemlch gut) postv lear korrelert. 6

7 3 Regresso, Korrelato ud Kotgez.3 Leare Regresso mt Hlfe des Computers I E gbt es mehrere Möglchkete, de leare Regresso zu bereche. Ee davo st, zuerst e Puktdagramm zeche zu lasse. Aschleßed wrd e Pukt des Dagramms mt der rechte Maustaste ageklckt ud dem sch öffede Fester das gewüschte Modell gekezechet, wobe de leare Regresso voregestellt st. Zusätzlch köe och de Fuktosglechug ud um de Güte der Apassug zu erkee das Bestmmthetsmaß r s Dagramm egeügt werde. Bespel : Fortsetzug Löse Bespel mt Hlfe ees TKP! Lösug: De folgede Aufgabe sd mt Hlfe ees TKP zu löse! 6 Kohlemooxd-Emssoe des PKW-Bestades: () Modellere de Tred der Kohlemooxdabahme durch ee leare Fukto! () Überprüfe mttels des Korrelatoskoeffzete, ob de leare Modellerug agemesse erschet! (3) Erstelle e Dagramm ud zeche de Regressosgerade e! a) PKW-Desel t 4 t t t b) PKW-Bez 64 t 38 t 8 t 3 t c) Summe 66 t 3 t 85 t 48 t Stckstoffoxd-Emssoe des PKW-Bestades: () Modellere de Tred der Stckstoffoxdabahme durch ee leare Fukto! () Überprüfe mttels des Korrelatoskoeffzete, ob de leare Modellerug agemesse erschet! (3) Erstelle e Dagramm ud zeche de Regressosgerade e! a) PKW-Desel t 4 3 t 9 t t b) PKW-Bez 64 9 t 55 t 5 t 4 t c) Summe 66 t 6 t 4 t 6 t 6

8 5 Koste, Prese ud Faze Akteaalyse De Redte vo Akte wrd etwas aders berechet als de vo Alehe. 5 Bespel 5: Nebestehede Grafk zegt de Kursverlauf (Chart) der ÖMV-Akte a der Weer Börse m Zetraum 996 bs. (Quelle: Weer Börse AG). Über de gesamte Zetraum gesehe, hat sch der Wert eer ezele Akte erhöht. We jemad m Jahr 996 Akte des Uterehmes erworbe hat (Kurs etwa e) ud se weder verkauft (Kurs etwa 3 e), we hoch war da see Redte? Lösug: Der Gew beträgt 3 = 3, see Redte daher 3/ 4, 9 = 49 % Satz 8: Edkurs Afagskurs efache Redte = Afagskurs 8 Nebe der efache Redte gbt es och de so geate logarthmsche Redte R: Satz 9: Edkurs ) logarthmsche Redte = l ( Afagskurs 9 Bespel 5: Bereche de logarthmsche Redte vo Bespel 5: 3 Fortsetzug Lösug: R = l ( ), 46 = 46 % Obwohl de Formel für de Berechug der efache Redte für de Lae eleuchteder st, wrd der Praxs mest de logarthmsche Redte verwedet. Der Grud dafür st aus Bespel 6 erschtlch: 6 Bespel 6: Gegebe st de Kurstabelle eer (fktve) Akte. Bereche für jede Moat de efache ud de logarthmsche Redte! Lösug: sehe Tabelle

9 5.6 Fazmathematk 45 Bemerkug:. Efache ud logarthmsche Redte stmme. A. ugefähr übere. Nur be starke Kursäderuge uterschede se sch deutlcher.. Erwrbt jemad am.. obge Akte um e ud verkauft se füf Moate später weder um deselbe Pres, da hat er weder ee Gew och ee Verlust gemacht. Berechet ma aber de Durchschtt der efache Redte für dese Zetraum, so erhält ma ee Gew vo %, wogege der Durchschtt der logarthmsche Redte st l der Tabelle sd für jedes Moat des vergagee Jahres etweder der Kurs oder de efache bzw. logarthmsche Redte eer Akte agegebe. a) Vervollstädge de Tabelle! b) Bereche de Redte für das erste ud zwete Halbjahr sowe für das gaze Jahr! Moat Jäer Februar März Aprl Ma Ju Jul August September Oktober November Dezember Kurswert,,5,, ef. Redte,5 %, % 5, % -,5 % log. Redte 4, %,5 %, %, % Obge Überleguge gelte aber ur für Akte, für de kee Dvdede ausbezahlt wrd. Im Allgemee erhält ma aber Dvdede ausbezahlt, so dass de Akteredte cht ur de egetretee Kursstegeruge berückschtge muss, soder auch de dem Zetraum agefallee Dvdede: Satz 3: (Edkurs Afagskurs) + Dvdede Akteredte = Afagskurs 3

10 .6 Akteaalyse ud Korrelato 43.6 Akteaalyse ud Korrelato I HAKmatk 3 Kap habe wr de Kursverlauf vo Akte betrachtet. Bestzt ma u zwe Akte, so wrd ma sch ür de Zusammehag zwsche dere Kursverläufe teressere, also de Korrelatoskoeffzete bereche:. Ee postve Korrelato zegt a, dass de Redte der bede Alage glechlaufed sd; stegt de Redte der ee Alage, so stegt auch de der adere.. Ee egatve Korrelato zegt a, dass de bede Redte zueader gegeläufg sd. Wählt ma egatv korrelerte Alageforme aus, et ma das Hedgg. Durch so e Vorgehe soll das Rsko vermdert werde. 3. Ist de Korrelato ull, so besteht zwsche dem Verlauf der bede Redte ke Zusammehag. Bespel : Stelle de Kursverläufe der bede Akte grafsch dar, bereche de Korrelato ud terpretere se! Kurs Akte A Kurs Akte B Korr.Koeff. =, De Kursverläufe der bede Akte sd mteader hoch korrelert. Akte A Akte B 45 Stelle de Kursverläufe der bede Akte grafsch dar, bereche de Korrelato ud terpretere se! Kurs Akte A Kurs Akte A a) b) Kurs Akte B Kurs Akte B Ee Aleger bestzt Akte der Frma A Kurs Akte A 4 8 ud überlegt, ob se Akte der Frma B oder Kurs Akte B 4 C dazu kaufe soll. Welche Rat würdest du hr gebe? Besprch dee Etschedug der Gruppe! Kurs Akte C Folgede Kursetwckluge dreer Kurs Akte A Akte sd gegebe. Du möchtest Kurs Akte B zwe davo erwerbe ud somt 8 vestere. Welche wrst du wähle? Kurs Akte C

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