4.6 Integralrechnung III. Inhaltsverzeichnis

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1 4.6 Integrlrechnung III Inhltsverzeichnis 1

2 Integrlrechnung Theorie und Übungen 2 1 Exponentilfunktionen Aus der Differentilrechnung wissen wir, dss gilt: f(x)=e x f (x)=e x Stz 1 Für die ntürliche Exponentilfunktion der Form f(x)=e x gilt: e x dx=e x +C Weiter wissen wir ( R): f(x)=e x f (x)= e x Stz 2 Für die ntürliche Exponentilfunktion der Form f(x)=e x ( R\{0}) gilt: e x dx= ex +C Übungen 1. Bestimme die nchfolgenden unbestimmten Integrle: ) 2e x dx= b) e 3x dx= c) d) e x + e x dx= e) e 3x + e 4x dx= f) e x dx= 8 e 4x 3 dx= 2. Berechne die folgenden bestimmten Integrle und überprüfe Dein Ergebnis mit Hilfe des TI-89. ) 1 0 e x dx= b) 1 0 e 2x dx= c) 1 0 e x dx 3. ) Berechne den Inhlt des Flächenstücks, ds von den Grphen der Funktionen f(x) = e x und g(x)=e x im Intervll [0;2] eingeschlossen wird. [ 5.52] b) Wie muss die obere Integrtionsgrenze 0 < b gewählt werden, dmit der Inhlt des Flächenstücks in Teilufgbe ) den Wert 10 besitzt (die solve-funktion des TI-89 drf verwendet werden)? [ 2.48] c) Berechne den Inhlt des Flächenstücks, ds von den Grphen der Funktionen f(x) = e x und g(x)=e x im Intervll [0;2] für 0< eingeschlossen wird. [ e2 + e 2 2]

3 Integrlrechnung Theorie und Übungen 3 2 trigonometrische Funktionen Aus der Differentilrechnung wissen wir, dss gilt: f(x)=sin(x) f (x)=cos(x) und f(x)=cos(x) f (x)= sin(x) Stz 3 Die unbestimmten Integrle für die sin- und die cos-funktion luten: cos(x)dx=sin(x)+c sin(x)dx= cos(x)+c Weiter wissen wir: f(x)=sin(x) f (x)=cos(x) und f(x)=cos(x) f (x)= sin(x) Stz 4 Die unbestimmten Integrle für sin(x) und cos(x) luten ( 0): cos(x)dx= sin(x) +C sin(x)dx= cos(x) +C Übungen 4. Bestimme die nchfolgenden unbestimmten Integrle: ) sin(x)+cos(x)dx= b) sin(2x) dx = c) d) sin(x)+π dx= e) sin(x)+e x dx= f) cos(3x)dx= cos(x) xdx=

4 Integrlrechnung Theorie und Übungen 4 3 Extremwertufgben Einführungsufgbe: Die Grphen der Funktionen f (x) = sinx und g (x) = 1 sinx begrenzen für x [0;π] eine Fläche. Für welche Werte 0< ist der Flächeninhlt miniml? Bestimme diesen minimlen Inhlt. [=1,A(1)=4]

5 Integrlrechnung Theorie und Übungen 5 Übungen 5. Betrchtet wird der Grph der Funktion f(x)=(x ) 2. Dbei ist ein Prmeter, der Werte zwischen 0 und 2 nnehmen knn. 4 2 ) Wie gross ist die schrffierte Fläche F für =0.5? [ 3.42] b) Für welches wird die schrffierte Fläche miniml? [ 2] 2 6. (Mturufgbe 2005/2006) Gegeben sind die Punkte A(0 0) und B(1 1). ) A und B liegen uf dem Grphen einer Funktion 2.Grdes, dzu ist B uch noch der Scheitelpunkt. Skizziere den Grphen und gib die Vorschrift der Funktion n. [ x 2 + 2x] b) Gib eine Vorschrift einer Funktion 2.Grdes n (nicht die gleiche wie bei )), uf deren Grph die Punkte A und B liegen und deren Grph nch unten geöffnet ist. Skizziere dnn den Grphen. c) Gib eine Formel für die 2.Nullstelle n, die eine Funktion 2.Grdes (der Grph ist nch unten geöffnet) durch A und B ht. [ 1 d) Der endliche Flächeninhlt zwischen dem Grphen einer Funktion 2.Grdes (nch unten geöffnet) durch A und B und der x-achse soll möglichst klein sein. Bestimme die entsprechende Funktionsvorschrift (wenn Du b) nicht lösen konntest, dnn nimm n, ds Ergebnis sei (+1)/( 1) gewesen). [= 2] ]

6 Integrlrechnung Theorie und Übungen 6 4 Rottionskörper um die x-achse Auf der untenstehenden Abbildung ist ein Dreieck zu sehen: Die vom Dreieck eingeschlossene Fläche wird nun um die x-achse rotiert. Es entsteht ein gerder Kreiskegel: [RotX=-90,RotZ=35](0,0,0)1541 Wir möchten gerne ds Volumen dieses Kreiskegels berechnen. Wir lösen ds Problem mit der gleichen Idee wie ds Flächenproblem, indem wir den Kegel ufteilen, llerdings nicht in Rechtecke wie ds Prbelsegment, sondern in Zylinder.

7 Integrlrechnung Theorie und Übungen 7 [fillstyle=solid,fillcolor=gry,rotx=90,rotz=10](0,0,0) Wir berechnen die Untersumme: Die Breite einer Scheibe (Zylinder) ist 1 (8:8). Der Rdius der ersten Scheibe ist f(1) = 1/2 + 4 = 3.5. Die Volumenformel für den Zylinder ist h r 2 π. Ds Volumen der ersten Scheibe beträgt somit π = der Rdius der zweiten Scheibe ist f(2)= 2/2+4=3, der dritten Scheibe f(3), usw. Die Untersumme beträgt somit: 1 f(1) 2 π+1 f(2) 2 π+1 f(3) 2 π+1 f(4) 2 π+1 f(5) 2 π+1 f(6) 2 π+1 f(7) 2 π = π π π π π π π = Wie können wir diese Sitution zurückführen uf die unser bisheriges Wissen?

8 Integrlrechnung Theorie und Übungen 8 ohne Rottion Fläche ufteilen in Rechtecke mit Rottion Fläche ufteilen in Scheiben (Zylinder) Rechtecksfläche: Breite ml f(x) Zylindervolumen: Breite ml π ml f(x) 2 Breite geht gegen 0: f(x)dx Breite geht gegen 0: π f(x) 2 dx Grenzen: b f(x) dx Grenzen: b π f(x) 2 dx Zur Vereinfchung können wir π ls Konstnte us dem Integrl herusnehmen. Wir können dnn folgende Formel ufschreiben: b V x = π f(x) 2 dx Wir können nun ds Volumen des Kegels berechnen: f(x)= x ( V = π f(x) 2 dx=π x ) dx=π π ( ) π ( 8 0 ( x x+16 ) = ) dx=π π ( x x2 + 16x ) 8 0 = Kontrolle: Die llgemeine Formel lutet: V = h r2 π. 3 In unserem Beispiel ist h=8 und r=4. V = Übungen 7. Durch Drehung des Prbelbogens mit der Gleichung y= x(x [0,10]) um die x-achse entsteht ein Rottionsprboloid. Berechne ds Volumen dieses Prboloids. [157.08]

9 Integrlrechnung Theorie und Übungen 9 8. Löse die folgenden beiden Teilufgben: ) Die Gleichung für einen Kreis mit Rdius 3 lutet: 3 2 = y 2 + x 2. Der Kreis wird nun um die x-achse rotiert, es entsteht eine Kugel. Wie gross ist sein Volumen? [V = 113.1] b) Die Gleichung für einen Kreis mit Rdius r lutet: r 2 = y 2 + x 2. Der Kreis wird nun um die x-achse rotiert, es entsteht eine Kugel. Wie gross ist sein Volumen? [V = 4π 3 r3 ] 9. Die llgemeine Gleichung für eine Ellipse lutet: x2 = 1. Diese wird nun um die x-achse rotiert, b2 es entsteht ein Ellipsoid. Wie gross ist dessen Volumen? [ 4π bc] 3 2+ y2 10. Berechne die llgemeine Formel des gerdes Kreiskegels (Höhe h, Rdius r) mit Hilfe der Integrlrechnung. [ πr2 h 11. Die Grphen der Funktionen f und g begrenzen eine Fläche, die um die x-achse rotiert. Skizziere diese Fläche mit Hilfe des TI-89. Skizziere die Grphen der beiden Funktionen und berechne ds Volumen des Rottionskörpers. ) f(x)= x 2,g(x)= x [8.38] b) f(x)=3x 2 x 3,g(x)=x 2 [17.23] c) f(x)=3x 2 x 3,g(x)=2x [6.28] 12. Der TR knn uneingeschränkt verwendet werden: Ein Kreis mit Rdius r und Zentrum(0 ) wird um die x-achse rotiert. Berechne ds Volumen des entstndenen Rottionskörpers (Torus). [2π 2 r 2 ] 3 ] 5 Rottionskörper um die y-achse Wir betrchten nun einen Körper, der durch Rottion um die y-achse erhlten werden knn. Wir beginnen mit folgender Fläche: Diese Fläche wird nun um die y-achse rotiert. Es entsteht wieder ein gerder Kreiskegel, der uf der untenstehenden Abbildung zu sehen ist.

10 Integrlrechnung Theorie und Übungen 10 [RotX=0,RotZ=35](0,0,0)1530 Wir wollen wiederum ds Volumen des Kegels usrechnen. Im Vergleich zur Rottion um die x-achse brucht es eine zusätzliche Überlegung: Bei der Rottion um die x-achse sind wir der x-achse entlnggegngen und hben jeweils den Funktionswert uf der y-achse bgelesen. Bei der Rottion um die y-achse gehen wir der y-achse entlng und lesen den Funktionswert von der x-achse b. Die Achsen sind lso vertuscht. Frge: Eine Vorschrift f(x) ist gegeben. Wie lutet die Vorschrift des Grphen von der y-achse us gesehen? Überlegung: Es wurden die Achsen vertuscht. Wir ordnen nicht mehr dem x ein y zu, sondern dem y ein x. Dies ist gerde die Umkehrung des Vorgnges. Dmit können wir unsere Frge bereits bentworten. Antwort: Die Vorschrift lutet f 1 (y) (Umkehrfunktion). Um die Grenzen zu ermitteln, werden und b einfch in f(x) eingesetzt. Wenn f(b) > f() ist, erhlten wir ds Volumen. Wenn llerdings f(b)< f() ist, erhlten wir betrgsmässig ds Volumen, ber mit einem Minuszeichen. Deshlb müssen wir den Betrg des Integrls nehmen. Dmit lutet die Formel für die Rottion um die y-achse: V y = π f(b) f() [ f 1 (y) ] 2 dy Dmit können wir den Flächeninhlt des Kegels berechnen: f(x)=mx+n, wobei m= 8/4= 2 und n=8 ist. Wir erhlten: f(x)= 2x+8

11 Integrlrechnung Theorie und Übungen 11 y= 2x+8 2x=y 8 x= y f 1 (y)= y =0 f(0)=8,b=4 f(4)=0 ( 0 V = π y ) 2 ( ) dy = π 0 y 2 ( ) 8 4 4y+16 dy = π y y2 + 16y 8 ( ) 8 3 = π = Ds Ergebnis stimmt mit demjenigen us dem oberen Abschnitt überein, dmit hben wir gleich eine Bestätigung dfür, dss unsere Formeln richtig sind. 13. Ein Gefäss entsteht durch die Rottion der Funktion f(x)= 1 x im Bereich zwischen x=0 und x=3 4 um die y-achse. ) Berechne ds Volumen des Gefässes. [7.07] b) Ds Gefäss wird mit 1.2 Einheiten Wsser gefüllt. Wie hoch ist der Wsserstnd? [0.42] 14. Der Grph der Funktion f(x)= 4x schliesst mit der x-achse und der y-achse im ersten Qudrnten eine Fläche ein. ) Wie gross ist ds Volumen, wenn diese Fläche um die x-achse rotiert? [73.87] b) Wie gross ist ds Volumen, wenn diese Fläche um die y-achse rotiert? [14.14] 6 Extremwertufgben zu Rottionskörpern 15. Gegeben ist die Funktion f(x) = (+2) 2 x(2 x)( R+ ). Die vom Grphen G f der Funktion f und der x-achse begrenzte Fläche rotiert um die x-achse (im Bereich 3<x<2) und erzeugt einen Rottionskörper. ) Skizziere mit Hilfe des TI-89 die Grphen von f(x) für =0.5,0.8,2,5 und =9. Schätze mit Hilfe der Zeichnung b: Wie muss gewählt werden, dmit der dzugehörige Rottionskörper ds mximle Volumen erreicht? [2] b) Stelle eine Funktion V() uf, welche ds Volumen des Rottionskörpers im Bereich von -3 bis 2 (in Abhängigkeit von ) liefert. [π (+2) 4] c) Berechne mit Hilfe von (b) Für welchen Wert von ist ds Volumen des Rottionskörpers im Bereich 3<x<2 mximl? [2] d) Wie lutet in diesem Fll die Funktionsgleichung von f? [ f(x)= x(2 x) 8 ] e) Berechne V mx (Volumen des Rottionskörpers) im Bereich 3<x<2 mit Hilfe von b) und c). [8.18]

12 Integrlrechnung Theorie und Übungen Betrchtet wird der Grph der Funktion f(x)=(x ) 2. Dbei ist ein Prmeter, der Werte zwischen 0 und 2 nnehmen knn ) Berechne ds Rottionsvolumen V bei Rottion von F um die y-achse für =0.5. [11.50] b) Für welches wird ds Volumen mximl? [= 3 4]

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π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x Wir substituieren x x(t) r sin(t), t [ π, π ]. Dnn ist x (t) r cos(t), lso r x dx π π r π r r sin (t)r cos(t) dt π cos (t) cos(t) dt r π π cos (t) dt Wir integrieren cos mittels prtieller Integrtion: Sei

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