SoSe16 Arbeitsheft Blatt 7. Tutorium. Inhalt von berandeten Fla chen

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1 Mathematik fu r Ingenieure (Maschinenbau und Sicherheitstechnik) 2. Semester Apl. Prof. Dr. G. Herbort Dr. T. P. Pawlaschyk herbort SoSe16 Arbeitsheft Blatt 7 Tutorium Inhalt von berandeten Fla chen Wir haben bereits Fla chen berechnet, die von Graphen von Funktionen f und g mit f g u ber einem Intervall [a, b] eingeschlossen werden. Die Graphen der Funktionen f und g ko nnen als Parametrisierung der Kurven α(t) = (t, f (t)) bzw. β(t) = (t, g(t)) mit t [a, b] aufgefasst werden. Ferner ko nnen die Verbindungslinien der Punkte (a, f (a)) mit (a, g(a)) bzw. (b, f (b)) a a mit (b, g(b)) ebenfalls parametrisiert werden, etwa durch γ(t) = (1 t) +t mit f (a) g(a) t [, 1]. Die zu berechnende Fla che wird also von speziellen Kurven umrandet. Wir ko nnen auch allgemeinere Kurven zulassen und dann den Fla cheninhalt der von dieser Kurve umschlossenen Fla che ausrechnen. Was muss an eine Kurve α : [a, b] R2 vorausgesetzt werden, um die Formel fu r den Inhalt der von α berandeten Fla che anwenden zu ko nnen? Sie muss zweimal stetig differenzierbar, doppelpunktfrei und geschlossen sein. Wie lautet dann die Fla cheninhaltsformel? Fα = 1 2 b Z det(α, α ) (t) dt a Volumen und Mantelfa che von Drehko rpern Anwendungen: Sei K ein Kegelstumpf mit Ho he h und Radien r1 > r2. Dann ist das Volumen VK = π h r12 + r1 r2 + r22 Die Mantelfla che des Kegelstumpfs ist p AK (r1 + r2 ) h2 + (r1 r2 )2 1

2 Kegelstümpfe ergeben sich als Drehkörper von Geraden bei Rotation um die x-achse. Da man ihr Volumen und ihre Mantelfläche kennt, eignen sie sich, um das Volumen V (D x (f)) und die Mantelfläche A(D x (f)) eines allgemeineren Drehkörpers herzuleiten, der statt von einer Geraden von einer positiven Funktion f : [a, b] R bestimmt wird. Die Formel für das Volumen lautet V (D x (f)) b a f 2 (x) dx Die Mantelfäche errechnet sich mittels A(D x (f)) b a f(x) 1 + (f (x)) 2 dx Beispiel 1: Sei g(x) = ( x) x definiert auf [, ]. Dann ist das Volumen des Drehkörpers V (D x (f)) Beispiel 2: ( x) 2 x dx Sei f(x) = x 1/ mit x 2. Dann ist A 1/ x 1 x 1 [ 1 9x 6x 2 + x dx 4 x4 2x + 9 ] 2 x2 = 27π x 1 2x 1 ( [ 1 arsinh x 2 dx x 4 dx 9x x 2 dx 2 x dx ) 2 ]2 x 2 + x x 2 ( ( arsinh ) ) 16 1, 2 2

3 Aufgabe 1 Präsenzaufgaben Geben Sie das kleinstmögliche Intervall [a, b] mit a < < b an, auf dem die jeweilige Kurve α geschlossen und doppelpunktfrei ist. Bestimmen Sie dann den Inhalt der Fläche, die von der Kurve umrandet wird. t 2 t (a) α(t) = (b) α(t) = 2 1 sin(t) t t (a) Das kleinstmögliche Intervall ist [ π, π]. Es sind 2t α(t) = und det(α, α)(t) = t(2 sin(t) t cos(t)). cos(t) Für t [ π, π] ist det(α, α)(t). Somit ist die gesuchte Fläche F α = 1 2 = 1 2 π π t(2 sin(t) t cos(t)) dt [ 4 sin(t) 4t cos(t) t 2 sin(t) ] π π = 4π. (b) Das kleinstmögliche Intervall ist [ 1/, 1/ ]. Es ist 6t α(t) = 9t 2 und det(α, α)(t) = 9t 4 6t Aufgabe 2 Dies ist immer größer oder gleich Null. Daher lautet das die gesuchte Fläche (a) Wie ist der Inhalt der von α(t) = cos(2t) 1/ F α = 1 2 1/ 9t 4 6t dt = 1 [9 2 5 t5 + 2t + t ] 1/ 1/ 8 = 15 (b) Das kartesische Blatt α sei durch die Parametrisierung r(t) = cos(t), t [, 2π], umschlossenen Fläche? sin(t) cos t sin t cos t + sin t gegeben. Welche Fläche schließt die Schleife ein (t [, π/2])? Für eine parametrisiert Kurve α(t) = r(t)(cos(t), sin(t)) ist was man leicht nachrechnet. det(α(t), α(t)) = r 2 (t), (a) Es ist r 2 (t) = cos 2 (2t). Dann ist die gesuchte Fläche F α = 1 2 r 2 (t) dt = 1 2 cos 2 (2t) dt = 1 4 4π cos 2 (x) dx = 1 16 [sin(2x) + 2x]4π x= 2.

4 (b) Es folgt nun für die gesuchte Fläche: A = 1 2 = 9 2 = 9 2 = 2 π/2 π/2 r(t) 2 dt = 9 2 π/2 tg 2 t (1 + tg t) 2 1 x 2 (1 + x ) 2 dx = 2 cos 2 t dt cos 2 t sin 2 t (cos t + sin t) 2 dt 1 (1 + u) 2 du Aufgabe (a) Sei f(x) = x mit x. Berechnen Sie das Volumen und die Mantelfläche des Drehkörpers D x (f). (b) Für f(x) = e x sin(x) mit x π berechnen Sie das Volumen des Drehkörpers um die x-achse. (c) Wir betrachten die Kurve, die durch die Gleichung 8a 2 y 2 = a 2 x 2 x 4 mit a > gegeben ist, und lassen sie um die x-achse rotieren. Berechnen Sie die Mantelfläche des so entstehenden Drehkörpers über dem Intervall [, a]. (a) Für f(x) = x ist das Volumen des Drehkörpers Die Mantelfläche ist A(D x (f)) V (D x (f)) x dx 4x x dx = 9π/2. [ x + 14 ( dx 2 x + 1 ) ] /2 4 6 (1 1 1). (b) Das Volumen berechnet sich wie folgt (mit doppelter partieller Integration): V (D x (f)) = π 8 π π 8 (e2π 1) (e x sin(x)) 2 dx e 2x sin 2 (x) dx [ e 2x (sin(2x) + cos(2x) 2) ] π x= (c) Wir stellen die Gleichung um und erhalten y 2 = a2 x 2 x 4 8a 2. Das ergibt eine Schleife über dem Intervall [, a]. Der Teil dieser Schleife über der x Achse ist der Graph der Funktion a2 x y = f(x) = 2 x 4 2. Der oben beschrieben Körper ist also der Drehkörper, der aus der 2a Rotation der Funktion f über dem Intervall [, a] entsteht. Es ist f (x) = a 2 x 2x 2 2a a 2 x 2 x = a2 x 2x 4 8a 2 f(x) 4

5 Damit ist die Mantelfläche: A(D x (f)) a2 4 f(x) 1 + (f (x)) 2 dx a2 x 2x f(x) a 2 dx f(x) 64a4 f f(x) 2 (x) + (a 2 x 2x ) 2 8a 2 dx f(x) 8a2 (a 2 x 2 x 4 ) + (a 2 x 2x ) 2 dx 4x6 12a 2 x 4 + 9a 4 x 2 dx x 4x 4 12a 2 x 2 + 9a 4 dx x (2x 2 a 2 ) 2 dx x(2x 2 a 2 ) dx Weitere Übungsaufgaben Hinweis: Die Übungsaufgaben können Sie bei Ihrem jeweiligen Tutor regelmäßig abgeben und überprüfen lassen. Aufgabe 1 Ist die folgende Kurve auf dem angegebenen Intervall doppelpunktfrei und geschlossen? Was ist der Inhalt der Fläche, die von der Kurve umrandet wird? cos(t) γ(t) = r(t), r(t) = 4 cos(t), t [ π/6, π/6] sin(t) Zeichnen Sie die Kurve für t [ π, π]. Wir rechnen leicht nach, dass γ( π/6) = γ(π/6) = Seien π/6 < s < t < π/6 und γ(s) = γ(t), d.h. ist. r(t) cos(t) = r(s) cos(s) und r(t) sin(t) = r(s) sin(s). Da r(t) und r(s) positiv sind, erhalten wir nach Umstellen der beiden vorherigen Gleichungen: Daraus erhalten wir sin(s) sin(t) = r(t) r(s) = cos(s) cos(t) = cos(s) sin(t) cos(t) sin(s) = sin(t s). Das ist aber nur erfüllt, falls t = s + kπ, wobei k Z. Aber dann liegt t nicht mehr im Intervall [ π/6, π/6]. Somit ist γ dort doppelpunktfrei. 5

6 Es ist α = 12 sin(t) e(t) + 4 cos(t) e (t) und damit det(α, α) = 16 cos 2 (t) Für die gesuchte Fläche finden wir A α = 8 Hier die Kurve: cos(t) 2 dt = 8π Aufgabe 2 (a) Sei f(x) = x α mit x 2 und < α < 1.Welches Volumen hat der entstehende Drehkörper D x (f)? (b) Eine Schüssel hat die Form der Oberfläche eines ausgehöhlten Körpers, der sich durch Rotation der Funktion f(x) = x 1/2 über [, 6] um die x-achse ergibt. Die Schüssel der Höhe 6cm erhält eine innere weiße Glausur und eine äußere türkisfarbende von jeweils.7 mm Dicke. Für einen landesweiten Vertrieb werden 2. deartige Schüsseln produziert. Wieviel Liter Glausur wird dann insgesamt benötigt? (a) Das gesuchte Volumen ist V α Speziell sind V 1/2 6, 28 und V 1/ 5, 98. (b) Ist α = 1 2, so ist die Mantelfläche gerade A 1/2 x 2α dx = 22α+1 π 2α x x 1 2 dx x x dx 1 x 1 + 4x 2 x dx 1 + 4x dx = 62π [ ] 6 (1 + 4x) 2

7 Die Menge an Glasur ist dann cm 2.7 cm = 9.9 ml für eine Schüssel und somit l für 2. Schüsseln. Selbsttest: (Dauer: 1 min) Welche Fläche umschließt die Astroide α, die durch die Parametrisierung α(t) = (cos (t), sin (t)) für t [, 2π] gegeben ist? Hier die Astroide: Wir berechnen zunächst α(t) = ( cos 2 (t) sin(t), sin 2 (t) cos(t) ). Dann bestimmen wir noch ( det(α(t), α(t)) = det cos (t) cos 2 (t) sin(t) sin (t) sin 2 (t) cos(t) = sin 2 (t) cos 4 (t) ( cos 2 (t) sin 4 (t)) = sin 2 (t) cos 2 (t)(cos 2 (t) + sin 2 (t)) ) = 4 sin2 (2t), da 2 sin(t) cos(t) = sin(2t) und cos 2 (t) + sin 2 (t) = 1. Der Flächeninhalt ist dann: F α = 1 2 = 8 det(α(t), α(t)) dt sin 2 (2t)dt = 8 [ t 2 sin(4t) ] 2π = π 8 8 7

8 Stochastikaufgabe Hinweis: Die werden in der Vorlesung behandelt. Stochastikaufgabe 7: a) Der Durchmesser d eines Balles sei rechteckverteilt mit Parametern a = 1 cm und b = 2, 5 cm. Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt sein Volumen V im Intervall [16 cm, 17 cm ]? b) Eine Firma stellt Widerstände mit dem Nennwert 1 Ohm her. Die tatsächlichen Werte sind aber normalverteilt mit Erwartungswert 1 Ohm und Streuung 5 Ohm. Angenommen, ein Abnehmer akzeptiert Abweichungen von maximal 1 Ohm. Wieviel Prozent der Lieferung wird er zurückgehen lassen? 8