3. Das Prinzip der virtuellen Arbeit

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1 3.1 Stab 3.2 Scheibe 3. Das Prinzip der virtuellen Arbeit Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.3-1

2 3.1 Stab Herleitung des Prinzips der virtuellen Arbeit: Am Stab greifen als äußere Kräfte die Einzelkräfte F 1 und F 2 und die olumenkraft f an. Die Formänderungsenergie ist gleich der von den äußeren Kräften verrichteten Arbeit: 1 2 f F 1 F x x d = 1 2 F 1u 1 F 2 u 2 f x u x d Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.3-2

3 3.1 Stab Lastfall A: Lasten F 1A, F 2A, f A 1 2 Lastfall B: Lasten F 1B, F 2B, f B Überlagerung: A x A x d = 1 2 F A 1 u A 1 F A 2 u A 2 B x B x d = 1 2 F B 1 u B 1 F B 2 u B 2 A B A B d = 1 2 [ F 1 A F 1B u 1 A u 1B F 2 A F 2B u 2 A u 2B f A x u A x d f B x u B x d f A f B u A u B d ] Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.3-3

4 3.1 Stab Ausrechnen ergibt: 1 2 A B B A d = 1 2 F 1 A u 1 B F 1 B u 1 A F 2 A u 2 B F 2 B u 2A 1 2 f A u B f B u A d Materialgesetz: A B = A E B = A B Reziprozitätsgesetz: F 1 A u 1 B =F 1 B u 1 A, F 2 A u 2 B =F 2 B u 2 A f A u B d = f B u A d Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.3-4

5 Damit ist gezeigt: 3.1 Stab B A d =u 1 B F 1 A u 2 B F 2 A u B f A d Sei nun Lastfall A der tatsächliche Lastfall und Lastfall B irgendein beliebiger anderer Lastfall. Die erschiebungen für Lastfall A werden mit u und die erschiebungen für Lastfall B mit v bezeichnet. Die zugehörigen Dehnungen und Spannungen sind: A = =E du dx und B = v = dv dx Die oberen Indizes können nun weggelassen werden, da alle in der Formel auftretenden Lasten zu Lastfall A gehören. Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.3-5

6 3.1 Stab Damit gilt: v d =v 1 F 1 v 2 F 2 v f d Diese Beziehung wird als Prinzip der virtuellen Arbeit bezeichnet. Die erschiebungen v werden als virtuelle erschiebungen bezeichnet. Als virtuelle erschiebungen dürfen alle zulässigen erschiebungen eingesetzt werden. Zulässig sind alle erschiebungen, die die Lagerbedingungen erfüllen. Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.3-6

7 3.1 Stab Globales Gleichgewicht: Wenn der Stab nicht gelagert ist, ist v x =v =const. eine zulässige virtuelle erschiebung. Wegen v = folgt: =v F 1 F 2 f d Diese Gleichung beschreibt das Kräftegleichgewicht in Stabrichtung. Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.3-7

8 Lokales Gleichgewicht: 3.1 Stab Für eine beliebige virtuelle erschiebung gilt: L v d = A dv dx dx= A [v x x ] x = x =L A Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM L v d dx dx = A v 2 2 v 1 1 A v d dx dx Einsetzen in das Prinzip der virtuellen Arbeit ergibt: L A v 2 2 v 1 1 A L v d dx dx=v 1 F 1 v 2 F 2 A v 2 A 2 F 2 v 1 A 1 F 1 = A L L v f dx v f d dx dx

9 3.1 Stab Diese Gleichung ist nur dann für beliebige virtuelle erschiebungen erfüllt, wenn gilt: 1 = F 1 A, 2= F 2 A, d dx f = Die ersten beiden Gleichungen sind die Randbedingungen für die Spannung. Die dritte Gleichung ist die Differenzialgleichung des Stabs, die das Gleichgewicht am infinitesimalen Stabelement beschreibt. Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.3-9

10 3.1 Stab Zusammenfassung: Das Prinzip der virtuellen Arbeit lautet: v d =v 1 F 1 v 2 F 2 v f d für alle v Im Prinzip der virtuellen Arbeit sind die folgenden Bedingungen enthalten: das Kräftegleichgewicht am Stab die Spannungsrandbedingungen an den Stabenden das Gleichgewicht am infinitesimalen Stabelement Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.3-1

11 Geometrie: F 1 q C f F m y A x F 2 Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM

12 Die Scheibe liegt in der xy-ebene und bedeckt die Fläche A. Die Randkurve der Fläche A wird mit C bezeichnet. Die Scheibe hat die Dicke t und das olumen = t A. Die Randfläche wird mit R bezeichnet. Lasten: Einzelkräfte F m Flächenkraft q auf der Randfläche R olumenkraft f im Inneren der Scheibe Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM

13 Prinzip der virtuellen Arbeit: Wie beim Stab lässt sich zeigen: Dabei ist [ v ] T [ ]d = m [ v m e ] T [ F m ] R [ v e ] T [q e ] dr [ v e ] T [ f e ] d [ v e x, y ]=[ v x x, v y x, y ], [ v ]=[ xy ] [ v e e ], [ v m ]=[ v e x m, y m ] [ F m ]=[ F mx F my], [qe x, y ]=[ q x x, y q y x, y ], [ f e x, y ]=[ f x x, y f y x, y ] Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM

14 Die virtuellen erschiebungen sind beliebige erschiebungen, die mit den Lagerungen verträglich sind. Mit d =t da und dr=t ds folgt: [ v e ] A [ v ] T [ ]t da= m [ v m e ] T [ F m ] C [ v e ] T [ q e ]t ds A [ v e ] T [ f e ] t da Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM

15 Globales Gleichgewicht: Kräftegleichgewicht in x-richtung: [ v x er ]=[ v ] Die virtuelle erschiebung ist eine Translation in x-richtung. Wegen gilt: [ v ]=[ xy ] [ v x er ]=[ ] =v m F mx C q x t ds A f x t da F x = Kräftegleichgewicht in y-richtung: [ v y er ]=[ v ] Die virtuelle erschiebung ist eine Translation in y-richtung. Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM

16 Wegen gilt: [ v ]=[ xy ] [ v y er ]=[ ] =v m F my C q y t ds A f y t da F y = Momentengleichgewicht um den Ursprung: [ v er ]= [ y x ] Die virtuelle erschiebung ist eine linearisierte Drehung um den Ursprung. y φ v r φ Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM x

17 ]=[ [ v x y y x ] [ y x ] = [ ] 1 1] [ = Die Dehnungen berechnen sich zu Aus dem Prinzip der virtuellen Arbeit folgt: = [ y m F mx x m F my m C y f x x f y t da ] M O = A y q x x q y t ds Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM

18 Lokales Gleichgewicht: Betrachtet wird eine rechteckige Scheibe. Im Inneren greifen olumenkräfte und am Rand Flächenkräfte an. Es greifen keine Einzelkräfte an. y b C 4 C 3 A C 1 a C 2 x Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM

19 irtuelle Formänderungsenergie: [ v ] T [ ] d =t A b =t b =t [ a a t v x x x v y [ [ v x x v y xy ] x = [ [ v y y v x xy ] y= v x x x v y y y v y x xy v x y xy da x xy dx ] a dy t [ b a x =a v x b y=b x x v y v y y y v x v y y y v x y xy dy ] dx xy x dx ] dy xy y dy ] dx Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM

20 [ v ] T [ ] d =t v x x v y xy ds t v x x v y xy ds C 2 C 4 t v y y v x xy ds t v y y v x xy ds C 3 C 1 t A [ v x x x xy y v y irtuelle Arbeit der Flächenkräfte: R [ v e ] T [ q ] dr=t y y xy x ] da v x q x v y q y ds t v x q x v y q y ds C 1 C 2 t v x q x v y q y ds t v x q x v y q y ds C 3 C 4 Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.3-2

21 irtuelle Arbeit der olumenkraft: [ v e ] T [ f ] d =t A v x f x v y f y da Da die virtuellen erschiebungen beliebig sind, folgt durch ergleich der Terme im Prinzip der virtuellen Arbeit: x x xy y f x= y y xy x f y= xy = q x, y = q y auf C 1 x = q x, xy = q y auf C 2 xy = q x, y = q y auf C 3 x = q x, xy = q y auf C 4 Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM

22 Mit dem nach außen zeigenden Einheitsnormalenvektor [ n ]=[ n x n y] Mit dem Integralsatz von Gauß lässt sich zeigen, dass die Ergebnisse auch für eine Scheibe beliebiger Form gelten. lassen sich die Randbedingungen für die Spannungen zusammenfassen zu [ n x n x][ y n y n x y xy]=[ q x q y] n n n n. Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM

23 Zusammenfassung: Das Prinzip der virtuellen Arbeit lautet: [ v ] T [ ] d = m für alle [ v e ] [ v m e ] T [ F m ] R [ v e ] T [q e ] dr Im Prinzip der virtuellen Arbeit sind die folgenden Bedingungen enthalten: die Gleichgewichtsbedingungen für die Scheibe die Spannungsrandbedingungen am Rand die Gleichgewichtsbedingungen für die Spannungen [ v e ] T [ f e ] d Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM

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