2.4 Ermittlung unbekannter Kräfte im zentralen Kräftesystem

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1 Ermittlung unbekannter Kräfte im zentralen Kräftesystem.4 Ermittlung unbekannter Kräfte im zentralen Kräftesystem ( Lehrbuch: Kapitel.3.) Gegebenenfalls auftretende Reibkräfte werden bei den folgenden Aufgaben vernachlässigt. Lehrbeispiel 6 Bei einer Kettenspanneinrichtung ist die Feder, welche die Federrate R = 5 N/mm besitzt, im gespannten Zustand um k = 14 mm verlängert. a) Mit welcher Kraft F A wird das Lager A des Pendelrollenhalters belastet? b) Welche Spannkraft F herrscht in der Kette? Obwohl an der Kettenspanneinrichtung insgesamt vier Kräfte wirken, deren Wirklinien sich zudem nicht in einem Punkt schneiden, kann diese Kräftegruppe auf ein zentrales Kräftesystem mit drei Kräften reduziert werden, indem die beiden Kettenkräfte F zur Resultierenden F r zusammengefasst werden. Diese Resultierende geht durch den Mittelpunkt der Spannrolle. Die Aufgabe kann nur gelöst werden, wenn eine Kraft bekannt ist, deshalb muss zunächst die Federkraft errechnet werden. Die gespannte Feder übt auf das Lager C der Kettenspannrolle die Zugkraft F Z = k R = 14 mm 5 N/mm = 350 N aus. Der Pendelrollenhalter ist ein an den beiden Enden gelenkig gelagerter Stab, also ein Zweigelenkstab (Pendelstütze); er überträgt nur Kräfte in Längsrichtung. zeichnerisch: Freigemachtes Lager C der Spannrolle Lageplan LM: 1 cm = 100 mm Kräfteplan KM: 1 cm = 00 N Zeichnerische Lösung mithilfe des Krafteck-Verfahrens 17

2 Ermittlung der Resultierenden im allgemeinen Kräftesystem.5 Ermittlung der Resultierenden im allgemeinen Kräftesystem ( Lehrbuch: Kapitel.4.) Lehrbeispiel 7 Welche Gesamtkraft F r üben die drei Kräfte F 1 = 700 N, F = N und G = 300 N auf den Ausleger aus, und welchen Abstand k 0 hat die Wirklinie der Kraft F r vom Festlager A? zeichnerisch: Die drei Kräfte G, F 1 und F bilden ein allgemeines Kräftesystem. Sie werden mithilfe des Seileck-Verfahrens zur Resultierenden vereinigt. Lageplan LM: 1 cm = 00 mm Kräfteplan KM: 1 cm = 500 N rechnerisch: Zerlegung der schräg wirkenden Kräfte in ihre Komponenten: F x = F cos α = 1000 N cos 70 = 34 N F y = F sin α = 1000 N sin 70 = 940 N Ermittlung der Teilresultierenden F rx und F ry : F rx = Σ F x = F x = 34 N (nach rechts gerichtet) F ry = Σ F y = G + F 1 + F y = 300 N N N = 1940 N (nach unten gerichtet) Zusammenfassung von F rx und F ry zur Resultierenden F r : F r = F rx + F ry = (34 N) + (1 940 N) = N Ermittlung der Lage von F r : M r = Σ M = M G +M F1 + M F F r k 0 = G 300 mm + F mm + F y 1000 mm + F x 100 mm 300 N 0,3 m N 0,6 m N 1 m + 34 N 0,1 m k 0 = k 0 = F r 90 Nm + 40 Nm Nm + 34 Nm N 1484 Nm = 1970 N = 0,753 m 3

3 3 Kinetik 3.3 Kinetik bei Drehbewegung ( Lehrbuch: Kapitel 3.3) Fliehkraft 57. Aus welchen Bewegungen kann man sich die gleichförmige Bewegung eines Punktes auf einer Kreisbahn zusammengesetzt denken? 58. Welche Kräfte wirken an einer gleichförmig kreisenden Masse? 59. Von welchen Größen ist die Fliehkraft abhängig und wie wirkt sich eine Verdoppelung dieser Größen auf den Betrag der Fliehkraft aus? Lehrbeispiel 6 Ein Motorradfahrer durchfährt eine Kurve mit ebener Fahrbahn (Kurvenradius r = 40 m). Damit er nicht stürzt, muss er sich um den Winkel φ gegenüber der Senkrechten nach innen neigen. a) Wie groß muss dieser Winkel bei v = 50 km/h sein? b) Genügt die Reibzahl µ 0 = 0,5 zwischen Reifen und Straße, um die Kurve mit v = 50 km/h zu durchfahren? a) Damit der Motorradfahrer weder nach außen noch nach innen kippt, muss er sich so neigen, dass die Resultierende F r aus Gewichtskraft G und Fliehkraft F durch den Berührpunkt A (Reifen Straße) geht. Es ist: tan φ = F G = m a n m g = v r g 50 m /s tan φ = 3,6 40 m 9,81 m/s = 0,49 φ = 6, b) Um ein Wegrutschen zu verhindern, muss die Haftreibkraft F R0 mindestens gleich der Fliehkraft F sein, also F R0 = F µ 0 m g = m a n µ 0 = a n g = v r g = 0,49 Die Haftreibzahl µ 0 = 0,5 ist gerade noch ausreichend. 60. Mit welcher einseitig wirkenden Kraft wird das Lager einer Wäschetrommel belastet, bei der ein Wäschestück mit m = 3 kg ungleichmäßig verteilt ist, sodass ein Schwerpunktsabstand von 10 cm angenommen werden kann? Die Drehzahl beträgt n = 100 min Bei einem Fliehkraftregler haben die beiden Massekugeln eine Masse von je 00 g. a) Welchen Einfl uss hat die Masse m auf den Winkel φ, unter dem sich die Gelenkstäbe gegenüber der Drehachse einstellen? b) Wie groß ist dieser Winkel bei n = 180 min 1? c) Bei welcher Drehzahl ist h = 50 mm? zu Aufgabe 61 64

4 Beanspruchung auf Abscheren Lehrbeispiel 9 Bei einer Doppellaschennietung soll eine Zugkraft von F = 430 kn übertragen werden. a) Wie viel Niete DIN S75 müssen in jeder Reihe vorhanden sein, wenn τ a zul nicht überschritten werden soll (τ a zul = 10 N/mm )? b) Wie groß ist die tatsächliche Abscherspannung? c) Wie groß ist die Flächenpressung zwischen Niet und N Mittelblech (σ L zul = 480 mm )? d) Wie groß ist die Flächenpressung zwischen Niet und N den Laschen (σ L zul = 480 mm )? a) Die Nietverbindung ist -schnittig, d. h. bei Versagen würde das Niet in Querschnitten abgeschert werden. Maßgebend ist der Lochdurchmesser d L = Durch messer des geschlagenen Nietes. Die Gesamtscherfläche eines Niets beträgt also: S = π d 1 = π 19 = 567 mm 4 4 mm Aus τ a zul F ergibt sich für die erforderliche Scherfläche aller Niete: S ges S ges F = N = 048 mm τ a zul 10 N/mm Die Anzahl der Niete auf einer Seite: n = S ges = 048 mm S 567 mm = 3,61 ausgeführt: n = 4 b) Die Abscherspannung beträgt: τ a = F S = F n π d = N 1 4 π = 190 N/mm < τ a zul = 10 N mm 19 mm 4 4 F c) p = = F A proj n d 1 s = N 4 19 mm 1 mm = 471 N N/mm < σ L zul = 480 mm F d) p = = F = N A proj n d 1 s mm 8 mm = 354 N N/mm < σ L zul = 480 mm 4. Aus einem 3 mm dicken Blech aus S75JR (R m = N/mm ) soll ein Teil ausgeschnitten werden. a) Wie groß muss die Kraft der Presse mindestens sein? b) Wie groß ist die Druckspannung im Stempel? zu Aufgabe 4 81

5 Festigkeitskennwerte, zulässige Spannung und Sicherheit 4.9 Festigkeitskennwerte, zulässige Spannung und Sicherheit ( Lehrbuch: Kapitel 4.9) 46. a) Warum muss bei statischer Belastung die zur Ermittlung der zulässigen Spannung erforderliche Sicherheitszahl ν meist wesentlich über der Grundsicherheitszahl ν 0 liegen? b) Wie werden diese Faktoren bei der Berechnung von ν berücksichtigt? 47. Was besagt die Angabe, dass die Dauerfestigkeit eines Werkstoffes 160 N/mm beträgt? 48. Was versteht man unter Kerben bei Bauteilen? 49. Welche Auswirkungen haben Kerben: a) bei statischer, b) bei dynamischer Belastung? 50. Was versteht man unter der Gestaltfestigkeit eines Bauteils? 51. Wie wirken sich: a) eine raue Werkstückoberfläche, b) ein großer Wellendurchmesser auf die Gestaltfestigkeit einer wechselnd auf Biegung beanspruchten Welle aus? Lehrbeispiel Eine Achse aus E335 mit dem Durchmesser d = 30 mm hat ein zwischen 100 Nm und 180 Nm schwankendes Biegemoment aufzunehmen. a) Wie groß sind die Ober-, Unter- und Mittelspannung? b) Wie groß ist der zur Berechnung von σ b zul maßgebende Dauerfestigkeitswert? a) Das Widerstandsmoment der Achse ist: W = π d3 = π (30 mm)3 = 651 mm Damit wird die Unterspannung (kleinste Biegespannung): σ bu = M bu W = Nmm, = 37,7 N/mm mm die Oberspannung (größte Biegespannung): σ bo = M bo W = Nmm, = 67,9 N/mm mm und die Mittelspannung (mittlere Biegespannung): σ bm = σ bo + σ bu = (67,9 + 37,7) N/mm σ bm = 5,8 N/mm b) Aus dem skizzierten Dauerfestigkeitsschaubild für E335 bei Beanspruchung auf Biegung ergibt sich bei einer Mittelspannung von σ m = 5,8 N/mm als Dauerfestigkeitswert: σ D = σ m ± σ A = 5,8 ± 70 N/mm wobei σ A = 70 N/mm der Spannungsausschlag der Dauerfestigkeit ist. 11

6 Ergebnisse 10. F z = 1003 N (M b = 1101 Nm) 103. a) σ b zul = 33,3 N/mm (σ b W = 00 N/mm ) b) M b max = 37,5 Nm c) d = 18 mm (17,95 mm; d = ( 4 D 4 3 D W π ) d) p = 3,33 N/mm 104. a) σ b zul = 6,5 N/mm, b) M b = 1760 Nm c) h = 88 mm (W = 8160 mm 3 ) b = mm 105. a) M b max = Nm b) W = 15,75 cm 3 c) EN-GJS (σ b zul 114 N/mm ; σ b Sch 457 N/mm ) 106. σ b = 5 N/mm (4,87 N/mm ; M b = Nm) 107. F 83 kn 108. f N/m 109. f N/m bei F, σ b max = 117 N/mm (M b max = 643 Nm) 11. I 140 (W 59,3 cm 3 ; M b max = 7 10 Nm) 113. a) k x = m, b) M b max = Nm c) σ b = 14 N/mm 114. a) σ b zul = 87,5 N/mm (σ b Sch = 350 N/mm ) b) W = 651 mm 3, c) M b max = 3 Nm d) F N 115. a) σ b zul = 9,5 N/mm b) d = 1 mm (10,4 mm; M b max = 10, Nm) c) p = 0 N/mm 116. a) W x = 166 cm 3 (J x = 997 cm 4 ) b) M b max = 304 Nm, c) σ b = 13,9 N/mm d) W xc = 15 cm 3 ; M bc = 960 Nm; σ bc = 7,69 N/mm 117. a) M b1 = 3167 Nm = M b max, M b = 1833 Nm b) W,6 cm 3, c) I M b max kann nur an einer Stelle auftreten, wo die Querkraftlinie durch Null geht a) F Ax = 499 N; F Ay = 384 N b) M b max = 46 Nm c) σ b zul = 40 N/mm (σ bw = 40 N/mm ) d) d 1 = 3 mm (,7 mm) e) d = 17 mm (17,8 mm) f) k = 8 mm (7,5 mm) 10. σ b = 1,4 N/mm (Federkraft senkrecht zu Hebel! F r = 0,507 N; M ba = F ry 15 mm = 7,85 Nmm) 11. a) σ b = 4,8 N/mm (M b = 55 Nm) b) W = 1,1 cm 3 c) M bc = 840 Nm; σ bc = 69,4 N/mm 1. a) W = 138 cm 3 b) σ b1 = 14,0 N/mm (M b1 = 1940 Nm) σ b = 1,8 N/mm (M b = 3010 Nm) 13. a) e = 1,8 mm (Σ A y = 9,615 cm 3 ) b) W x = 3,9 cm 3 (J x = 1,57 cm 4 ) c) bei F 3 ; M b max = 550 Nm (F B = 1375 N) d) σ b = 141 N/mm < σ b zul = 160 N/mm 14. a) F A = 8575 N; F B = 4575 N (nach unten) b) bei B; M b max = 3,6 knm 15. d = 4 mm (41,1 mm; M bb = 04 Nm) 16. siehe Aufgabe a) F 536 N (M b = 6,8 Nm) b) F 5976 N 18. a) d = 36 mm (35, mm; M b max = 48 Nm) b) p A = 6, N/mm ; p B = 6,75 N/mm 19. a) M b max = 3300 Nm (bei B) b) I 100 (W x 7,5 cm 3 ) 130. f 56, kn/m (M b max = 190 knm = F 1,15 m) 131. a) längs des Trägers ist überall σ b σ b zul b) sich verändernder Querschnitt 13. große Herstellungskosten 133. a) σ b zul = 9,5 N/mm (σ b Sch = 370 N/mm ) b) h = 68 mm (67,4 mm) c) h = 60 mm (58,9 mm) h 3 = 48 mm (48,1 mm) h 4 = 34 mm (34,0 mm) 134. a) Einspannstelle b) 1 : 5 %, : 50 %, 3 : 75 %, 4 : 100 % c) 1 : 13 %, : 9 %, 3 : 50 %, 4 : 100 % 560 Nm 135. a) σ b1 = 3 = 63, N/mm 40,5 cm 190 Nm σ b = 3 = 61,9 N/mm 31 cm 180 Nm σ b3 = 3 = 56, N/mm,8 cm 136