Komplexität. Matthias Sax. 9. Juli Humboldt-Universität zu Berlin. Institut für Informatik

Transkript

1 Komplexität Matthias Sax Humboldt-Universität zu Berlin Institut für Informatik 9. Juli 2007 Matthias Sax Komplexität 1 / 21

2 1 Problemstellung 2 Polynomiale Fälle Ungleichheit Anfragen in der Logik der 1. Stufe 3 4 Übersichten Quellen Matthias Sax Komplexität 2 / 21

3 1 Problemstellung 2 Polynomiale Fälle Ungleichheit Anfragen in der Logik der 1. Stufe 3 4 Übersichten Quellen Matthias Sax Komplexität 3 / 21

4 Gegeben: Datenbankinstanz D View-Definition V View-Instanz I (materialisiert) Anfrage Q Berechnungsziel: Berechne die Anfrage Q(D), nur mit Hilfe der View-Instanz I wobei Q(I) eine möglichst gute Näherung an Q(D) sein soll. Matthias Sax Komplexität 4 / 21

5 Closed world assumption (CWA) Es wird angenommen, dass die View-Instanz I vollständig ist, d. h. dass alle Tupel aus der Datenbankinstanz D, welche die View-Definiton V erfüllen in I gespeichert sind: I = V(D) Open world assumption (OWA) Es wird angenommen, dass die View-Instanz I möglicherweise unvollständig ist, d. h. dass nicht alle Tupel aus D, die V erfüllen in I gespeichert sind: I V(D) Matthias Sax Komplexität 5 / 21

6 Bsp.: CWA vs. OWA View-Definition: select * from p where p.a = 0 union select p1.a, p2.b from p as p1, p as p2 where p1.b = p2.a; View-Instanz: a b Matthias Sax Komplexität 7 / 21

7 Sichere Antwort Defintion: Ein Tupel t ist eine sichere Antwort wenn gilt: D : I V(D) t Q(D) D : I = V(D) t Q(D) (OWA) (CWA) Matthias Sax Komplexität 8 / 21

8 Anfrage- und View-Sprachen Datalog: Regel: p( X ) : p 1 ( X 1 ), p 2 ( X 2 ),..., p n ( X n ) p, p 1 bis p n sind Prädikate X, X 1 bis X n sind Tupel auf Variablen und Konstanten Alle Variablen die in X auftreten, müssen auch in mindestens einem X i auftreten. Matthias Sax Komplexität 9 / 21

9 Dataloganfrage: endliche Menge von Datalogregeln conjunctive query (CQ): ist eine einzelne nicht-rekursive Datalogregel CQ mit Ungleichheit (CQ ): ist im Regelköper erlaubt (jede Variable einer Ungleichung, muß in mindestens einem Prädikat auftreten) positive query (PQ): ist eine nicht-rekursive Dataloganfrage (PQ : PQ + ) first-order-logic (FO) Matthias Sax Komplexität 10 / 21

10 Datenkomplexität Ziel: Berechnung von sicheren Antworten unter CWA/OWA Komplexitätsbetrachtung als Funktion über der Größe der View-Instanz alternativ: Anfragekomplexität: Funktion über der Größe der View-Definition und der Anfrage Kombinierte Komplexität: Funktion über der Größe der View-Instanz + View-Definition + Anfrage Matthias Sax Komplexität 11 / 21

11 Polynomiale Fälle Ungleichheit Anfragen in der Logik der 1. Stufe 1 Problemstellung 2 Polynomiale Fälle Ungleichheit Anfragen in der Logik der 1. Stufe 3 4 Übersichten Quellen Matthias Sax Komplexität 12 / 21

12 Polynomiale Fälle Ungleichheit Anfragen in der Logik der 1. Stufe Satz: Falls V CQ und Q datalog dann können alle sicheren Antworten unter der OWA in polynomialer Zeit berechnet werden. (ohne Beweis) Matthias Sax Komplexität 13 / 21

13 Polynomiale Fälle Ungleichheit Anfragen in der Logik der 1. Stufe Ungleichheit in der View-Definition wird nicht schwieriger (bleibt PTIME) Matthias Sax Komplexität 14 / 21

14 Polynomiale Fälle Ungleichheit Anfragen in der Logik der 1. Stufe Ungleichheit in der View-Definition wird nicht schwieriger (bleibt PTIME) Ungleichheit in der Anfrage wird schwieriger (wird zu co-np) Matthias Sax Komplexität 14 / 21

15 Polynomiale Fälle Ungleichheit Anfragen in der Logik der 1. Stufe Satz: Falls V CQ und Q FO dann ist es unentscheidbar ob ein Tupel eine sichere Antwort ist, oder nicht. (ohne Beweis) Matthias Sax Komplexität 15 / 21

16 1 Problemstellung 2 Polynomiale Fälle Ungleichheit Anfragen in der Logik der 1. Stufe 3 4 Übersichten Quellen Matthias Sax Komplexität 16 / 21

17 Satz: Falls V CQ und Q CQ dann ist es unter der CWA co-np-schwer zu entscheiden ob ein Tupel eine sichere Antwort ist, oder nicht. (ohne Beweis) Matthias Sax Komplexität 17 / 21

18 Satz: Falls V CQ und Q CQ dann ist es unter der CWA co-np-schwer zu entscheiden ob ein Tupel eine sichere Antwort ist, oder nicht. (ohne Beweis) Satz: Falls V datalog und Q CQ dann ist es unter der CWA unentscheidbar ob ein Tupel eine sichere Antwort ist, oder nicht. (ohne Beweis) Matthias Sax Komplexität 17 / 21

19 Übersichten Quellen 1 Problemstellung 2 Polynomiale Fälle Ungleichheit Anfragen in der Logik der 1. Stufe 3 4 Übersichten Quellen Matthias Sax Komplexität 18 / 21

20 Übersichten Quellen Übersicht über die Datenkomplexität unter der OWA Anfrage Views CQ CQ PQ datalog FO CQ PTIME co-np PTIME PTIME unentsch. CQ PTIME co-np PTIME PTIME unentsch. PQ co-np co-np co-np co-np unentsch. dalatog co-np unentsch. co-np unentsch. unentsch. FO unentsch. unentsch. unentsch. unentsch. unentsch. Matthias Sax Komplexität 19 / 21

21 Übersichten Quellen Übersicht über die Datenkomplexität unter der CWA Anfrage Views CQ CQ PQ datalog FO CQ co-np co-np co-np co-np unentsch. CQ co-np co-np co-np co-np unentsch. PQ co-np co-np co-np co-np unentsch. dalatog unentsch. unentsch. unentsch. unentsch. unentsch. FO unentsch. unentsch. unentsch. unentsch. unentsch. Matthias Sax Komplexität 20 / 21

22 Übersichten Quellen Quellen: S. Abiteboul and O. M. Duschka, Complexity of Answering Queries using Materialized Views, In Proceedings of the 17th ACM Symposium on Principles of Database Systems, Seattle, WA, A. Y. Halevy, Answering Queries Using Views: A Survey, The VLDB Journal, vol. 10, pp , Matthias Sax Komplexität 21 / 21