Universität Konstanz

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1 Praktikumsprotokoll: Beugung am Gitter & Interferometer Robin Marzucca, Andreas Liehl 24. und 31. Mai 2011 Universität Konstanz 1

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Grundlagen Beugung Huygenssche Prinzip Beugung am Spalt Kohärenz Interferenz Interferenz am Doppelspalt Interferenz am Gitter Interferenz am Einzelspalt Spektrales Auflösungsvermögen Interferenzfilter Interferometer Michelson-Interferometer Twyman-Interferometer Fabry-Pérot-Interferometer Der Versuch Versuchsteil 1: Beugung am Gitter Versuchsteil 2: Interferometer Auswertung Versuchsteil 1: Beugung am Gitter Berechnung von λ gelb der gelben Hg-Doppellinie Berechnung der Gitterkonstante g 2 und Wellenlängendifferenz λ gelb Berechnung des theoretischen spektralen Auflösungsvermögens Messung mit einem einschichtigem Drahtgitter Versuchsteil 2: Interferometer Michelson-Interferometer Fabry-Pérot-Interferometer Fragen und Antworten Fragen zum Versuchsteil: Beugung am Gitter Fragen zum Versuchsteil: Interferometer

3 1 Einleitung In der klassischen Elektrodynamik wird Licht als elektromagnetische Welle angesehen. Dabei können sich mehrere Wellen überlagern. Man nennt dies Interferenz. Mit Hilfe der Interferenz lassen sich viele Phänomene recht einfach erklären, das Modell ist von daher unverzichtbar, vor allem auch, da die Theorie der Interferenz nicht nur auf Lichtwellen, sondern auf jegliche Art von Wellen, wie z.b. Schallwellen, übertragen werden kann. Die folgenden beiden Versuche sollen dieses Phänomen genauer untersuchen. Im ersten Versuch wird Interferenz an einem Gitter, sowie das spektrale Auflösungsvermögen untersucht. Im zweiten Versuch arbeiten wir mit einem Interferometer, eine Versuchsanordnung, die Interferenzen erzeugen kann, um den Brechungsindex von Luft zu bestimmen und eines der Messergebnisse aus dem ersten Versuch zu verifizieren. 2 Grundlagen Zunächst sollen einige Begriffe genauer erläutert werden, die zum Verständnis des Versuchs maßgeblich beitragen. 2.1 Beugung Eines der wichtigsten Phänomene von Licht ist die sog. Beugung. Sie tritt an Hindernissen wie z.b. Blenden oder Spalten auf. Die Erklärung für dieses Phänomen beruht auf dem Huygensschen Prinzip Huygenssche Prinzip Das nach seinem Entdecker benannte Huygenssche Prinzip beschreibt die Ausbreitung von Wellen auf elementarer Ebene. Es besagt, dass sich von jedem Punkt auf einer Wellenfront eine Elementarwelle, eine halbkugelförmige Welle, in Propagationsrichtung ausbreitet. Die Wellenfront, die sich nach einer kleinen Zeitspanne t um den Ort x fortbewegt hat, erhält man schließlich durch Superposition aller Elementarwellen. Mit Hilfe dieses Prinzips lassen sich einige Welleneigenschaften des Lichtes erklären Beugung am Spalt Treffen ebene Lichtwellen auf eine Blende, bzw. einen Spalt, so wird das Licht dahinter gebeugt. Dieses Phänomen beruht ebenfalls auf dem Huygensschen Prinzip. Es breiten sich hinter dem Spalt halbkugelförmige Elementarwellen aus. Betrachtet man die räumliche Ausdehnung des Spaltes als einen einzigen Punkt, so breiten sich die Elementarwellen auch nur an diesem Punkt aus und man erhält hinter der Blende anstatt ebenen Wellen, halbkugelförmige Wellen. Dieses veranschaulicht Abbildung (1) 1. Das Phänomen der Beugung wird mathematisch durch das Kirchhoffsche Beugungsintegral beschrieben, auf dessen Erläuterung an dieser Stelle jedoch verzichtet wird, da es 1 Quelle:

4 Abbildung 1: Die Abbildung veranschaulicht die Lichtbeugung am Spalt unter der Idealisierung, dass der Spalt nur aus einem Punkt besteht. zum Verständnis nicht weiter beiträgt. Bei der Beobachtung des Verhaltens der gebeugten Lichtwelle hinter dem Spalt wird zwischen zwei Beugungsarten unterschieden. Die Fraunhofersche Beugung idealisiert die Beobachtung in soweit, dass nur das Fernfeld, d.h. das Beugungsmuster in großem Abstand zum Spalt, betrachtet wird. Ebenso befindet sich auch die Lichtquelle in großem Abstand zur Blende. Da es im Versuch jedoch relativ schwierig und vor allem fehleranfällig wäre, einen großen Abstand zwischen Lichtquelle, Spalt und Schirm einzuhalten, wird hinter dem Spalt eine Sammellinse angebracht. Diese bündelt alle in einer Richtung verlaufenden parallelen Lichtstrahlen in ihrer Brennebene. Die Fraunhofersche Beugung eignet sich gut, da hier das Beugungsmuster mathematisch relativ einfach zu berechnen ist. Im Gegensatz zur Fraunhoferschen Beugung beschreibt die Fresnelsche Beugung das Beugungsmuster im Nahfeld, d.h. die Abstände zwischen Lichtquelle, Spalt und Beobachtungsschirm sind relativ klein. Dies macht die mathematische Berechnung deutlich aufwändiger, da der Gangunterschied nicht mehr einfach über trigonometrische Winkelbeziehungen (siehe auch Abschnitt 2.3.1) berechnet werden kann. Die resultierenden Beugungsmuster unter Berechnung mittels Fraunhoferschen Beugung bzw. Fresnelschen Beugung, sowie die Übergangsbereiche dazwischen zeigt Abbildung (2). Abbildung 2: Beugung am Spalt: Übergang von Fraunhoferscher Beugung für große Abstände (a) zu Fresnelscher Beugung bei kleinen Abständen (d) [1]. 4

5 2.2 Kohärenz Kohärenz beschreibt die Phasenbeziehung zwischen zwei Wellen. Wellen, die eine feste Phasenbeziehung zwischeneinander haben, nennt man kohärent, andere inkohärent. Dabei unterscheidet man außerdem zwischen der räumlichen und der zeitlichen Kohärenz. Zueinander räumlich kohärente Wellen haben zum gleichen Zeitpunkt, aber verschiedenen an Orten eine feste Phasenbeziehung zueinander und analog haben zeitlich kohärente Wellen am gleichen Ort aber zu verschiedenen Zeitpunkten eine feste Phasenbeziehung. Kohärenz von Wellen ist außerdem eine Bedingung für Interferenz, also die Überlagerung zweier oder mehrerer Wellen (siehe auch Abschnitt 2.3). Als Maß dafür, wann Interferenz noch möglich ist, definiert man die sog. Kohärenzlänge. Sie gibt an, welcher Laufzeitunterschied noch zulässig ist, dass Wellen noch miteinander interferieren können. Oberhalb dieser Kohärenzlänge sind keine typischen Interferenzen mehr zu beobachten. 2.3 Interferenz Als Interferenz bezeichnet man das Phänomen, wenn zwei Wellen sich überlagern. Die Überlagerung der Wellen hängt dabei von der Phasendifferenz ϕ der Wellen ab. Betrachtet man beispielsweise zwei ebene monochromatische Wellen der Form E = E 0 e ı( k r ωt), die zueinander Phasendifferenz ϕ haben, so erhält man eine maximale Amplitude, wenn die Phasendifferenz ϕ = n 2π mit n Z beträgt. In diesem Fall spricht man von konstruktiver Interferenz und erhält die resultierende Amplitude durch Addition der beiden Einzelamplituden. Für den Fall, dass die Phasendifferenz gerade ϕ = (2n 1) π mit n Z beträgt, so erhält man destruktive Intereferenz. Die Addition der beiden Amplitude liefert hier die minimale Amplitude und für den Spezialfall, dass die Amplituden gleich sind, löschen sich die beiden Wellen gerade aus. Hierbei muss natürlich gewährleistet sein, dass die Wellen nicht senkrecht zueinander polarisiert sind Interferenz am Doppelspalt In Abschnitt 2.1 wurde ausschließlich der Fall der Beugung an einem Spalt beobachtet. Wir wollen nun erläutern, was passiert, wenn zwei oder mehrere Spalte nebeneinander beleuchtet werden. Dabei soll das Licht senkrecht auf die Spaltebene treffen. Betrachten wir einen Doppelspalt mit Spaltmittenabstand g, so wird das Licht hinter beiden Spalten gebeugt, d.h. von beiden Spalten breitet sich das Licht in alle Richtungen aus. Dabei gehen wir weiterhin von Spalten ohne räumliche Ausdehnung aus. Man beobachtet dann auf einem parallel zur Spaltebene aufgestelltem Schirm abwechselnd Intensitätsmaxima und -minima. Dies ist das Interferenzmuster des Doppelspaltes. Es lässt sich durch die Interferenz der beiden von den Spalten ausgehenden Wellen erklären. Genau in der Mittelachse zwischen den beiden Spalten registriert man immer ein Intensitätsmaximum. Dies liegt daran, dass die Phasendifferenz dort gerade ϕ = 0 beträgt. Für die Berechnung der weiteren Intensitätsmaxima und -minima betrachten wir Abbildung (3). Hierbei bedienen wir uns der Fraunhoferschen Beugung, sodass wir die Lichtstrahlen, die den Doppelspalt verlassen als nahezu parallel betrachten können. Damit gilt für den Gangunterschied s der beiden Wellen, die um den Winkel ϑ gebeugt werden: s g sin(ϑ) 5

6 Um konstruktive Interferenz also ein Intensitätsmaximum zu erhalten, muss die Phasendifferenz der beiden Wellen gerade ϕ = n 2π betragen und damit für den Gangunterschied s max = n λ gelten. Damit erhalten wir als Bedingung für konstruktive Interferenz am Doppelspalt: sin(ϑ) = n λ g (1) Analog muss der Gangunterschied der Wellen bei einem Intensitätsminimum s min = (2n 1) λ betragen und die Bedingung für destruktive Interferenz lautet: sin(ϑ) = (2n 1) λ g (2) Für große Abstände d zwischen Doppelspalt und Schirm gilt weiter: sin(ϑ) tan(ϑ) = x d (3) wobei wir uns hier der Kleinwinkelnäherung bedient haben. Auf dem Schirm lässt sich also im Abstand x zur Mittelachse ein Intensitätsmaximum registrieren, wenn x der Bedingung genügt: x max = n d λ g (4) Man spricht dabei vom Maximum n-ter Ordnung. Analog erhält man das Minimum n-ter Ordnung bei: x min = (2n 1) d λ g (5) Abbildung 3: Die Skizze zeigt die Beziehungen zwischen Beugungswinkel ϑ, Spaltmittenabstand g und Abstand d zwischen Doppelspalt und Schirm. [4] 6

7 2.3.2 Interferenz am Gitter In Experimenten verwendet man anstatt eines Doppelspaltes häufig ein Gitter. Dieses ist ein Vielfachspalt, wobei alle Spalte den gleichen Spaltmittenabstand g haben. Die Größe g bezeichnet man daher auch als Gitterkonstante. Im Vergleich zum Doppelspalt sind beim Gitter die Maxima deutlich schärfer. Während beim Doppelspalt auf dem Schirm die Maxima kontinuierlich in die Minima übergehen und umgekehrt, erhält man beim Gitter sehr scharfe Intensitätsmaxima. Dazwischen befinden sich viele Zwischenmaxima, die jedoch fast nicht zu erkennen sind. Dies liegt daran, dass sich bei den Intensitätsmaxima alle Wellen, die hinter den viele Spalten gebeugt werden, konstruktiv überlagern. Dazwischen löschen sich die meisten Wellen größtenteils aus. Für die Intensitätsmaxima beim Gitter gelten dementsprechend Gleichungen (1) und (4). Man bezeichnet das Phänomen, wenn nicht nur zwei Wellen, sondern mehrere miteinander interferieren auch als Vielstrahlinterferenz Interferenz am Einzelspalt Das Phänomen der Interferenzmuster lässt sich auch bei Beugung am Einzelspalt beobachten. Um dies zu erklären, darf die Spaltbreite nicht wie in Abschnitt vernachlässigt werden. Die Erklärung für dieses Phänomen liefert das Huygenssche Prinzip. Am Spalt breitet sich an jedem Punkt eine kreisförmige Elementarwelle aus. Gehen wir einmal von endlich vielen solcher Elementarwellen aus, so lässt sich das Zustandekommen eines Intensitätsminimums durch die destruktive Interferenz der Elementarwellen erklären. Die Bedingung für destruktive Interferenz ist ein Gangunterschied von s = λ 2. Betrachten wie die oberste Elementarwelle und die erste nach der Spaltmitte, so interferieren diese destruktiv für diesen Gangunterschied. Entsprechen gilt dies für die zweitoberste und die zweite nach der Spaltmitte usw. Damit haben wir für diesen Beugungswinkel gerade ein Intensitätsminimum. Die beiden Randstrahlen weisen dann gerade einen Gangunterschied von s = λ auf. Für ein Intensitätsminimum am Einzelspalt mit Spaltbreite b und Abstand d zwischen Schirm und Einzelspalt gilt also analog zu Gleichung (4): x min = n d λ b (6) Beispiel: Stegbreite = Spaltbreite Wir wollen dies anhand eines konkreten Beispiels näher erläutern. Dazu betrachten wir ein Gitter mit Gitterkonstante g, in dem die Spaltbreite b gerade gleich der Stegbreite, d.h. der Abstand zwischen zwei Spalträndern, ist. Damit gilt für den Abstand von zwei Spaltmitten g = 2 b. Für die Einzelspaltinterferenz erhalten wir ein Minimum n-ter Ordnung bei sin(θ 1 ) = n d λ b wobei d der Abstand zwischen Spalt und Schirm und λ die Wellenlänge ist. Ein Maximum m-ter Ordnung aus der Interferenz des Gitters erhalten wir bei sin(θ 2 ) = m d λ 2 b 7

8 Daraus sehen wir sofort, dass für m = 2 n die beiden Winkel gleich sind, d.h. jedes zweite Maximum fällt mit einem Minimum der Einzelspaltinterferenz zusammen. Als Folge dessen ist dieses im Beugungsmuster nicht zu sehen. Wie bereits in Abschnitt 2.2 erläutert wurde, ist für Interferenz (räumlich) kohärentes Licht erforderlich. Ausreichend räumlich kohärentes Licht erhält man, in dem man den Belichtungsspalt ausreichen klein macht. Dies ist eine Konsequenz der Einzelspaltinterferenz, da sich der Beleuchtungsspalt eben wie solch einer verhält. Die Breite des Beleuchtungsspaltes muss also so klein gewählt werden, dass das erste Minimum der Einzelspaltinterferenz außerhalb des für das Interferenz-Experiment verwendete Licht fällt. Diese Überlegungen liefern die nach seinem Entdecker benannte Verdetsche Kohärenzbedingung und es muss gelten: D g f = D sin(θ) λ (7) wobei D hier die Breite des Beleuchtungsspaltes, f die Brennweite der Linse, g die Gitterkonstante und θ den halben effektiven Öffnungswinkel zwischen Beleuchtungs- und Beugungsspalt bezeichnet. Weiter muss um Interferenz möglich zu machen eine Sammellinse angebracht werden, damit die Lichtstrahlen parallel verlaufen. Im Versuch verwenden wir um parallele Lichtstrahlen zu erzeugen die Methode der Autokollimation. Dabei werden die Lichtstrahlen hinter der Linse an einem Spiegel reflektiert. Fallen die reflektierten Lichtstrahlen nun wieder genau auf den Spalt zurück, so verlaufen sie parallel. Andernfalls wird die Linse so lange verschoben, bis die reflektierten Lichtstrahlen wieder genau im Spalt, in dem Fall also dem Brennpunkt der Linse, gebündelt werden Spektrales Auflösungsvermögen Aus Gleichung (1) sehen wir, dass der Beugungswinkel bei Interferenz am Doppelspalt bzw. am Gitter unter dem ein Intensitätsmaximum auftritt von der Wellenlänge abhängt. Wird ein Gitter also mit weißen Licht bestrahlt, was alle Wellenlängen enthält, so werden die einzelnen Wellenlängen, also die einzelnen Farben des Lichtes, unterschiedlich stark gebeugt. Damit lässt sich das Licht in seine Spektrallinien zerlegen. Wie gut ein Gitter mit N Spalten polychromatisches Licht in seine Spektrallinien zerlegen kann, hängt vom sog. spektralen Auflösungsvermögen ab. Betrachtet man eine Wellenlänge λ und eine Wellenlänge λ + λ des polychromatischen Lichtes, so lässt sich das spektrale Auflösungsvermögen A g definieren durch: A g := λ λ = n N Anschaulich lässt sich das spektrale Auflösungsvermögen durch das Rayleigh-Kriterium definieren, welches besagt, dass zwei Lichtquellen voneinander unterscheidbar sind, wenn der Abstand der beiden Hauptmaxima mindestens so groß ist, dass das Maximum des Beugungsmusters der einen Lichtquelle mit dem ersten Minimum des Beugungsmusters (8) 8

9 der anderen Lichtquelle zusammenfällt. Diesen Zusammenhang veranschaulicht Abbildung (4) 2. Abbildung 4: Veranschaulichung des spektralen Auflösungsvermögens Interferenzfilter Eine wichtige praktische Anwendung von Interferenz ist der Interferenzfilter. Er dient dazu aus weißem Licht, welches eine Zusammensetzung aus allen Wellenlängen ist, bestimmte Wellenlängen herauszufiltern. Dazu werden mehrere dünne dielektrische Schichten hintereinandergelegt. Gemäß der Fresnelschen Formeln wird an den Grenzflächen jeweils ein Teil des Lichtes einer bestimmten Wellenlänge reflektiert und ein Teil transmittiert. Für die reflektierte Welle gilt das ebenso wieder beim Zurücklaufen durch die Schichten. Dadurch entsteht zwischen mehreren transmittierten Strahlen ein Gangunterschied. Da dieser Gangunterschied nicht nur von der Dicke der Grenzschicht d und dessen Brechungsindex n, sondern auch von der Wellenlänge λ abhängt, entsteht für bestimmte Wellenlängen ein Gangunterschied von s = λ 2, sodass für diese Wellenlänge destruktive Interferenz resultiert. So lassen sich Interferenzfilter konstruieren, dass aus weißem Licht alle Wellenlängen bis auf die für einen Versuch relevante herausgefiltert wird. 2.4 Interferometer Ein Interferometer ist ein Versuchsaufbau, welcher, wie der Name schon sagt, Interferenzen erzeugt. Es eignet sich dazu, Brechungsindizes von Medien, (Wellen-)Längen o.ä. zu messen. Dabei propagiert ein Lichtstrahl und wird bei Durchlaufen des Interferometers beispielsweise durch teilweise Reflexion ein- oder mehrmals geteilt. Die dadurch entstandenen Lichtstrahlen durchlaufen nun unterschiedliche Wege im Interferometer und fallen hinterher auf einem Beobachtungsschirm wieder zusammen. Dabei interferieren die Lichstrahlen je nach Gangunterschied miteinander. 2 Quelle: ir_geraetetechnik/ir_8_6_1/aufloesung1_m45bi0701.gif,

10 Wir wollen im Folgenden drei verschiedene Interferometer betrachten: das Michelson- Interferometer, das Fabry-Pérot-Interferometer und das Twyman-Interferometer Michelson-Interferometer Abbildung (5) zeigt den Aufbau eines Michelson-Interferometers. Eine Quelle Q emittiert kohärentes Licht. Dieses trifft auf einen halbdurchlässigen Spiegel, der als Strahlenteiler fungiert (ST), d.h. der Lichtstrahl wird in zwei Teilstrahlen aufgeteilt. Diese werden jeweils an zwei Spiegeln (M 1 bzw. M 2 ) reflektiert, propagieren wieder teilweise durch den Strahlenteiler und treffen auf den Beobachtungsschirm (BS). Dort interferieren sie miteinander. Ein Gangunterschied zwischen den beiden Lichtstrahlen s 1 und s 2 lässt sich beispielsweise durch Verschieben des Spiegels M 2 erreichen, da damit die optische Weglänge des einen Teilstrahls verlängert wird. So lassen sich sehr präzise Wellenlängen messen. Eine andere Anwendung ist die Messung von Brechungsindizes. Dies realisiert man, indem in einen Strahlengang eine mit einem Medium mit Brechungsindex n gefüllte Kammer der Länge l bringt. Geht man davon aus, dass die Strecken, welche die beiden Teilstrahlen durchlaufen, gleich lang sind, erhält man hier den Gangunterschied durch: s = 2 l (n 1) (9) Anhand der Interferenzerscheinungen auf dem Schirm lässt sich so der Brechungsindex berechnen. Auch hier wird übrigens die optische Weglänge des Teilstrahls verändert, da diese nicht durch die tatsächliche Strecke, die der Lichtstrahl durchläuft definiert ist, sondern durch die Strecke, die das Licht in der gleichen Zeit im Vakuum zurücklegen würde. Da das Licht im Medium jedoch langsamer propagiert, verlängert sich hier die optische Weglänge. Interessant ist hier, dass das Interferenzmuster auf dem Beobachtungsschirm konzentrische Ringe zeigt (vgl. hierzu das Interferenzbild des Fabry-Pérot-Interferometers, Abbildung (6)). Dies liegt daran, dass die Randstrahlen des Lichtbündels, welches die Quelle emittiert nicht exakt, sondern nur näherungsweise parallel sind. Dadurch divergiert der Lichtstrahl leicht und es entsteht ein Gangunterschied zwischen dem Mittelstrahl des Lichtbündels und den Randstrahlen. Die entstehenden konzentrischen Ringe bezeichnet man auch als Haidingersche Ringe Twyman-Interferometer Das Twyman-Interferometer ist dem Michelson-Interferometers ziemlich ähnlich. Die wesentlichen Unterschiede bestehen darin, dass die Lichtquelle des Twyman-Interferometers eine Punktlichtquelle ist und dessen divergierenden Lichtstrahlen dann von einer Linse parallelisiert werden. Weiter ist einer der beiden totalreflektierenden Spiegel drehbar gelagert. Das Twyman-Interferometer wird überwiegend zum Prüfen optischer Bauteile verwendet. Dabei wird dieses im Strahlengang einer der beiden Teilstrahlen platziert und es lassen sich dann anhand der Interferenzmuster auf dem Beobachtungsschirm Aussagen über das optische Bauteil treffen. 10

11 Abbildung 5: Die Skizze zeigt den Aufbau eines Michelson-Interferometers. [4] Fabry-Pérot-Interferometer Abbildung (6) 3 zeigt den Aufbau eines Fabry-Pérot-Interferometers. Dieses besteht aus einer Lichtquelle, die kohärentes Licht emittiert. Dieses wird durch eine Linse parallelisiert. Anschließend propagiert das Licht in eine Art Resonator, wie er vom Laser bekannt ist. Es befinden sich hier zwei halbdurchlässige Spiegel, die planparallel gegeneinander aufgestellt sind. Das Licht wird an den Grenzflächen jeweils teilreflektiert und teilweise transmittiert. Dadurch interferieren hinter den beiden halbdurchlässigen Spiegeln die teilweise transmittierten Strahlen miteinander und man beobachtet Interferenzmuster auf dem Schirm. Ebenso wie beim Michelson-Interferometers beobachtet man hier als Interferenzmuster die Haidingerschen Ringe. Auch mit dem Fabry-Pérot-Interferometer lassen sich so durch Verschieben eines halbdurchlässigen Spiegels (Wellen-)Längen bzw. durch Platzieren eines Mediums mit Brechungsindex n zwischen die beiden halbdurchlässigen Spiegel dessen Brechungsindex messen. 3 Quelle: 11

12 Abbildung 6: Die Skizze zeigt den Aufbau eines Fabry-Pérot-Interferometers. 3 Der Versuch 3.1 Versuchsteil 1: Beugung am Gitter Im ersten Versuchsteil verwenden wir den Versuchsaufbau, der in Abbildung (7) skizziert ist. Eine Hg-Dampf-Lampe emittiert Licht, welches durch die Kondensorlinse mit Brennweite f 1 = 65 mm trifft und von dort auf den Beleuchtungsspalt gebrochen wird. Hinter diesem ist eine weitere Linse mit Brennweite f 2 = 200 mm angebracht, die das Licht parallelisiert. Um dies zu realisieren, verwenden wir die Methode der Autokollimation. Anschließend durchläuft das Licht einen Interferenzfilter, der nur gelbes Licht mit der Wellenlänge λ = 578 nm durchlässt. Dann wird es am Gitter gebeugt. Das entstehende Interferenzmuster wird mit einem Fernrohr beobachtet. Zunächst soll die Wellenlänge λ gelb der gelben Hg-Doppellinie bestimmt werden. Dazu verwenden wir ein zweischichtiges Drahtgitter mit Gitterkonstante g 1 = 0, 4 mm und Drahtdicke d D = 0, 2 mm. Es werden nun die Ablenkwinkel für die Maxima bis zur 5. Ordnung auf beiden Seiten abgelesen. Genau genommen wird auf beiden Seiten die Position x auf einer Skala abgelesen, aus der sich nach Gleichung (3) hinterher der Winkel errechnen lässt. Dafür wurde auch der Abstand d zwischen der Messpindel und der Drehachse des Drehtisches gemessen. Es ergab sich ein Wert von d = (34, 0 ± 0, 5) cm. Nun soll zunächst die Gitterkonstante eines Glasgitters und die Wellenlängendifferenz der gelben Hg-Doppellinie und daraus später das spektrale Auflösungsvermögen des Glasgitters bestimmt werden. Dazu gehen wir wie folgt vor: Zunächst wird der Interferenzfilter entfernt und das zweischichtige Drahtgitter durch ein Glasgitter mit noch unbekannter Gitterkonstante g 2 ausgetauscht. Dann werden für die ersten drei Maxima jeweils die Winkeldifferenz zwischen der gelben Doppellinie bestimmt. Dazu wird wieder die Position x auf der Skala abgelesen, aus der sich später der Winkel errechnet. Weiter wird der Zusatzspalt am Drahtgitter jeweils so weit geschlossen, dass die Doppellinie nicht mehr aufgelöst wird und hier die Breite b des Zusatzspaltes gemessen. 12

13 Aus den Messwerten hier resultieren später die gewünschten Ergebnisse. Nun soll noch das Phänomen der Einzelspaltinterferenz untersucht werden. Dazu wird das Glasgitter gegen ein einschichtiges Drahtgitter mit Gitterkonstante g 1 und Drahtdicke d D ausgetauscht und beobachtet, welche Beugungsmaxima nun ausfallen. Zuletzt wollen wir noch beobachten, was passiert, wenn das Gitter gedreht wird bzw. durch eine Lochblende ausgetauscht wird. Abbildung 7: Versuchsaufbau beim Versuch Beugung am Gitter [1] 3.2 Versuchsteil 2: Interferometer Im zweiten Versuchsteil verwenden wir zunächst ein Michelson-Interferometer (Abbildung (5)) und platzieren zusätzlich in einem der beiden Strahlengänge eine mit Luft gefüllte Kammer mit Länge L 2 = 5 cm. Weiter ist hinter der Lichtquelle noch ein Interferenzfilter für λ = 546 nm angebracht, um keine Spektrallinien zu erhalten. Nach Justieren des Strahlengangs verringern wir mit einer Pumpe den Druck in der Kammer und lassen diesen anschließend wieder langsam ansteigen. Dabei wird der Luftdruck im Intervall p = (400 ± 5) (100 ± 5) Torr = 300 ± 10 Torr 4 reguliert, welcher an einem Manometer abgelesen wurde. Dabei wurde beobachtet, wie sich das Interferenzmuster verändert und die Anzahl Z der durchlaufenen Ringe gezählt. Es werden zwei unabhängige Messungen getätigt. Dabei ergab sich: z 1 = 19 z 2 = 20 Weiter wird der am Versuchstag herrschende Luftdruck an einem Barometer abgelesen und notiert. Anschließend verwenden wir ein Fabry-Pérot-Interferometer (Abbildung (6)) mit zusätzlichem Interferenzfilter für λ = 578 nm. Hier beobachten wir wieder das Interferenzmuster und zwar betrachten wir dazu die gelbe Hg-Doppellinie. Der Abstand der beiden halbdurchlässigen Spiegel wird so eingestellt, dass die beiden Maxima der gelben Hg-Doppellinie gerade auf Lücke stehen, d.h. das Maximum der einen Spektrallinie fällt genau auf das 4 Die Einheit Torr ist eine veraltete Einheit für den Luftdruck. Dabei gilt: 1 Torr 133, 322 Pa. 13

14 Minimum der anderen. Anschließend wird der Spiegelabstand so lange verändert, bis die Spektrallinien wieder auf Lücke stehen. Auch hier werden die Anzahl Z der durchlaufenen Ringe gezählt und jeweils zwei unabhängige Messungen getätigt. Dabei ergab sich: z 1 = 221 z 2 = Auswertung 4.1 Versuchsteil 1: Beugung am Gitter Berechnung von λ gelb der gelben Hg-Doppellinie Zunächst wollen wir die Wellenlänge λ gelb der gelben Hg-Doppellinie berechnen. Dazu verwenden wir die Messwerte, die den Abstand der einzelnen Maxima zum Hauptmaximum auf dem Schirm zeigen. Da wir hier ein zweischichtiges Drahtgitter verwenden, tritt die Einzelspaltinterferenz nicht auf und es sind alle Maxima zu sehen (vgl. hierzu auch Abschnitt 5.1, Frage 10). Wir verwenden hierzu Gleichung (4), wobei x max nun mit s bezeichnet werden soll, was den Abstand der Maxima zum Hauptmaximum angibt. Umstellen dieser Gleichung nach λ liefert: λ gelb = s g n d Der Fehler berechnet sich hier durch 5 : δλ gelb = ( λgelb = λ gelb s (10) 2 ( ) 2 λgelb δs) + d δd 2 ( ) 2 λgelb δs) + s d δd (11) (λgelb Tabelle (1) zeigt die von uns aufgezeichneten und berechneten Werte. Es lässt sich der Mittelwert bilden und wir erhalten λ gelb = (612, 2 ± 59, 8) nm. Der Fehler wurde hierbei mit der Standardabweichung berechnet. Der Vergleich mit dem aus [1] entnommenen Literaturwert λ gelb,lit = 578 nm liefert eine prozentuale Abweichung von 5, 6%. 5 Sofern nicht anders angegeben berechnet sich im Folgenden der Fehler für eine Messgröße X mit fehlerbehafteten Größen x i generell durch δx = ( ) X 2. i x i δx i 14

15 n s[mm] λ gelb [nm] -5 2,90 682,4 ± 19,4-4 2,10 617,6 ± 22,7-3 1,60 627,5 ± 29,2-2 1,05 617,6 ± 42,6-1 0,60 705,9 ± 83,8 1 0,50 588,2 ± 83,6 2 1,10 647,1 ± 42,7 3 1,50 588,2 ± 29,0 4 1,80 529,4 ± 22,2 5 2,20 517,6 ± 18,3 Tabelle 1: Die Tabelle zeigt die berechneten Werte für λ gelb, sowie der Abstand des n-ten Maximums zum Hauptmaximum. Dabei wird in Gleichung (10) n = n gesetzt. Weiter gilt generell δs = 0, 1 mm. Fehlerdiskussion Das von uns geschätzte Fehlerintervall bestätigt den Literaturwert, d.h. unsere Messung kann theoretisch als korrekt angenommen werden. Ein kleiner Fehler könnte sich jedoch dennoch eingeschlichen haben, da das Gitter etwas schief auf dem Drehtisch stand. Dadurch wird vermutlich ein zusätzlicher Gangunterschied entstanden sein. Dies erklärt auch, warum die Messungen für Maxima gleicher Ordnung in die beiden Richtungen etwas asymmetrisch sind. Ebenfalls lässt sich dadurch erklären, dass die Position des Hauptmaximums nicht wie zu erwarten bei der Mitte der Messskala, sondern etwas rechts davon lag. Letzten Endes vermuten wir jedoch, dass sich dieser Fehler größtenteils wieder aufgehoben hat, d.h. in eine Richtung wurde die Wellenlänge etwas zu hoch gemessen und in die andere etwas zu tief. Eine weitere Fehlerquelle ist hier sicherlich der tote Gang der Messspindel. Zwar wurde dieser durch homogenes Messen in eine Richtung versucht weitestgehend zu umgehen, aber es sei dennoch in Frage gestellt, ob unsere Messergebnisse noch ausreichend exakt sind Berechnung der Gitterkonstante g 2 und Wellenlängendifferenz λ gelb Nun wollen wir die Gitterkonstante g 2 des Glasgitters und die Wellenlängendifferenz λ gelb der gelben Hg-Doppellinie berechnen. Dazu berechnen wir zunächst den mittleren Ablenkwinkel β n = βna+β nb 2, sowie die Winkeldifferenz β n = β na β nb für die Maxima bis zur 3. Ordnung, wobei hier β na bzw. β nb der Ablenkwinkel der linken bzw. rechten Hg- Doppellinie beim Maximum n-ter Ordnung ist. Diesen erhalten wir aus Gleichung (3) und es gilt demnach: ( s β = arctan (12) d) wobei hier s der Abstand der Spektrallinie zum Hauptmaximum auf dem Schirm, und d der Abstand zwischen Messspindel und Drehachse des Drehtisches ist. Der Fehler für β berechnet sich dann durch: 1 δβ = s 2 + d 2 (s δd) 2 + (d δs) 2 (13) 15

16 n s 1 [mm] 20,1 40,25 61,2 s 2 [mm] 20,25 40,5 61,8 β na [ ] 3, 38 ± 0, 05 6, 75 ± 0, 10 10, 20 ± 0, 15 β nb [ ] 3, 41 ± 0, 05 6, 79 ± 0, 10 10, 30 ± 0, 15 β n [ ] 3, 40 ± 0, 04 6, 77 ± 0, 07 10, 25 ± 0, 10 β n [ ] 0, 025 ± 0, 072 0, 042 ± 0, 141 0, 098 ± 0, 209 Tabelle 2: Die Tabelle zeigt die berechneten Werte für mittlere Ablenkwinkel und Winkeldifferenz. Dabei gilt generell δs 1 = δs 2 = 0, 1 mm. Weiter erhalten wir die Fehler für mittlere Ablenkwinkel und Winkeldifferenz durch: δβ n = 1 2 (δβ na ) 2 + (δβ nb ) 2 δ β n = (δβ na ) 2 + (δβ nb ) 2 Tabelle (2) zeigt die von uns berechneten Werte. Aus diesen Daten gilt es zunächst die Gitterkonstante g 2 zu berechnen. Dazu verwenden wir wieder Gleichung (1) und es gilt: g 2 = n λ gelb sin(β n ) wobei hier für λ gelb der von uns in Abschnitt errechnete Wert verwendet wird. Der Fehler für g 2 berechnet sich durch: ( ) 2 ( ) 2 δλgelb λgelb δg 2 = n + sin(β n ) cos(β n ) δβ n Weiter wollen wir die Wellenlängendifferenz der gelben Hg-Doppellinie berechnen. Auch hierzu verwenden wir Gleichung (1) und es gilt 6 : sowie λ gelb = g 2 sin( β n ) n δ λ gelb = 1 n (sin( β n ) δg 2 ) 2 + (g 2 cos( β n ) δ β n ) 2 Tabelle (3) zeigt die von uns berechneten Werte. Es lässt sich jeweils der Mittelwert bilden und wir erhalten g 2 = (10, 3 ± 0, 6) µm, sowie λ gelb = (4, 73 ± 7, 39) nm. Hierbei wurde die Unsicherheit aufgrund von nur drei vorhandenen Messwerten nicht mit der Standardabweichung berechnet sondern es gilt: δg 2 = g 2,n (14) n=1 6 Hierbei ist übrigens egal, ob wir mit sin( β n) oder mit sin(β na) sin(β nb ) rechnen, da der maximale Ablenkwinkel aus Tabelle (2) β 3b 10 beträgt, d.h. hier ist die Winkelnäherung gerade noch zulässig, wodurch sich die beiden Formeln in ihren Werten nicht über unsere ohnehin schon angenommene Unsicherheit unterscheiden würden. 16

17 n g 2 [µm] λ gelb [nm] 1 10,3 ± 1,0 4,55 ± 13, ,4 ± 1,0 3,75 ± 12, ,3 ± 1,0 5,89 ± 12,60 Tabelle 3: Die Tabelle zeigt die berechneten Werte für die Gitterkonstante g 2 und die Wellenlängendifferenz λ gelb. und analog für λ gelb. Der Vergleich mit dem Literaturwert für λ gelb,lit = 2, 106 nm 7 liefert hier eine außergewöhnlich hohe Diskrepanz. Zwar schließt unser Fehlerintervall den Literaturwert ein, jedoch fällt bei Betrachtung des Fehlerintervalls sofort auf, dass es größer ist, als der Messfehler selbst. Fehlerdiskussion Zunächst einmal stellt sich die Frage, woher der enorm hohe Fehler stammt. Dies liegt an der Winkeldifferenz der beiden Beugungswinkel für die beiden Spektrallinien der Hg-Doppellinie. Die Beugungswinkel sind im Verhältnis zur Winkeldifferenz doch relativ hoch. Der Fehler bleibt hierbei jedoch unverändert, genau genommen addiert er sich bei Differenzenbildung sogar auf, wodurch die Winkeldifferenz mit einem nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz außergewöhnlich hohen Fehler belastet ist. An dieser Stelle kann man die Frage stellen, ob es hier nicht sinnvoller gewesen wäre, einen neuen Fehler nach Gefühl abzuschätzen, doch auch dies sehen wir eher fragwürdig, da es keinerlei Ansatzpunkte für die Schätzung eines solchen Fehlers gibt. Ebenso ist auch der tatsächlich errechnete Wert von uns in hoher Diskrepanz zum Literaturwert. Dies lässt sich vor allem dadurch erklären, dass es, vor allem beim Maximum 1. Ordnung, relativ schwierig war, die Doppellinie ausreichend aufzulösen um hier eine genaue Messung vorzunehmen. Da die Abstände zwischen den Spektrallinien hier sehr gering sind, wiegt bereits ein Messfehler von wenigen Bruchteilen eines Millimeters bereits relativ stark, wodurch die Werte sehr schnell stark verfälscht werden. Noch größer als bei der Messung der Wellenlänge λ gelb wirkt sich hier vermutlich auch der tote Gang der Messspindel aus, da hier doch sehr genaue Messungen erforderlich sind Berechnung des theoretischen spektralen Auflösungsvermögens Nun wollen wir noch das theoretische spektrale Auflösungsvermögen bestimmen. Dazu verwenden wir Gleichung (8), wobei hier N = b g 2 ist und b die Breite des geöffneten Zusatzspaltes bezeichnet. Man kann sich das überlegen indem man die Gleichung umstellt und für das Gitter mit Gitterkonstanten g 2 und N Spalten dessen Breite erhält durch b = g 2 N. Damit ergibt sich das spektrale Auflösungsvermögen durch: A 1 = b g 2 n 7 Quelle:

18 und der Fehler dessen durch: (δb ) 2 ( δg2 δa 1 = n A 1 + b g 2 ) 2 Tabelle (4) zeigt die von uns berechneten Werte. Der Mittelwert liefert hier A 1 = 614±223 wobei der Fehler analog zu Gleichung (14) berechnet wurde. Weiter lässt sich das spektrale Auflösungsvermögen auch direkt nach Definition berechnen. Es gilt dann: A 2 = λ gelb λ gelb und δa 2 = A 2 (δλgelb λ gelb ) 2 + ( ) 2 δ λgelb λ gelb Mit den von uns errechneten Werten ergibt sich A 2 = 129 ± 32. Hier ergibt sich leider eine auffallend hohe Abweichung zwischen den beiden Werten. Fehlerdiskussion Auch hier ist die große Diskrepanz wieder anhand des toten Gangs der Messspindel und der mangelnden Auflösung der gelben Doppellinie zu erklären. Deutlich stärker wiegt hier jedoch vermutlich noch die Messung der Breite des Zusatzspaltes. Diesen galt es soweit zu schließen bis die gelbe Doppellinie gerade nicht mehr aufgelöst wird ([1]). Allein dieser Sachverhalt ist schon sehr subjektiv, was die Messergebnisse gerade bei Messungen wie diesen, wo eine hohe Genauigkeit erforderlich ist, stark verfälscht. Vor allem beim 1. Maximum war ohnehin die gelbe Doppellinie auch bei weit geöffnetem Zusatzspalt kaum zu erkennen, weshalb vor allem dort die Messung fast utopisch erscheint. Auffallend sind auch die akut hohen Fehler in Tabelle (4). Diese resultieren ebenfalls aus der sehr hohen Unsicherheit, die bei der Messung der Breite b des Zusatzspaltes angenommen werden musste. Generell war hier bei allen Messungen mit dieser Versuchsapparatur Vorsicht geboten, da diese recht störanfällig ist. So können schon leichte Vibrationen an Letzterer oder wechselnde Lichtverhältnisse die Messung beeinflussen. Abschließend lässt sich sagen, dass die verwendete Versuchsapparatur für Messungen der die gelbe Hg-Doppellinie ohne technische Hilfsmittel nicht sonderlich geeignet ist. n A ± ± ± 609 Tabelle 4: Die Tabelle zeigt die berechneten Werte des spektralen Auflösungsvermögens. 18

19 4.1.4 Messung mit einem einschichtigem Drahtgitter Nun wollen wir noch qualitativ Interferenzen an einem einschichtigem Drahtgitter untersuchen. Bei Messung der Maxima fiel auf, dass zwischen dem 1. und 2. Maximum, sowie zwischen dem 2. und 3. Maximum eine doppelt so große Lücke klafft, wie beim zweischichtigem Drahtgitter mit gleicher Gitterkonstante. Dies bestätigt die Theorie aus Abschnitt Da für das Gitter die Stegbreite gleich der Spaltbreite ist und damit g = 2 b gilt, ist zu Erwarten, dass jedes zweite Maximum ausfällt, d.h. das von uns beobachtete 2. Maximum ist eigentlich das 3. und das von uns beobachtete 3. Maximum ist eigentlich das 5. Diesen Sachverhalt konnten wir in unseren Beobachtungen bestätigen. Dreht man das einschichtige Gitter nun horizontal, so beobachtet man keine Interferenzmuster mehr auf dem Schirm. Dies liegt daran, dass, im Falle des horizontalen Gitters, das Licht nach Passieren des Beleuchtungsspaltes in einer Ebene parallel zu den Gitterstäben kohärent ist. Dadurch kann keine Beugung am Gitter mehr stattfinden und das Interferenzmuster verschwindet. Entsprechend ist die Ebene kohärenten Lichtes beim vertikal stehenden Gitter senkrecht auf dieses, wodurch die Beugung stattfinden kann. Ersetzt man nun den Beleuchtungsspalt durch eine Lochblende, ist das Licht, was auf das Gitter trifft in alle Ebenen kohärent und es kann wieder Beugung stattfinden. Je nach Ausrichtung des Gitters erhält man dann das Interferenzmuster in horizontaler oder vertikaler Ausrichtung. 4.2 Versuchsteil 2: Interferometer Michelson-Interferometer Anhand der Messdaten wollen wir in diesem Versuchsteil den Brechungsindex von Luft bei den am Versuchstag vorherrschenden Bedingungen, sowie bei Standardbedingungen (T = 273, 15 K = 0 C und p = Pa) berechnen. Dazu ist zunächst der Luftdruck p L am Versuchstag nötig. Da der Luftdruck nur auf Meereshöhe abgelesen wurde, muss dies zunächst auf die Höhe des Labors umgerechnet werden. Dies geschieht anhand der Formel 8 : ( p L (h) = p 0 1 0, h ) 5,255 T wobei p 0 der abgelesene Luftdruck auf Meereshöhe, h die Höhe des Labors über dem Meeresspiegel und T die absolute Temperatur ist. Der Fehler für den Luftdruck berechnet sich dann durch: ( ) p 2 ( p0 0, ( ) p0 0, h 2 δp L = δp 0 + δh) + p 0 T T 2 δt Mit den von uns vermessenen Werten erhalten wir p L = (909, 0 ± 1, 9) hpa. Zunächst gilt es nun die Abhängigkeit der Brechungsindex von Luft n L in Abhängigkeit 8 Quelle:

20 des durchlaufenen Druckintervalls p, des dadurch durchlaufenen Brechungsindexintervalls n und des Luftdrucks p L zu berechnen. Dazu können wir davon ausgehen, dass der um eins reduzierte Brechungsindex (n 1) proportional zur Teilchenzahl pro Volumen ist. Da auch Temperatur und Volumen als konstant angenommen werden können, folgt nach dem idealen Gasgesetz 9, dass p n 1 ist. Es gilt also: p L = C (n L 1) (15) p 1 = C (n(p 1 ) 1) (16) p 2 = C (n(p 2 ) 1) (17) wobei hier p 1 = 100 Torr der Druck zu Beginn in der Kammer, p 2 = 400 Torr der Druck am Ende in der Kammer, n(p 1 ) und n(p 2 ) jeweils der Brechungsindex zu diesen Zeitpunkten in der Kammer und C die Proportionalitätskonstate ist. Subtrahiert man Gleichungen (16) und (17) voneinander, so ergibt sich: C = p 2 p 1 n(p 2 ) n(p 1 ) = p n (18) Ebenso folgt aus Gleichung (15): C = p L n L 1 (19) Der Vergleich von Gleichungen (18) und (19) liefert schließlich: n L = 1 + n p p L (20) Wir betrachten nun den Gangunterschied zwischen den beiden Teilstrahlen beim Druck p 1. Hierbei gilt: s 1 = (n L n(p 1 )) L (21) Analog gilt für den Gangunterschied der Teilstrahlen beim Druck p 2 : s 2 = (n L n(p 2 )) L (22) Subtrahiert man Gleichungen (21) und (22) voneinander, so erhält man den Gangunterschied zwischen den beiden Strahlen, die das Michelson-Interferometer zu Beginn und am Ende der Messung durchlaufen haben. Es ist dies: s = (n(p 2 ) n(p 1 )) L }{{} = n Für diesen Gangunterschied wurde die Anzahl z der durchlaufenen Interferenzstreifen gemessen. Wir können also weiterschreiben: n L = z λ n = z λ L 9 Das ideale Gasgesetz stellt eine Proportionalität zwischen den Größen Luftdruck p, Volumen pro Teilchenzahl V =: v und Temperatur T her. Es lautet: p V = R T, wobei R eine Proportionalitätskonstante n ist. 20

21 Setzt man dieses Resultat in Gleichung (20) ein, so erhält man für den Brechungsindex von Luft: n L = 1 + z λ L p p L (23) Der Fehler für n L berechnet sich dann durch: ( ) λ 2 ( ) pl z λ 2 ( ) z λ 2 δn L = L p δz + L p δp pl L + L ( p) 2 δ p Es ergaben sich für die Bedingungen am Versuchstag Werte von: n 1 = 1, ± 0, n 2 = 1, ± 0, sowie für Standardbedingungen Werte von: n S1 = 1, ± 0, n S2 = 1, ± 0, Die Mittelwerte liefern hier n = 1, 00024±0, und n s = 1, 00027±0, Der Fehler berechnete sich dabei analog zu Gleichung (14). Verglichen mit dem Literaturwert von n L,Lit = 1, liegen unsere Messwerte relativ gut mit einer prozentualen Abweichung von weniger als 0, 01%. Ebenso schließt das Fehlerintervall für den von uns berechneten Wert bei Standardbedingungen den Literaturwert mit ein. Fehlerdiskussion Entscheidend bei der Bewertung des Ergebnisses ist die Abweichung des Brechungsindex von Luft vom Brechungsindex des Vakuums n V ak = 1. Die prozentuale Abweichung ist bei unserer Messung relativ gering jedoch liegt dies vor allem auch daran, dass der Brechungsindex von Luft nur minimal verschieden von 1 ist. Generell sollte bei Messungen verschiedener Brechungsindizes immer ein Wert größer als 1 herauskommen, sofern nicht ein semantischer oder Rechenfehler vorliegt. Hätten wir den Brechungsindex eines Stoffes gemessen, der deutlich größer als 1 ist, so vermuten wir, wäre aufgrund der höheren absoluten Abweichung auch ein etwas höherer prozentualer Fehler zugrunde liegen. Weiter gestaltete sich das Zählen der Interferenzringe auch nicht immer als trivial. Da die Abbildung der Ringe sehr klein war, war es relativ schwierig, exakt zu messen, nicht zuletzt, da die Messung ein bis mehrere Minuten dauerte, was die Konzentrationsfähigkeit der messenden Person doch etwas einschränkt. Hier könnten weitere mögliche Fehlerquellen liegen. Generell sollte man auch das Abschätzen der Fehlerintervalle in Frage stellen, so gab es einige Messgrößen, wie z.b. die Wellenlänge, die gänzlich ohne Fehler angenommen wurden. Weiter sei dahingestellt, ob die von uns angenommenen Fehlerintervalle für den Druck p K in der Kammer, der lediglich anhand einer recht groben Skala abgelesen wurde, oder die der gezählten Ringe (s.o.) ausreichend groß waren. Letzten Endes lässt sich jedoch sagen, dass trotz einiger möglicher Fehlerquellen unser Ergebnis relativ exakt ist und der Brechungsindex von Luft erfolgreich bestimmt werden konnte. 21

22 4.2.2 Fabry-Pérot-Interferometer In diesem Versuchsteil wollen wir die Wellenlängendifferenz λ der gelben Hg-Doppellinie berechnen. Dabei gilt: λ = λ mittel z wobei λ mittel die Wellenlänge des Interferenzfilters und z die von uns vermessene Anzahl der durchlaufenen Interferenzstreifen ist. Der Fehler berechnet sich dabei durch: δ λ = λ z δz = λ mittel z 2 δz Die zwei unabhängigen Messungen liefern zwei unabhängige Ergebnisse: λ 1 = (2, 62 ± 0, 24) nm λ 2 = (2, 79 ± 0, 27) nm Der Mittelwert zwischen beiden Messungen beträgt λ = (2, 70 ± 0, 18) nm. Wobei der Fehler hier berechnet wurde durch: δ λ = 1 2 (δ λ 1 ) 2 + (δ λ 2 ) 2 Der Vergleich mit dem Literaturwert λ = 2, 106 nm liefert hier eine prozentuale Abweichung von 28, 4%. Auch der von uns berechnete Messfehler bestätigt den Literaturwert nur in der Größenordnung. Fehlerdiskussion Wie schon beim Michelson-Interferometer, gestaltete sich auch hier das Zählen der durchlaufenen Interferenzringe als äußerst schwierig. Vermutlich weichen hier die Werte noch deutlicher ab, was ebenfalls auf Konzentrationsschwächen der Messperson, sowie mangelndes Auflösungsvermögen der Abbildung des Interferenzbildes zurückzuführen ist. Erst ab einem angenommenen Fehler von δz = 70 schließt der berechnete Mittelwert für λ den Literaturwert mit ein. Ebenso zeigt sich eine sehr große Diskrepanz zum von uns berechneten Wert für die Wellenlängendifferenz in Abschnitt 4.1.2, obgleich auch dieser bereits mit hohem Fehler belastet war. Auch wenn hier die Größenordnung des von uns berechneten Wertes wieder übereinstimmt, so kann man diese Methode der Berechnung der Wellenlängendifferenz gänzlich ohne technische Hilfsmittel nicht empfehlen. 22

23 5 Fragen und Antworten 5.1 Fragen zum Versuchsteil: Beugung am Gitter 1. Warum muss die Drehachse des Fernrohrs nicht durch das Gitter verlaufen? Dies liegt daran, dass gemäß dem Huygensschen Prinzip das Licht am Gitter gebeugt wird, d.h. es breitet sich von dort aus als halbkugelförmige Welle aus. Von daher muss der Lichtstrahl nicht frontal betrachtet werden, sondern die Raumrichtung, in der beobachtet wird, lässt sich hier variieren. 2. Warum soll das Interferenzfilter in dem Bereich aufgestellt werden, in dem die Strahlen parallel verlaufen? Würde das Licht nicht parallel einfallen, so würde ein zusätzlicher Gangunterschied erzeugt, da verschiedene Wellenlängen verschiedene Brechungsindizes haben. Dadurch wäre es nicht mehr möglich, bestimmte Wellenlängen herauszufiltern. 3. Warum betragen bei einer 1:1-Abbildung der Lampe auf den Beleuchtungsspalt die Abstände zwischen Linse und Lampe, sowie zwischen Linse und Beleuchtungsspalt, gerade jeweils das Doppelte der Brennweite f 1 der Kondensorlinse? Dies folgt direkt aus dem Linsengesetz, welches lautet: 1 f = 1 b + 1 g wobei hier b die Bildweite und g die Gegenstandsweite ist. Für 1:1-Abbildungen gilt b = g und damit: 1 f = 1 b + 1 g = 2 g 4. Beweisen Sie mit Hilfe des Huygensschen Prinzips, dass bei Fraunhoferscher Beugung am Gitter (d.h. bei paralleler Beleuchtung und Beobachtung im Unendlichen) die Maxima unter den Winkeln α max = arcsin m λ g auftreten, wobei g die Gitterkonstante ist, also der Abstand zwischen den Mitten zweier Gitterspalte, λ die Wellenlänge des gebeugten Lichtes und m die Beugungsordnung. Diese Beziehung wurde bereits im Grundlagenteil (Gleichung (1)) hergeleitet. 5. Warum ist für die Interferenz im Interferenzfilter kein Beleuchtungsspalt notwendig? (vgl. z.b. die Regenbogenfarben dünner Ölfilme auf Wasser.) Die Reflexion und Transmission im Interferenzfilter ist abhängig von dessen Wellenlänge. Weiter überlagern sich nur Wellen gleicher Frequenz. Von daher ist das Licht im Filter immer kohärent, was den Beleuchtungsspalt überflüssig macht. 6. Zeigen Sie, dass das spektrale Auflösungsvermögen des Gitters durch λ λ = m Z gegeben ist, wobei m die Beugungsordnung ist und Z die effektive Strichzahl. Das spektrale Auflösungsvermögen hängt also nicht von der Gitterkonstanten g ab! 23

24 Unter Verwendung der Kleinwinkelnäherung, erhalten wir den Beugungswinkel des m-ten Maximums der Wellenlänge λ durch: ϑ max,1 = m λ g und analog den Beugungswinkel des m-ten Maximums der Wellenlänge λ + λ durch: ϑ max,2 = m (λ + λ) g und damit: ϑ max = ϑ max,2 ϑ max,1 = m λ g (24) Nach dem Rayleigh-Kriterum lassen sich dieses Maximum und das Maximum mit Wellenlänge λ+ λ auflösen, wenn das Maximum mit Wellenlänge λ+ λ, auf das Minimum mit Wellenlänge λ fällt. Dieser Beugungswinkel ist bei effektiver Strichzahl Z gegeben durch: ϑ min = λ Z g (25) Gleichsetzen von Gleichungen (24) und (25) liefert: m λ g = λ Z g λ λ = m Z 7. Nach dieser Anleitung erfolgt die Berechnung des Ablenkwinkels aus den Messwerten zweier Strecken mit sehr unterschiedlichen absoluten Unsicherheiten (Abstand zwischen Drehachse und Spindel mit 1 mm-teilung auf Lineal, Verschiebung entlang der Spindel mit mm-teilung auf Messspindel). Warum ist diese Art der Berechnung des Ablenkwinkels trotzdem sinnvoll? Entscheidend ist hier, dass bei der Fehlerfortpflanzung die relativen Fehler betrachtet und aufaddiert werden und eben nicht die absoluten Fehler (Gleichung (13)). Dadurch wiegen die angenommenen Fehler für die beiden Messwerte in etwa gleich und die Fehlerrechnung liefert dennoch einen realistischen Fehler. 8. Beweisen Sie die Verdetsche Kohärenzbedingung D sin( θ 2 ) λ wobei D die Breite des Beleuchtungsspaltes, θ der effektive Öffnungswinkel hinter dem Beleuchtungsspalt 10 und λ die Wellenlänge ist. Dies wurde bereits im Grundlagenteil, Abschnitt 2.3.3, erläutert. 9. Welche Beugungsordnungen fallen bei der Beugung am Gitter aus, wenn die 10 Anders als in Gleichung (7) bezeichnen wir hier mit θ den ganzen effektiven Öffnungswinkel. 24

25 Breite der Gitterstege gleich der Breite der Spaltöffnungen ist (mit Begründung!)? Auf welche Beugungsordnung wird die Beugung am Gitter reduziert, wenn Gittersteg und Spaltöffnung keine scharfen Grenzen haben, sondern die Lichtdurchlässigkeit sinusförmig variiert? Dies wurde bereits im Grundlagenteil, Abschnitt 2.3.3, erläutert. 10. Im Versuch wurde zunächst ein zweischichtiges Drahtgitter verwendet. Auch bei diesem galt Drahtdicke = Drahtabstand. Warum fallen bei diesem Gitter nicht die Beugungsordnungen aus, die beim einschichtigen Gitter verschwinden? Damit einige Beugungsordnungen ausfallen, muss auf das Gitter Licht gleichmäßiger Intensität gestrahlt werden. Da beim zweischichtigen Gitter jedoch hinter der ersten Schicht bereits ein Interferenzmuster zustande kommt, weißt das Licht, das auf die zweite Schicht fällt keine gleichmäßige Intensität mehr auf und die komplette Auslöschung der Maxima ist nicht mehr möglich. 11. Erklären Sie die unterschiedlichen Beobachtungen mit Beleuchtungsspalt und Lochblende bei senkrechten und horizontalen Gitteröffnungen. Dies wurde bereits in der Auswertung, Abschnitt 4.1.4, erläutert. 5.2 Fragen zum Versuchsteil: Interferometer 1. Welche Veränderung am Interferenzmuster würden Sie erwarten, wenn im Michelson-Interferometer exakt paralleles Licht verwendet würde? Wie in Abschnitt erläutert wurde besteht das Interferenzmuster der Haidingerschen Ringe auf der leichten Divergenz des Lichtstrahls. Falls nun diese nicht mehr vorhanden ist und die Lichtstrahlen tatsächlich exakt parallel verlaufen, wäre auf dem Schirm je nach Gangunterschied der beiden Teilstrahlen nur noch hell oder dunkel, d.h. Maximum oder Minimum zu erkennen. Ein Interferenzmuster ließe sich lediglich durch leichtes Kippen des Spiegels erreichen, jedoch wäre dann ein Streifeninterferenzmuster zu erkennen und keine Ringe. 2. Wie müsste man den Strahlengang des Michelson-Interferometers verändern, um damit a) die Schlierenfreiheit eines Glasprismas oder b) die Qualität eines Objektives zuüuberprüfen (Twyman-Interferometer)? Dies wurde bereits im Grundlagenteil, Abschnitt 2.4.2, erläutert. 3. Warum sollen die beiden teilverspiegelten Glasplatten beim Fabry-Perot- Interferometer keilförmig sein? Dies liegt daran, da so ungewünschte Interferenzeffekte an den Randflächen vermieden werden. 4. Vergleichen Sie das Fabry-Perot-Interferometer hinsichtlich seines spektralen Auflösungsvermögens mit dem Michelson-Interferometer. Das spektrale Auflösungsvermögen definiert sich nach Gleichung (8). Es hängt also linear 25