Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Lehrstuhl Mikrosystemtechnik

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Lehrstuhl Mikrosystemtechnik"

Transkript

1 Mechanische Eigenschaften Die Matrix der Verzerrungen ε ij und die Matrix der mechanischen Spannungen σ ij bilden einen Tensor 2. Stufe und werden durch den Tensor 4. Stufe der elastischen Koeffizienten s ij,kl miteinander verknüpft: ε ij := s ij, kl σ kl

2 Mechanische Eigenschaften Da reine Drehungen nicht zu Verzerrungen führen, muß für jede Scherspannungskomponente σ kl eine Gegenkompensation da sein. Für k 1 gilt: σ kl = σ lk Somit gibt es nur 6 unabhängige Komponenten der mechanischen Spannung: man ersetzt die (3x3)-Matrix durch einen Pseudovektor mit 6 Komponenten.

3 Mechanische Eigenschaften Indexpaar ij oder kl Einfachindex λ oder µ Mit der zusätzlichen Vereinbarung ε 4 = 2 ε 23, ε 5 = 2 ε 13, ε 6 = 2 ε 12 ergibt sich:

4 Mechanische Eigenschaften

5 Mechanische Eigenschaften Im kubischen System gilt: c 11 = c 22 = c 33 c 12 = c 21 = c 13 = c 31 = c 23 = c 32 c 44 = c 55 = c 66 ; Alle anderen Konstanten sind Null. Dies gilt analog für die elastischen Koeffizienten sij. Für kubische Kristalle gibt es also 3 unabhängige Konstanten.

6 Mechanische Eigenschaften Berechnung der mech. Spannung aus der Dehnung Berechnung der Dehnung bei vorgegebener mechanischer Spannung

7 Mechanische Eigenschaften Physikalische Bedeutung der eingeführten Konstanten bei uniaxialer Belastung: Die elastischen Konstanten E, ν und G sind nun aber richtungsabhängig. Will man für einen beliebigen uniaxialen Belastungsfall die Dehnung oder Stauchung berechnen, so muss man die elastischen Konstanten für die jeweilige Richtung kennen.

8 Mechanische Eigenschaften Für einkristallines Si gilt: c 11 = x Pa c 12 = 6.39 x Pa c 44 = 7.96 x Pa s 11 = x Pa -1 s 12 = x Pa -1 s 44 = x Pa -1

9 Koordinatentransformation Transformation der elastischen Konstanten c mn,pq (Tensor 4. Stufe) in ein neues Koordinatensystem ergibt c ij,kl ; die Summation läuft über sämtliche m, n, p, q = Dabei sind die a im =cos (α im ) (auch Richtungskosini, RK) mit α im = Winkel (x i, x m ) ; x i sind die Achsen des neuen kartesischen Koordinatensystems, x m die des ursprünglichen

10 Koordinatentransformation Neue Abkürzungen mit Bezug zu den Kristallachsen: l i =a i1 (RK der i.ten Achse zur 1-Achse des Kristalls) m i = a i2 (RK der i.ten Achse zur 2-Achse des Kristalls) n i =a i3 (RK der i.ten Achse zur 3-Achse des Kristalls)

11 Koordinatentransformation Mit diesen Abkürzungen ergibt sich:

12 Richtungsabhängigkeit E-Modul Wegen der Eigenschaften der RK im kubischen Kristall gilt für den E-Modul in Richtung [hkl]:

13 Richtungsabhängigkeit E-Modul Richtungsabhängigkeit des E- Moduls in kubischen Kristallen. Für die analytische Beschreibung des mech. Verhaltens von Elementen (z.b. dünne Platten bei Drucksensoren) verwendet man Näherungen aus der Mechanik. Diese Näherungen liefern erste Hinweise für die Geometrie eines Elements. Meist werden dabei die Werkstoffkenndaten E, ν und G verwendet, die dann für die jeweiligen Richtungen berechnet werden können.

14 DMS und Piezowiderstand Elektrischer Widerstand R eines Leiters Länge L, Querschnittsfläche A, spez. Widerstand ρ:

15 DMS und Piezowiderstand

16 DMS und Piezowiderstand Spannungsempfindlichkeit K-Faktor, Gauge- Faktor: K Geometrischer Effekt (1+2ν): Dominant in Metallen Änderung der Leitfähigkeit : Dominant in Halbleitern

17 DMS und Piezowiderstand Elektrische Leitfähigkeit σ = 1/ρ σ = n q µ ist eine Transporteigenschaft

18 DMS und Piezowiderstand Gründe für die Leitfähigkeitsänderung bei mechanischen Spannungen: Änderung der effektiven Masse Umbesetzung der Elektronen n/n

19 DMS und Piezowiderstand Bandstruktur von Silizium: bei mechanischen Spannungen kommt es zu einer Änderung der Bandkrümmung und damit zu einer Änderung der effektiven Masse

20 DMS und Piezowiderstand

21 DMS und Piezowiderstand

22 Piezoresistiver Effekt Ohmsches Gesetz: Allgemeiner Fall:

23 Piezoresistiver Effekt Berechnung einer bestimmten Feldkomponente E s Für kubische Kristalle ohne Belastung (nur Feldkomponenten in Stromrichtung!)

24 Piezoresistiver Effekt Störung der Symmetrie durch äußere Belastung: es treten auch Feldkomponenten Senkrecht zum Strom auf. Dies wird durch einen zusätzlichen Term P sj,km beschrieben, der einen Tensor 4. Stufe bildet:

25 Piezoresistiver Effekt Die Änderung des spezifischen Widerstandes wird beschrieben durch: und nach Erweiterung erhält man:

26 Piezoresistiver Effekt Definition der piezoresistiven Koeffizienten Π ij,km ohmsches Gesetz für kubische Kristalle unter mechanischer Belastung

27 Piezoresistiver Effekt Die piezoresistiven Koeefizienten bilden einen Tensor 4. Stufe. Anschauliche Bedeutung von Π ij,km : Π 11,11 : Strom und E-Feld in 1-Richtung, Normalbelastung in 1-Richtung Π 12,23 : E-Feld in 1-Richtung, Strommessung in 2-Richtung, Scherbelastung

28 Piezoresistiver Effekt Übergang zur Pseudovektorschreibweise in kubischen Kristallen (Vogtsche Notation), es ergibt sich eine 6x6 Matrix:

29 Piezoresistiver Effekt Für Silizium ergibt sich:

30 Piezoresistiver Effekt Somit lässt sich der Zusammenhang zwischen Stromdichte und Feldstärke wie folgt darstellen:

31 Piezoresistiver Effekt Für den mechanisch belasteten Fall gilt:

32 Piezoresistiver Effekt Die einzelnen Komponenten des Pseudovektors berechnen sich gemäß: Werte für Si bei T=300K:

33 Piezoresistiver Effekt Die angegeben Tabellenwerte beziehen sich auf ein mit den Basisvektoren a, b, c gebildetes Koordinatensystem. Bei konkreten Anwendungen muß ein dem jeweiligen System angepasstes Koordinatensystem eingeführt werden (Koordinatentransformation!). Dazu werden wieder die Richtungskosini verwendet.

34 Piezoresistiver Effekt Die vollstandige Transformationsmatrix für die piezoresisitiven Koeffizienten lautet:

35 Piezoresistiver Effekt Verwendete Abkürzungen:

36 Piezoresistiver Effekt Anordnungen: Longitudinal: Strom und mech. Normalspannung parallel Transversal: Strom und mech. Normalspannung senkrecht Schereffekt: Strom und Spannung parllel oder senrecht und mechanische Scherspannung

37 Piezoresistiver Effekt Für diese Anordnungen unterscheidet man 3 Typen von Werkstoffkonstanten:

38 Piezoresistiver Effekt Bei Drucksensoren treten üblicherweise nur ebene mech. Spannungen auf. Diese lassen sich in der Membran mit den Komponenten σ l und σ T darstellen:

39 Piezoresistiver Effekt Longitudinale und transversale piezoresistive Koeffinzienten:

40 Piezoresistiver Effekt Piezoresistive Koeffizienten und K-Faktoren für n-si:

41 Piezoresistiver Effekt Piezoresistive Koeffizienten und K-Faktoren für p-si:

42 Piezoresistiver Effekt Piezoresistive Koeffizienten in der {001}-Ebene für n-si (links) und p-si (rechts)

09. Lineare Abbildungen und Koordinatentransformationen

09. Lineare Abbildungen und Koordinatentransformationen 09. Lineare Abbildungen und Koordinatentransformationen Definition. Seien V und W Vektorräume. Unter einer linearen Abbildung versteht man eine Abbildung F : V W, v F v w mit folgender Eigenschaft: F λ

Mehr

3. Elastizitätsgesetz

3. Elastizitätsgesetz 3. Elastizitätsgesetz 3.1 Grundlagen 3.2 Isotropes Material 3.3 Orthotropes Material 3.4 Temperaturdehnungen 1.3-1 3.1 Grundlagen Elastisches Material: Bei einem elastischen Material besteht ein eindeutig

Mehr

2.3.4 Drehungen in drei Dimensionen

2.3.4 Drehungen in drei Dimensionen 2.3.4 Drehungen in drei Dimensionen Wir verallgemeinern die bisherigen Betrachtungen nun auf den dreidimensionalen Fall. Für Drehungen des Koordinatensystems um die Koordinatenachsen ergibt sich 1 x 1

Mehr

2.1.8 Mohrscher Spannungskreis

2.1.8 Mohrscher Spannungskreis ..8 Mohrscher pannungskreis (Mohr 88) Drehung des Koordinatensystems (D): íj τ τ cosθ sinθ sinθ cosθ τ τ cosθ sinθ sinθ cosθ Ergebnis (allgemein): τ τ ( x - x ) Gleichung der Form y r alle äquivalenten

Mehr

Mechanische Spannung und Elastizität

Mechanische Spannung und Elastizität Mechanische Spannung und Elastizität Wirken unterschiedliche Kräfte auf einen ausgedehnten Körper an unterschiedlichen Orten, dann erfährt der Körper eine mechanische Spannung. F 1 F Wir definieren die

Mehr

Von der Halbleiterphysik zum Mikrosystem. Institut für Mikro- und Nanoelektronik. Festkörperelektronik. Nanotechnologie. Elektroniktechnologie

Von der Halbleiterphysik zum Mikrosystem. Institut für Mikro- und Nanoelektronik. Festkörperelektronik. Nanotechnologie. Elektroniktechnologie Von der Halbleiterphysik zum Mikrosystem Institut für Mikro- und Nanoelektronik Festkörperelektronik Nanotechnologie Elektroniktechnologie Elektronische Schaltungen und Systeme Mikro- und nanoelektronische

Mehr

Einleitung 2. 1 Koordinatensysteme 2. 2 Lineare Abbildungen 4. 3 Literaturverzeichnis 7

Einleitung 2. 1 Koordinatensysteme 2. 2 Lineare Abbildungen 4. 3 Literaturverzeichnis 7 Sonja Hunscha - Koordinatensysteme 1 Inhalt Einleitung 2 1 Koordinatensysteme 2 1.1 Kartesisches Koordinatensystem 2 1.2 Polarkoordinaten 3 1.3 Zusammenhang zwischen kartesischen und Polarkoordinaten 3

Mehr

Elektromagnetische Felder und Wellen

Elektromagnetische Felder und Wellen Elektromagnetische Felder und Wellen Name: Matrikelnummer: Klausurnummer: Aufgabe 1: Aufgabe 2: Aufgabe 3: Aufgabe 4: Aufgabe 5: Aufgabe 6: Aufgabe 7: Aufgabe 8: Aufgabe 9: Aufgabe 10: Aufgabe 11: Aufgabe

Mehr

P 2 - Piezoelektrizität

P 2 - Piezoelektrizität 56 P2 Piezoelektrizität P 2 - Piezoelektrizität Ein Kristall, dessen Punktgruppe (Kristallklasse) kein Symmetriezentrum (Z) aufweist, kann prinzipiell piezoelektrisch sein Das heißt, der auf den Kristall

Mehr

Kapitel 2. Mathematische Grundlagen. Koordinatensystem

Kapitel 2. Mathematische Grundlagen. Koordinatensystem Kapitel 2 Mathematische Grundlagen 2.1 Koordinatensystem Zumeist werden in diesem Buch rechtwinkelige kartesische Koordinatensysteme verwendet. Sie sind durch drei zueinander orthogonale Koordinatenachsen

Mehr

Aus dem Beispiel lässt sich ablesen (und auch beweisen, siehe Mathematikvorlesung): Die Einheitsvektoren des Koordinatensystems K sind die Spalten der

Aus dem Beispiel lässt sich ablesen (und auch beweisen, siehe Mathematikvorlesung): Die Einheitsvektoren des Koordinatensystems K sind die Spalten der 7 Aus dem Beispiel lässt sich ablesen (und auch beweisen, siehe Mathematikvorlesung): Folgerung: Drehmatrizen haben die Determinante. Folgerung: Drehmatrizen sind orthogonale Matrizen, das heißt D = D

Mehr

Elektrotechnik: Übungsblatt 2 - Der Stromkreis

Elektrotechnik: Übungsblatt 2 - Der Stromkreis Elektrotechnik: Übungsblatt 2 - Der Stromkreis 1. Aufgabe: Was zeichnet elektrische Leiter gegenüber Nichtleitern aus? In elektrischen Leitern sind die Ladungen leicht beweglich, in Isolatoren können sie

Mehr

Elektrizitätslehre und Magnetismus

Elektrizitätslehre und Magnetismus Elektrizitätslehre und Magnetismus Othmar Marti 12. 06. 2008 Institut für Experimentelle Physik Physik, Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik Seite 2 Physik Klassische und Relativistische Mechanik 12. 06.

Mehr

VIII.1.4 Magnetisches Feld induziert durch einfache Ladungsströme

VIII.1.4 Magnetisches Feld induziert durch einfache Ladungsströme V. Grundbegriffe und -ergebnisse der Magnetostatik 5 V..4 Magnetisches Feld induziert durch einfache Ladungsströme m Fall eines Ladungsstroms durch einen dünnen Draht vereinfacht sich das ntegral im Biot

Mehr

Elektrizitätslehre und Magnetismus

Elektrizitätslehre und Magnetismus Elektrizitätslehre und Magnetismus Othmar Marti 16. 06. 2008 Institut für Experimentelle Physik Physik, Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik Seite 2 Physik Klassische und Relativistische Mechanik 16. 06.

Mehr

Übungsblatt 05 PHYS3100 Grundkurs IIIb (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt)

Übungsblatt 05 PHYS3100 Grundkurs IIIb (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt) Übungsblatt 05 PHYS300 Grundkurs IIIb Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt) Othmar Marti, othmar.marti@physik.uni-ulm.de) 5. 2. 2003 oder 2.. 2004 Aufgaben. In einer Leitung, die parallel zur x-achse

Mehr

Viele wichtige Operationen können als lineare Abbildungen interpretiert werden. Beispielsweise beschreibt die lineare Abbildung

Viele wichtige Operationen können als lineare Abbildungen interpretiert werden. Beispielsweise beschreibt die lineare Abbildung Kapitel 3 Lineare Abbildungen Lineare Abbildungen sind eine natürliche Klasse von Abbildungen zwischen zwei Vektorräumen, denn sie vertragen sich per definitionem mit der Struktur linearer Räume Viele

Mehr

Vektorprodukt. Der Vektor. ist zu a und b orthogonal, gemäß der. Rechten-Hand-Regel orientiert und hat die Länge c = a b

Vektorprodukt. Der Vektor. ist zu a und b orthogonal, gemäß der. Rechten-Hand-Regel orientiert und hat die Länge c = a b Vektorprodukt Der Vektor c = a b ist zu a und b orthogonal, gemäß der Rechten-Hand-Regel orientiert und hat die Länge c = a b sin( ( a, b)), die dem Flächeninhalt des von den Vektoren a und b aufgespannten

Mehr

4. Verzerrungen. Der Abstand von zwei Punkten ändert sich. Der Winkel zwischen drei Punkten ändert sich

4. Verzerrungen. Der Abstand von zwei Punkten ändert sich. Der Winkel zwischen drei Punkten ändert sich 4. Verzerrungen Wird ein Körper belastet, so ändert sich seine Geometrie. Die Punkte des Körpers ändern ihre Lage. Sie erfahren eine Verschiebung. Ist die Verschiebung für benachbarte Punkte unterschiedlich,

Mehr

Elektromagnetische Felder und Wellen: Klausur

Elektromagnetische Felder und Wellen: Klausur Elektromagnetische Felder und Wellen: Klausur 2011-1 Aufgabe 1: Aufgabe 2: Aufgabe 3: Aufgabe 4: Aufgabe 5: Aufgabe 6: Aufgabe 7: Aufgabe 8: Aufgabe 9: Aufgabe 10: Aufgabe 11: Aufgabe 12: Aufgabe 13: Aufgabe

Mehr

Elektromagnetische Felder und Wellen

Elektromagnetische Felder und Wellen Elektromagnetische Felder und Wellen Name: Vorname: Matrikelnummer: Aufgabe 1: Aufgabe 2: Aufgabe 3: Aufgabe 4: Aufgabe 5: Aufgabe 6: Aufgabe 7: Aufgabe 8: Aufgabe 9: Aufgabe 10: Aufgabe 11: Aufgabe 12:

Mehr

2.Übung Werkstoffmechanik Prof. K. Weinberg Universität Siegen Lehrstuhl für Festkörpermechanik

2.Übung Werkstoffmechanik Prof. K. Weinberg Universität Siegen Lehrstuhl für Festkörpermechanik Hookesches Gesetz.Übung Werkstoffmechanik Aus der lastostatik ist das Hookesche Gesetz im -dimensionalen Raum bekannt. σ = ε Wobei σ die Spannung, das lastizitätsmodul und ε die Dehnung oder allgemeiner

Mehr

Physikalische Chemie Praktikum. Elektrolyte: Dissoziationskonstante von Essigsäure λ von NaCl ist zu ermitteln

Physikalische Chemie Praktikum. Elektrolyte: Dissoziationskonstante von Essigsäure λ von NaCl ist zu ermitteln Hochschule Emden/Leer Physikalische Chemie Praktikum Vers. Nr. 16 April 2017 Elektrolyte: Dissoziationskonstante von Essigsäure λ von NaCl ist zu ermitteln In diesem Versuch soll die Dissoziationskonstante

Mehr

Kapitel 22. Aufgaben. Verständnisfragen. Rechenaufgaben

Kapitel 22. Aufgaben. Verständnisfragen. Rechenaufgaben Kapitel Aufgaben Verständnisfragen Aufgabe. Gegeben sind kartesische Tensoren r ij k, s ij und t ij. Welche der folgenden Größen sind koordinateninvariant? s ii, s ij t jk, s ij t ji, r ijj, s ij t jk

Mehr

Moderne Physik: Elemente der Festkörperphysik Wintersemester 2010/11 Übungsblatt 5 für den

Moderne Physik: Elemente der Festkörperphysik Wintersemester 2010/11 Übungsblatt 5 für den Moderne Physik: Elemente der Festkörperphysik Wintersemester 21/11 Übungsblatt 5 für den 14.1.211 14. Fermi-Energie von Elektronen in Metallen Bei T = K besitzt ein freies Elektronengas der Ladungsträgerdichte

Mehr

Othmar Marti Experimentelle Physik Universität Ulm

Othmar Marti Experimentelle Physik Universität Ulm PHYS3100 Grundkurs IIIb für Physiker Othmar Marti Experimentelle Physik Universität Ulm Othmar.Marti@Physik.Uni-Ulm.de Vorlesung nach Leisi, Tipler, Gerthsen, Känzig, Alonso-Finn Skript: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/gk3b-2002-2003

Mehr

Ferienkurs Experimentalphysik 2

Ferienkurs Experimentalphysik 2 Ferienkurs Experimentalphysik 2 Lösung Übungsblatt 2 Tutoren: Elena Kaiser und Matthias Golibrzuch 2 Elektrischer Strom 2.1 Elektrischer Widerstand Ein Bügeleisen von 235 V / 300 W hat eine Heizwicklung

Mehr

Aufgaben zu Kapitel 22

Aufgaben zu Kapitel 22 Aufgaben zu Kapitel Aufgaben zu Kapitel Verständnisfragen Aufgabe. Gegeben sind kartesische Tensoren r ij k, s ij und t ij. Welche der folgenden Größen sind koordinateninvariant? s ii, s ij t jk, s ij

Mehr

Brückenkurs Mathematik. Mittwoch Freitag

Brückenkurs Mathematik. Mittwoch Freitag Brückenkurs Mathematik Mittwoch 5.10. - Freitag 14.10.2016 Vorlesung 4 Dreiecke, Vektoren, Matrizen, lineare Gleichungssysteme Kai Rothe Technische Universität Hamburg-Harburg Montag 10.10.2016 0 Brückenkurs

Mehr

Energie eines bewegten Körpers (kinetische Energie) Energie eines rotierenden Körpers. Energie im elektrischen Feld eines Kondensators

Energie eines bewegten Körpers (kinetische Energie) Energie eines rotierenden Körpers. Energie im elektrischen Feld eines Kondensators Formeln und Naturkonstanten 1. Allgemeines Energieströme P = v F P = ω M P = U I P = T I S Energiestromstärke bei mechanischem Energietransport (Translation) Energiestromstärke bei mechanischem Energietransport

Mehr

Elektromagnetische Felder und Wellen: Klausur

Elektromagnetische Felder und Wellen: Klausur Elektromagnetische Felder und Wellen: Klausur 2012-2 Aufgabe 1: Aufgabe 2: Aufgabe 3: Aufgabe 4: Aufgabe 5: Aufgabe 6: Aufgabe 7: Aufgabe 8: Aufgabe 9: Aufgabe 10: Aufgabe 11: Aufgabe 12: Aufgabe 13: Aufgabe

Mehr

Kristallstruktur und Mikrostruktur Teil I Vorlesung 6

Kristallstruktur und Mikrostruktur Teil I Vorlesung 6 Kristallstruktur und Mikrostruktur Teil I Vorlesung 6 Teil I: Zotov 1 Koordinatensysteme, Das Raumgitter, Das reziproke Gitter, Der Metrik-Tensor 2 Abstrakte Gruppen, Symmetrieoperationen, Punktsymmetrie

Mehr

6.2.6 Ohmsches Gesetz ******

6.2.6 Ohmsches Gesetz ****** 6..6 ****** Motivation Das Ohmsche Gesetz wird mithilfe von verschiedenen Anordnungen von leitenden Drähten untersucht. Experiment 6 7 8 9 0 Abbildung : Versuchsaufbau. Die Ziffern bezeichnen die zehn

Mehr

5.2 Drehimpuls, Drehmoment und Trägheitstensor

5.2 Drehimpuls, Drehmoment und Trägheitstensor 186 KAPITEL 5. STARRE KÖRPER 5. Drehimpuls, Drehmoment und Trägheitstensor Wie wir im vorhergehenden Abschnitt gesehen haben, besitzt ein starrer Körper 3 Freiheitsgrade zur Beschreibung seiner Position

Mehr

1 Die elastischen Konstanten 10 Punkte

1 Die elastischen Konstanten 10 Punkte 1 Die elastischen Konstanten 10 Punkte 1.1 Ein Würfel wird einachsig unter Zug belastet. a) Definieren Sie durch Verwendung einer Skizze den Begriff der Spannung und der Dehnung. b) Der Würfel werde im

Mehr

2 Bauelemente auf der Basis von Halbleiterwiderständen

2 Bauelemente auf der Basis von Halbleiterwiderständen Der pieoresistive Drucksensor 2-2 auelemente auf der asis von Halbleiterwiderständen a) Dehnungsverhalten Kraftsensoren, Drucksensoren, eschleunigungssensoren b) Temperaturverhalten Temperatursensoren

Mehr

Das Ohmsche Gesetz. Selina Malacarne Nicola Ramagnano. 1 von 15

Das Ohmsche Gesetz. Selina Malacarne Nicola Ramagnano. 1 von 15 Das Ohmsche Gesetz Selina Malacarne Nicola Ramagnano 1 von 15 21./22. März 2011 Programm Spannung, Strom und Widerstand Das Ohmsche Gesetz Widerstandsprint bestücken Funktion des Wechselblinkers 2 von

Mehr

ein geeignetes Koordinatensystem zu verwenden.

ein geeignetes Koordinatensystem zu verwenden. 1.13 Koordinatensysteme (Anwendungen) Man ist immer bemüht, für die mathematische Beschreibung einer wissenschaftlichen Aufgabe ( Chemie, Biologie,Physik ) ein geeignetes Koordinatensystem zu verwenden.

Mehr

Experimentalphysik 2

Experimentalphysik 2 Repetitorium zu Experimentalphysik 2 Ferienkurs am Physik-Department der Technischen Universität München Gerd Meisl 5. August 2008 Inhaltsverzeichnis 1 Übungsaufgaben 2 1.1 Übungsaufgaben....................................

Mehr

Elektromagnetische Felder und Wellen. Klausur Herbst Aufgabe 1 (5 Punkte) Aufgabe 2 (3 Punkte) Aufgabe 3 (5 Punkte) Aufgabe 4 (12 Punkte) Kern

Elektromagnetische Felder und Wellen. Klausur Herbst Aufgabe 1 (5 Punkte) Aufgabe 2 (3 Punkte) Aufgabe 3 (5 Punkte) Aufgabe 4 (12 Punkte) Kern Elektromagnetische Felder und Wellen Klausur Herbst 2000 Aufgabe 1 (5 Punkte) Ein magnetischer Dipol hat das Moment m = m e z. Wie groß ist Feld B auf der z- Achse bei z = a, wenn sich der Dipol auf der

Mehr

6.4.4 Elihu-Thomson ****** 1 Motivation

6.4.4 Elihu-Thomson ****** 1 Motivation V644 6.4.4 ****** 1 Motivation Ein als Sekundärspule dienender geschlossener Aluminiumring wird durch Selbstinduktion von der Primärspule abgestossen und in die Höhe geschleudert. Ein offener Aluminiumring

Mehr

1. Kinematik. 1.1 Lage 1.2 Geschwindigkeit. Starrkörperdynamik Prof. Dr. Wandinger. 2. Der starre Körper

1. Kinematik. 1.1 Lage 1.2 Geschwindigkeit. Starrkörperdynamik Prof. Dr. Wandinger. 2. Der starre Körper 1. Kinematik 1.1 Lage 1.2 Geschwindigkeit 2.1-1 Aus den Eigenschaften des starren Körpers folgt: Wird an einem beliebigen Punkt B des starren Körpers ein kartesisches Koordinatensystem Bξηζ aufgetragen,

Mehr

Aufgabenblatt zum Seminar 09 PHYS70357 Elektrizitätslehre und Magnetismus (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt, Nebenfach Physik)

Aufgabenblatt zum Seminar 09 PHYS70357 Elektrizitätslehre und Magnetismus (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt, Nebenfach Physik) Aufgabenblatt zum Seminar 9 PHYS7357 Elektrizitätslehre und Magnetismus Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt, Nebenfach Physik) Othmar Marti, othmar.marti@uni-ulm.de) 7. 6. 9 Aufgaben. Durch eine

Mehr

Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen

Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen Virtueller Vortrag von Andreas Kautsch und Andreas Litschauer im Rahmen der VO Festkörperphysik Grundlagen Outline elektrische Leitfähigkeit Gründe

Mehr

1 Allgemeine Grundlagen

1 Allgemeine Grundlagen Allgemeine Grundlagen. Gleichstromkreis.. Stromdichte Die Stromdichte in einem stromdurchflossenen Leiter mit der Querschnittsfläche A ist definiert als: j d d :Stromelement :Flächenelement.. Die Grundelemente

Mehr

1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat.

1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat. 1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat. übliche Beispiele: Ort r = r( x; y; z; t ) Kraft F Geschwindigkeit

Mehr

Mathematik II Frühjahrssemester 2013

Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Mathematik II Frühjahrssemester 213 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Kapitel 7: Lineare Algebra Kapitel 7.5: Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik

Mehr

Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren

Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren Mathematik II Frühlingsemester 215 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs215/other/mathematik2 biol Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/

Mehr

Vektoren - Basiswechsel

Vektoren - Basiswechsel Vektoren - Basiswechsel Grundprinzip Für rein geometrische Anwendungen verwendet man üblicherweise die Standardbasis. Damit ergibt sich in den Zahlenangaben der Koordinaten kein Unterschied zu einem Bezug

Mehr

Ferienkurs Elektrodynamik - Drehmomente, Maxwellgleichungen, Stetigkeiten, Ohm, Induktion, Lenz

Ferienkurs Elektrodynamik - Drehmomente, Maxwellgleichungen, Stetigkeiten, Ohm, Induktion, Lenz Ferienkurs Elektrodynamik - Drehmomente, Maxwellgleichungen, Stetigkeiten, Ohm, Induktion, Lenz Stephan Huber 19. August 2009 1 Nachtrag zum Drehmoment 1.1 Magnetischer Dipol Ein magnetischer Dipol erfährt

Mehr

FH Emden - FB Technik - Abt. Elektrot. & Informatik Teil A: Antennen Seite 1-1. A. Antennen J A

FH Emden - FB Technik - Abt. Elektrot. & Informatik Teil A: Antennen Seite 1-1. A. Antennen J A FH Emden - FB Technik - Abt. Elektrot. & Informatik Teil A: Antennen Seite 1-1 A. Antennen 1. Elektrischer Elementarstrahler ( Hertzscher Dipol ) Definition Querschnitt A mit konstanter Stromdichte J auf

Mehr

Aufgabe K1: Potential einer Hohlkugel ( = 11 Punkte)

Aufgabe K1: Potential einer Hohlkugel ( = 11 Punkte) Aufgabe K: Potential einer Hohlkugel ( + 7 + = Punkte) (a) Leiten Sie die integrale Form der Maxwell Gleichungen der Elektrostatik aus den entsprechenden differentiellen Gleichungen her. Differentielle

Mehr

5. Raum-Zeit-Symmetrien: Erhaltungssätze

5. Raum-Zeit-Symmetrien: Erhaltungssätze 5. Raum-Zeit-Symmetrien: Erhaltungssätze Unter Symmetrie versteht man die Invarianz unter einer bestimmten Operation. Ein Objekt wird als symmetrisch bezeichnet, wenn es gegenüber Symmetrieoperationen

Mehr

Aufgabenkatalog ET2 - v12.2. σ 1 σ 2

Aufgabenkatalog ET2 - v12.2. σ 1 σ 2 2 Strömungsfeld 2.1 Geschichtetes Medium Gegeben ist ein geschichteter Widerstand (Länge 2a) mit quadratischen Platten der Kantenlänge a, der vom Strom durchflossen wird. Der Zwischenraum habe wie eingezeichnet

Mehr

Piezoresistive Sensoren nutzen den Effekt, dass sich der spezifische Widerstand unter Druck ändert.

Piezoresistive Sensoren nutzen den Effekt, dass sich der spezifische Widerstand unter Druck ändert. Ferienakademie 24 Kurs 8: Mikroelektronik und Mikrosystemtechnik Schlüsseldisziplinen der heutigen Hochtechnologie Mikromechanische Drucksensoren Michelle Karg September 24 Mikromechanische Drucksensoren

Mehr

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag 9.6 $Id: quadrat.tex,v. 9/6/9 4:6:48 hk Exp $ 6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen 6. Symmetrische Matrizen Eine n n Matrix heißt symmetrisch wenn

Mehr

O. Sternal, V. Hankele. 4. Magnetismus

O. Sternal, V. Hankele. 4. Magnetismus 4. Magnetismus Magnetfelder N S Rotationsachse Eigenschaften von Magneten und Magnetfeldern Ein Magnet hat Nord- und Südpol Ungleichnamige Pole ziehen sich an, gleichnamige Pole stoßen sich ab. Es gibt

Mehr

Übungsaufgaben z. Th. Plattenkondensator

Übungsaufgaben z. Th. Plattenkondensator Übungsaufgaben z. Th. Plattenkondensator Aufgabe 1 Die Platten eines Kondensators haben den Radius r 18 cm. Der Abstand zwischen den Platten beträgt d 1,5 cm. An den Kondensator wird die Spannung U 8,

Mehr

Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme

Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme Lineares Gleichungssystem: Ax b, A R m n, x R n, b R m L R m R n Lx Ax Bemerkung b 0 R m Das Gleichungssystem heißt homogen a A0 0 Das LGS ist stets lösbar b Wenn

Mehr

Grundsätzliches Produkte Anwendungen in der Geometrie. Vektorrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015

Grundsätzliches Produkte Anwendungen in der Geometrie. Vektorrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015 Vektorrechnung Fakultät Grundlagen Juli 205 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Übersicht Grundsätzliches Grundsätzliches Vektorbegriff Algebraisierung der Vektorrechnung Betrag 2 Skalarprodukt Vektorprodukt

Mehr

Hier wurde die Jacobi-Determinante der ZylinderKoordinaten verwendet (det J = ρ). Wir führen zunächst die ρ-integration durch: (R 2 H sin 2 φ )

Hier wurde die Jacobi-Determinante der ZylinderKoordinaten verwendet (det J = ρ). Wir führen zunächst die ρ-integration durch: (R 2 H sin 2 φ ) b) Für einen Zylinder bieten sich Zylinderkoordinaten an. Legt man den Ursprung in den Schwerpunkt und die z- bzw. x 3 - Achse entlang der Zylinderachse, verschwinden alle Deviationsmomente. Dies liegt

Mehr

Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra

Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 1 /27 Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra 8. Das Skalarprodukt, metrische

Mehr

Lösung für Blatt 7,,Elektrodynamik

Lösung für Blatt 7,,Elektrodynamik Institut für Theoretische Physik, Universität Zürich Lösung für Blatt 7,,Elektrodynamik Prof. Dr. T. Gehrmann Blatt 7 FS 213 Aufgabe 1 Induktion im Magnetfeld Nach dem Faraday schen Induktionsgesetz induziert

Mehr

Hall-Eekt von Germanium

Hall-Eekt von Germanium Hall-Eekt von Germanium Fortgeschrittenen Praktikum II Zusammenfassung Äuÿere Felder (elektrische Felder, Magnetfelder oder Temperaturgradienten-Felder) beeinussen das elektronische System eines Festkörpers

Mehr

Lineare Algebra: Theorie und Anwendungen

Lineare Algebra: Theorie und Anwendungen Lineare Algebra: Theorie und Anwendungen Sommersemester 2012 Bernhard Burgeth Universität des Saarlandes c 2010 2012, Bernhard Burgeth 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 2 1 Vektoren in der Ebene und

Mehr

Elektrizitätslehre 2.

Elektrizitätslehre 2. Elektrizitätslehre. Energieumwandlung (Arbeit) im elektrischen Feld Bewegung einer Ladung gegen die Feldstärke: E s Endposition s Anfangsposition g W F Hub s r F Hub r Fq FHub Eq W qes W ist unabhängig

Mehr

Einführung in die Physik II für Studierende der Naturwissenschaften und Zahnheilkunde VL # 14,

Einführung in die Physik II für Studierende der Naturwissenschaften und Zahnheilkunde VL # 14, Einführung in die Physik II für Studierende der Naturwissenschaften und Zahnheilkunde VL # 14, 20.05.2009 Vladimir Dyakonov Experimentelle Physik VI dyakonov@physik.uni-wuerzburg.de Professor Dr. Vladimir

Mehr

Theoretische Physik 1, Mechanik

Theoretische Physik 1, Mechanik Theoretische Physik 1, Mechanik Harald Friedrich, Technische Universität München Sommersemester 2009 Mathematische Ergänzungen Vektoren und Tensoren Partielle Ableitungen, Nabla-Operator Physikalische

Mehr

Vom Spannungstensor zum Impulsstrom

Vom Spannungstensor zum Impulsstrom Vom Spannungstensor zum Impulsstrom Physikalische Grundpraktika FU-Berlin Quelle: Skript zur Mechanik, Herrmann Welche Größe wird durch den Pfeil symbolisiert? Wie hängt die Größe (formal) mit anderen

Mehr

TP2: Elektrodynamik WS Arbeitsblatt 10 21/ Dipole und Multipole in stationären Feldern

TP2: Elektrodynamik WS Arbeitsblatt 10 21/ Dipole und Multipole in stationären Feldern TP2: Elektrodynamik WS 2017-2018 Arbeitsblatt 10 21/22.12. 2017 Dipole und Multipole in stationären Feldern Die Multipolentwicklung ist eine hilfreiche Näherung zur Lösung der Poisson Gleichung, wenn eine

Mehr

C orthogonal und haben die Länge 1). Dann ist die Länge von w = x u + y v gegeben durch w 2 Def. = w,w =

C orthogonal und haben die Länge 1). Dann ist die Länge von w = x u + y v gegeben durch w 2 Def. = w,w = 1 v Die Länge Def. Sei (V,, ) ein Euklidscher Vektorraum. Für jeden Vektor v V heißt die Zahl v,v die Länge von v und wird v bezeichnet. Bemerkung. Die Länge des Vektors ist wohldefiniert, da nach Definition

Mehr

1. Zug und Druck in Stäben

1. Zug und Druck in Stäben 1. Zug und Druck in Stäben Stäbe sind Bauteile, deren Querschnittsabmessungen klein gegenüber ihrer änge sind: D Sie werden nur in ihrer ängsrichtung auf Zug oder Druck belastet. D Prof. Dr. Wandinger

Mehr

3.4 Gradient, Divergenz, Rotation in anderen Koordinaten

3.4 Gradient, Divergenz, Rotation in anderen Koordinaten 3.3.5 Rechenregeln Für Skalarfelder f, g und Vektorfelder v, w gelten die Beziehungen fg) = f g + g f v w) = v ) w + w ) v + v w) + w v) f v) = f v + v f v w) = w v) v w) 3.5a) 3.5b) 3.5c) 3.5d) f) = div

Mehr

6.3 Hauptachsentransformation

6.3 Hauptachsentransformation Im Wintersemester 6/7 wurde in der Vorlesung Höhere Mathematik für Ingenieurstudiengänge der folgende Algorithmus zur Hauptachsentransformation besprochen: 63 Hauptachsentransformation Die Matrizen, die

Mehr

Theoretische Mechanik

Theoretische Mechanik Prof. Dr. R. Ketzmerick/Dr. R. Schumann Technische Universität Dresden Institut für Theoretische Physik Sommersemester 2008 Theoretische Mechanik 9. Übung 9.1 d alembertsches Prinzip: Flaschenzug Wir betrachten

Mehr

Elastizitätslehre. Verformung von Körpern

Elastizitätslehre. Verformung von Körpern Baustatik II Seite 1/7 Verformung von Körpern 0. Inhalt 0. Inhalt 1 1. Allgemeines 1 2. Begriffe 2 3. Grundlagen 2 4. Elastische Verformungen 3 4.1 Allgemeines 3 4.2 Achsiale Verformungen und E-Modul 3

Mehr

Blatt 12: Satz von Gauss, Satz von Stokes

Blatt 12: Satz von Gauss, Satz von Stokes Fakltät für Physik Jan on Delft, Katharina Stadler, Frake Scharz T0: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 203/4 http://homepages.physik.ni-menchen.de/~ondelft/lehre/3t0/ Blatt 2: Satz on Gass, Satz on Stokes

Mehr

Wichtig!!!! Nur klare, übersichtliche Lösungen werden gewertet!!!!

Wichtig!!!! Nur klare, übersichtliche Lösungen werden gewertet!!!! Experimentalphysik II SoSem 2009 Klausur 20.07.2009 Name:... Matrikelnummer:... Raum / Platznummer... nur für die Korrektoren: Studienrichtung, -ziel (bitte ankreuzen): Aufgabe Punkte Physik 1-10... Nanostrukturtechnik

Mehr

a 2β... a n ω alle Permutationen von α β γ... ω a 3 γ ( 1) k a 1α

a 2β... a n ω alle Permutationen von α β γ... ω a 3 γ ( 1) k a 1α Mathematik 1 - Übungsblatt 7 Lösungshinweise Tipp: Verwenden Sie zur Kontrolle Scilab, wo immer es möglich ist. Aufgabe 1 (Definitionsformel für Determinanten) Determinanten quadratischer Matrizen sind

Mehr

Theoretischen Physik II SS 2007 Klausur II - Aufgaben und Lösungen

Theoretischen Physik II SS 2007 Klausur II - Aufgaben und Lösungen Theoretischen Physik II SS 007 Klausur II - Aufgaben und Lösungen Aufgabe Hohlleiter Gegeben sei ein in z-richtung unendlich langer, gerader Hohlleiter (Innenradius R/3, Außenradius R), der einen Stromfaden

Mehr

Elektromagnetische Felder und Wellen: Lösung zur Klausur

Elektromagnetische Felder und Wellen: Lösung zur Klausur Elektromagnetische Felder und Wellen: zur Klausur 2014-2 1 Aufgabe 1 ( 7 Punkte) Eine ebene Welle der Form E = (E x, ie x, 0) exp{i(kz + ωt)} trifft aus dem Vakuum bei z = 0 auf ein Medium mit ε = 6 und

Mehr

Einführung Vektoralgebra VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen. October 6, 2007

Einführung Vektoralgebra VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen. October 6, 2007 Hochschule Esslingen October 6, 2007 Overview Einführung 1 Einführung 2 Was sind Vektoren? Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen: Strecken mit gleichem Betrag, gleicher Richtung und Orientierung.

Mehr

Übungsblatt 03 (Hausaufgaben)

Übungsblatt 03 (Hausaufgaben) Übungsblatt 03 Hausaufgaben Elektrizitätslehre und Magnetismus Bachelor Physik Bachelor Wirtschaftsphysik Lehramt Physik 0.05.008 Aufgaben. Gegeben sind Ladungen + am Orte a; 0; 0 und a; 0; 0: a Berechnen

Mehr

1 Elektrostatik Elektrische Feldstärke E Potential, potentielle Energie Kondensator... 4

1 Elektrostatik Elektrische Feldstärke E Potential, potentielle Energie Kondensator... 4 Inhaltsverzeichnis 1 Elektrostatik 3 1.1 Elektrische Feldstärke E............................... 3 1.2 Potential, potentielle Energie............................ 4 1.3 Kondensator.....................................

Mehr

1 Elektrostatik TUM EM-Tutorübung SS 10. Formelsammlung EM SS Fabian Steiner, Paskal Kiefer

1 Elektrostatik TUM EM-Tutorübung SS 10. Formelsammlung EM SS Fabian Steiner, Paskal Kiefer TUM EM-Tutorübung SS 1 1.5.21 Formelsammlung EM SS 21 Diese Formelsammlung dient nur zur Orientierung und stellt keinen nspruch auf ollständigkeit. Zudem darf sie während der Prüfung nicht benutzt werden,

Mehr

Übungen zur Klassischen Theoretischen Physik III (Theorie C Elektrodynamik) WS 12-13

Übungen zur Klassischen Theoretischen Physik III (Theorie C Elektrodynamik) WS 12-13 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Übungen zur Klassischen Theoretischen Physik III Theorie C Elektrodynamik WS 2-3 Prof. Dr. Alexander Mirlin Blatt Dr.

Mehr

Elektrizitätslehre und Magnetismus

Elektrizitätslehre und Magnetismus Elektrizitätslehre und Magnetismus Othmar Marti 19. 05. 2008 Institut für Experimentelle Physik Physik, Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik Seite 2 Physik Klassische und Relativistische Mechanik 19. 05.

Mehr

Elektrizitätslehre und Magnetismus

Elektrizitätslehre und Magnetismus Elektrizitätslehre und Magnetismus Othmar Marti 09. 06. 2008 Institut für Experimentelle Physik Physik, Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik Seite 2 Physik Klassische und Relativistische Mechanik 09. 06.

Mehr

Physikalisches Praktikum, FH Münster Prof. Dr.H.-Ch.Mertins / Dipl.-Ing. M. Gilbert

Physikalisches Praktikum, FH Münster Prof. Dr.H.-Ch.Mertins / Dipl.-Ing. M. Gilbert Physikalisches Praktikum, FH Münster Prof. Dr.H.-Ch.Mertins / Dipl.-ng. M. Gilbert 6.08.008 Ohmsches Gesetz & nnenwiderstand ersuch Nr.: E0 (Pr_E_E0_nnenwiderstand) Praktikum: FB 0 Plätze: 3. Ziel n diesem

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 3 Geometrie Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mi 8.10.2008 1 Geometrie des Dreiecks 2 Vektoren Länge eines Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt

Mehr

Elektrotechnik: Zusatzaufgaben

Elektrotechnik: Zusatzaufgaben Elektrotechnik: Zusatzaufgaben 1.1. Aufgabe: Rechnen Sie die abgeleiteten Einheiten der elektrischen Spannung, des elektrischen Widerstandes und der elektrischen Leistung in die Basiseinheiten des SI um.

Mehr

Gleichstromkreis. 2.2 Messgeräte für Spannung, Stromstärke und Widerstand. Siehe Abschnitt 2.4 beim Versuch E 1 Kennlinien elektronischer Bauelemente

Gleichstromkreis. 2.2 Messgeräte für Spannung, Stromstärke und Widerstand. Siehe Abschnitt 2.4 beim Versuch E 1 Kennlinien elektronischer Bauelemente E 5 1. Aufgaben 1. Die Spannungs-Strom-Kennlinie UKl = f( I) einer Spannungsquelle ist zu ermitteln. Aus der grafischen Darstellung dieser Kennlinie sind Innenwiderstand i, Urspannung U o und Kurzschlussstrom

Mehr

Warum Halbleiter verstehen?

Warum Halbleiter verstehen? 7.1 Warum Halbleiter verstehen? In der Vorlesung Elektronische Schaltungen haben Sie die Kennlinien verschiedener Halbleiterbauelemente kennen gelernt: Dioden, Bipolare Transistoren, Feldeffekttransistoren

Mehr

Technische Assistenten Zwischenprüfung Elektrotechnik Teil A 2000/2001

Technische Assistenten Zwischenprüfung Elektrotechnik Teil A 2000/2001 ZP 1/11 Aufgabe 1: Ergänzen Sie die Tabelle sinnvoll! Formelbuchstabe Größe Einhe i- tenabkürzung Einheit Strecke I s Widerstand Volt kg Joule P Wirkungsgrad Hertz Aufgabe 2: Ergänzen Sie die Tabelle sinnvoll!

Mehr

1 Ableitungen. Definition: Eine Kurve ist eine Abbildung γ : I R R n, γ besteht also aus seinen Komponentenfunktionen. a 1 + tx 1. eine Kurve.

1 Ableitungen. Definition: Eine Kurve ist eine Abbildung γ : I R R n, γ besteht also aus seinen Komponentenfunktionen. a 1 + tx 1. eine Kurve. 1 Ableitungen Definition: Eine Kurve ist eine Abbildung γ : I R R n, γ besteht also aus seinen Komponentenfunktionen γ 1 (t) γ(t) = γ n (t) Bild(γ) = {γ(t) t I} heißt auch die Spur der Kurve Beispiel:1)

Mehr

Geometrische Algebra

Geometrische Algebra Geometrische Algebra Florian Jung Institut für Physik, WA THEP Universität Mainz Klausurtagung des Graduiertenkollegs Bullay, 13. September 2006 Florian Jung: Geometrische Algebra 1 / 24 Gliederung Grundlagen

Mehr

Lehrstuhl für Technische Elektrophysik Technische Universität München

Lehrstuhl für Technische Elektrophysik Technische Universität München Lehrstuhl für Technische Elektrophysik Technische Universität München Tutorübungen zu "Elektromagnetische Feldtheorie II" (Prof. Wachutka) SS9 Blatt 1 Aufgabe: Ebene Wellen Im Vakuum, daß heißt die Leitfähigkeit

Mehr

Vektoren, Vektorräume

Vektoren, Vektorräume Vektoren, Vektorräume Roman Wienands Sommersemester 2010 Mathematisches Institut der Universität zu Köln Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester 2010

Mehr

Elektromagnetische Feldtheorie 1

Elektromagnetische Feldtheorie 1 Diplom-Vorprüfung Elektrotechnik und Informationstechnik Termin Sommersemester 09 Elektromagnetische Feldtheorie 1 Donnerstag, 17. 09. 2009, 9:00 10:00 Uhr Zur Beachtung: Zugelassene Hilfsmittel: Originalskript

Mehr

Korrelationsmatrix. Statistische Bindungen zwischen den N Zufallsgrößen werden durch die Korrelationsmatrix vollständig beschrieben:

Korrelationsmatrix. Statistische Bindungen zwischen den N Zufallsgrößen werden durch die Korrelationsmatrix vollständig beschrieben: Korrelationsmatrix Bisher wurden nur statistische Bindungen zwischen zwei (skalaren) Zufallsgrößen betrachtet. Für den allgemeineren Fall einer Zufallsgröße mit N Dimensionen bietet sich zweckmäßiger Weise

Mehr