11. Übungsblatt zur Mathematik II für MB

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1 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. U. Reif R. Hartmann, T. Koch SS Übungsblatt zur Mathematik für MB Aufgabe 5 ntervall im R egeben sei das ntervall { (x, y, z) R : π x π, y, z π}. Berechnen Sie x sin(xy + z) d(x, y, z). x sin(xy + z) d(x, y, z) π π π/ π π π/ π π π/ π π/ π π/ π π/ π x sin(xy + z) dydzdx [ cos(xy + z)] y y dzdx cos(x + z) + cos(z) dzdx [sin(z) sin(x + z)] zπ z dx sin(x) sin(x + π) dx [ cos(x) + cos(x + π)] xπ xπ/. x sin(xy + z) dzdydx Aufgabe 6 Einheitsdreieck Sie haben das Dreieck mit Eckpunkten A (, ), B (, 4) und C (, ) vorliegen. Desweiteren ist die Funktion [ ] [ ] f(x, y) x y x [x, y] y gegeben. a) Berechnen Sie die ntegrale Vol() dx, f(x)dx auf direktem Wege, indem Sie projizierbare Mengen nach.5 des Skriptes verwenden.

2 . Übung Mathematik für MB b) Vereinfachen Sie das ntegrationsgebiet mithilfe der Substitutionsregel aus.9 des Skripts. Bestimmen Sie hierzu explizit eine Matrix M R so, dass z Mz das Einheitsdreieck (, ), (, ), (, ) auf abbildet. Sie können den Flächeninhalt des Einheitsdreiecks leicht angeben. Was erhalten Sie in Abhängigkeit von M? a) Wir haben folgende Situation: 4 y B y 4 x y 5x C y x A x Also gilt F dx 4x x F (x, y)dydx + 4x 5x F (x, y)dydx. Für die ntegrale erhält man sowohl für F als auch F x y den Wert /. b) Die Spalten von M sind die Bilder[ der Basisvektoren. ] Wenn (, ) T auf A und (, ) T auf B abgebildet wird erhält man M. Der Flächeninhalt des Einheitsdreiecks ist /. 4 Somit ist Vol() det M /. n der Tat: det M. Falls die Studenten das transformierte ntegral über f auch noch mal berechnen möchten: ( ) M T diag(, )M. 7 Aufgabe 7 ntegralprodukt Berechnen Sie für den Wert des ntegrals B R {(x, y) R : x + y R } R B R e x in Abhängigkeit von R (, ). Bestimmen Sie weiterhin den renzwert lim R R. e y d(x, y)

3 . Übung Mathematik für MB Wir verwenden Polarkoordinaten. Dann gelten Daher ist R B polar R [, R] [, π), dxdy r drdϕ. π R Für R konvergiert dies gegen π. re r drdϕ π [e r] R dϕ π πe R. Aufgabe 8 Kreis weniger Quadrat Bestimmen Sie den Wert des ntegrals (x + y ) d(x, y) für den ntegrationsbereich { } (x, y) R : x oder y, x + y. Verwenden Sie Polarkoordinaten. Skizzieren Sie dazu zuerst den ntegrationsbereich. Die Menge ist ein Kreis mit Radius aus dem das offene Quadrat ], [ entfernt wurde. Also gilt (x + y ) d(x, y) (x + y ) d(x, y) (x + y ) d(x, y). Für das zweite ntegral erhält man (x + y ) d(x, y) [ ] y 4 y x + y dx dy y 8. y dx dy 4 y dy Für das erste ntegral benutzen wir Polarkoordinaten, d.h. die Transformation Es gilt det(j h (r, ϕ)) r. h : [, [ [, π[ R, h(r, ϕ) (r cos(ϕ), r sin(ϕ)) T. Somit ergibt sich mit dem Transformationssatz ( (x + y ) d(x, y) r cos(ϕ) + r sin(ϕ) ) r d(r, ϕ) h ( ) π [ ] r r dϕ dr πr4 π. Also erhält man (x + y ) d(x, y) π 8. r

4 . Übung Mathematik für MB Hausübung Aufgabe H7 ntegrale Berechnen Sie folgende ntegrale über dem jeweils angegebenen nterval: a) ( x + y + z ) dx mit : [, ] [, ] [, ], b) sin(x + y)dx mit : [, π ], c) max(x, y)dx mit : [, ]. (++ Punkte) a) Man erhält 7/. b) sin(x + y)d(x, y) π π π ( π ) sin(x + y)dy dx [ cos(x + y) ] π y dx [ cos(x) cos(x + π )] dx π sin x sin(x + π x ). π x c) m Skript findet sich in. das analoge Vorgehen für das Minimum über dem Definitionsgebiet [, ]. n unserem Fall ergibt sich max(x, y)dx [ x 4. ] x dy + y dy dx x Aufgabe H8 Ellipse & Flächeninhalt Berechnen Sie den Flächeninhalt der Ellipse ( Punkte) E a,b {(x, y) R : x a + y }, a, b >. b Sie können dabei abgewandelte Polarkoordinaten x ar cos ϕ, y br sin ϕ verwenden. Die Determinante von diag(a, b) ist ab. Mit dem Determinantenproduktsatz gelangt man somit zu dxdy abr dr dϕ. Nun ist E a,b dx π abπ. abr dr dϕ 4

5 . Übung Mathematik für MB Aufgabe H9 Zweites Dreieck Berechnen Sie das ntegral ( x 4xy + y ) dx ( Punkte) über dem Dreieck mit den Ecken (, ), (, ), (, ). Das ntegral berechnet sich zu (x ) x f(x, y)dydx + (x ) f(x, y)dydx 8. Aufgabe H4 Kugelkappe Durch die Menge K { (x, y, z) R : x + y + z, z } ( Punkte) wird eine Kugelkappe der Einheitskugel beschrieben. Veranschaulichen Sie diese Menge mit Hilfe einer Skizze und bestimmen Sie das Volumen von K. Hinweis: Zylinderkoordinaten sind möglicherweise hilfreich. z Verwende Zylinderkoordianten, d.h..5 x, y h : [, [ [, π[ R R, h(r, ϕ, z) (r cos(ϕ), r sin(ϕ), z) T. Es gilt det(j h (r, ϕ, z)) r. Somit ergibt sich für das Volumen von K K d(x, y, z) h (K) π π / r d(r, ϕ, z) [ r ] r z r [ z 6 z ] z z/ π z / dz dϕ dϕ π π r dr dz dϕ / 5 48 dϕ 5 4 π. ( z ) dz dϕ 5