Die Untersuchungen beschränken sich auf harmonische Wechselspannungen und -ströme

Transkript

1 WS 8. Wechselsröme 8.1 Einleiung n Wechselsromkreisen spielen neben Ohmschen Widersänden auch Kondensaoren (Kapaziäen) und Spulen (ndukiviäen) wichige Rolle. n diesem Versuch soll am Beispiel einfacher Schalkreise mi einem oder zwei Elemenen ihr Verhalen in Wechselsromkreisen und ihr Einfluss auf den Srom- und Spannungsverlauf als Funkion der Frequenz der angelegen Wechselspannung unersuch werden. Die Unersuchungen beschränken sich auf harmonische Wechselspannungen und -sröme V () = V 0 cos ω und () = 0 cos(ω φ) wobei V 0 = Spannungsampliude 0 = Sromampliude ω = 2πν = 2π/T = Kreisfrequenz φ = Phasenverschiebung zwischen angeleger Spannung und fliessendem Srom Der zeiliche Verlauf von Srom und Spannung wird mi Hilfe eines Kahodensrahloszilloskops (KO) dargesell. Sie bekommen dabei die Gelegenhei, sich mi der Funkionsweise und Bdienung eines Oszilloskops verrau zu machen. Oszilloskope finden verbreieen Einsaz in Forschung und ndusrie, z.b. zur Fehlersuche und Einsellung jedweder elekrischer Geräe (z.b. Radio, Fernseher, Mikrowellen- und Radargeräe). n der Medizin werden sie auch zur überwachung biologischer Funkionen, die sich in Form von elekrischen Signalen manifesieren, z.b. beim EEG (Elekroenzephalographie, Verfahren zur Messung und Aufzeichnung der elekr. Akiviä des Gehirns) und beim EKG (Elekrokardiographie, Mehode zur Aufzeichnung der elekrischen Vorgänge am Herzen) eingesez. Sichwore zu diesem Versuch sind: elekrische Sromkreise Messen von Spannung und Srom in Abhängigkei der Zei Kirchhoffsche Regeln Wechselsromwidersand mpedanz mpedanz von Ohmschem Widersand, Spule und Kondensaor 1

2 2 8. Wechselsröme 8.2 Theoreischer Teil mpedanz einer Spule Die Wechselsromeigenschafen einer Spule sind durch ihre ndukiviä L charakerisier. Die ndukiviä is durch die Länge l der Spule, ihre Querschnisfläche A und die Windungszahl N besimm. Für eine lange Spule gil: L = µ 0 N 2 A l [L] = 1 V s A = 1 H (Henry) (8.1) Dabei is µ 0 = 4π 10 7 (Vs/Am) die sogenanne ndukionskonsane. Wird ein magneisierbarer Kern in die Spule geschoben, so gil L = µµ 0 N 2 A l wobei µ die magneische Permeabiliä des eingeführen Maerials is. Da z.b. für Eisen µ 1 is, kann die ndukiviä der Spule auf diese Weise sark vergrösser werden. Ein einfacher Schalkreis, besehend aus einem Wechselspannungsgeneraor, der eine harmonische Spannung V () = V 0 cos ω erzeug, und einer Spule der ndukiviä L is in Abbildung 8.1 dargesell. Die Spule soll als ideal angenommen werden, das heiss ihr Ohmscher Widersand R wird vernachlässig. Anwendung der 2. Kirchhoffschen Regel (Maschenregel) auf diesen Schalkreis liefer den Zusammenhang zwischen der Spannung V () und dem Srom (): V 0 cos ω L d d = 0 Abbildung 8.1: Sromkreis mi Spule der ndukiviä L. Durch einmalige negraion ergib sich die Lösung dieser Differenialgleichung zu: L () = V 0 ω L sin ω = V 0 ωl cos(ω φ) mi φ = +π 2 (8.2) Der Srom is also gegen die Spannung um die Phase φ = π/2 phasenverschoben (vgl. Abbildung 8.2). Die Ampliude des Wechselsroms is 0 = V 0 /(ωl). Ein Vergleich mi der allgemeinen Definiion des elekrischen Widersandes ( = V/R) zeig, dass hier die Grösse ωl die Rolle eines Widersandes spiel. Man nenn Z L = ωl (8.3) den Wechselsromwidersand, bzw. die mpedanz einer idealen Spule der ndukiviä L. Sie nimm proporional zur Frequenz der Wechselspannung zu.

3 8.2. THEORETSCHER TEL 3 V V 0 V 0 ωl φ ω = 0 cos (ω -φ) Abbildung 8.2: Spannung und Srom in Abhängigkei von der Zei bei einer Spule. Allgemein wird der Wechselsromwidersand für ein Elemen i definier als Z i = V 0 = Spannungsampliude 0 Sromampliude (8.4) Frage 1: Eine 10 cm lange Spule habe eine Querschnisfläche A von 4 cm 2 und 2000 Windungen. Wie gross is ihre ndukiviä L? mpedanz eines Kondensaors Wie die ndukiviä sell auch der Kondensaor einen Wechselsromwidersand dar. Für den in Abbildung 8.3 dargesellen Sromkreis aus Wechselspannungsgeneraor und Kondensaor laue die 2. Kirchhoffsche Regel: C V 0 cos ω = V C = Q C Einmaliges Ableien nach der Zei ergib ωv 0 sin ω = ( ) dq = C d und dami: Abbildung 8.3: Sromkreis mi Kondensaor der Kapaziä C. () = ωc V 0 sin ω = ωc V 0 cos (ω φ) mi φ = π 2 Der Srom is also gegen die Spannung um eine Phase φ = π/2 phasenverschoben (vgl. Abbildung 8.4) und die mpedanz Z C eines Kondensaors der Kapaziä C is: (8.5) Z C = 1 ωc (8.6) Sie is umgekehr proporional zur Frequenz ω der Wechselspannung.

4 4 8. Wechselsröme V V 0 V 0 ω C φ ω = 0 cos (ω -φ) Abbildung 8.4: Spannung und Srom in Abhängigkei von der Zei bei einem Kondensaor Kahodensrahloszilloskop (KO) m Versuch sollen alle Sröme und Spannungen mi einem KO gemessen werden. Der prinzipielle Aufbau eines KO is in Abbildung 8.5 dargesell. y Kahode Anode Plaenpaare Elekronensrahl Leuchschirm x Heizung Leuchfleck _ + Vy V x Abbildung 8.5: Schemaische Darsellung von einem Kahodensrahloszilloskop. n einem evakuieren Glaskolben werden die aus einer geheizen Kahode (glühender Drah) emiieren Elekronen gegen eine mi einem kleinen Loch versehene Anode beschleunig. Die durch das Loch reenden Elekronen bilden einen feinen Elekronensrahl. Dieser Srahl durchläuf nacheinander zwei senkrech zueinandersehende Plaenpaare und riff schliesslich auf den Leuchschirm, wo er einen Leuchfleck erzeug. Wird an eines der Plaenpaare eine Spannung angeleg, so söss die negaiv geladene Plae den Srahl ab, während die posiive ihn anzieh. Dadurch wird der Srahl in horizonaler respekive verikaler Richung abgelenk. Die Ablenkung is jeweils proporional zur angelegen Spannung: x V x und y V y. Für den normalen Gebrauch des Oszilloskops wird an das x-plaenpaar eine inern erzeuge sogenanne Sägezahnspannung angeleg, welche linear mi der Zei bis zu einem Maximalwer anseig und sehr rasch auf den Anfangswer zurückgeh (Abbildung 8.6). Dies bewirk, dass sich der Leuchfleck wiederhol mi konsaner Geschwindigkei von links nach rechs über den Schirm beweg und rasch wieder nach links zurücksprin. Leg man an das y-

5 8.2. THEORETSCHER TEL 5 V x Abbildung 8.6: Sägezahnspannung für x-ablenkung. Plaenpaar eine beliebige Spannung (z.b. eine harmonische Wechselspannung) an, so ergib die Kurve auf dem Schirm eine grafische Darsellung dieser Spannung als Funkion der Zei. Um gleichzeiig zwei Spannungen messen zu könenn, wird im Versuch ein 2-Srahl Oszilloskop verwende. So lassen sich z.b. Phasenverschiebungen leich darsellen. Heuzuage werden vermehr digiale Oszilloskope verwende. Diese verwandeln die angelegen Spannungen in digiale Were. Aus diesen werden dann die ensprechenden Kurven berechne und auf einem Bildschirm dargesell.

6 6 8. Wechselsröme 8.3 Experimeneller Teil Aufgabensellung Besimmen der ndukiviä einer Spule mi Eisenkern Besimmen der Kapaziä eines Kondensaors Unersuchen der Frequenzabhängigkei des Wechselsromwidersandes von Kondensaor und Spule Messprinzip Generaor KO (V Z ) Kanal 1 R Z KO (V R ) Kanal 2 Abbildung 8.7: Schalung für die Messung von Srom und Spannung mi dem KO. Mi dem KO lassen sich nur Spannungen direk messen. Ein Srom kann indirek über den Spannungsabfall an einem bekannen Ohmschen Widersand R gemessen werden: = V R R, 0 = V R0 R (8.7) Der Widersand R muss dabei wesenlich kleiner sein als die zu besimmende mpedanz Z, dami die Spannungsmessung an Z nich verfälsch wird. Für R Z is V Z +V R V Z und die Spannung an Z kann wie in Abbildung 8.7 skizzier gleichzeiig zum Srom gemessen und mi einem 2-Srahl KO dargesell werden. Lassen Sie sich die Bedienung des Oszilloskops vom Assisenen erklären und demonsrieren. Beachen Sie, dass die Aussenleier (Abschirmungen) der Eingänge des KO inern mieinander und mi Erde verbunden sind! Schliessen Sie also die Eingänge immer so an, dass die beiden Aussenleier zum gleichen Punk im Schalkreis führen.

7 8.3. EXPERMENTELLER TEL Besimmung der ndukiviä einer Spule mi Eisenkern Generaoreinsellung: Generaor KO (V L ) Kanal 1 L V 0 = 5V ν = 1000 Hz R = 22 Ω R KO (V R ) Kanal 2 Abbildung 8.8: Schalung zur Messung der ndukiviä der Spule. Beobachen Sie auf dem KO-Schirm die Phasenverschiebung zwischen Srom und Spannung, indem Sie die beiden Kurven übereinander schieben. Skizzieren Sie das Resula. Messen Sie mi dem KO die Ampliuden von V L und V R. Berechnen Sie nach Gleichung (8.7) die Sromampliude. Berechnen Sie dami Z L nach Gleichung (8.4) und L nach Gleichung (8.3). Benuzen Sie ω = 2πν Besimmung der Kapaziä eines Kondensaors Generaor KO (V C ) Kanal 1 C Generaoreinsellung: V 0 = 5V ν = 500Hz R = 22Ω R KO (V R ) Kanal 2 Abbildung 8.9: Schalung zur Messung der Kapaziä. Beobachen Sie auf dem KO-Schirm die Phasenverschiebung zwischen Srom und Spannung, indem Sie die beiden Kurven übereinander schieben. Skizzieren Sie das Resula. Messen Sie mi dem KO die Ampliuden von V C und V R. Berechnen nach Gleichung (8.7) die Sromampliude. Berechnen Sie dami Z C nach Gleichung (8.4) und C nach Gleichung (8.6). Benuzen Sie ω = 2πν.

8 8 8. Wechselsröme Frequenzabhängigkei von Z L und Z C Wiederholen Sie die obigen Messungen für Spule und Kondensaor als Funkion der Frequenz der angelegen Wechselspannung. Verwenden Sie die Spule mi Eisenkern. Wählen Sie folgende Frequenzwere für Z L : ν = 500, l000, 2000 und 3000 Hz für Z C : ν = 20, 50, 150, 250, 500 und 750 Hz Sellen Sie die Messwere in einer übersichlichen Tabelle zusammen. Berechnen Sie für jeden Frequenzwer Z L und Z C nach Gleichung (8.4) und sellen Sie Z L und Z C als Funkionen von ω auf Millimeerpapier auf Versuchsberich Der Versuchsberich soll das Folgende enhalen: Berechnung der ndukiviä (Frage l). Skizzen der Versuchsanordnungen. Skizzen der beobacheen Phasenverschiebungen bei Kapaziä und ndukiviä. Berechnung der gesuchen Kapaziä. Berechnung der gesuchen ndukiviä. Frequenzabhängigkei von Z L und Z C : Tabelle der Messwere grafische Darsellungen von Z L (ν) und Z C (ν)