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1 WS KV Chur Lehrabschlussprüfungen 008 für die Berufsmatura kaufmännische Richtung Mathematik schriftlich LÖSUNGEN Kandidatennummer Name Vorname Datum der Prüfung Bewertung mögliche erteilte Punkte Punkte. Aufgabe 9. Aufgabe 9 3. Aufgabe 4. Aufgabe 5. Aufgabe 3 6. Aufgabe 5. Aufgabe 8. Aufgabe 9. Aufgabe 8 Total 00 Note: Material Hilfsmittel Zeit Arbeitsblätter, Zusatzblätter Taschenrechner, Formelblatt 50 Minuten Hinweise Der Lösungsweg muss überall übersichtlich dargestellt werden; unbelegte Resultate werden nicht berücksichtigt! Mehrfachlösungen sind nicht gestattet; Ungültiges ist deutlich zu streichen. Die gültigen Schlussresultate sind doppelt zu unterstreichen. Alle Ausrechnungen und Resultate schreiben Sie auf diese Blätter, wenn nötig auch auf die Rückseite. Für reine Entwürfe und Versuche verwenden Sie das Zusatzpapier. Diese Prüfungsaufgabe darf erst ab 009 zu Übungszwecken im Unterricht verwendet werden.

2 . Rechnen mit Brüchen a) Berechnen Sie folgende Summe bzw. Differenz und vereinfachen Sie so weit wie möglich. a 3 b 9 a + b 5 a + b 3 6 a 3b 9a + b 5a b a 9b + 8a + 4b 5a + b + = = a 4b a b = 6 3 Pro Fehler Punkte Abzug 4 b) Berechnen Sie folgenden Quotienten und vereinfachen Sie so weit wie möglich = = Pro Fehler Punkte Abzug 5 Mathematik LAP 008 Seite /3 WS KV Chur

3 . Gleichungssysteme mit zwei Variablen Lösen Sie folgendes Gleichungssystem in der Grundmenge G = Q Q. I) 3 = + y II ) 6 + = 5 + y I) 3 = + y 6 II ) + = 5 + y { } Q { } D = Q \ \ II ) = 5 + y I + II) 8 + = = = 6 = 4 I) = = 5 y 5 y 4 8( y ) 5 = 5( y ) 8y 6 5 = 5y 0 3y = y y = L = ; 4 Definitionsmenge Lösungsmenge und y berechnen je 3 Punkte 6 Mathematik LAP 008 Seite 3/3 WS KV Chur

4 3. Potenzen und Wurzeln a) Berechnen Sie folgenden Ausdruck: y ( 35 y ) : 3 3 a b y 35 y a b ( 35 y ) : 3 3 = a b y a b y 00 = a b y Pro Fehler Punkte Abzug 4 b) Lösen Sie die folgende Wurzelgleichung. Die Definitionsmenge und die Lösungsmenge sind anzugeben. + + = 4 { R } D = + + = 4 + = 4 + = = 8 9 = 4( ) = 4 = 4 L = 4 Definitionsmenge bestimmen, pro Fehler Punkte Abzug 5 Mathematik LAP 008 Seite 4/3 WS KV Chur

5 4. Logarithmen a) Drücken Sie den folgenden logarithmischen Term durch einen Logarithmus aus und vereinfachen Sie so weit als möglich: 3 log a log a log a a 3 log a log a loga a 6 log 6 log = log log = log a a a a a Pro Fehler Punkte Abzug 5 b) Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Gleichungen in der Grundmenge R. Die Definitionsmenge und die Lösungsmenge sind anzugeben. 4 3 = 4 D = R 3 4 = 3lg + (4 8 )lg = lg 4 8 = = L = 9 9 Definitionsmenge bestimmen, pro Fehler Punkte Abzug 5 Lösungsvariante: 3 ( ) 4 = = = 8 = 9 Mathematik LAP 008 Seite 5/3 WS KV Chur

6 5. Lineare Funktionen Von einem Fahrradhersteller kennen Sie folgende Zahlen: Stückzahl () Gesamtkosten in CHF Erlös in CHF 0 95' '990 04'930 Erlös, Kosten und Gewinn entwickeln sich linear. a) Wie lauten die Gleichungen für die Gesamtkostenfunktion (= Selbstkostenfunktion), die Erlösfunktion (= Nettoerlösfunktion) und die Gewinnfunktion (= Erfolgsfunktion). b) Zeichnen Sie die Funktionen in das vorgegebene Koordinatensystem ein. Alle drei Geraden sind anzuschreiben. c) Bei welcher Produktionszahl liegt die Gewinnschwelle (mengenmässige Nutzschwelle)? Wie hoch ist dort der Erlös (wertmässige Nutzschwelle)? Lösung a): Gesamtkosten Erlös 54'990 49'990 = 0m + 95'000 m = = '409 0 y = ' '000 04'930 = 0m m = '863 y = '863 Gewinn y = '000 Gesamtkosten Erlös und Gewinn je Punkt 4 Mathematik LAP 008 Seite 6/3 WS KV Chur

7 Lösung b): '000 CHF Selbstkosten Nettoerlös Gewinn Kosten Erlös Gewinn Stück Für jede richtige Gerade Punkt. 3 Lösung c): 95'000 = 454 = 09.5 Die Gewinnschwelle liegt bei 0 Stück. Der Erlös beträgt 0*863 = 39'30 CHF. ausrechnen Satz mit aufgerundetem Erlös Mathematik LAP 008 Seite /3 WS KV Chur

8 6. Quadratische Funktionen Gegeben sind folgende Funktionen: I) y = + II ) y = + a) Berechnen Sie die Nullstellen (Schnittpunkt mit der -Achse) der beiden Funktionen auf drei Dezimalstellen genau. Die Resultate sind mathematisch korrekt anzugeben; dies gilt auch für b) bis d). b) Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel. c) Zeichnen Sie die Graphen der beiden Funktionen in das vorgegebene Koordinatensystem. d) Berechnen Sie die Schnittpunkte der beiden Funktionen auf drei Dezimalstellen genau. Lösung a): 0 = + 5 = ± + = ± 4,, 5 5 = = 0.68 = =.68 0 = + = Nullstellen der Parabel: N (0.68;0) und N (-.68;0) Nullstelle der Geraden: N 3 (-;0) und ausrechnen je Punkt. N und N angeben N 3 Lösung b): 5 5 s = + = ys = 0.5 =.5 Scheitelpunkt der Parabel: S(-0.5;-.5) Scheitelpunkt Mathematik LAP 008 Seite 8/3 WS KV Chur

9 Lösung c): Parabel Gerade Parabel 3 Gerade Lösung d): = = 0, 3 ± ± 05 = = = = = = y = + =.453 y = + = 0. Schnittpunkte der Geraden mit der Parabel: P (0.906;.453) und P(-.656;0.) 3 ± 05 8 Pro Schnittpunkt Punkt; korrekte Darstellung P. 3 Mathematik LAP 008 Seite 9/3 WS KV Chur

10 . Ungleichungen Lösen Sie folgende Ungleichung in der Grundmenge der rationalen Zahlen D = Q \ 4;5 { } I) 5 > > 0 { } II ) 5 < < 0 < 4 III ) 5 > < 0 { } IV ) 5 < > 0 < 5 L = Q < 4 < 5 Definitionsmenge berechnen Zwei Fälle, die zu keiner leeren Menge führen 4 Lösungsmenge Lösungsvariante: 4 5 Fall Bereich 4 Lösung eff. Lösung 4 < 4 < < 5 5 < < < 5 { } Mathematik LAP 008 Seite 0/3 WS KV Chur

11 8. Lineare Optimierung Ein Harry Potter Buch wird in zwei Versionen gedruckt: Eine Paperback-Ausgabe und eine gebundene Ausgabe. Von der Paperback-Ausgabe sollen pro Tag mindestens 00 Eemplare, von der gebundenen Ausgabe mindestens 80 Stück produziert werden. Es sollen höchstens doppelt so viele gebundene Ausgaben wie Paperback-Ausgaben gedruckt werden. Aufgrund technischer Möglichkeiten können pro Tag höchstens 600 Paperback-Ausgaben oder '500 gebundene Ausgaben oder eine beliebige Kombination produziert werden, wobei die Summe der zwei prozentualen Anteile (Produktion in % der maimal möglichen Produktion) 00% nicht übersteigen darf. Der Gewinn pro Buch ist bei der Paperback-Ausgabe 9 CHF und bei der gebundenen Ausgabe 5 CHF. Die Geschäftsleitung strebt einen maimalen Gewinn an. a) Geben Sie die Definitionsmenge und die drei Ungleichungen, die zu den Bedingungen gehören an. gibt die Anzahl Paperback-Ausgaben und y die Anzahl gebundene Ausgaben an. Die vierte Bedingung ist gegeben, muss jedoch noch in das Diagramm eingezeichnet. b) Bestimmen Sie die Zielfunktion rechnerisch. c) Zeichnen Sie die drei Bedingungen in das vorgegebene Koordinatensystem ein (jeweils mit entsprechendem Richtungspfeil). Die Zielgerade zeichnen Sie gestrichelt ein. Das Lösungspolygon ist farblich oder durch Schraffur hervorzuheben. d) Bestimmen Sie grafisch (einzeichnen) und rechnerisch die Anzahl Paperback-Ausgaben und gebundene Ausgaben, die zu einem maimalen Gewinn führen. e) Wie gross ist der maimale Tagesgewinn? Lösung a): D = N 0 N 0 I) 00 II) 80 y III ) y y 5 IV ) + y '500 = Paperback Ausgaben y = Gebundene Ausgaben Definitionsmenge Bedingungen: je Punkt, Nr. III) Punkte 4 Lösung b): z = 9 + 5y 9 z 3 z y = + y = Zielfunktion Mathematik LAP 008 Seite /3 WS KV Chur

12 Lösung c bis e): 00 y / Stück geb. Ausgabe g4 g S ma z g3 g g g g3 g4 z / Stück Paperback Schnittpunkt von g3 und g4 bestimmen: 5 = = = 3000 = Zu = 333 gehört auf g3 der y-wert 666. Der Gewinn beträgt 9* *666 = '98 CHF Zu = 334 gehört auf g4 der y-wert 665. Der Gewinn beträgt 9* *665 = '98 CHF Der maimale Tagesgewinn von '98 CHF entsteht, wenn 333 Paperback-Ausgaben und 666 gebundene Ausgaben pro Tag hergestellt werden. Pro richtige Gerade ein Punkt 5 Polygon Koordinaten des Punkts der zum maimalen Gewinn führt Maimaler Tagesgewinn Mathematik LAP 008 Seite /3 WS KV Chur

13 9. Zinseszinsrechnungen Tamara hat bei der CS ein Guthaben von 50'000 CHF. Der Jahreszins beträgt.4%. Sandra hat bei der GKB ein Guthaben von 5'000 CHF. Der Jahreszins beträgt.8%. Für Aufgabe b und c gilt: Zinsen werden pro Jahr gutgeschrieben. a) Wie viel Geld hat Tamara nach 0 Jahren auf ihrem Konto? Das Ergebnis ist auf Rappen zu runden. Zinsen werden pro Quartal gutgeschrieben b) In wie vielen Jahren wird zum ersten Mal mindestens Sandra 30'000 CHF auf ihrem Konto haben? c) Wie hoch muss der Jahreszins sein, damit Sandra das Sparziel von 30'000 CHF in 0 Jahren erreicht? Der Jahreszins ist in Prozent mit zwei Dezimalstellen anzugeben. Lösung a: 80 K 0 = 50' = 4'063.3 In 0 Jahren hat Tamara 4'063.3 CHF auf ihrem Konto. auf Rp. gerundetes Resultat Lösung b: lg 30'000 lg5'000 n = = 5.0 lg.08 In 6 Jahren hat Sandra zum ersten Mal mindestens 30'000 CHF auf ihrem Konto. n=5.0 6 Jahre Lösung c: q 30'000 5' = = 0 ( ) p = 00 = 3.53% Bei einem Jahreszins von 3.53% erreicht Sandra das Sparziel von 30'000 CHF in 0 Jahren. q = 0 p=3.53% Mathematik LAP 008 Seite 3/3 WS KV Chur

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