19. Zinseszinsrechnungen

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1 19. Ziseszisrechuge 19.1 Eileitug Jede Beutzug vo fremdem apital für eie bestimmte Zeitraum ist mit oste verbude. Diese oste, die Zise, etspreche der Etschädigug des apitalehmers a de apitalgeber für die Beutzug des zur Verfügug gestellte Betrags. Der Zis wird im Normalfall eimal pro Jahr geschuldet. Adere Regeluge wie z.b. halbjährliche oder moatliche Verzisug sid erlaubt ud bei bestimmte reditforme auch üblich. a) apital Das apital ist der Betrag, der etweder ausgeliehe oder ivestiert wird. b) Zissatz Der Zissatz etspricht eiem Prozetsatz des apitals, der als Etschädigug geschuldet wird. Er bezieht sich ormalerweise ud ohe gegeteilige Abmachug auf ei gazes Jahr. Um bei der Fälligkeit der Zise keie Uklarheite aufkomme zu lasse, wird auch bei szise die Berechugsperiode ergäzt. Die bei us gebräuchliche Abkürzug ist: 5 % p.a. Der Zusatz "p.a." ist lateiisch (per aum) ud bedeutet "pro Jahr". Heute sid zwische de Parteie vereibarte Zissätze vo der Art des Darlehes sowie idividuelle Absprache abhägig. Der Zissatz darf jedoch 18 % (ato Zürich: 15 %) icht übersteige (Wucherzis). Zisformel: p Z 1 Zu beachte ist, dass für p ur die Zahl (ohe %-Zeiche) eigesetzt wird. Die Tatsache, dass es sich bei p um eie Zissatz (i %) hadelt, wird durch de Faktor 1 im Neer der Zisformel berücksichtigt. c) Zisbetrag Der Zisbetrag etspricht de oste für das apital i eiem bestimmte Zeitraum. Der Zisbetrag ka bezahlt oder mit dem apital verrechet werde. d) Verrechugssteuer (VST) Die eidgeössische Verrechugssteuer beträgt 35 % des Zisertrages ud wird durch die Bake vom Zisertrag des ude abgezoge ud a die Eidgeössische Steuerverwaltug überwiese. Durch die ehrliche ud korrekte Deklarierug des Zisertrages i der Steuererklärug ka die abgezogee Verrechugssteuer zurückgefordert werde. Eifachheitshalber verachlässige wir i der Fiazmathematik die Verrechugssteuer ud reche so, als ob der gaze Bruttozis auf dem oto gutgeschriebe würde. e) Ziseszis Wird der jeweils geschuldete Zisbetrag icht bezahlt, soder mit dem apital verrechet, verädert sich das apital um de Zisbetrag. Beim ächste Zistermi wird da der Zisbetrag vom eue apital berechet. Das heisst, der eue Zisbetrag wird icht ur vom Afagskapital, soder auch vom aufgelaufee Zis berechet. Dies et ma Ziseszis. f) Usaze Die Art der Berechug bei uterjähriger Ausleihugsdauer ist icht eiheitlich geregelt. Es bestehe Uterschiede zwische de Läder wie auch zwische eizele Fiazistitute. Ma uterscheidet zwische mehrere Usaze: schweizerisch britisch amerikaisch taggeau Tage je Moat 3 effektiv effektiv effektiv Tage pro Jahr effektiv Ziseszisrechuge 75

2 19.2 Eifacher Zis Für die eifache Zise gilt: Die Zise werde immer vom ursprügliche apital berechet ud vom Schulder bezahlt. Der Zisbetrag selber bleibt somit kostat (ausser es fidet eie Zissatzäderug statt). a) Formel für die Zisberechug szis Marchzis (auf Tagesbasis) Marchzis (auf Moatsbasis) Z p 1 Z p t 1 36 Z p M 1 12 Z Zis t Tage M Moate apital (1 Jahr 36 Tage) (1 Jahr 12 Moate à 3 Tage) p Zissatz (ohe %-Zeiche) b) Etwicklug des Zisbetrags Sie sieht für ei Afagskapital vo CHF 1'.--, bei eiem Zissatz vo 7 %, wie folgt aus: Zeitpukt (x) apital Afag Jahr Zisbetrag bei 7 % apital Ede Jahr Aufsummierter Zisbetrag (y) 1. Jahr 1' ' Jahr 1' ' Jahr 1' ' Jahr 1' ' Jahr 1' ' Jahr 1' ' Jahr 1' ' Jahr 1' ' Jahr 1' ' Jahr 1' ' y (CHF) Aufsummierter Zisbetrag 1' Zeit x () 76 Ziseszisrechuge

3 19.3 Ziseszis Für die Ziseszise gilt: Der Ziseszis wird immer vom ursprügliche apital sowie dem bis zu diesem Zeitpukt aufgelaufee Zis berechet. Die Berechugsgrudlage ädert sich demzufolge ach jedem Zistermi. Somit ehme die Zisbeträge kotiuierlich zu. a) Etwicklug des Zisbetrages ikl. Ziseszise Sie sieht für ei Afagskapital vo CHF 1'.--, bei eiem Zissatz vo 7 %, wie folgt aus: Zeitpukt (x) apital Afag Jahr Zisbetrag bei 7 % 1. Jahr 1'. 7. 1' Jahr 1' ' Jahr 1' ' apital Ede Jahr Aufsummierter Zisbetrag (y) 1' ' ' Jahr 1' ' Jahr 1' ' Jahr 1' ' Jahr 1' ' Jahr 1' ' Jahr 1' ' Jahr 1' ' y (CHF) Aufsummierter Zisbetrag 1' Zeit x () Ziseszisrechuge 77

4 Deutlicher sieht ma die expoetielle Etwicklug des Zisbetrags bei och höhere Zissätze, z.b. bei 15 %. Zeitpukt (x) apital Afag Jahr Zisbetrag bei 15 % apital Ede Jahr Aufsummierter Zisbetrag (y) 1. Jahr 1' ' Jahr 1' ' Jahr 1' ' Jahr 1' ' Jahr 1' '11.4 1' Jahr 2' ' ' Jahr 2' '66.5 1' Jahr 2' '59.5 2' Jahr 3' ' ' Jahr 3' '45.6 3'45.6 y (CHF) Aufsummierter Zisbetrag 3'25 3' 2'75 2'5 2'25 2' 1'75 1'5 1'25 1' Zisbetrag mit Ziseszis Zisbetrag ohe Ziseszis x () Zeit 78 Ziseszisrechuge

5 b) Herleitug der Formel für das Edkapital mit Ziseszise apital am Ede des 1. s ausklammer p p 1 wobei 1 apital ach 1 Jahr Afagskapital p Zissatz apital am Ede des 2. s 1 ausklammer 1 ersetze durch apital am Ede des 3. s 2 ausklammer 2 ersetze durch 1 p p 1 p 1 + p p p p p 1 p 1 + p p p Fazit: Die Formel für die Berechug des apitals ach lautet: p c) Rude vo Resultate i Frakebeträge Beim Bereche vo Ed- oder Afagskapitalie mit Ziseszisformel verachlässige wir die Tatsache, dass Bake bei der Zisgutschrift de Zisbetrag jeweils auf 5 Rappe (vereizelt auf 1 Rappe geau) rude. Zwischeresultate werde icht gerudet. Nur das Edresultat wird jeweils auf 5 Rappe geau gerudet. Ziseszisrechuge 79

6 19.4 Ziseszis-Formel Bei de Ziseszis-Formel hat ma sich auf folgede Parameter geeiigt: p Afagskapital, ursprügliches apital Azahl Edkapital, apital ach Zissatz (pro Jahr) Zisfaktor Zisfaktor Wir defiiere als Zisfaktor. 1 + p 1 Mit dieser Defiitio ergebe sich utestehede Formel der Ziseszisrechuge. a) Edkapital (Edwert) b) Afagskapital (Barwert) Die Berechug des Barwertes eier Zahlug, die ach eier bestimmte Azahl fällig ist ( ), heisst Diskotierug. c) Zisfaktor ud Zissatz p ( 1) 1 d) Azahl lg lg bzw. lg lg lg 8 Ziseszisrechuge

7 Dozeteseite (mit Lösug) 19.5 Awedugsbeispiele I: Grudformel a) Isabelle hat a eiem safag ei oto eröffet ud zahlt sogleich bei otoeröffug CHF 7' darauf ei. Das oto wird zu 5 % verzist. Wie hoch ist der otostad ach 17 Aalyse 1 5 % Formel festlege Ausrechug 17 7' ' Lösug Nach 17 beträgt der otostad CHF 17' b) Das oto vo Peter weist a eiem safag ei Guthabe vo CHF 9'875.1 auf. Wie hoch war das Guthabe 8 davor, we die Verzisug immer 7.5 % betrug Aalyse 7.5 % Formel festlege Ausrechug 9' ' Lösug 8 davor betrug das Guthabe vo Peter CHF 5' Ziseszisrechuge 81

8 Dozeteseite (mit Lösug) c) Ei Vermöge vo CHF 8' ist ach 3 auf CHF 24' agewachse. Wie hoch war der Zissatz Aalyse % Formel festlege ud p ( 1) 1 Ausrechug 24' '742 p ( ) 1 p Lösug Das Vermöge war zu eiem Zissatz vo 3.5 % agelegt. d) Ei apital vo CHF 12'433.5 ist auf CHF 35'758.9 agewachse. Währed wie viele war das apital agelegt, we die Verzisug immer 4.5 % betrug Aalyse 4.5 % Formel festlege lg lg lg Ausrechug lg 35'758.9 lg 12' lg 1.45 Lösug Das apital war währed 24 agelegt. 82 Ziseszisrechuge

9 19.6 Degressive Abschreibug Ivestitiosgüter müsse betriebswirtschaftlich gesehe jährlich abgeschriebe werde. Es bestehe im Wesetliche zwei Abschreibugsmethode: lieare ud degressive Abschreibug. liear degressiv Jedes Jahr wird der gleich hohe Betrag abgeschriebe. Jedes Jahr wird der gleich hohe Prozetsatz vom jeweilige Buchwert (auch Restwert oder Bilazwert geat) abgeschriebe, also vom Aschaffugswert abzüglich de aufsummierte Abschreibuge. Diese Methode hat de Vorteil, dass sie die tatsächliche Wertetwicklug zeigt Formel zur degressive Abschreibug Als Abschreibugsfaktor defiiere wir: a p 1 p Abschreibugssatz 1 Die Formel der Ziseszisrechug gelte aalog auch für die Formel der degressive Abschreibug, wobei folgedes azupasse ist: ersetze durch a Bilazwert (ach ): B B a Aschaffugswert (vor ): B B a Awedugsbeispiele zur degressive Abschreibug a) Eie Maschie mit eiem Aschaffugswert vo CHF 54'.-- soll degressiv mit eiem Satz vo 2 % abgeschriebe werde. Wie hoch ist der Bilazwert ach 4 Aalyse 2 % Formel festlege B B a, wobei a Ausrechug Abschreibugsfaktor: a Bilazwert bereche: B 54'.8 B 22' a p Zum Vergleich: Die Lösug im Rechugswese Aschaffugswert 54' Abschreibug 1' Restwert ach 1 Jahr 43' Abschreibug 8' Restwert ach 2 34' Abschreibug 6' Restwert ach 3 27' Abschreibug 5' Restwert ach 4 22'118.4 Lösug Nach 4 beträgt der Bilazwert der Maschie CHF 22' Ziseszisrechuge 83

10 Dozeteseite (mit Lösug) b) Eie Maschie mit eiem Aschaffugswert vo CHF 35'.-- soll degressiv mit eiem Satz vo 25 % abgeschriebe werde. Wa fällt ihr Bilazwert erstmals uter CHF 1'.-- Aalyse % 1 Formel festlege lgb lgb, wobei lg a a 1 p 1 Ausrechug Abschreibugsfaktor a 25 1 a.75 1 Azahl lg1' lg 35' lg Da die Abschreibug erst Ede Jahr vorgeomme wird, fällt der Bilazwert am Ede des 5. s erstmals uter CHF 1'.--. Lösug Am Ede des 5. s fällt der Bilazwert der Maschie erstmals uter CHF 1' Ziseszisrechuge

11 19.7 Uterjährige Verzisug Bei jährlicher Verzisug wird der Zis erst Ede Jahr mit dem apital verrechet. Aber auch die Verzisug i kleiere Zeitperiode ist üblich. Gebräuchlich ist die Verzisug ach eiem halbe Jahr, ach eiem Quartal, ach eiem Moat, ausahmsweise ach eiem Tag. Jährlicher Zistermi: Halbjährlicher Zistermi: ½ ½ ½ ½ Beispiel zur Veraschaulichug Ei apital vo CHF 1'.-- ist zu 5 % Zis agelegt. Vergleich der apitaletwicklug bei jährlicher, halbjährlicher ud uartalsweiser Verzisug: Jahr Jährliche Verzisug Halbjährliche Verzisug Quartalsweise Verzisug Zis 5 % eues apital Halbjahr Zis 5 % eues apital Quartal Zis 5 % eues apital Begi 1'. Begi 1'. Begi 1'. Q1 Jahr ' HJ Jahr '25. Q2 Jahr ' Q3 Jahr '379.7 Jahr '5. 2. HJ Jahr '56.25 Q4 Jahr '59.45 Q1 Jahr ' HJ Jahr '768.9 Q2 Jahr '773.8 Q3 Jahr '98.45 Jahr ' HJ Jahr '38.1 Q4 Jahr '44.8 Es zeigt sich, dass das Edkapital bei uterjähriger Verzisug immer höher ist als bei jährlicher. Fazit: Je grösser die Azahl Verzisugsperiode pro Jahr ist, desto höher ist das Edkapital. Grud: Weil der Zis ach jedem Zistermi mit dem apital verrechet wird, wirkt der Zisesziseffekt umso stärker, je kürzer die Verzisugsperiode sid Formel zur uterjährige Verzisug Als uterjährige Zisfaktor defiiere wir: u p 1 + m 1 m Azahl Verzisugsperiode pro Jahr (Die Periode müsse gleich lag sei.) Die Formel der jährliche Verzisug gelte aalog auch für die uterjährige Verzisug, wobei folgedes agepasst werde muss: ersetze durch u ersetze durch m (weil es jetzt m Verzisugsperiode gibt) Edkapital (ach ): Afagskapital (vor ): m u m u Ziseszisrechuge 85

12 Der äuivalete Zissatz (p ä ) Uter dem Begriff "äuivaleter Zissatz" wird derjeige Zissatz verstade, der bei jährlicher Verzisug das gleiche Edkapital ergibt wie bei uterjähriger Verzisug. Äuivaleter Zisfaktor ä Äuivaleter Zissatz p ä ä 1 p + m 1 m m Azahl Verzisugsperiode pro Jahr p ä ( ä 1) 1 Herleitug der Formel für ä : ä m u ä kürze durch die Formel zur uterjährige Verzisug ersetze m Wurzel als Potez schreibe ä u m ä u Expoet kürze m ä u bzw. ä m p Fazit: Die Azahl ud die Höhe des agelegte 1 + m 1 apitals habe keie Eifluss auf ä. a) Die Verzisug eies apitals erfolgt zu 5 % mit halbjährlichem Zistermi. Wie gross ist der äuivalete Zissatz Formel festlege ä p 1 + m 1 ud pä (ä 1) 1 Ausrechug 2 5 ä ä ä p ä m ( ) 1 p ä Lösug Eie halbjährliche Verzisug zu 5 % ist äuivalet zu eier jährliche Verzisug zu 5.6 %. b) Ei apital vo CHF 6'.-- ist bei moatlicher Verzisug ach 8 auf CHF 8' agewachse. Zu welchem Zissatz war das apital agelegt Wie hoch ist der äuivalete Zissatz Zissatz für apitalwachstum Äuivaleter Zissatz Formel festlege Formel festlege m m u, p (u 1) 1 m p ä 1 +, pä (ä 1) 1 m 1 Ausrechug Ausrechug 12 8' u u ä 1 + ä ' 12 1 p ( ) 1'2 p p ä ( ) 1 p ä Lösug Das apital wurde zu 4 % agelegt. Der äuivalete Zissatz beträgt 4.7 %. 86 Ziseszisrechuge

13 Dozeteseite (mit Lösug) Awedugsbeispiele zur uterjährige Verzisug a) Marti hat CHF 2'.-- zu 4 % agelegt. Die Verzisug erfolgt halbjährlich. Wie hoch ist das apital ach 1 Wie hoch ist der äuivalete Zissatz Aalyse 4 % (halbjährlich) Formel festlege m p 1 + ud m 1 Ausrechug apital ach 1 4 2' ' ' Lösug ä m p 1 +, pä (ä 1) 1 m 1 Äuivaleter Zissatz 2 4 ä 1 + ä p ä (1.44 1) 1 p ä 4.4 Nach 1 beträgt das apital CHF 29' Der äuivalete Zissatz ist 4.4 %. b) Ei apital vo CHF 5'.-- ist auf CHF 61'646.3 agewachse. Die Verzisug erfolgte zu 7 % mit moatlichem Zistermi. Wie lage war das apital agelegt Aalyse 7 % (moatlich) Formel festlege lg lg m, wobei lg u u p 1 + m 1 Ausrechug Uterjähriger Zisfaktor u u Azahl lg 61'646.3 lg 5' 12 lg Lösug Das apital war währed 3 agelegt. Ziseszisrechuge 87

14 Dozeteseite (mit Lösug) 19.8 Awedugsbeispiele II: Äderug der Zissätze a) Ei apital vo CHF 8'85.-- wurde für 1 agelegt. Währed der erste 3 betrug der Zissatz 4 %, währed der restliche Alagedauer 5.5 %. Wie hoch ist das apital ach 1 Wie hoch war die durchschittliche Verzisug Aalyse 4 % 5.5 % Formel festlege ud p ( 1) 1 Ausrechug apital ach 1 Variate 1: mit Teilschritte apital ach 3 : 3 3 8' ' Variate 2: Direkt ausreche 1 8' ' apital ach 1 : 1 9' ' Durchschittliche Verzisug 14' ' p ( ) 1 p Lösug Nach 1 ist das apital auf CHF 14'481.4 agewachse. Die durchschittliche Verzisug des apitals beträgt 5.5 %. 88 Ziseszisrechuge

15 Dozeteseite (mit Lösug) b) Ei apital ist ach 9 auf CHF 55' agewachse. Währed der erste 2 betrug der Zissatz 3 %, währed der ächste %, aschliessed 5 %. Welcher Betrag wurde vor 9 agelegt Wie hoch war die durchschittliche Verzisug Aalyse 3 % 4.25 % 5 % Formel festlege ud p ( 1) 1 Ausrechug apital vor 9 Variate 1: mit Teilschritte Variate 2: Direkt ausreche apital vor 3 : 6 55' ' apital 4 davor: 2 47' ' Afagskapital: 4' ' ' ' Durchschittliche Verzisug 55'325 38' p ( ) 1 p Lösug Vor 9 wurde ei Betrag vo CHF 38'139.5 agelegt. Die durchschittliche Verzisug des apitals beträgt 4.22 %. Ziseszisrechuge 89

16 19.9 Awedugsbeispiele III: apitalbeweguge I de bisherige Awedugsbeispiele wurde immer davo ausgegage, dass das Basiskapital gleich bleibt ud ur durch de Zis verädert wird. Es wurde beispielsweise icht berücksichtigt, dass ei apital durch Eizahluge grösser bzw. durch Abhebuge kleier werde ka. dass ei grösserer Betrag oftmals icht mit eier Eimalzahlug, soder i mehrere uterschiedlich hohe Teilrate bezahlt wird. Auch für solche Situatioe köe die ormale Ziseszisformel agewedet werde. Dabei sid jedoch die apitalbeweguge korrekt zu berücksichtige. Das ka auf zwei Arte geschehe: Für jede apitalbewegug wird das Edkapital bis zum Ede der Alagedauer berechet. bis zur ächste apitalbewegug berechet. Diese beide Berechugsvariate sid am folgede Beispiel erläutert. a) Ei apital vo CHF 5'5.-- wurde zu eiem Zissatz vo 5 % agelegt. Nach 4 wurde CHF 5'.-- eibezahlt ud 3 später wurde CHF 1'.-- abgehobe. Wie hoch ist das apital ach 1 Berechugsvariate 1 Prizip: Sowohl für das Afagskapital als auch für jede apitalbewegug (Eizahlug oder Abhebug) wird das jeweilige Edkapital bis zum Ede der Alagedauer separat berechet. Aalyse 5 % Formel festlege Ausrechug Betrag Zeitpukt Dauer Ausrechug Edkapital Afagskapital 5'5 Begi für 1 J. 5' ' Eizahlug 5' ach 4 J. für 6 J. 5' ' Abhebug 1' ach 7 J. für 3 J. 1' ' Lösug Total 4' Nach 1 beträgt das apital CHF 4' Ziseszisrechuge

17 Berechugsvariate 2 Prizip: Sowohl das Afagskapital als auch jede apitalbewegug (Eizahlug oder Abhebug) wird für sich ur bis zur ächste apitalbewegug verzist. Die letzte apitalbewegug wird bis zum Ede der Alagedauer verzist. Aalyse 5 % Formel festlege Ausrechug 5 % ' ' ' ' ' 11' ' ' 3' ' Lösug Nach 1 beträgt das apital CHF 4' Ziseszisrechuge 91

18 Dozeteseite (mit Lösug) b) Astrid hat folgede Eizahluge auf ihr oto vorgeomme: CHF 2'.--, bei otoeröffug CHF 5'.--, 3 ach otoeröffug CHF 1'.--, 8 ach otoeröffug Welches apital besitzt Astrid ach 1, we der Zissatz immer 5 % betrage hat Aalyse 5 % Formel festlege Ausrechug Variate: Berechug bis zum Ede der Alagedauer (gemäss Aalyse-Zeichug) Betrag Zeitpukt Dauer Ausrechug Edkapital 1. Eizahlug 2' Begi für 1 J. 2' ' Eizahlug 5' ach 3 J. für 7 J. 5' ' Eizahlug 1' ach 8 J. für 2 J. 1' '25. Total 5' Variate: Berechug bis zur ächste apitalbewegug 2' ' ' 28' ' ' 45' ' Lösug Nach 1 besitzt Astrid ei apital vo CHF 5' Ziseszisrechuge

19 Dozeteseite (mit Lösug) c) Auf dem oto vo Marti habe folgede apitalbeweguge stattgefude: otoeröffug mit Eizahlug vo CHF 2'.-- Abhebug vo CHF 5'.--, 3 ach otoeröffug Eizahlug vo CHF 2'.--, 7 ach otoeröffug Auf welche Betrag ist das apital ach 1 agewachse, we der Zissatz immer 6 % betrage hat Aalyse 6 % Formel festlege Ausrechug Variate: Berechug bis zur ächste apitalbewegug (gemäss Aalyse-Zeich.) 2' ' ' 18' ' ' 25' ' Variate: Berechug bis zum Ede der Alagedauer Betrag Zeitpukt Dauer Ausrechug Edkapital Eizahlug 2' Begi für 1 J. 2' ' Abhebug 5' ach 3 J. für 7 J. 5' ' Eizahlug 2' ach 7 J. für 3 J. 2' ' Total 3' Lösug Nach 1 ist das apital auf eie Betrag vo CHF 3'68.85 agewachse. Ziseszisrechuge 93

20 d) Ei Darlehe vo CHF 5'.-- soll wie folgt zurückbezahlt werde: 1. Rate vo CHF 2'.--, zahlbar ach 3 2. Rate vo CHF 2'.--, zahlbar ach 6 Restbetrag, zahlbar ach 1 Wie hoch ist die Restzahlug, we mit eiem Zissatz vo 5 % gerechet wird Aalyse 5 % Rest Formel festlege Ausrechug 5 % ' ' ' ' ' ' 37' ' ' 23' ' Lösug Die Restzahlug ach 1 beträgt CHF 28' Ziseszisrechuge

21 Dozeteseite (mit Lösug) e) Ei Haus ist i drei Rate zahlbar: Azahlug vo CHF 3'.--, sofort 1. Rate vo CHF 3'.--, zahlbar ach 5 2. Rate vo CHF 3'.--, zahlbar ach 1 Wie viel müsste heute für das Haus als Gesamtbetrag bezahlt werde, we mit eiem Zissatz vo 7 % gerechet wird Aalyse 7 % Formel festlege Ausrechug Betrag Zeitpukt Dauer Ausrechug Afagskapital Azahlug 3' sofort ' 3' 1. Rate 3' ach 5 J. für 5 J ' 2. Rate 3' ach 1 J. für 1 J Total + 213' ' ' Lösug Für das Haus müsste heute ei Gesamtbetrag vo CHF 666'4.65 bezahlt werde. Ziseszisrechuge 95

22 Dozeteseite (mit Lösug) f) Auf eiem oto habe folgede apitalbeweguge stattgefude: Eizahlug vo CHF 1'.--, bei otoeröffug Eizahlug vo CHF 5'.--, 6 später Für die erste 4 betrug der Zissatz 5 %, aschliessed 6 %. Welches apital ist ach 1 auf dem oto verfügbar Aalyse 5 % 6 % zu 5 % 2 zu 6 % 4 zu 6 % Formel festlege Ausrechug Variate: Berechug bis zur ächste apitalbewegug (gemäss Aalyse-Zeich.) 1' ' ' 18' ' Variate: Berechug bis zum Ede der Alagedauer Betrag Zeitpukt Dauer Ausrechug Edkapital 1. Eizahlug 1' Begi für 1 J. 1' ' Eizahlug 5' ach 6 J. für 4 J. 5' ' Total 23' Lösug Nach 1 ist auf dem oto ei Betrag vo CHF 23' verfügbar. 96 Ziseszisrechuge

23 19.1 Awedugsbeispiele IV: Formel-ombiatioe Es gibt auch Fragestelluge zu Ziseszise, die sich ur i zwei oder mehrere Teilschritte löse lasse. a) Ei apital vo CHF 235'8.-- ist ach 4 auf CHF 286'616.4 agewachse. Welcher Betrag steht dem otoihaber bei gleich bleibeder Verzisug 1 ach der Ivestitio zur Verfügug Aalyse % Formel festlege Teilschritt 1 Berechug des Zisfaktors: Teilschritt 2 Berechug des Edkapitals: Ausrechug Teilschritt 1: Berechug des Zisfaktors 286' ' Teilschritt 2: Berechug des Edkapitals 286' ' Lösug Nach 1 verfügt der otoihaber über CHF 384'93.4. Ziseszisrechuge 97

24 Dozeteseite (mit Lösug) b) Michael hat ei apital für eie bestimmte Zeitdauer agelegt. I der Hälfte der Alagedauer betrug das apital CHF 15'.--, am Ede CHF 19' Der Zissatz betrug 4.5 %. Welche Betrag hat Michael vor wie viele agelegt Aalyse 4.5 % ½ der Alagedauer ½ der Alagedauer Formel festlege Teilschritt 1 Berechug der ( Hälfte der Alagedauer): Teilschritt 2 Berechug des Afagskapitals: lg lg lg Ausrechug Teilschritt 1 Berechug der ( Hälfte der Alagedauer) lg 19'533.9 lg 15' lg 1.45 Hälfte der Alagedauer: 6 Gaze Alagedauer: 12 ( 2 6) Teilschritt 2 Berechug des Afagskapitals 15' 11' Lösug Vor 12 hat Michael eie Betrag vo CHF 11' agelegt. 98 Ziseszisrechuge

25 Dozeteseite (mit Lösug) c) Ei apital vo CHF 25'1.-- ist ach 6 auf CHF 31'759.5 agewachse. Zu diesem Zeitpukt wird eie Eizahlug vorgeomme, so dass dem otoihaber bei gleich bleibedem Zissatz 4 später ei Betrag vo CHF 51' zur Verfügug steht. Wie hoch war die Eizahlug Aalyse % Formel festlege Teilschritt 1 Berechug des Zisfaktors: Teilschritt 2 Abzise des Edkapitals: Ausrechug Teilschritt 1 Berechug des Zisfaktors 31' ' Teilschritt 2 Abzise des Edkapitals um 4 51' ' Teilschritt 3 Berechug der Eizahlug 44' ' ' Lösug Nach 6 wurde eie Eizahlug vo CHF 12'5.-- vorgeomme. Ziseszisrechuge 99

26 Dozeteseite (mit Lösug) d) Ei apital vo CHF 275'.-- wurde zu eiem Zissatz vo 6.5 % agelegt. Nach eiem Drittel der Alagedauer war das apital auf CHF 484'76.85 agewachse. Wie hoch ist das apital am Ede der Alagedauer Aalyse 6.5 % ⅓ der Alagedauer ⅔ der Alagedauer Formel festlege Schritt 1 Berechug der ( ⅓ der Alagedauer): Schritt 2 Berechug des Edkapitals: lg lg lg Ausrechug Teilschritt 1 Berechug der ( ⅓ der Alagedauer) lg 484'76.85 lg 275' lg 1.65 Ei Drittel der Alagedauer: 9 Zwei Drittel der Alagedauer: 18 ( 2 9) Teilschritt 2 Berechug des Edkapitals am Ede der Alagedauer (für ⅔ der Dauer) ' '55' Lösug Am Ede der Alagedauer beträgt das apital CHF 1'55' Ziseszisrechuge

27 e) Peter hat im Lotto gewoe, sei Gewi beträgt ach Abzug aller Steuer CHF 84'.--. Diese Betrag hat er a eiem sede zu eiem Zissatz vo 5 % agelegt. Er hat sich überlegt, dass er für seie Lebesuterhalt pro Jahr CHF 6'.-- beötigt, die er jeweils am sbegi als Gesamtbetrag abhebe will. Nach wie viele ka er alleie vo de Zise seies apitals lebe, ohe dass sei Vermöge vermidert wird Aalyse 5 % 84 Zise > 6 Formel festlege Teilschritt 1 Bereche des Vermöges für 6' szis: Teilschritt 2 Bereche der Azahl : Ausrechug Z 1 p lg lg lg Teilschritt 1: Bereche des Vermöges für 6' szis 6' 1 1'2' 5 Iterpretatioe: Für eie Zis vo 6' muss das Vermöge midestes CHF 1'2' sei. Damit die 6' am sbegi abgehobe werde köe (ud das apital icht uter 1'2' sikt) muss das Vermöge sogar CHF 1'26' sei. Teilschritt 2: Bereche der Azahl : lg1'26' lg 84' lg1.5 Iterpretatioe: Im Verlauf des 9. s erreicht das Vermöge die Greze vo CHF 1'26'. Also köe am Begi des 1. s erstmals CHF 6' abgehobe werde. Lösug Nach Ablauf vo 9 (d.h. ab dem 1. Jahr) ka Peter jeweils am sbegi CHF 6'.-- abhebe, ohe dass sei Vermöge geschmälert wird. Zur otrolle: Jahr Afagskapital Abhebug szis Edkapital 9 1'241' '.-- 59' '24'115.7 apital sikt 1 1'33' '.-- 62' '35'271.5 apital immt zu Ziseszisrechuge 11

28 Dozeteseite (mit Lösug) f) Eie Stiftug hat ihr Afagskapital vo CHF 6 Millioe a eiem sede zu eiem Zissatz vo 3.5 % agelegt. Im Stiftugszweck ist festgelegt, dass jeweils a jedem sbegi CHF 25'.-- für gemeiützige Projekte ausbezahlt werde solle, dies jedoch ohe das Vermöge der Stiftug zu schmäler. Nach wie viele ka die Stiftug erstmals gemeiützige Projekte mit dem Betrag vo CHF 25'.-- uterstütze Aalyse 3.5 % 6 Zise > 25 Formel festlege Teilschritt 1 Bestimme des Vermöges für 25' szis Teilschritt 2 Bestimme der Z 1 p lg lg lg Ausrechug Teilschritt 1: Bestimme des Vermöges für 25' szis 25' 1 7'142' Um eie Zis vo CHF 25' zu erhalte, muss das Vermöge midestes CHF 7'142' sei. Damit die CHF 25' am sbegi abgehobe werde köe (ud das apital icht uter 7'142' sikt), muss das Vermöge sogar CHF 7'392' sei. Teilschritt 2: Bestimme der : lg 7'392' lg 6'' lg1.35 Im Verlauf des 7. s erreicht das Vermöge die Greze vo 7'392' Also köe am Begi des 8. s erstmals CHF 25' abgehobe werde. Lösug Nach Ablauf vo 7 (d.h. ab dem 8. Jahr) köe jeweils am sbegi CHF 25' für gemeiützige Projekte ausbezahlt werde, ohe dass das Vermöge der Stiftug geschmälert wird. 12 Ziseszisrechuge

29 19.11 Awedugsbeispiele V: Gleichuge omplexere Aufgabestelluge lasse sich oft ur mit Hilfe vo Gleichuge löse. a) Ei apital ist viermal so gross wie das adere. Nach 12 sid beide apitalie zusamme auf eie Gesamtbetrag vo CHF 347'741.5 agewachse. Der Zissatz beträgt für beide apitalie 6.25 % Wie hoch ware die beide ursprügliche apitalie Aalyse 6.25 % x 4x Variable ud Formel festlege x Afagskapital des kleiere Vermöges Ausrechug x x ' ausklammer (x + 4x) 347'741.5 : x 347' : 5 x 347' ausreche x 33' Afagskapital des kleiere Vermöges: 33'6 Afagskapital des grössere Vermöges: 134'4 ( 4 33'6 ) Lösug Das kleiere apital betrug vor 12 CHF 33'6.--, das grössere CHF 134'4.--. Ziseszisrechuge 13

30 Dozeteseite (mit Lösug) b) A eiem safag befide sich CHF 33' auf eiem oto, welches mit 3 % verzist wird. Nach 4 wird eie Eizahlug vorgeomme. 11 ach der Eizahlug beträgt der otostad CHF 73'56.1. Wie hoch war die Eizahlug Aalyse 3 % x Variable ud Formel festlege x Betrag der Eizahlug Ausrechug 33' x ' ( 33' ) x ' ( 33' ) : '56.1 (33' x x 15' ) ausreche Lösug Nach 4 wurde eie Eizahlug vo CHF 15'25.-- vorgeomme. 14 Ziseszisrechuge

31 c) Ei apital ist ach eier bestimmte Azahl vo CHF 67' auf CHF 125'14.-- agewachse. Währed der erste Hälfte der Alagedauer betrug der Zissatz 4 %, währed der zweite Hälfte 5 %. Wie lage war das apital isgesamt agelegt Aalyse x ½ Alagedauer (4 %) x ½ Alagedauer (5 %) x x Variable ud Formel festlege x Hälfte der Alagedauer i Ausrechug x x 67' '14 : 67' x x 125' like Seite vereifache 67' '14 x like Seite ausreche 67'515 ( ) 125' x logarithmiere 67' '14 x lg 1.92 lg : lg ' '14 lg x 67'515 lg 1.92 x Hälfte der Alagedauer: 7 Gaze Alagedauer: 14 ( 7 2 ) Lösug Das apital war für isgesamt 14 agelegt. Ziseszisrechuge 15

32 d) Ei Darlehe vo CHF 25'.-- soll wie folgt i zwei gleich hohe Rate zurückbezahlt werde: 1. Rate ach 4 2. Rate ach 9 Wie hoch sid die beide Rate, we als Zissatz 9.5 % vereibart wurde Variate 1: Berechug zum Edkapital Variate 2: Berechug zum Barwert Aalyse Aalyse 9.5 % 9.5 % x -x x 9 -x 25 Variable ud Formel festlege x Höhe der Rate Variable ud Formel festlege x Höhe der Rate Ausrechug (25' ' ' x) x x ' 1.95 x + x ' 1.95 x 9 25' x 5 x ( ) 9 5 x x Ausrechug x x 1.95 x (1.95 x x x + 25' ) x 25' ' ' ' x 21' Lösug Die beide Rückzahlugsrate betrage je CHF 21' Ziseszisrechuge

33 Dozeteseite (mit Lösug) e) Bei eier otoeröffug Afag Jahr wird ei bestimmter Betrag eibezahlt. Nach 8 wird eie Eizahlug vorgeomme, die halb so gross ist wie der bei otoeröffug eibezahlte Betrag. 8 ach der Aufstockug beträgt der otostad CHF 71'63.4. Der Zissatz betrug immer 4 %. Wie hoch war der bei otoeröffug eibezahlte Betrag, ud wie hoch war das apital vor ud ach der Aufstockug Aalyse 4 % x + ½ x Variable ud Formel festlege x Bei otoeröffug eibezahlter Betrag Ausrechug x x ' x x '26.8 x ausklammer x x x 16 8 ( ) 143'26.8 : ( ) ausreche ' ' Eizahlug bei otoeröffug: CHF 28'.-- Aufstockug ach 8 : CHF 14'.-- ( 28' : 2) apital vor ud ach der Aufstockug Vor der Aufstockug: 28' CHF 38' Nach der Aufstockug: CHF 52' ( 38' ') Lösug Bei otoeröffug wurde ei Betrag vo CHF 28'.-- eibezahlt. Vor der Aufstockug betrug das apital CHF 38'319.95, ach der Aufstockug CHF 52' Ziseszisrechuge 17

34 f) Ei apital vo CHF 41'15.-- ist ach 1 auf CHF 57'975.9 agewachse. Währed der zweite Hälfte der Alagedauer war der Zissatz um 1 % höher als i der erste Hälfte. Wie hoch ware die beide Zissätze Aalyse p p + 1 Zissatz +.1 Zisfaktor Variable ud Formel festlege Zisfaktor für die 1. Hälfte der Alagedauer ud p ( 1) 1 Ausrechug '15 ( +.1) 57'975.9 : 41' '975.9 ( +.1) 41'15 like Seite vereifache 57'975.9 ( +.1) 41'15 5 [ ] ( 57' '15 +.1) 5 ausmultipliziere, ausreche bereche (mit p-formel).1 1, 2.1 ± ( ) 2 2 1, 2.5 ± , 2.5 ± , fällt als Lösug weg 1.3 p ( 1) 1 p ( ) 1 p 3 Zissatz für die erste Hälfte der Alagedauer: 3 % Zissatz für die zweite Hälfte der Alagedauer: 4 % ( 3 % + 1 %) Lösug Währed der erste 5 betrug der Zissatz 3 %, währed der zweite 5 4 %. 18 Ziseszisrechuge

35 Dozeteseite (mit Lösug) g) Ei apital vo CHF 2'.-- ist ach 8 auf CHF 28' agewachse. Währed der zweite Hälfte der Alagedauer war der Zissatz um 1.5 % tiefer als i der erste Hälfte. Wie hoch ware die beide Zissätze Aalyse p p Zissatz -.15 Zisfaktor Variable ud Formel festlege Zisfaktor für die 1. Hälfte der Alagedauer ud p ( 1) 1 Ausrechug 4 4 2' (.15) 28'985 : 2' '985 (.15) like Seite vereifache 2' 28'985 (.15) 4 4 2' [ ] 28'985 (.15) 4 ausmultipliziere, ausreche 2' ausreche (mit p-formel) , 2.15 ± ( ) 2 2 1, 2.75 ± , 2.75 ± , fällt als Lösug weg p ( 1) 1 p ( ) 1 p 5.5 Zissatz für die erste Hälfte der Alagedauer: 5.5 % Zissatz für die zweite Hälfte der Alagedauer: 4 % ( 5.5 % %) Lösug Währed der erste Hälfte der Alagedauer betrug der Zissatz 5.5 %, währed der zweite Hälfte 4 %. Ziseszisrechuge 19