Figurierte Zahlen, Urnen und Kugelfarben

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1 Figurierte Zahlen, Urnen und Kugelfarben KLAUS-ULRICH UDER, Lüneburg HANS HUMENBERER und BERTHOLD SCHUPPAR, Dortmund Zuammenfaung: Bei einem elementaren tochatichen Problem (Ziehung von zei Kugeln au einer Urne mit eißen und charzen Kugeln), erden erbindungen zu figurierten Zahlen heraugearbeitet: inbeondere Quadrat-, Rechteck- und vor allem Dreieckzahlen. Die zu runde liegenden Begründungen erden auf rechnerich-algebraicher und auf anchaulicher Ebene mittel Punktmutern gegeben. Für eine aktuelle verandte Aufgabe iehe on der Heyde [004]. Einleitung Problem: In einer Urne liegen ingeamt n Kugeln, charze und = n eiße. E erden gleichzeitig zei Kugeln (oder zei einzelne Kugeln nacheinander ohne Zurücklegen) zufällig gezogen. Wir betrachten die beiden komplementären Ereignie: := die beiden gezogenen Kugeln haben gleiche Farbe; := die beiden gezogenen Kugeln haben verchiedene Farbe. Unter elchen Bedingungen an und gilt jeeil P() = P(), P() < P() bz. P() > P()? Zunächt idmen ir un dem Problem der leichahrcheinlichkeit P() = P(), orau dann auch unmittelbar die Bedingungen für P() < P() bz. P() > P() folgen erden. ielleicht denkt man für leichahrcheinlichkeit intuitiv zuert an = ; bereit auf den zeiten Blick ird klar, da die nicht o ein kann, ondern da bei = immer P() < P() gelten mu. Stellt man ich nämlich zei einzelne Ziehungen vor, o agt die Farbe der erten Kugel noch nicht über da Eintreten von bz. au. Ert die zeite Kugel entcheidet darüber. Kugeln von der Farbe der erten gezogenen Kugel gibt e jedoch nun eine eniger, o da bei = immer P() < < P() gilt. Formal: Mit = (alo n = ) ergibt ich durch Anenden der Pfadregeln: P() = + = = > n n n n ( ) Anderereit ind auch leicht Situationen zu kontruieren, in denen ahrcheinlicher al it, z. B. liegt e doch auf der Hand, da bei deutlicher Überzahl einer Farbe (z. B. = und = 00 oder im Extremfall auchließlich Kugeln einer Farbe) P() > > P() it. E it zar a priori zunächt gar nicht klar, ob leichahrcheinlichkeit überhaupt erreicht erden kann, doch findet man durch Probieren leicht eine einfache --Kombination für leichahrcheinlichkeit, z. B. = und = 3 (oder umgekehrt): P() = + = Löung mittel leichung Für uneren Zugang ählen ir die Anzahl eißer und die Anzahl charzer Kugeln al ariablen. O. B. d. A. etzen ir vorau und erhalten bei leichahrcheinlichkeit: ( ) + ( ) P()= n ( n ) P() = n ( n ) Au P() = () folgt ( ) + ( ) = n ( n ) n ( n ). () Durch Multiplikation mit dem Nenner n ( n ) erhalten ir darau + = bz. + = +, d. h. ( ) = +. () Wir ollen diee leichung auf Arten behandeln: einereit eine rechnerich-algebraiche Löung finden und anderereit eine geometriche mittel Punktmutern. Rechnerich-algebraiche Löung: E it au () zunächt unmittelbar zu erkennen, da (n = ) + eine Quadratzahl k ein mu. O. B. d. A. ei und k: = 0. Damit geht () egen 6 Stochatik in der Schule 5 (005) Heft, S. 6-0

2 = k + über in k = k +, orau man ofort erhält: ( k ) k = = Dk. Für ergibt ich k k = k Dk = k = k + k k( k + ) = = = Dk, alo die nächtfolgende Dreieckzahl. (Hätten ir voraugeetzt, o hätte ich analog = D k und = D k ergeben.) Ingeamt haben ir alo Folgende beieen: E it genau dann gleichahrcheinlich, zei gleichfarbige Kugeln bz. zei verchiedenfarbige Kugeln zu ziehen, enn und zei aufeinander folgende Dreieckzahlen ind (dann it n offenichtlich eine Quadratzahl). Zahlenbeipiele möglicher (, )-Kombinationen ären alo (natürlich auch umgekehrt!):(, 3), (3, 6), (6, 0), (0, 5), (5, ),.... Punktmuterbeei zu ( ) = + = D k und = D k für ein k : Abbildung -=k Wir zeichnen ein ( )-Quadrat und können damit beide Richtungen leicht zeigen: : Wenn = D k und = D k, o it = k und + = k, orau unmittelbar die Behauptung folgt (iehe auch Abb. ). : Die Diagonale in einem ( )-Quadrat enthält ebenfall Punkte. Wenn man diee Diagonalpunkte von allen + [ = ( ) ] Punkten abzieht, bleiben + ( ) = Punkte über, o da die Anzahl der Punkte unter und über dieer Diagonale je = D ein mu. Damit it auch klar: = + ( ) = D + ( ) = D, alo die nächtfolgende Dreieckzahl. Bemerkungen: Bei fetem und achendem (augehend von 0 = ) gilt zunächt > D und ab einem geien Wert dann < D (die Dreieckzahlen achen quadratich!) diee Umkehrung ird in folgendem Punkt ichtig: Auch die Fragen nach P() < P() bz. P() > P() können in dieer Sichteie leicht beantortet erden: Indem da leichheitzeichen in () durch da jeeilige Ungleichheitzeichen eretzt ird, ergibt ich: P() < P() ( ) < +, a natürlich (arum?) genau dann der Fall it, enn kleiner al obiger Wert (bei leichheit) it, d. h. enn immer noch o klein it, da > D it (iehe oben!). P() > P() ( ) > +, a genau dann der Fall it, enn größer al o- biger Wert (bei leichheit) it, d. h. bei < D. Da bechriebene orgehen zur Unteruchung de Problem fußte letztlich auf der formalen Ebene von leichung () und einigen zugehörigen algebraichen Umformungen. Obiger Punktmuterbeei kann daher keinen direkten Bezug zur tochatichen Situation aufbauen. Daher ollen an dieer Stelle noch eitere Punktmuterlöungen präentiert erden, die da Problem ganz ohne formale leichungen löen und einen olchen direkten Bezug hertellen. Diee liefern außerdem auch ohne zuätzlichen Aufand eine Antort auf die Fragen nach Bedingungen für P() < P() bz. P() > P(). 7

3 3 Eine tatiche Löung auchließlich mit Punktmutern Um da Problem mit Punktmutern zu behandeln, tellen ir un die möglichen Ereignie in einem quadratichen Rater (bz. Koordinatenytem ie in Abb. ) angeordnet vor. Am Rand der Tabelle tehen dabei die charzen ( bi ) bz. eißen Kugeln ( + bi + = n). An die inneren itterpunkte (i, j) de Rater (Koordinatenytem) kommen nun verchiedenartige Kreie, die ymboliieren ollen, ob bei Ziehung der i-ten und j-ten Kugel ( i j n) da Ereigni (gleiche Farbe) oder (verchiedene Farbe) eingetreten it. Da ir zei Kugeln gleichzeitig (bz. hintereinander, aber OHNE Zurücklegen) ziehen, müen ir die Diagonale (d. h. Punkte mit i = j ) egtreichen. Au Symmetriegründen können ir un für die eiteren Dartellungen auf einen Bereich (z. B. jenen oberhalb der Diagonale) bechränken, denn die Punkte (i, j) und (j, i) realiieren ja letztlich daelbe Ziehungergebni Kugel i und Kugel j erden gezogen nur in anderer Reihenfolge: Bei P() = P() müen die beiden -Dreiecke mit den rein charzen bz. rein eißen Kreien zuammen genau o viele Kreie enthalten ie da - Rechteck (iehe Abb. ). Unter elcher Bedingung it da der Fall? Wir piegeln ( klappen ) da linke und da untere -Dreieck in da -Rechteck hinein (Spiegelachen ind dabei die eraden x = + ½ bz. y = + ½; iehe Abb. 3). Dabei ird einereit bi auf eine Diagonale von Kreien da geamte -Rechteck überdeckt; anderereit veruracht da größere -Dreieck ein übertehende Dreieck mit Abbildung Abbildung 3 Im Inneren de Rater tehen dabei eiße Kreie, enn zei eiße Kugeln, charze Kreie, enn zei charze Kugeln, halb-charz-eiße Kreie, enn zei verchieden farbige Kugeln gezogen erden. P() = P() bedeutet in dieer Sicht, da e genau o viele eiße und charze Kreie zuammen ie halb-charz-eiße Kreie gibt, d. h. da die -Bereiche ingeamt genau o groß ie die -Bereiche ind. Höhe. D. h. au P() = P() folgt unmittelbar = D. Zangläufig it dann = + ( ) = D ) D. + ( = Wir haben damit (ganz ohne eine Formel oder eine leichung mit bedingten Wahrcheinlichkeiten!) eine rein anchauliche Löung de urprünglichen Problem (mit direktem Bezug zur urprünglichen tochatichen Situation) gefunden. Wir danken einer unbekannten utachterin bz. einem utachter für einen ereinfachunghinei zu dieer Löung. 8 Stochatik in der Schule 5 (005) Heft, S. 6-0

4 Oben haben ir mittel bedingten Wahrcheinlichkeiten zunächt die formale leichung () aufgetellt, diee eta algebraich umgeformt und die enttehende leichung () chließlich auch anchaulich gelöt. 4 Eine dynamiche Löung nur mit Punktmutern Für dieen Anatz tellen ir un zunächt folgende Situation vor: eine fete Anzahl charzer und eine variable Anzahl eißer Kugeln; zu Beginn etzen ir 0 =. Wenn ir in dieer Situation die zei Kugeln nacheinander, aber mit Zurücklegen ziehen, o it unmittelbar klar, da P() = P() it: In der linken Zeichnung von Abb. 4 ind die Anzahlen der gleich- bz. verchiedenfarbigen Kreie ( Ziehungergebnie ), d. h. die - und die -Bereiche offenichtlich gleich groß: E ird aber bei uneren Spielregeln ohne Zurücklegen gezogen, o da in den beiden -Quadraten die Diagonalpunkte i = j egfallen und dadurch da leichgeicht der - bz. -Bereiche getört ird. Nun fragen ir un, um ie viel, augehend von 0 =, vergrößert erden mu ( dynamiche Löung), o da diee Defizit der -Bereiche genau kompeniert ird. E it klar, da durch den Wegfall der beiden dunkel unterlegten Diagonalen der -Bereich um ingeamt Kreie vermindert ird. Wenn nun, augehend von 0 =, vergrößert ird (angedeutet durch da Wachen de -Bereiche nach recht bz. nach unten in der rechten Figur von Abb. 4), o erden zunächt oohl der - al auch der -Bereich nach recht und nach unten um je ein ( ) -Rechteck größer. Diee Zuäche ind alo für beide Bereiche gleich (, ;, ). = 0 = Abbildung 4 Recht unten nimmt dabei der -Bereich zu, ohne da e dafür einen gegengleichen -Zuach gäbe, nämlich um die zei dunkel unterlegten Dreieckbereiche (die Diagonale bleibt auch hier elbtvertändlich augepart!): In jedem dieer Bereiche befinden ich dabei D Kreie. Nun it aber dadurch ofort klar: Kompenation de -erlute im -Bereich durch die Diagonalen (und omit leichahrcheinlichkeit P() = P()) it genau dann erreicht, enn = D bz. = D it. Damit it iederum auch = + ( ) = D + ( ) = D klar. Bemerkung: Auch in Abchnitt 4 it die Frage nach den Bedingungen für P() < P() bz. P() > P() ohne zuätzlichen Aufand rach zu beantorten ( halten ir kontant): Wenn nur enig größer al it, alo immer noch > D it (iehe obige Umkehrung ) ird der 9

5 -erlut de -Bereich noch nicht ganz augeglichen, und e it P() < P(). Bei größeren -Werten, enn alo < D it, ird dieer erlut mehr al augeglichen, und e it P() > P(). Wenn keine Dreieckzahl it, o kann durch Wachen von nie leichahrcheinlichkeit erreicht erden, ondern die Situation ürde dabei von P() < P() auf P() > P() pringen. Literatur: on der Heyde, Paul (004): Chancengleichheit. Spektrum der Wienchaft, Sept. 004, S. 04. Klau-Ulrich uder FB Erziehungienchaften, Univ. Lüneburg, Mathematik und Didaktik der Mathematik, D 33 Lüneburg guder@uni-lueneburg.de Han Humenberger, Berthold Schuppar IEEM, FB Mathematik, Univ. Dortmund D 44 Dortmund Han.Humenberger@math.unidortmund.de Berthold.Schuppar@math.uni-dortmund.de 0