Diskrete Strukturen. Sebastian Thomas RWTH Aachen 1. Februar 2017 Vorlesung 21

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1 Diskrete Strukturen Sebastian Thomas RWTH Aachen 1. Februar 2017 Vorlesung 21

2 Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsräume Definition quasiendlicher Wahrscheinlichkeitsraum (qu.endl. WR): besteht aus X nicht leere Menge P : Pot(X ) R Abbildung so, dass gilt: Missbrauch von Notation: bezeichne qu.endl. WR wieder mit X

3 Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsräume (Forts.) Terminologien und Notationen: Ergebnismenge von X : Ergebnis von X : Ereignismenge von X : Ereignis von X : unmögliches Ereignis von X : sicheres Ereignis von X : Wahrscheinlichkeitsverteilung von X : Notation: Wahrscheinlichkeit von A Pot(X ) in X : endlicher Wahrscheinlichkeitsraum (endl. WR): qu.endl. WR mit endlicher Ergebnismenge

4 Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsräume (Forts.) Beispiel {0, 1} wird endl. WR mit P(A) = {0, 1} wird endl. WR mit P(A) =

5 Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsräume (Forts.) R wird qu.endl. WR mit P(A) =

6 Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsräume (Forts.) Anwendungsbeispiel Objekt: Ergebnisse eines Wurfs mit einer gewöhnl. Münze Modell: Ergebnisse des endl. WR {Kopf, Zahl} mit 0 für A = P(A) = 1 2 für A {{Kopf}, {Zahl}} 1 für A = {Kopf, Zahl} Objekt: Ergebnisse eines Wurfs mit einer gezinkter Münze Modell: Ergebnisse des endl. WR {Kopf, Zahl} mit 0 für A = 1 P(A) = 4 für A = {Kopf} 3 4 für A = {Zahl} 1 für A = {Kopf, Zahl}

7 Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsräume (Forts.) Bemerkung X qu.endl. WR, A, B Pot(X ) mit A B P(B \ A) = P(B) P(A) Korollar X qu.endl. WR P( ) = 0 Korollar X qu.endl. WR, A Pot(X ) P(X \ A) = 1 P(A)

8 Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsräume (Forts.) Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit X qu.endl. WR, A Pot(X ), n N 0, (B 1,..., B n ) disjunktes n-tupel in Pot(X ) mit A i [1,n] B i P(A) = i [1,n] P(A B i ) Proposition X qu.endl. WR, n N 0, (A 1,..., A n ) n-tupel in Pot(X ) P( i [1,n] A i ) = ( 1) i 1 i [1,n] J [1,n] J =i P( j J X j )

9 Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsräume (Forts.) Proposition X qu.endl. WR, A Pot(X ) P(A) = P({x A P(x) > 0}) = P(x) = P(x) x A x A P(x)>0

10 Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsräume (Forts.) Proposition X Menge, f : X R Abbildung mit: für x X : f (x) 0 {x X f (x) > 0} ist endlich x X f (x) = 1 X wird qu.endl. WR mit: für A Pot(X ): P(A) = f (x) x A

11 Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsräume (Forts.) Beispiel {0, 1, 2} wird endl. WR mit 0 für A {, {0}} 1 P(A) = 3 für A {{1}, {0, 1}} 2 3 für A {{2}, {0, 2}} 1 für A {{1, 2}, {0, 1, 2}}

12 Laplaceräume Definition Laplaceraum: für A Pot(X ): X endl. WR mit: P(A) = A X

13 Laplaceräume (Forts.) Beispiel Laplaceraum: X = {0, 1} mit 0 für A = P(A) = 1 2 für A {{0}, {1}} 1 für A = {0, 1} kein Laplaceraum: Y = {0, 1} mit 0 für A = 1 P(A) = 4 für A = {0} 3 4 für A = {1} 1 für A = {0, 1}

14 Laplaceräume (Forts.) Bemerkung X endl. WR X ist Laplaceraum für x X : P(x) = 1 X Bemerkung X nicht leere endliche Menge X X lässt sich als Laplaceraum X = X Laplace auffassen

15 Laplaceräume (Forts.) Definition X nicht leere endliche Menge X Laplaceraum auf X : X = X Laplace Terminologie und Notation: Gleichverteilung auf X : Beispiel [1, 6] wird Laplaceraum

16 Laplaceräume (Forts.) Anwendungsbeispiel Objekt: Ergebnisse eines Wurfs mit gewöhnlichem Würfel Modell: Ereignis: Würfel zeigt mindestens fünf Augen Modell: Wahrscheinlichkeit: Ereignis: Würfel zeigt eine gerade Anzahl an Augen Modell: Wahrscheinlichkeit:

17 Zufallsgrößen Anwendungsbeispiel Objekt: blinde Entnahme einer Kugel aus einer Urne mit zehn roten und 20 schwarze Kugeln Modell: Ereignis: gezogene Kugel ist rot Modell: Wahrscheinlichkeit: Ereignis: gezogene Kugel ist schwarz Modell: Wahrscheinlichkeit:

18 Zufallsgrößen (Forts.) C = {rot, schwarz} wird endl. WR mit 0 für B = P C 1 (B) = 3 für B = {rot} 2 3 für B = {schwarz} 1 für B = {rot, schwarz}

19 Zufallsgrößen (Forts.) Definition X qu.endl. WR, Y Menge Zufallsgröße auf X mit Werten in Y : Abbildung f : X Y Beispiel [1, 6] [0, 1], x x mod 2 ist Zufallsgröße auf [1, 6] mit Werten in [0, 1]

20 Zufallsgrößen (Forts.) Anwendungsbeispiel Objekt: blinde Entnahme einer Kugel aus einer Urne mit zehn roten und 20 schwarze Kugeln Modell: Ergebnisse des Laplaceraums U = [1, 10] {rot} [1, 20] {schwarz} Objekt: Farben der Kugeln Modell: Zuordnung: jeder Kugel die zugehörige Farbe Modell:

21 Zufallsgrößen (Forts.) Objekt: Ergebnisse eines Wurfs mit gewöhnlichem Würfel Modell: Ergebnisse des Laplaceraums [1, 6] Zuordnung: jeder Augenzahl die Parität Modell:

22 Zufallsgrößen (Forts.) Proposition X qu.endl. WR, f : X Y Zufallsgröße Y wird qu.endl. WR Y = Y f mit: für B Pot(Y f ): P Y f (B) = P X (f 1 (B)) = P X (x) x X f (x) B

23 Zufallsgrößen (Forts.) Definition X qu.endl. WR, f : X Y Zufallsgröße durch f induzierter Wahrscheinlichkeitsraum: Y = Y f Terminologie und Notation: Wahrscheinlichkeitsverteilung von f : Beispiel durch [1, 6] [0, 1], x x mod 2 induzierter WR:

24 Zufallsgrößen (Forts.) Anwendungsbeispiel... Zuordnung: jeder Kugel die zugehörige Farbe Modell: Zufallsgröße a: U {rot, schwarz} (x, rot) rot (x, schwarz) schwarz Wahrscheinlichkeitsverteilung des durch a induzierten WRs: für B = P C (B) = P U (a 1 für B = {rot} (B)) = für B = {schwarz} für B = {rot, schwarz}

25 Zufallsgrößen (Forts.)... Zuordnung: jeder Augenzahl die Parität Modell: Zufallsgröße p : [1, 6] {gerade, ungerade} mit { gerade für x {2, 4, 6} p(x) = ungerade für x {1, 3, 5} durch p induzierter WR:

26 Produktwahrscheinlichkeitsräume Proposition I endliche Menge, (X i ) i I Familie von qu.endl. WRen i I X i wird qu.endl. WR mit: für A Pot( i I X i ): P i I X i (A) = P X i (x i ) x A i I Definition I endliche Menge, (X i ) i I Familie von qu.endl. WRen Produktwahrscheinlichkeitsraum von (X i ) i I :

27 Produktwahrscheinlichkeitsräume (Forts.) Beispiel X = {0, 1} Laplace, Y = {0, 1} mit 0 für B = 1 P(B) = 4 für B = {0} 3 4 für B = {1} 1 für B = {0, 1} X X :

28 Produktwahrscheinlichkeitsräume (Forts.) Beispiel Y Y : P Y Y (y 1, y 2 ) = X Y : P X Y (x, y) =

29 Produktwahrscheinlichkeitsräume (Forts.) Bemerkung I endliche Menge, (X i ) i I Familie von Laplaceräumen i I X i ist Laplaceraum

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