Statistik für Ingenieure Vorlesung 2

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1 Statistik für Ingenieure Vorlesung 2 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 24. Oktober 2016

2 2.4 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Häufig ist es nützlich, Bedingungen zu berücksichtigen, welche die Zufälligkeit einschränken. Beispiel: Zufälliges Ziehen einer Kugel aus einer Urne Insgesamt 11 weiße und 6 schwarze Kugeln; von den 17 Kugeln sind 8 Kugeln (6 weiße und 2 schwarze) markiert; die restlichen 9 Kugeln (5 weiße und 4 schwarze) sind unmarkiert. Ereignis S = { gezogene Kugel ist schwarz } ; Ereignis M = { gezogene Kugel ist markiert } ; Ereignis U = { gezogene Kugel ist unmarkiert }. Ohne Bedingung: P(S) = 6 17 Einschränkung auf markierte Kugeln:, P(S M) = 2 17 P(S M) = 2 8, P(M) = 8 P(S M) 17, d.h. P(S M) = P(M). Einschränkung auf unmarkierte Kugeln: P(S U) = 4 9, P(U) = 9 P(S U) 17, d.h. P(S U) = P(U)., P(S U) = Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik für Ingenieure Vorlesung 2 Geändert: 24. Oktober

3 Allgemeine Definition bedingter Wahrscheinlichkeiten Bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B: P(A B) = P(A B) P(B), falls P(B) 0. Wichtig: Im Allgemeinen gilt P(A B) P(B A)! Bei fester Bedingung B kann man wie mit (unbedingten) Wahrscheinlichkeiten rechnen, z.b. P(A c B) = 1 P(A B). Sind zwei zufällige Ereignisse A und B stochastisch unabhängig, dann gelten (falls P(B) > 0 bzw. P(A) > 0) P(A B) = P(A) bzw. P(B A) = P(B), d.h. die bedingten Wahrscheinlichkeiten sind gleich den unbedingten Wahrscheinlichkeiten der beiden Ereignisse. Entsprechende Formeln gelten auch für mehr als 2 in Gesamtheit unabhängige Ereignisse. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik für Ingenieure Vorlesung 2 Geändert: 24. Oktober

4 Multiplikationsregeln Multiplikationsregel: P(A B) = P(A B) P(B). Erweiterte Multiplikationsregel: Sind A 1,..., A n Ereignisse mit P(A 1... A n 1 ) > 0, dann gilt zufällige P(A 1 A 2... A n ) = P(A 1 ) P(A 2 A 1 ) P(A 3 A 1 A 2 )... P(A n A 1 A 2... A n 1 ). Übungsbeispiel: In einer Urne befinden sich 7 rote und 3 schwarze Kugeln. Es werden nacheinander 4 Kugeln zufällig ohne Zurücklegen entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A, dass alle 4 gezogenen Kugeln rot sind? Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik für Ingenieure Vorlesung 2 Geändert: 24. Oktober

5 Formel der totalen Wahrscheinlichkeit Berechnung der totalen (unbedingten) Wahrscheinlichkeit aus den bedingten Wahrscheinlichkeiten als gewichtetes Mittel! Sei B 1,..., B n eine Zerlegung von Ω mit P(B i ) 0, i = 1,..., n. Dann gilt die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit: für ein beliebiges zufälliges Ereignis A Ω ist n P(A) = P(A B i )P(B i ). Bei Zerlegung Ω = B B c : i=1 P(A) = P(A B)P(B) + P(A B c )P(B c ). Im Beispiel mit dem Ziehen einer Kugel : P(S) = P(S M) P(M) + P(S U) P(U), 6 17 = Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik für Ingenieure Vorlesung 2 Geändert: 24. Oktober

6 Übungsaufgabe Drei Zulieferer liefern eine Komponente zur Produktion eines Erzeugnisses im Anzahlverhältnis 5 : 3 : 2. Die Fehlerquote betrage bei Komponenten der 1. Zulieferfirma 7%, bei Komponenten der 2. Zulieferfirma 4% und bei Komponenten der 3. Zulieferfirma 2%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine aus der Gesamtliefermenge rein zufällig ausgewählte Komponente fehlerhaft ist? Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik für Ingenieure Vorlesung 2 Geändert: 24. Oktober

7 Formel von Bayes Unter den Bedingungen des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit und unter der Voraussetzung P(A) > 0 gilt die Formel von Bayes P(B i A) = P(A B i)p(b i ) P(A) = P(A B i)p(b i ). n P(A B j )P(B j ) j=1 P(B i ) heißen auch a-priori-wahrscheinlichkeiten. P(B i A) heißen auch a-posteriori-wahrscheinlichkeiten, sie liefern eine Korrektur der ursprünglichen Wahrscheinlichkeiten, wenn bekannt ist, dass das zufällige Ereignis A eingetreten ist oder dies angenommen wird. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik für Ingenieure Vorlesung 2 Geändert: 24. Oktober

8 Übungsaufgabe Für die Situation der obigen Übungsaufgabe mit den 3 Zulieferbetrieben wurde eine Komponente aus der Gesamtzuliefermenge rein zufällig ausgewählt und überprüft. Dabei wurde festgestellt, dass die Komponente defekt ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammte diese Komponente von der 1. Zulieferfirma? Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik für Ingenieure Vorlesung 2 Geändert: 24. Oktober

9 Beispiel Diagnoseverfahren Diagnoseverfahren liefern im Allg. nicht 100%ig richtige Ergebnisse: Ein Fehler wird nicht erkannt. Ein Fehler wird fälschlicherweise angezeigt. Resultierende Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter und als fehlerhaft angezeigter Gegenstand tatsächlich fehlerhaft ist? Beispiel: F = { Gegenstand ist tatsächlich fehlerhaft }, P(F ) = A = { Gegenstand wird als fehlerhaft angezeigt }. Wahrscheinlichkeit für eine Fehlererkennung: P(A F ) = 0.9. Wahrscheinlichkeit für die Identifizierung eines einwandfreien Gegenstandes: P(A c F c ) = Ges.: P(F A). Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik für Ingenieure Vorlesung 2 Geändert: 24. Oktober

10 3. Zufallsgrößen 3.1 Zufallsgrößen und ihre Verteilung Häufig sind Zahlenwerte Ergebnisse von Zufallsversuchen. Oft ist es auch in anderen Fällen für eine mathematische Behandlung günstig, den Versuchsergebnissen Zahlen zuzuordnen (etwa 1 für Erfolg und 0 für Misserfolg ). Beschreibung von Ergebnissen eines Zufallsversuches durch eine Zufallsgröße X (oder mehrere Zufallsgrößen X 1, X 2,..., X n ). Beispiele: Zufällige Zeit X (Lebensdauer, Ausfallzeiten,... ) mit möglichen Werten {x R : x 0}. Messergebnis X (Länge, Kraft, Temperatur,... ) mit entsprechenden Zahlenwerten (ohne Maßeinheit) als möglichen Werten. Zufällige Anzahl X (von Schäden, Konkursen,... ) mit möglichen Werten {0, 1, 2,...}. Augenzahl X beim Würfeln mit möglichen Werten {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik für Ingenieure Vorlesung 2 Geändert: 24. Oktober

11 Mathematische Definition einer Zufallsgröße Mathematische Definition einer Zufallsgröße: Eine Abbildung (Funktion) X : Ω R heißt Zufallsgröße (reelle Zufallsvariable), falls für jedes Intervall (a, b) R, a < b, die Menge {ω Ω : a < X (ω) < b} ein zufälliges Ereignis ist ( Messbarkeitsbedingung ; dabei wird ein System von zufälligen Ereignissen mit bestimmten natürlichen Eigenschaften als gegeben vorausgesetzt). Es gilt: Sind X, Y Zufallsgrößen zu einem Zufallsversuch, dann sind auch X + Y, X Y, X Y, X /Y, falls Y 0, a X mit a R und ähnliche durch mathematische Operationen gebildete Größen Zufallsgrößen (d.h. die Messbarkeitsbedingung bleibt erhalten). Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik für Ingenieure Vorlesung 2 Geändert: 24. Oktober

12 Grundtypen von Zufallsgrößen Für Zufallsgrößen interessieren vor allem Wahrscheinlichkeiten der Art P(X b), P(a < X < b), P(a X b) oder ähnliche. Diese bilden die Verteilung oder Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße. Abgeleitete Kenngrößen, wie zum Beispiel Erwartungswert oder Varianz liefern ebenfalls wichtige Informationen. Zwei wichtige Grundtypen von Zufallsgrößen (mit zum Teil unterschiedlichen mathematischen Hilfsmitteln bei Berechnungen oder Untersuchungen) sind: Zufallsgrößen mit diskreter Verteilung (diskrete Zufallsgrößen) und Zufallsgrößen mit (absolut) stetiger Verteilung (stetige Zufallsgrößen). Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik für Ingenieure Vorlesung 2 Geändert: 24. Oktober

13 Zufallsgrößen mit diskreter Verteilung Definition: Eine Zufallsgröße X heißt diskret, wenn sie nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele mögliche Werte x 1, x 2,... annehmen kann. Die Zuordnung p i := P(X = x i ), i = 1, 2,..., heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten Zufallsgröße. Sie wird meistens durch eine Verteilungstabelle gegeben: Werte x i x 1 x 2 x 3... Wahrscheinlichkeiten p i p 1 p 2 p 3... Die Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten p i erfolgt durch Berechnung aus Grundannahmen (typische Verteilungen) oder experimentell mittels statistischer Methoden. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik für Ingenieure Vorlesung 2 Geändert: 24. Oktober

14 Wahrscheinlichkeiten bei diskreten Verteilungen Beispiel: Gerechtes Würfeln, Zufallsgröße X : Augenzahl. x i p i 1 6 Für die Wahrscheinlichkeiten p i gelten : 0 pi 1 ; p i = 1. i Für beliebige Mengen I R gilt P(X I ) = xi I p i, z.b. für reelle Zahlen a < b P(a < X < b) = a<x i <b Beispiel: Zweifacher Würfelwurf, Zufallsgröße X : Augensumme, Ges.: P(X 4). p i. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik für Ingenieure Vorlesung 2 Geändert: 24. Oktober

15 Zufallsgrößen mit stetiger Verteilung Definition: Eine Zufallsgröße X heißt stetig, wenn es eine integrierbare reelle Funktion f X : R R gibt, so dass P(a X b) = b a f X (x) dx für beliebige reelle Zahlen a b gilt. Die Funktion f X heißt Dichtefunktion (oder Verteilungsdichte) der Zufallsgröße X und besitzt die Eigenschaften: 1. f X (x) 0 für alle x R ; 2. f X (x) dx = 1. Bemerkung: Eine Dichtefunktion muss nicht unbedingt stetig oder beschränkt sein! Eine Dichtefunktion gibt die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse auf der reellen Achse an. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik für Ingenieure Vorlesung 2 Geändert: 24. Oktober

16 Beispiel Zufallsgröße mit stetiger Verteilung Beispiel: Rein zufällige Auswahl eines Punktes (Wertes) X aus dem Intervall [0, 1] (auf dem Intervall [0, 1] gleichverteilte oder gleichmäßig verteilte Zufallsgröße). Für 0 a < b 1 gilt P(a X b) = b a. { 1, 0 x 1, Die Dichtefunktion ist f X (x) = 0, sonst. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik für Ingenieure Vorlesung 2 Geändert: 24. Oktober

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