Mathematik mit MATHCAD

Transkript

1 Mathematik mit MATHCAD

2 Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH

3 Hans Benker Mathematik mit MATHCAD Arbeitsbuch für Studenten, Ingenieure und Naturwissenschaftler 2., neubearbeitete Auflage Springer

4 Prof. Dr. Hans Benker Martin -Luther- Universităt Fachbereich Mathematik und Informatik Institut ftir Optimierung und Stochastik D-06o99 Halle ISBN Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Benker, Hans: Mathematik mit MATHCAD : Arbeitsbuch rur Studenten. Ingenieure und Naturwissenschaftler / Hans Benker. ISBN ISBN (ebook) DOI / Dieses Werk ist urheberrechtlich geschiitzt. Die dadurch begriindeten Rechte. insbesondere die der Obersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfăltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfăltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulăssig. Sie ist grundsătzlich vergiitungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1999 Urspriinglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1999 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen. Handelsnamen. Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dab solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wăren und daher von jedermann benutzt werden diirften. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z.b. DIN, VDI,VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert werden sein, so kann der Verlag keine Gewăhr fiir Richtigkeit, Vollstăndigkeit oder Aktualităt iibernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls rur die eigenen Arbeiten die vollstăndigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils giiltigen Fassung hinzuzuziehen. Einbandgestaltung: Kiinkel & Lopka, Heidelberg Satz: Reproduktionsvorlagen des Autors SPIN: / o - Gedruckt auf sliurefreiem Papier

5 Vorwort Im vorliegenden Buch, das eine Neuerarbeitung und E1Weiternng der 1996 erschienen Ausgabe [2] mit dem Titel Mathematik mit MAlliCAD ist, wird die Lösung mathematischer Aufgaben mittels Computer unter Verwendung des Mathematiksystems MATHCAD behandelt. Hierfür legen wir die aktuelle Version 8 Professional (deutsche Version: für Profis) für WINDOWS 95/98 zugrunde und gehen sowohl auf die englischsprachige als auch die deutschsprachige Version ein. Während MATHCAD und MATLAB (siehe [4]) ursprünglich als reine Systeme für numerische mathematische Berechnungen (Nähernngsmethoden) konzipiert waren, besitzten beide in ihren neueren Versionen in Lizenz eine Minimalvariante des Symbolprozessors des Computeralgebra-Systems MAPLE für exakte (symbolische) Rechnungen. Damit hat sich MATHCAD zu einem ebenbürtigen Partner der bekannten Computeralgebra-Systeme AXIOM, DERIVE, MACSYMA, MAPLE, MATHEMA TICA, MuP AD und REDUCE entwickelt. Diese Systeme sind ebenfalls keine reinen Computeralgebra-Systeme mehr, da sie numerische Methoden (Nähernngsmethoden) enthalten. Deshalb kann man MATHCAD ebenfalls als Computeralgebra-System (kurz: System) bezeichnen, wobei MATHCAD einige Vorteile besitzt: MATHCAD ist neben DERIVE das einzige System, für das eine deutschsprachige Version existiert. Die etwas geringeren Fähigkeiten bei exakten (symbolischen) Rechnungen werden durch überlegene numerische Fähigkeiten mehr als ausgeglichen. Die Berechnungen werden im MATHCAD-Arbeitsfenster in der üblichen mathematischen Symbolik (Standard-Notation) durchgeführt. Dank der unübertroffenen Gestaltungsmöglichkeiten im Arbeitsfenster können Ausarbeitungen direkt unter MATHCAD erstellt werden. Sämtliche Rechnungen können mit Maßeinheiten durchgeführt werden. Über 50 vorhandene Elektronische Bücher zu verschiedenen mathematischen, technischen, naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Disziplinen beinhalten alle für das entsprechende Gebiet relevanten Standardformeln und mathematischen Berechnungsmethoden, die ausführlich durch begleitenden Text und Grafiken erläutert werden und die problemlos in die eigenen Rechnungen integriert werden können.

6 VI Vorwort Diese Vorteile haben einen wesentlichen Anteil daran, daß sich MATHCAD zu einem bevorzugten System für Ingenieure und Naturwissenschaftler entwickelt hat. MATHCAD existiert für verschiedene Computerplattformen, so u.a. für IBMkompatible Personalcomputer, Workstations unter UNIX und APPLE-Computer. Wir verwenden die V~ion 8 Professional für IBM-kompatible P~onalcomputer mit Pentiumprozessor (kurz als pes bezeichnet), die unter WINDOWS 95/98 läuft. Da sich Aufbau der Benutzeroberfläche und Menü- und Kommandostntktur für andere Computertypen nur unwesentlich unterscheiden, können die in diesem Buch gegebenen Grundlagen allgemein angewendet werden. Da die Benutzeroberfläche der im Buch behandelten Version 8 gegenüber der Version 7 nur geringfügig geändert wurde, lassen sich die meisten im Buch behandelten Probleme auch mit der Version 7 berechnen. Für die Versionen 5 und 6 gilt ähnliches. Hierzu findet man zusätzliche Details in den Büchern [2,3,4] des Autors. Bei allen früheren Versionen ist allerdings zu beachten, daß ihre Leistungsfahigkeiten geringer sind und daß weniger Funktionen als in der Version 8 zur Verfügung stehen. Da von MATHCAD sowohl eine englisch- als auch eine deutschsprachige V~ion existieren, geben wir die Vorgehensweise für beide V~ionen an, wobei wir zuerst die englische V~ion verwenden und anschließend die Bezeichnungen für Menüfolgen und Funktionen der deutschen V~ion in Klammern angeben. Wir stellen absichtlich die englischsprachige V~ion in den Vordergrund, da die * neuen Versionen immer zuerst in englischer Sprache erscheinen, * deutschsprachige La. auch die Funktionen der englischsprachigen Version versteht, * deutschsprachige durch Übersetzung des englischsprachigen Textes erstellt wird, wobei natürlich kleine Fehler entstehen. Das System MATHCAD findet nach Ansicht des Authors zu Unrecht erst in den letzten Jahren größere Beachtung. Dies zeigt sich u.a. daran, daß bisher nur wenig Bücher über MATHCAD erschienen sind. Das vorliegende Buch soll mit dazu beitragen, diese Lücke zu schließen. Es wendet sich sowohl an Studenten und Mitarbeiter von Fachhochschulen und Universitäten als auch an in der Praxis tätige Ingenieure und Naturwissenschaftler. Da MATHCAD ein universelles System ist, kann es natürlich auch von Wirtschaftswissenschaftlern erfolgreich angewandt werden. Im Buch werden mathematische Grnndaufgaben aus Technik, Natur- und Wirtschaftswissenschaften gelöst. So kann das vorliegende Buch als begleitendes Nachschlage- und Übungsbuch zu den Vorlesungen und als Handbuch für den Praktiker dienen.

7 Vorwort VII Das Buch ist aus Vorlesungen entstanden, die der Autor für Studenten der Mathematik, Informatik und Technikwissenschaften an der Universität Halle gehalten hat. Um den Rahmen des Buches nicht zu sprengen, wird die mathematische Theorie der betrachteten Aufgaben nur soweit behandelt, wie es für eine Lösung mittels MATHCAD erforderlich ist. Deshalb werden jegliche Beweise weggelassen. Das soll aber nicht bedeuten, daß auf mathematische Strenge verzichtet wird, wie es in zahlreichen Büchern über Computeralgebra Systeme zu beobachten ist. Der Schwerpunkt des Buches liegt auf der Umsetzung der zu lösenden mathematischen Grnndprobleme in die Sprache von MATHCAD und der Interpretation der gelieferten Ergebnisse. Dabei wird Wert auf eine kurze Darstellung gelegt, um den Anwender langes Blättern und Suchen bei der Lösung eines Problems zu ersparen. Wenn beim Anwender Unklarheiten mathematischer Natur auftreten, so sollten entsprechende FachbücherCsiehe Literaturverzeichnis) herangezogen werden. Das Buch ist in zwei Teile aufgeteilt: I. Kap : Einführnng: Einleitung, Installation, Aufbau, Benutzeroberfläche und grundlegende Eigenschaften von MATHCAD 11. Kap : Hauptteil: Lösung mathematischer Aufgaben aus Technik und Naturwissenschaften mittels MATHCAD Alle behandelten mathematischen Probleme werden durch zahlreiche Beispiele illustriert, die zum Üben genutzt werden sollten. Diese Beispiele zeigen dem Nutzer Möglichkeiten und Grenzen bei der Anwendung von MATHCAD auf. Die Anwendung von Computeralgebra-Systemen zur Lösung mathematischer Probleme mittels Computer wird in Zukunft weiter an Bedeutung gewinnen, weil Taschenrechner durch Computer ersetzt werden, auf denen derartige Systeme installiert sind. Da sich diese Systeme ohne größere Programmier- und Computerkenntnisse anwenden lassen und einen großen Teil mathematischer Standardaufgaben lösen, wird ihre Rolle für den Anwender wachsen. Ehe man Software in Programmiersprachen wie BASIC, C, FORTRAN und PASCAL anwendet bzw. schreibt, wird man zuerst versuchen, das Problem mit einem verfügbaren Computeralgebra-System zu lösen, da sich dies wesentlich einfacher gestaltet. Erst wenn dies versagt, muß man auf Numeriksoftware zurückgreifen. Im vorliegenden Buch wird am Beispiel von MATHCAD gezeigt, wie sich zahlreiche mathematische Probleme unter Verwendung von Computeralgebra-Systemen mittels Computer ohne großen Aufwand lösen lassen. Dazu werden zuerst die Möglichkeiten für eine exakte Lösung untersucht, ehe die numerische Cnähernngsweise) Lösung in Angriff genommen wird. Dies wird dadurch gerechtfertigt, weil das System MATHCAD eine gelungene Mi-

8 VIII Vorwort schung aus Computeralgebra- und numerischen Methoden unter einer gemeinsamen WINDOWS-Benutzeroberfläche darstellt. Diese Benutzerobetjläche gestattet interaktives Arbeiten und eine anschauliche Darstellung numerischer Rechnungen. Der Autor hofft, daß diese Einführung in MATHCAD den Leser anregt, sich nicht nur an der schnellen Lösung eines mathematischen Problems mittels MATHCAD zu erfreuen, sondern auch intensiv über den mathematischen Hintergrund nachzudenken. MATHCAD kann wie die anderen Computeralgebra-Systeme nicht die Mathematik ersetzen. Es kann aber von langwierigen Rechnungen befreien und Rechenfehler vermeiden, so daß für den Anwender Zeit geschaffen wird, sich um eine schöpferische Anwendung der Mathematik zu bemühen. An dieser Stelle möchte ich allen danken, die mich bei der Realisierung des vorliegenden Buchprojekts unterstützten: Bei Herrn Dr. Merkle und Frau Grünewald-Heller vom Springer-Verlag für die Aufnahme des Buchvorschlags in das Verlagsprogramm und die technische Hilfe. Bei meiner Gattin Doris, die großes Verständnis für meine Arbeit an den Abenden und Wochenenden aufgebracht hat. Bei meiner Tochter Uta, die das Manuskript mehrmals kritisch gelesen hat und viele nützliche Hinweise gab. Bei der Europaniederlassung MathSojt Europe von MathSojt in Bagshot (Großbritannien) für die kostenlose Überlassung der neuen Version 8 von MATHCAD und neuer Elektronischer Bücher. Abschließend werden noch einige Hinweise bzgl. der Gestaltung des vorliegenden Buches gegeben: Neben den Überschriften werden Funktionen, Kommandos und MenüslUntermenüs von MATHCAD im Fettdruck dargestellt. Dies gilt auch für Vektoren und Matrizen. Programm-, Datei- und Verzeichnisnamen und die Namen von Computeralgebra-Systemen werden in Großbuchstaben dargestellt. Beispiele und Abbildungen werden in jedem Kapitel von 1 beginnend durchnumeriert, wobei die Kapitelnummer vorangestellt wird. So bezeichnen z.b. Abb.2,3 und Beispiel 3.12 die Abbildung 3 aus Kapitel 2 bzw. das Beispiel 12 aus Kapitel 3. Beispiele werden mit dem Symbol beendet. Wichtige TextsteIlen werden im Buch durch das vorangehende Symbol po gekennzeichnet und mit dem Symbol beendet.

9 Vorwort IX Wichtige Begriffe und Bezeichnungen sind kursiv geschrieben. Dies gilt auch für erläuternde Texte zu den von MATHCAD durchgeführten Rechnungen, die direkt aus dem MATHCAD-Arbeitsfenster übernommen wurden. Die einzelnen Menüs einer Menüfalge von MATHCAD werden mittels Pfeil::::} getrennt, der gleichzeitig für einen Mausklick steht. Merseburg, im Januar 1999 Hans Benker

10 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Struktur und Arbeitsweise von Computeralgebra-Systemen Einsatzgebiete von Computeralgebra-Systemen Entwicklung von MA THCAD MATHCAD im Vergleich mit anderen Systemen Installation von MAmCAD Programminstallation Dateien von MA THCAD Hilfesystem AXUM Benutzeroberfläche von MATHCAD Menüleiste Symbolleiste Formatleiste Rechenpalette Arbeitsfenster Nachrichtenleiste MATHCAD-Arbeitsblatt Textgestaltung Gestaltung von Berechnungen Verwaltung der Arbeitsblätter Öffnen, Speichern und Drucken Layout Verweise und Hyperlinks Einfügen von Objekten MathConnex Elektronische Bücher Eigenschaften, Aufbau und Handhabung Vorhandene Bücher, Erweiterungspakete und Bibliotheken Exakte und numerische Berechnungen... 60

11 XlI Inhaltsverzeichnis 6.1 Exakte Berechnungen mittels Computeralgebra Symbolisches Gleichheitszeichen Schlüsselwörter Numerische Berechnungen Steuerung der Berechnungen Automatikmodus Manueller Modus Abbruch von Berechnungen Ausdrücke deaktivieren Optimierung Fehlermeldungen Zahlen Reelle Zahlen Komplexe Zahlen Integrierte Konstanten Variablen Vordefinierte Variablen Einfache und indizierte Variablen Bereichsvariablen Zeichenketten Datenverwaltung Dateneingabe Datenausgabe Datenaustausch Programmierung Vergleichsoperatoren und logische Operatoren Definition von Operatoren Zuweisungen Verzweigungen Schleifen Erstellung einfacher Programme Fehlersuche Beispiele Dimensionen und Maßeinheiten Grundrechenoperationen Umformung von Ausdrücken Einführung Vereinfachung

12 Inhaltsverzeichnis XIII 13.3 Partialbruchzerlegung Potenzieren Multiplikation... ' Faktorisierung Auf einen gemeinsamen Nenner bringen Substitution Umformung trigonometrischer Ausdrucke Summen und Produkte Vektoren und Matrizen Eingabe Eingabe von Vektoren Eingabe von Matrizen Vektor- und Matrixfunktionen Rechenoperationen Addition und Multiplikation Transponieren Inverse Skalar-, Vektor- und Spatprodukt Determinanten Eigenwerte und Eigenvektoren Gleichungen und Ungleichungen Lineare Gleichungssysteme und analytische Geometrie Polynome Nichtlineare Gleichungen Numerische Lösungsmethoden Ungleichungen Funktionen Allgemeine Funktionen Rundungsfunktionen Sortierfunktionen Zeichenkettenfunktionen Mathematische Funktionen Elementare Funktionen Höhere Funktionen Definition von Funktionen Approximation von Funktionen Grafik Kurven Flächen Punktgrafiken

13 XIV Inhaltsverzeichnis 18,4 Diagramme Animationen Import und Export von Grafiken Differentiation Berechnung von Ableitungen Taylorentwicklung Fehlerrechnung ,4 Berechnung von Grenzwerten Kurvendiskussion Integration Unbestimmte Integrale Bestimmte Integrale Uneigentliche Integrale ,4 Numerische Methoden Mehrfache Integrale Reihen Zahlenreihen und -produkte Potenzreihen Fourierreihen Vektoranalysis Felder und ihre grafische Darstellung Gradient, Rotation und Divergenz Kurven- und Oberflächenintegrale Differentialgleichungen Gewöhnliche Differentialgleichungen Anfangswertprobleme Randwertprobleme Partielle Differentialgleichungen Transformationen Laplacetransformation Fouriertransformation Z-Transformation ,4 Wavelet-Transformation Lösung von Differenzen- und Differentialgleichungen Optimierungsaufgaben Extremwertaufgaben Lineare Optimierung Nichtlineare Optimierung

14 Inhaltsverzeichnis xv 25.4 Numerische Algorithmen Wahrscheinlichkeitsrechnung Kombinatorik Wahrscheinlichkeit und Zufallsgröße Erwartungswert und Streuung Verteilungsfunktionen Zufallszahlen... '" Statistik Statistische Maßzahlen Korrelation und Regression Grundlagen Lineare Regressionskurven Nichtlineare Regressionskurven Simulationen Elektronische Bücher zur Statistik Zusammenfassung Literaturverzeichnis Sachwortverzeichnis