11.2 Orthogonalität. Wintersemester 2013/2014

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1 Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Wintersemester 2013/2014 Markus Scheighofer Lineare Algebra I 11.2 Orthogonalität Definition Seien V ein K-Vektorraum mit Skalarprodukt und v, V. Es heißen v und orthogonal oder senkrecht zueinander (in Zeichen: v ), enn v, = 0. Bemerkung Seien V ein R-Vektorraum mit Skalarprodukt und v, V. Dann v (v, ) = π 2 nach der Definition von Winkeln , denn cos π 2 = 0. Insbesondere stimmt unsere Definition von Senkrechtstehen in R 2 und R 3 nach mit unserer geometrischen Anschauung überein. Satz (Satz von Pythagoras). Sei V ein K-Vektorraum mit Skalarprodukt und seien v, V mit v. Dann v = v + 2 [ ]. Beeis. v+ 2 = v+, v+ = v, v + v, +, v +, = v =0 = v, =0 Bemerkung Die Kürze des Beeises des Satzes von Pythagoras in unserem Rahmen, zeigt in eindrucksvoller Weise, ie einfach man geometrische Sachverhalte mit Hilfe von Skalarprodukten erklären kann. Tatsächlich haben ir aber die Gültigkeit des Satzes von Pythagoras schon mehr oder eniger in den Begriff des Skalarprodukts hineinkodiert (und dies in gerechtfertigt). Man könnte daher sagen, dass der eigentliche Beeis des Satzes von Pythagoras in (a) steht. Es stellt aber (a) nur die Verbindung zur Anschauung her. Da ir innerhalb unseres Formalismus niemals anschaulich argumentieren, sondern die Anschauung nur als Inspiration zum Auffinden formaler Beeise benutzen, ird hier an keiner Stelle gemogelt. Definition [ 6.2.1] Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt. Seien m N 0 und v 1,..., v m V. Dann heißt (v 1,..., v m ) ein Orthonormalsystem (ONS) (in V ), enn v i v j für alle i, j {1,..., m mit i j und v i = 1 für alle i {1,..., m. Ein ONS, elches V aufspannt, heißt Orthonormalbasis (ONB) von V. Beispiel Die Standardbasis des K n [ 6.2.2] ist eine ONB des K n (versehen mit dem Standardskalarprodukt [ (a)]). Proposition Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt und (v 1,..., v m ) ein ONS in V. Seien λ 1,..., λ m K und v := m λ iv i. Dann λ i = v i, v für alle i {1,..., m. Beeis. v j, m λ iv i = m λ i v j, v i = λ j v j, v j = λ j für alle j {1,..., m = v j 2 =1 1

2 Korollar Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt. In V ist jedes ONS linear unabhängig. Insbesondere ist jede ONB von V eine Basis von V. Definition und Proposition Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt und U ein Unterraum von V. Das orthogonale Komplement von U in V ist definiert durch U := {v V u U : v u und ist selber ieder ein Unterraum von V mit U U = {0 und U (U ). Ist U = span(e) für ein E V, so gilt U = {v V u E : v u. Beeis. Sehr einfache Übung. Definition und Proposition Seien V ein Vektorraum mit Skalarprodukt, U ein Unterraum von V und v, V. Dann gibt es höchstens ein U mit v U. Falls existent, nennt man dieses die orthogonale Projektion von v auf U. Beeis. Seien, U mit v, v U. Dann, =, (v ) (v ) =, v, v = 0. U U U U Beispiel (a) Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt und U ein Unterraum von V. Ist v U, so ist v selber die orthogonale Projektion von v auf U. Ist v U, so ist sie der Nullvektor. (b) Betrachte den R-Vektorraum R N der reellen Folgen [ 6.1.5, 7.1.5] und darin den Unterraum V := {f f : N R, c R : n N : f(n) c der beschränkten Folgen soie den Unterraum U der Folgen mit endlichem Träger [ 6.2.8(f)]. Dann ist V vermöge f, g := 1 f(i)g(i) (f, g V ) ein Vektorraum mit Skalarprodukt 2 i und U ein Unterraum von V. Das orthogonale Komplement U von U in V besteht offenbar nur aus der Nullfolge. Ist f V, so existiert die orthogonale Projektion von f auf U also genau dann, enn f U (und in diesem Fall ist sie f). Proposition Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt, (v 1,..., v m ) ein ONS in V, U := span(v 1,..., v m ) und v V. Dann ist m v i, v v i die orthogonale Projektion von v auf U. Insbesondere existiert diese. Beeis. := m v i, v v i U. Um v U zu zeigen, reicht es v j, v = 0 für j {1,..., m zu zeigen. Sei also j {1,..., m. Dann v j, v = v j, v v i, v v i = v j, v v i, v v j, v i {0,1 = v j, v v j, v = 0. 2

3 Korollar Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt und ONB v = (v 1,..., v n ). Dann gilt v 1, v coord v (v) =. für jedes v V. v n, Beeis. Die orthogonale Projektion eines v V auf V ist v selber [ (a)]. Also gilt nach v = n v i, v v i für alle v V. Proposition (Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren). Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt, (v 1,..., v m ) ein ONS in V, U := span(v 1,..., v m ) und v U. Sei dann := m v i, v v i die orthogonale Projektion von v auf U [ ]. v Dann ist (v 1,..., v m, v ) ein ONS und es gilt ( ) v span(v 1,..., v m, v) = span v 1,..., v m,. v Beeis. Sehr einfache Übung. Satz [ ] Jeder endlichdimensionale Vektorraum mit Skalarprodukt besitzt eine ONB. Beeis. Induktion nach der Dimension, obei der Induktionsschritt mit Gram-Schmidt beerkstelligt ird. Korollar Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt und U ein endlichdimensionaler Unterraum von V. Dann gibt es für jedes v V die orthogonale Projektion P U (v) von v auf U und dadurch ird eine lineare Abbildung P U : V V definiert, deren Kern U und deren Bild U ist. Beeis. Wähle mit eine ONB (v 1,..., v m ) von U. Nach haben ir dann P U (v) = m v i, v v i für alle v U. Mit der Linearität des Skalarprodukts im zeiten Argument (3),(4) rechnet man nun sofort die Linearität von P U nach. Weiter gilt ker P U = { v V v i, v v i = = {v V v 1, v =... = v m, v = = (span(v 1,..., v m )) = U, U im P U nach (a) und selbstverständlich im P U U nach Proposition Sei U ein endlichdimensionaler Unterraum des Vektorraums mit Skalarprodukt V. Dann gilt V = U U [ 8.2.1]. Für endlichdimensionales V gilt insbesondere dim(u) + dim(u ) = dim(v ) [ 8.2.3]. 3

4 Beeis. Für jedes v V gilt v = P U (v) + (v P U (v)), also V = U + U. Weiter ist die U U lineare Abbildung U U U + U, (u, v) u + v injektiv, denn ist (u, v) U U mit u + v = 0, so folgt u = v U U = {0. Korollar Sei U ein Unterraum des endlichdimensionalen K-Vektorraums mit Skalarprodukt V. Dann U = (U ). Beeis. Nach gilt U (U ) und mit angeandt auf U und auf U haben ir dim(u) = dim(v ) dim(u ) = dim((u ) ). Benutze nun Definition Seien V und W Vektorräume mit Skalarprodukt. Dann heißt eine Abbildung f : V W ein Homomorphismus von Vektorräumen mit Skalarprodukt (auch orthogonal oder unitär, ersteres voriegend im Fall K = R und letzteres voriegend im K = C), enn f linear ist und für alle v, V gilt f(v), f() = v,. Ist sie zusätzlich bijektiv, so heißt sie Isomorphismus von Vektorräumen mit Skalarprodukt [beachte, dass die Injektivität automatisch erfüllt ist, da aus f(v) = 0 folgt v, v = f(v), f(v) = 0 und daher v = 0]. Bemerkung Aus der Polarisationsformel folgt, dass man in dieser Definition die Bedingung v, V : f(v), f() = v, ersetzen kann durch v V : f(v) = v. Beispiel Wie in bereits bemerkt ist R ϕ End(R 2 ) für jedes ϕ R ein Automorphismus des R 2 mit Standardskalarprodukt. Satz Seien V und W K-Vektorräume mit Skalarprodukt und sei v = (v 1,..., v n ) eine ONB von V. Sei f : V W linear. Dann ist f genau dann ein Isomorphismus von Vektorräumen mit Skalarprodukt, enn (f(v 1 ),..., f(v n )) eine ONB von W ist. Beeis. Die eine Richtung ist klar. Für die andere sei (f(v 1 ),..., f(v n )) eine ONB von W. Nach ist f ein Isomorphismus von Vektorräumen. Seien nun v, V, eta v = n λ iv i und = n µ iv i mit λ i, µ i K. Zu zeigen ist f(v), f() = v,. Es gilt f(v), f() = λ i f(v i ), µ j f(v j ) = λ i µ j f(v i ), f(v j ) = λ i µ i = j=1 i,j=1 λ i µ j v i, v j = λ i v i, i,j=1 µ j v j = v,. j=1 Korollar Sei n N 0. Je zei n-dimensionale K-Vektorräume mit Skalarprodukt sind als solche isomorph. 4

5 Beeis. Seien V und W n-dimensionale K-Vektorräume mit Skalarprodukt. Wähle ONB (v 1,..., v n ) von V und ( 1,..., n ) von W. Dann ist die lineare Abbildung f : V W mit f(v i ) = i für i {1,..., n [ 6.3.4] ein Isomorphismus von Vektorräumen mit Skalarprodukt. Korollar Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt und v = (v 1,..., v n ) eine Basis von V. Dann sind äquivalent: (a) v ist ONB von V, (b) vec v : K n V ist ein Isomorphismus von Vektorräumen mit Skalarprodukt. (c) coord v : V K n ist ein Isomorphismus von Vektorräumen mit Skalarprodukt. Definition Eine Matrix A K n n heißt orthogonal (vor allem enn K = C manchmal auch unitär), enn f A ein Isomorphismus des Vektorraums K n mit dem Standardskalarprodukt ist. Satz Seien V und W Vektorräume mit Skalarprodukt und ONB v = (v 1,..., v n ) und = ( 1,..., n ). Sei f : V W linear. Dann gilt: f ist Isomorphismus von Vektorräumen mit Skalarprodukt M(f, v, ) orthogonal. Beeis. Nach gilt f = vec f M(f,v,) coord v und daher f M(f,v,) = coord f vec v. Da vec, coord v, coord und vec v nach Isomorphismen von Vektorräumen mit Skalarprodukt sind, ist f ein solcher genau dann, enn f M(f,v,) einer ist. Satz Sei A K n n. Dann sind äquivalent: (a) A ist orthogonal. (b) Die Spalten von A bilden eine ONB des K n. (c) Die Zeilen von A bilden eine ONB des K n. (d) A A = I n (e) AA = I n (f) A ist invertierbar mit A 1 = A. Beeis. Aus , und folgt (a) (b), da f A (e 1 ),..., f A (e n ) die Spalten von A sind. Direkt aus der Definition der Matrizenmultiplikation folgen (b) (d) und (c) (e). Schließlich gilt (d) (e) (f) egen ( ) cos ϕ sin ϕ Beispiel [ 7.1.4(a)] ist für jedes ϕ R orthogonal. sin ϕ cos ϕ 5