1 Das Skalarprodukt und das Kreuzprodukt

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1 Das Skalarprodukt ud das Kreuzprodukt Wir betrachte zu x = de Ausdruck y t x : = x Grud: Die rechte Seite der Gleichug ist: y t x = (y tx (y ty { t x } y x y x + x y (x y x y x x t + (x y x y x t (x y x y + y (x y x y x = x t t (x y x y + y = k= (y i tx i Diese Gleichug zeigt us: Der Ausdruck wird miimal für t := x y +...+x y x Es ist x y (x y +...+x y x = y t x, also (Der rechte Summad ist uabhägig vo t. x y (x y x y = x y x y x y = { x y x y x y } { x y + x y x y } Der zweite Faktor ist ichtegativ, daher auch der erste icht: x y x y x y x y x y x y ud schließlich: x y x y x y x y x y

2 Das ist die sogeate Ugleichug vo Cauchy-Schwarz. Satz: Dreiecksugleichug: x + y x + y Grud: x + y = (x + y (x + y = x x + y y + (x y x y Defiitio: Für zwei Vektore x = = x + y + (x y x y x + y + x y = ( x + y x. x, y = x y := y. y x i y i k= ( Warug: Für Vektore x, y, z gilt icht: x ( y z = ( x y z: ( (( ( ( ( ( 3 aber = 3 = Bemerkug: Ist x, y =, so gilt (siehe Zeichug: Isgesamt also: (wege Cauchy-Schwarz ist ud also für x = x y x y x y = cos φ cos φ = x x y y = ist das Skalarprodukt defiiert als: x y x y cos φ y = x y [, ] (( ( = ( = oder aders gesagt: Das Skalarprodukt ist die Läge der Projektio vo y auf x, falls x ei Eiheitsvektor ist. Das gibt Alaß zu folgeder Defiitio: Für zwei Vektore x, y R ist der (uorietierte Wikel der Wikel ( x, y [, π], für de gilt: x y cos ( x, y = x y Folgerug: Ist eier der beide am Skalarprodukt beteiligte Vektore ei Eiheitsvektor, so ist das Skalarprodukt die Läge der Projektio auf de Eiheitsvektor. x y x y = Satz (Eigeschafte des Skalarproduktes, Teil I: Für alle x, y, z R ud λ, µ R gilt: x = x x ud x x = x = x y = y x 3 ( x + y z = ( x z + ( y z =: x z + y z λ( x z = (λ x z = x (λ z =: λ x z 4 x ± y = x + y ± x y

3 5 x y x y (Cauchy-Schwarzsche Ugleichug Grud: -4 ka ma eifach achreche, 5 habe wir am Afag des Kapitels gezeigt. Bemerkug: Im R läßt sich eie Gerade durch wie folgt beschreibe: Eie Gerade durch ist die Mege aller Vektore, die auf eiem gegebee Vektor (dem Normalevektor der Gerade sekrecht stehe. Mit dem Skalarprodukt ausgedrückt ist die Gerade also: Ausgeschriebe lautet die Formulierug: Ist = Gleichug { x R x = } ( a b ax + by =, so erfülle die Pukte (x, y der Gerade die also eie lieare homogee Gleichug i zwei Ubestimmte. Ist zusätzlich b = (also die Gerade keie Vertikale, so köe wir das schreibe als: y = a b x. Verläuft eie Gerade icht durch, so sei c ei beliebiger Pukt der Gerade. Da gilt: Für jede beliebige Pukt x der Gerade gilt: ( x c = x = c Also erfülle alle Pukte (x, y eier solche Gerade eie Gleichug der Form ax + by = d also eie ihomogee lieare Gleichug. Wählt ma statt eies beliebige Normalevektors eie Normaleeiheitsvektor, folgt aus ( x c =, also ax+by d =. Diese sogeate Hesse Normalform hat de Vorteil, daß sich für eie a +b Pukt p, welcher icht Elemet der Gerade ist, der Abstad des Puktes zur Gerade als ( p c ergibt (bis auf das Vorzeiche. ( ( ( x xv yv Ist eie Gerade i der Pukt-Richtugsform + t gegebe, so steht der Vektor ( y y v x v xv sekrecht auf dem Richtugsvektor (ud damit sekrecht zur gesamte Gerade. Als lieare y b Gleichug beschriebe erhalte wir für die Pukte (x, y der Gerade: (( ( ( x x yv = y y v x x v y + x y v + y x v = y x v Das Kreuzprodukt im R 3 Wir habe gesehe, daß das Skalarprodukt zweier Vektore im R für alle N defiiert ist. Speziell a b ur für = 3 defiiere wir daß Kreuz (oder Vektor- produkt vo a = a ud b = b wie a 3 b 3 folgt: a b := a b 3 a 3 b a 3 b a b 3 a b a b

4 Es gilt: Aalog sieht ma ( a b a = a (a b 3 a 3 b + a (a 3 b a b 3 + a 3 (a b a b = a a b 3 + a a 3 b + a a 3 b a a 3 b a a b 3 a a 3 b = ( a b b = Das Kreuzprodukt steht also auf de beide, am Kreuzprodukt beteiligte, Vektore a ud b sekrecht. Weiter gilt für λ R : Außerdem habe wir: = a (λ a = a ( b + c = a b 3 a 3 b a 3 b a b 3 a b a b + λa a 3 λa 3 a λa 3 a λa a 3 λa a λa a = λ = a (b 3 + c 3 a 3 (b + c a 3 (b + c a (b 3 + c 3 a (b + c a (b + c a c 3 a 3 c a 3 c a c 3 a c a c = a b + a c Das Kreuzprodukt ist also distributiv (Hierbei ehme wir, wie üblich a, daß eie Multiplikatio stärker als eie Additio bidet. Das Kreuzprodukt ist allerdigs icht kommutativ: = aber Es ist aber atikommutativ, d.h. es gilt für alle a, b R 3 : b a = a b = Grud: b a = b a 3 b 3 a b 3 a b a 3 b a b a = a b 3 a 3 b a 3 b a b 3 a b a b = a b Lemma: a b = a b ( a b Grud: Es ist a b = (a b 3 a 3 b + (a 3 b a b 3 + (a b a b. Wege (a + b + c = a + b + c + ab + ac + bc ist (a + a + a 3 (b + b + b 3 (a b + a b + a 3 b 3 = a b + a b 3 + a b + a b 3 + a 3 b + a 3 b a b a b a b a 3 b 3 a b a 3 b 3 = (a b a b a b + a b + (a b 3 a b 3 a 3 b + a 3 b + (a 3 b a 3b a b 3 + a b 3. Bemerkug: Das Kreuzprodukt zweier Vektore ist durch die folgede Forderuge eideutig bestimmt: a ( b + c = a b + a c a b = b a a (λ b = (λ a v = λ( a b a ( a b =

5 a b = a b ( a b Die letzte Forderug kligt u ei weig ugewöhlich. Umgeschriebe lautet sie: ( a b a b = a b a b cos ϕ = a b a b = a b ( cos(ϕ = a b si(ϕ Letzteres ist ichts weiter als die Fläche des vo de Vektore a ud b aufgespate Parallelogramms quadriert. Satz (bac-cab-regel: Für a, b, c R 3 gilt: a ( b c = b( a c c( a b Grud: Nachreche Awedug: Für eie Eiheitsvektor R 3 gilt: ( x = x( ( x = x ( x also x = ( x + ( x Hierbei ist x := ( x die Projektio vo i Richtug ud x := ( x der Fußpukt des Lotes der Projektio vo x auf E (der Ebee durch, sekrecht zu.

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