GRUNDLAGEN WIRTSCHAFT Kosten Erlös Gewinn. Prof. Dr. Friedrich Wilke

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1 GRUNDLAGEN WIRTSCHAFT Prof. Dr. Friedrich Wilke Kosten Erlös Gewinn 1 Kosten, Erlös und Gewinn im Überblick Kostenfunktionen Fie und variable Kosten Lineare Kosten Ertragsgesetzliche Kosten Preis-Absatz- und Erlösfunktionen Nachfrage- und Preis-Absatz-Funktion Preiselastizität Horizontale Preis-Absatz-Funktion Fallende Preis-Absatz-Funktion Gewinnverlauf Lineare Kosten und horizontale PAF Lineare Kosten und fallende PAF Steigende Grenzkosten Deckungsbeitrag Break-Even-Menge Wiederholungsfragen Übungsaufgaben... 2 Lösungshinweise Cologne University of Applied Sciences -- Fachhochschule Köln -- Campus Gummersbach

2 1 Vorbemerkung Das in marktwirtschaftlichen Unternehmen dominierende betriebliche Entscheidungskriterium ist der Gewinn mit seinen beiden Komponenten Erlös und Kosten oder Ertrag und Aufwand, der Unterschied ist hier nebensächlich. Wir beschäftigen uns hier mit einigen elementaren Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktionen, wobei insbesondere der Zusammenhang mit der Produktionsmenge interessiert. Diese Funktionen werden uns in vielen wirtschaftlichen Themenbereichen immer wieder begegnen. Im Mittelpunkt steht allerdings nicht so sehr die eingehende Betrachtung der dahinter stehenden ökonomischen Sachverhalte und Probleme, sondern der Umgang mit dem ökonomischen Werkzeugkasten. Es geht um die funktionale Betrachtungsweise, wie sie in den Wirtschaftswissenschaften üblich ist. Aus der Mathematik wird eigentlich nicht viel mehr benötigt als der Umgang mit elementaren Funktionen, vor allem mit linearen Funktionen. Hinzu kommen noch die Parabel und Hyperbel. Wir bilden die 1. Ableitung (Steigung), bestimmen Etremwerte (Minimum, Maimum), berechnen Schnittpunkte und erstellen entsprechende Diagramme. Auch die Lösung einer quadratischen Gleichung kann erforderlich sein. Das alles sind Werkzeuge, von denen man annehmen sollte, dass sie vertraut sind. Meine Erfahrung indessen zeigt ein anderes Bild. Wenn das der -Achse nunmehr als Menge interpretiert wird, wenn auf der y-achse plötzlich nicht mehr y, sondern p oder K erscheint, dann herrscht schnell Verwirrung, und die 1. Ableitung einer Geraden wird zum Problem. Dazu mag auch beitragen, dass eine Steigung nun Grenzkosten und Grenzerlösen heißt, dass die Hyperbelform eine Kostendegression anzeigt, dass der Schnittpunkt zweier Geraden eine Gewinnschwelle ist und die Elastizität das Kundenverhalten beschreibt. Funktionen und ihre Parameter sind nicht länger abstrakte Dinge, sondern erhalten konkrete inhaltliche Bedeutung. Sie werden nicht nur in der ökonomischen Theorie benötigt, sondern in der unternehmerischen Prais auch tatsächlich verwendet. 1 Kosten, Erlös und Gewinn im Überblick Die zentralen Aktivitäten von Unternehmen und ihre Verflechtungen mit der Umwelt lassen sich durch einige Variable und Funktionen ausdrücken. Abbildung 1: Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktionen im Überblick Kernprozess von Unternehmen ist die Produktion von Gütern, meist um Gewinne zu erwirtschaften. Von außen beziehen sie Mengen an Produktionsmitteln (r) für die Preise (q) entrichtet werden. Dabei wird die Einkaufsmenge (Nachfrage) wohl auch vom Preis abhängen: Faktor-Nachfragefunktion:... r = f(q) Produktion bedeutet Umwandlung der Produktionsmittelmengen (r) in andere Gütermengen (). Durch Verbrauch und Abnutzung entstehen Kosten (K). Produktionsfunktion:... = f(r) Kostenfunktion:... K = f()

3 2 Die hergestellten Mengen werden zu bestimmten Preisen verkauft. Dabei sind Verkaufspreis (p) und Absatzmenge () im Allgemeinen wechselseitig voneinander abhängig. Nachfragefunktion (oder Preis-Absatz-Funktion):.. = f(p)... oder auch... p = f() Durch Verkauf entsteht Erlös (Preis Menge = Umsatz). Zieht man vom Erlös (E) die Kosten (K) ab, so erhält man den Gewinn (oder auch einen Verlust). Beide Größen variieren mit der Menge. Erlösfunktion:... E = f() Gewinnfunktion:... G = f() = E() K() Alle untereinander verflochten Funktionen liefern in einer gemeinsamen Sichtweise ein erstes, einfaches Unternehmensmodell. 2 Kostenfunktionen 2.1 Fie und variable Kosten Kostenfunktion beschreiben, wie sich Kosten mit der Produktionsmenge verändern. Kosten sind der (in Geld bewertete) Verzehr an Produktionsmitteln. Insofern kann man Kostenfunktionen auch aus Verbrauchsfunktionen (Produktionsfunktionen) in Verbindung mit den Preisen der eingesetzten Produktionsmittel herleiten. Darauf sei aber nicht weiter eingegangen. Wir gehen gleich zur Darstellung typischer Kostenverläufe über. Abbildung 2: Fie und variable Kosten Kosten Kosten überproportionale K. fie Kosten proportionale K. unterproportionale K. Menge Menge Innerhalb der Kosten kann man zwischen fie Kosten und variable Kosten unterscheiden. Kriterium ist die Mengenabhängigkeit 1. Die fien Kosten (K f ) sind unabhängig von der Produktionsmenge und werden durch eine Parallele zur Mengenachse dargestellt. Die variablen Kosten (K v ) können sich proportional, überproportional und unterproportional mit der Menge verändern. Aus der Kombination (Zusammensetzung) dieser Varianten können mehrere verschiedene Typen von Kostenverläufen konstruiert werden. Die zwei reinen Typen sind der lineare Kostenverlauf und der ertragsgesetzliche Kostenverlauf. Weitere Typen (Mischformen) sind beispielsweise die sprungfien Kosten und der Fall der zuerst linear dann (in der Nähe der Kapazitätsgrenze) überproportional steigenden Kosten. 1 Auch die Höhe der fien Kosten kann sich selbstverständlich verändern wie alles im ökonomischen Leben aber eben nicht, weil die Produktionsmenge steigt oder fällt. So zählt beispielsweise die Kraftfahrzeugsteuer zu den fien Kosten. Sie kann sich ändern, variiert aber nicht mit der Kilometerleistung.

4 3 Beide reinen Typen werden in den nachfolgenden Abbildungen und mit konkreten Zahlenbeispielen näher beschrieben. Dabei interessieren nicht allein die Gesamtkosten, sondern auch die Stückkosten (k) und nicht zuletzt die Grenzkosten (K ). K = K v + K f K = Gesamtkosten K v = variable Gesamtkosten K f = fie Gesamtkosten k = k v + k f k = Stückkosten k v = variable Kosten pro Stück k f = fie Kosten pro Stück K K k = v K kv = f dk kf = K = d K = Grenzkosten Abbildung 3: Grenzkosten und Stückkosten Kosten α P tan α = Grenzkosten (K ) In grafischen Darstellungen kann man auf einen Blick sehr schnell einschätzen, ob bei einer bestimmten Menge die Grenzkosten oder Stückkosten höher sind und auch ob sie steigen oder fallen, und zwar durch Vergleich von zwei Winkeln. In einem Punkt P auf der Kostenkurve werden die Grenzkosten durch die Steigung der Funktion wiedergegeben, und die Höhe der Stückkosten lässt sich anhand der Steigung eines Fahrstrahls aus dem Ursprung beurteilen. β tan β = Stückkosten (k) Menge Für die Kostenanalyse sind zwei Mengen von Bedeutung, und zwar das Betriebsoptimum (BO) und das Betriebsminimum (BM) Das Betriebsoptimum (BO) ist die zu minimalen Stückkosten hergestellte Menge. Im Betriebsminimum (BM) wird zu minimalen variablen Stückkosten produziert. BO und BM sind allein durch Kosten definiert. Ob das Unternehmen dabei einen Gewinn erwirtschaftet oder gar Verluste erleidet, bleibt offen, denn dazu müssten die Umsätze einbezogen werden. Im Hinblick auf Erlöse und Gewinnen kann eine ganz andere Herstellmenge optimal sein. Zur Beschreibung des Kostenverlaufs kann neben den Grenzkosten (Steigung) auch die Kostenelastizität herangezogen werden. Kostenänderung (in %) Kostenelastizität = = Mengenänderung (in %) Grenzkosten Stückkosten dk /K K e = = d / k Dabei ist zu beachten, dass die Kostenelastizität sich stets auf einen konkreten Punkt (K;) der Kostenkurve bezieht und normalerweise für jeden Punkt unterschiedlich ist, auch dann, wenn die Kostenfunktion eine Gerade ist und überall dieselbe Steigung besitzt Lineare Kosten Lineare Kosten sind der einfachste Fall, und sie werden uns noch ausgiebig beschäftigen, insbesondere weil sie in der Prais nahezu ausschließlich unterstellt werden (vgl. Abbildungen 4). 1 Ausnahme: Lineare Kosten ohne Fikosten (Ursprungsgerade) haben unabhängig von der Steigung überall eine Kostenelastizität von genau 1 (reine proportionale Kosten).

5 4 Abbildung 4: Lineare Kosten K = K f + K v K =m + b K = K f = b = 12 K v = m = 2 k = k f + k v k = m + b/ k = 12: + 2 k f = 12: k v = K = 2 K = dk/d K = m Abbildung a: Gesamtkosten 35 K Tabelle a 3 K K f K v k K v K f Abbildung b: Einzelkosten Tabelle b k f k v k 2, 1 12, 2, 14, 2 6, 2, 8, 3 4, 2, 6, 4 3, 2, 5, 5 24, 2, 44, 6 2, 2, 4, 7 17,1 2, 37,1 8 15, 2, 35, 9 13,3 2, 33,3 1 12, 2, 32, k k v k f

6 5 Die Stückkosten (k fallen stetig, weil sich die konstanten Fikosten auf eine größere Menge verteilen (Kostendegression). Sie sind stets größer als die Grenzkosten, nähern sich diesen aber mit steigender Menge. Die Grenzkosten (K ) sind konstant und gleich den variablen Stückkosten (k v ). Die Kostenelastizität ist stets kleiner als 1 und nähert sich steigender Menge dem Wert 1. Berechnungen Nur bei linearen Kosten gilt: Grenzkosten = variable Stückkosten K = k v. Die Parameter m und b einer linearen Kostenfunktion K = m + b können berechnet werden, wenn a) zwei Punkte oder b) ein Punkt und die Steigung oder c) ein Punkt und die Kostenelastizität bekannt sind. Beispiel 1 Laut ADAC-Tabelle kostet das Auto MOBILUS,6 /km bei einer jährlichen Fahrleistung von 15. km, bei 2. km dagegen nur,5 /km. Die Kostenfunktion sei linear. Aus den beiden Gleichungen ,6 = 9. = m b 2.,5 = 1. = m 2. + b folgt... m =,2 und b = 6. also... K =, MOBILUS kostet unabhängig von der Fahrleistung 6. und zusätzlich 2 Cent pro Kilometer. Beispiel 2 Im Monat August werden 5 Fertiggaragen zu Gesamtkosten von 15. gefertigt. Die Materialkosten, Fertigungslöhne und andere variable Kosten belaufen sich dabei auf 2. pro Garage und sind konstant damit ist die Kostenfunktion linear. Bei linearen Kosten gilt k v = K, also... m = 2. Aus der Gleichung = b folgt... b = 5. also... K = Beispiel 3 Derzeit kostet die Herstellung von 2. Flaschen 3. Die Kostenelastizität in der Ausgangslage sei,8. Die Kostenfunktion ist eine Gerade. Mit Hilfe der Elastizität kann ein zweiter Punkt berechnet werden. So wird beispielsweise ein Mengenzuwachs von 5 % die Kosten um das,8-fache, also um 4 % erhöhen. (Man kann statt 5 % auch irgendeinen anderen Prozentsatz nehmen.) Also wird die Herstellung von 3. Flaschen insgesamt 42 kosten. Dann geht weiter es wie im Beispiel 1 (2 Punkte). Aus der Elastizität können bei bekannten Stückkosten auch direkt die Grenzkosten berechnet werden. Dann geht es weiter wie im Beispiel 2 (Punkt-Steigung). Stückkosten in der Ausgangslage... k = 3 : 2. =,15. K Aus e = folgt... K = e k =,8,15 =,12 k Sie können auch so fortfahren: Bei linearen Kosten gilt K = k v. Das ergibt bei = 2. Flaschen K v =,12 2. = 24. Also betragen die Fikosten 3 24 = 6. Wie auch immer Sie rechnen, das Ergebnis lautet: K =, Ertragsgesetzliche Kosten Ertragsgesetzliche Kosten steigen zuerst unterproportional dann überproportional (Abbildung 5). Dieser Typ spielt in der Wirtschaftstheorie oftmals eine große Rolle. Er ist das Spiegelbild der ertragsgesetzlichen Produktionsfunktion.

7 6 Abbildung 5: Ertragsgesetzliche Kosten K = K f + K v K = K f = 54 K v = k = k f + k v k = 54/ k f = 54: k v = K = dk/d K = Abbildung a: Gesamtkosten 4 35 K Tabelle a 3 K v K f K v K K f Tabelle b GKM BM BO Abbildung b: Einzelkosten k f k v k K , 198, 45, 156, 4 126, 16, 286, 96, 3 25 K 6 84, 132, 216, 6, 8 63, 112, 175, 48, 1 5,4 1, 15,4 6, 12 42, 96, 138, 96, 14 36, 1, 136, 156, k k v 16 31,5 112, 143,5 24, 18 28, 132, 16, 348, 2 25,2 16, 185,2 48, GKM BM BO k f GKM = Grenzkostenminimum bei = 8, BM = Betriebsminimum bei = 12, BO = Betriebsoptimum bei = 13,4

8 7 Grenzkosten und auch Stückkosten zeigen beide einen U-förmigen Verlauf, sie steigen also nach Überschreitung ihres Minimums wieder an. Zuerst wird das Grenzkostenminimum (GKM) erreicht (Minimum der 1. Ableitung = Wendepunkt der Kostenkurve). Anschließend schneidet die Grenzkostenkurve von unten zuerst die Kurve der variablen Stückkosten im Betriebsminimum (BM) und anschließend die Kurve der Stückkosten im Betriebsoptimum (BO). Vor dem Betriebsoptimum sind die Grenzkosten kleiner als die Stückkosten, danach sind sie größer. Im BO sind nur bei ertragsgesetzlichen Kosten die Grenzkosten gleich den Stückkosten (K = k). Hier nimmt die Kostenelastizität den Wert 1 an. Auf eine vertiefende mathematische Darstellung ertragsgesetzlicher Kosten wollen und können wir an dieser Stelle verzichten. In der betrieblichen Prais geht man nahezu ausschließlich von linearen Kosten aus. Oft ist man zufrieden, wenn eine vernünftige Zuordnung der Kosten zu den Kostenträgern (Produkte) und eine Trennung in fie und variable Kostenbestandteile hinreichend gelingen. Zwar werden manchmal auch steigende Grenzkosten berücksichtigt, doch werden entsprechende Funktionen nach meiner Kenntnis dabei nie berechnet. Zusammenfassung der wichtigsten Unterschiede beider Kostentypen: Lineare Kosten Ertragsgesetzliche Kosten variable Kosten K v steigen proportional steigen erst unter-, dann überproportional variable Stückkosten k v sind konstant verlaufen U-förmig Stückkosten k fallen stetig verlaufen U-förmig Grenzkosten K sind konstant verlaufen U-förmig K = k v? K = k v überall K k v (Ausnahme BM) Betriebsoptimum BO an der Kapazitätsgrenze vor der Kapazitätsgrenze 3 Preis-Absatz- und Erlösfunktionen 3.1 Nachfrage- und Preis-Absatz-Funktion Erlös (Umsatz) ist Preis mal Menge (E = p ). Bevor wir die Erlösfunktion behandeln, müssen wir einen Zwischenschritt einlegen, denn zwischen Preis und Menge gibt es eine wechselseitige Abhängigkeit. Dazu wird eine Nachfragefunktion (NEF) oder eine Preis-Absatz-Funktion (PAF) benötigt. Nachfragefunktion (NEF) und Preis-Absatz-Funktion (PAF): = f(p) oder auch Umkehrfunktion: p = f() Beide, NEF und PAF, beschreiben den funktionalen Zusammenhang zwischen dem Preis p eines Gutes und der mengenmäßigen Nachfrage nach diesem Gut unter sonst gleichen Umständen (Bedarfsstruktur, Einkommen usw.). Beide sind auf den ersten Blick weder in der algebraischen noch in der grafischen Darstellung unterscheidbar. Der Unterschied ist allein die Frage, was mit Menge gemeint ist. NEF: Nachfragemenge ist die auf einem Markt von allen gewünschte Menge, also auch die von allen Unternehmen zusammen erreichte oder erreichbare Verkaufsmenge auf einem relevanten Markt. (Marktpotential/Marktvolumen). Diese NEF hat im Normalfall eine negative Steigung. Nachfragefunktionen werden insbesondere in der VWL zur Erklärung von Preisbildungsprozessen verwendet. PAF: Absatzmenge ist nur die von einem einzelnen Unternehmen geplante oder realisierte individuelle Verkaufsmenge (Absatzpotential, Absatzvolumen). Sie ist üblicherweise kleiner als die Gesamtmenge, zumindest sofern mehrere Unternehmen vorhanden sind. Nur im Monopol sind beide Größen identisch, und nur dann sind NEF und PAF ebenfalls identisch.

9 8 Fragt ein Unternehmen, welche Menge es absetzen kann, wenn es diesen oder jenen Preis fordert, so ist die Preis-Absatz-Funktion (PAF) relevant. Wir beschäftigen uns hier mit den individuellen betrieblichen Größen und legen daher die PAF zugrunde. Das Mengensymbol steht hier also für die individuelle Absatzmenge einer Unternehmung. Abbildung 6: Preis-Absatz- und Erlösfunktionen a) Horizontale PAF b) Fallende PAF (hier lineare PAF) PAF: p = const. E = p PAF: p = m + b E = 2m + b p = 4 E = 4 p = E = Abbildung a: Horizontale PAF Abbildung b: Fallende (lineare) PAF PAF: p = E PAF E 2 5 E` Erlösfunktion E = p Erlösfunktion E = p = m 2 + b E = 4 E = Erlösmaimum E 4 6 E 3 Erlös 5 4 Erlös E Tabelle a Tabelle b p E E p E E

10 9 Sind die Achsenbezeichnungen in den Preis-Mengen-Diagrammen vertauscht? In der grafischen Darstellung der Funktion = f(p) würde man der mathematischen Konvention entsprechend die Menge als unabhängige Variable auf der y-achse und den Preis p als abhängige Variable auf der -Achse abtragen. Hier steht aber die Menge grundsätzlich auf der -Achse und somit p auf der y-achse, entspricht also der Umkehrfuktion p = f(). Das mag vielen gewöhnungsbedürftige erscheinen, ist aber für die weiteren Darstellungen mit den Kosten und Erlösen zweckmäßiger und lässt sich auch ökonomisch rechtfertigen, denn Preis und Menge sind nicht einseitig, sondern wechselseitig voneinander abhängig. Eine wichtige Orientierungsgröße für die Absatz- und Umsatzplanung eines Unternehmens ist sicherlich die Gesamtnachfrage (Marktanteil). Auch das Verhalten der Konkurrenten (bei Preissenkungen oder Preisanhebungen) wird eine Rolle spielen. Beide Faktoren haben Einfluss auf die Gestalt der PAF. Insofern kann eine PAF auch ganz merkwürdige Formen annehmen. So gibt es beispielsweise einfach geknickte und doppelt geknickte PAF. Hier behandeln wir nur die zwei folgenden Elementartypen mit den daraus ableitbaren Erlösfunktionen. Das sind die horizontale PAF und die fallende PAF. Dahinter stehen zwei verschiedene Einschätzungen und Einstellungen einer Unternehmung zu einer eigenständigen Preispolitik. Ein Beispiel mag die unterschiedlichen Entscheidungssituationen verdeutlichen. Beispiel: Sie planen den Verkauf von Aktien. Wie kann der Zusammenhang zwischen Ihrer Verkaufsmenge und dem Preis (Aktienkurs) aussehen? Im ersten Fall besitzen Sie nur ein paar wenige Aktien einer AG. Sie können ruhig davon ausgehen, dass Ihre kleine Verkaufsmenge den Aktienkurs nicht beeinflusst. Also ist der Aktienkurs in Ihrer Planung eine von außen vorgegebene Größe. So etwas nennen wir Datum 1. Sie können dann lediglich entscheiden, welche Menge Sie zum herrschenden Kurs gerne verkaufen möchten. Dieses Verhalten heißt Mengenanpassung. Weil der Preis in Ihrer Planung eine konstante Größe ist, hat Ihre PAF im Diagramm einen horizontalen Verlauf (Abbildung 6 links-oben). Im zweiten Fall besitzen Sie ein sehr großes Aktienpaket einer AG. Sie müssen nun damit rechnen, dass Ihre Verkaufsmenge sehr wohl einen spürbaren Einfluss auf den Aktienkurs ausübt. Der Preis ist in Ihrer Planung kein Datum, sondern eine Variable, wobei Sie normalerweise unterstellen werden, dass eine größere Verkaufsmenge den Kurs drückt. Umgekehrt formuliert: Eine größere Menge werden Sie vermutlich nur zu einem geringeren Preis verkaufen können. Im Preis-Mengen-Diagramm zeigt Ihre PAF nun einen fallenden Verlauf (Abbildung 6 rechts-oben). 3.2 Preiselastizität Eine PAF beschreibt das Verhalten der Kunden umfassend bei allen Preisforderungen. Bezogen auf einen konkreten Punkt (Ausgangslage) wird die Mengenreaktion der Nachfrager (Wirkung) als Folge einer Preisänderung (Ursache) durch die Preiselastizität (der Nachfrage) gemessen. Die Preiselastizität ist im Normalfall negativ. Der absolute Betrag zeigt, wie stark (empfindlich) die Reaktion ist. Preiselastizität = Mengenänderung (in %) Preisänderung (in %) d / d e = = : dp / p dp p 1 Ein Datum ist eine ökonomische Größe, die in der eigenen Planung als von außen vorgegeben und durch eigene Aktionen unbeeinflussbar angenommen wird. Alle Daten zusammen bilden den Datenkranz der Planung. (Selbstverständlich kann sich ein Datum ändern, aber nicht als Folge eigener Aktionen.)

11 1 Beispiele: Eine Preiselastizität von 1,2 bedeutet, dass eine Preiserhöhung um einen bestimmten Prozentsatz (z.b. 3%) einen relativen Mengenrückgang um das 1,2-fache (hier: 3,6%) bewirkt (elastische Reaktion). Die Preiserhöhung sei 5%. Als Folge davon nimmt die Nachfragemenge um 3% ab. Die Preiselastizität ist dann,6 (unelastische Nachfrage). Die Preiselastizität bezieht sich stets auf einen konkreten Punkt (p;) der PAF und ist im Allgemeinen nicht konstant ist. auch nicht bei einer konstanten Steigung. 3.3 Horizontale Preis-Absatz-Funktion Eine horizontale PAF drückt aus, dass ein Unternehmen den herrschenden Marktpreis als ein Datum betrachtet und die Strategie der Mengenanpassung betreibt (Abbildung 6 links). Bei einer höheren Preisforderung schwindet der eigene Absatz auf Null. Bei einem niedrigeren Preis kann die gesamte (winzige) Menge abgesetzt werden; dies ist aber auch zum herrschenden Marktpreis möglich. In diesem Fall ist die Erlösfunktion eine Ursprungsgerade mit dem Preis als Steigung (= Grenzerlös). Nur bei einem konstanten Preis ist E = p. Das Erlösmaimum liegt an der Kapazitätsgrenze. Die Preiselastizität ist unendlich; die PAF ist vollkommen elastisch. 3.4 Fallende Preis-Absatz-Funktion Eine fallende PAF drückt aus, dass ein Unternehmen davon ausgeht, dass es eine höhere Menge nur zu einem geringeren Preis absetzen kann. Stellvertretend für die vielen möglichen Funktionsverläufe unterstellen wir den einfachsten Fall; das ist eine linear fallende PAF (Abbildung 6 rechts). Dann ist die Erlösfunktion eine gleichseitige Parabel mit einem Maimum in der Mitte Die Grenzerlösfunktion ist ebenfalls linear und hat dem absoluten Betrag nach eine doppelt so große Steigung wie die PAF. PAF... p = m + b, wobei m < Erlös... E = p = (m + b) = m 2 + b Grenzerlös... E = 2m + b Aus der Bedingung für das Erlösmaimum... E = b 1 folgt... E = und pe = b 2m 2 Abbildung 7: Elastizitätsbereiche Preis e= 7 PAF e= 3 elastischer Bereich e= 5/3 e= 3/5 Erlösmaimum e = 1 e= 1/3 unelastischer Bereich e= 1/7 Die Preiselastizität ist negativ wie die Steigung, im Gegensatz dazu aber nicht konstant, sondern in jedem Punkt unterschiedlich (von bis ). In der Mitte hat die PAF eine Elastizität von genau 1, darüber ist die PAF elastisch (absoluter Betrag von e > 1), darunter unelastisch (absoluter Betrag von e < 1). Menge

12 11 Berechnungen Die Parameter m und b einer linearen PAF p = m + b können berechnet werden, wenn a) zwei Punkte oder b) ein Punkt und die Steigung oder c) ein Punkt und die Preiselastizität bekannt sind 1. Dann kann auch die Erlösfunktion mit ihrem Maimum bestimmt werden. Beispiel 1 Für ein Oldie-Konzert mietet der Veranstalter die Stadthalle. Sie darf maimal mit 1.2 Personen besetzt werden. Er nimmt an, dass niemand bereit ist, 1 (und mehr) zu bezahlen. Bei einem Eintrittspreis von 75 kann er 5 Karten verkaufen. Die PAF sei linear. Bei welchem Preis ist die Stadthalle ausverkauft? Welcher Preis bringt den größten Umsatz? Aus den beiden Gleichungen... 1 = m + b 75 = m 5 + b folgt... b = 1 und m =,5 PAF... p =,5 + 1 Erlösfunktion... E =p =, Grenzerlösfunktion... E =,1 E + 1 Aus... E =, also,1 E + 1 = folgt das Umsatzmaimum... E = 1. und p E = 5 Für... = 1.2 ist p = 4 Die Stadthalle ist ausverkauft bei einem Preis von 4 (und weniger). Das bringt Einnahmen von 48.. Der größte Umsatz beträgt 5. und wird bei einem Preis von 5 mit 1. Besuchern erzielt. Beispiel 2 Derzeit werden zum Preis von 12 monatlich 5. Flaschen verkauft. Aus Marketingstudien ist für diese Ausgangslage eine Preiselastizität von,4 bekannt. Die PAF ist linear. Mit Hilfe der Elastizität kann ein zweiter Punkt berechnet werden. So wird beispielsweise eine Preisanhebung von 25 % die Absatzmenge um,4-fache, also um 1 % reduzieren. (Man kann statt 1 % auch irgendeinen anderen Prozentsatz nehmen.) Also werden zum Preis von 15 nur noch 45. Flaschen verkauft. Dann geht es weiter wie im Beispiel 1. Aus den beiden Gleichungen = m 5. + b 15 = m b folgt... m =,6 und b = 42 PAF... p =, Gewinnverlauf Eines der wichtigsten Ziele privater Unternehmen ist das Gewinnstreben; Kostendeckung kann allenfalls ein Minimalziel darstellen. Der Gesamtgewinn (G) ist die Differenz aus Erlös und Kosten, der Stückgewinn (g) ist der Preis abzüglich der Stückkosten. G = E K g = p k G = g Gewinn Stückgewinn Gewinn = Erlös Kosten = Preis Stückkosten = Stückgewinn Menge Gewinnmaimum Das gewinnmaimale Menge (kurz: Gewinnmaimum) liegt dort, wo die 1. Ableitung der Gewinnfunktion (Grenzgewinn) gleich Null ist. Dann stimmen auch Grenzerlös und Grenzkosten überein. 1 Die Methoden sind von der Bestimmung der Kostenfunktion her bereits vertraut. Auf b) verzichten wir hier.

13 12 Aus... G = E K folgt als notwendige Bedingung:... G = E K = oder... E = K Dies gilt generell, und zwar unabhängig von der Gestalt der PAF. Bei konstanten Preisen (horizontale PAF) gilt wegen E = p die Grenzkosten-Preis-Regel. Gewinnmaimum bei konstanten Preisen:... p = K Aus der Kombination von zwei Kostenkurven (linear und ertragsgesetzlich) und zwei Erlöskurven (linear und parabelförmig) ergeben sich eigentlich vier Grundtypen. Die ertragsgesetzlichen Kosten wollen wir allerdings nicht weiter behandeln. So verbleiben nur noch die beiden Fälle mit linearen Kosten. 4.1 Lineare Kosten und horizontale PAF Die Kombination aus linearen Kosten und horizontaler PAF ist der einfachste Fall (vgl. Abbildungen 8). Bei kleinen Mengen müssen Verluste hingenommen werden, weil wegen der Fikosten die Erlöse zunächst noch kleiner sind als die Gesamtkosten. Ab einer bestimmten Menge entstehen Gewinne. Diese Gewinnschwelle heißt Break-Even-Punkt (B) und wird etwas später noch ausführlicher behandelt. Rechenbeispiel (Abbildung 8) Gegeben sind:... p = 4 und K = Aus der Bedingung für die Gewinnschwelle... E= K folgt... 4 = 2 B + 12 und die Break-Even-Menge... B = 6 Das Erlösmaimum und auch das Gewinnmaimum liegen an der Kapazitätsgrenze. 4.2 Lineare Kosten und fallende PAF Die Kombination aus linearen Kosten und linear fallender PAF sieht etwas komplizierter aus. Auch hier ergibt sich eine Gewinnschwelle. Die Gewinne erreichen aber später ein Maimum und nehmen dann wieder ab. Das Gewinnmaimum wird vor dem Umsatzmaimum erreicht. Es liegt bei jener Menge, wo sich Grenzerlös- und Grenzkostenkurve schneiden (Punkt C in Abbildung 9 unten). Dieser Punkt wird auch als COURNOT scher Punkt bezeichnet. Die gewinnmaimale Preis-Mengen- Kombination wird durch die Koordinaten von Punkt G auf der PAF repräsentiert. Rechenbeispiel (Abbildung 9) Gegeben sind: PAF: p = Kosten: K = Wir bestimmen zunächst E, danach E und K E = p = E = K = 4 Aus der Bedingung für das Gewinnmaimum (E = K ) folgt 4 M + 2 = 4 G = 4 Diese Menge in die PAF eingesetzt ergibt den gewinnmaimierenden Preis p G = p G = 12 Aus dieser Preis-Mengen-Kombination lassen sich dann leicht die Höhe der Erlöse, der Kosten und der Gewinne (insgesamt und pro Stück) berechnen.

14 13 Abbildung 8: Lineare Kosten und horizontale PAF p = 4 (PAF) Abbildung a E = 4 E = 4 K f = 12 K v = 2 K = k v = K = 2 k = : G = g = -12: + 2 Tabelle a E K f Kv K G Abbildung b Tabelle b p E K k g 4 4, 2, 1 4 4, 2, 14, -1, 2 4 4, 2, 8, -4, 3 4 4, 2, 6, -2, 4 4 4, 2, 5, -1, 5 4 4, 2, 44, -4, 6 4 4, 2, 4,, 7 4 4, 2, 37,1 2, , 2, 35, 5, 9 4 4, 2, 33,3 6, , 2, 32, 8, B Preis Grenzkosten Stückkosten B B = Break-Even-Punkt Erlös Kosten Gewinn B Stückgewinn -3 B

15 14 Abbildung 9: Lineare Kosten und fallende PAF p = 2-2 E = Abbildung a E = K f = 24 K v = 4 Kosten K = k v = K = 4 k = / G = g = -24: B Erlös Tabelle a E K f Kv K G Abbildung b Tabelle b B G C p E K k g 2 2, 4, , 4, 28, -1, , 4, 16,, , 4, 12, 2, , 4, 1, 2, 5 1, 4, 88, 12, 6 8-4, 4, 8,, 7 6-8, 4, 74,3-14, , 4, 7, -3, , 4, 66,7-46,7 1-2, 4, 64, -64, = Break-Even-Punkt = Gewinnmaimum = Cournot scher Punkt p G G E' PA G G C Gewinn G Stückgewinn -4 k K

16 15 Abbildung 1: Ertragsgesetzliche Kosten und horizontale PAF PAF: p = 175 E = 175 K = G = E = 175 K = Break-Even-Menge: BEP : E = K oder G = Gewinnmaimum: G : E = K oder G = Abbildung a 4 35 Tabelle a E K G Erlös 25 Kosten 2 B 15 1 G Gewinn Tabelle b Abbildung b p = E K k g 175, 24, 2 175, 156, 45, -275, 4 175, 96, 286, -111, 6 175, 6, 216, -41, 8 175, 48, 175,, 1 175, 6, 15,4 24, , 96, 138, 37, , 156, 136, 39, , 24, 143,5 31, , 348, 16, 15, 2 175, 48, 185,2-1,2 3 Grenzkosten 25 Stückkosten 2 B G Preis Stückgewinn B G = Break-Even-Point bei B = 8, = Gewinnmaimum bei G = 14,5

17 16 Das Konstruktionsprinzip zur Bestimmung des Umsatz- und des Gewinnmaimums im Fall der linear fallenden PAF wollen wir stichwortartig zusammenfassen. Schritte zur grafischen Ableitung von Erlös- und Gewinnmaimum Lineare PAF zeichnen Menge halbieren und Grenzerlösgerade E zeichnen. Schnittpunk von E mit der -Achse ergibt die erlösmaimierende Menge. Grenzkostenkurve K einzeichnen. Schnittpunk von E und K ergibt die gewinnmaimierende Menge. Für diese Mengen über die PAF (nicht über E!) den Preis bestimmen. 4.3 Steigende Grenzkosten Für den ertragsgesetzlichen Kostenverlauf ergeben sich methodisch keine neuen Aspekte, weder für eine horizontale PAF (Abbildung 1).noch für eine fallende PAF. Abbildung 11: Steigende Grenzkosten und fallende PAF PAF 12 Gewinnmaimum K Erlösmaimum 8 E' 4 C Es lässt sich in allen Fällen das oben genannte Konstruktionsprinzip anwenden. Für das Gewinnmaimum ist allein der Schnittpunkt von Grenzerlös und Grenzkosten relevant ist. Wie etwa die Grenzkosten vorher oder nachher verlaufen ist dafür unerheblich. So kann man anstelle der linearen auch nichtlineare ( irgendwie steigende) Grenzkosten problemlos verwenden, also das Lösungsprinzip ohne Schwierigkeiten beispielsweise auf einen ertragsgesetzlichen Kostenverlauf übertragen: Man zeichnet im 3. Schritt einfach eine andere Grenzkostenkurve, das ist alles (vgl. Abbildung 11) Deckungsbeitrag Gewinnstreben und Kostendeckung können auch mit Hilfe des Begriffs Deckungsbeitrag formuliert werden. Grundlage ist die bekannte Trennung in fie Kosten und variable Kosten. Mit Deckungsbeitrag wird die Differenz zwischen produktspezifischen Erlösen und den variablen Kosten bezeichnet. Der Deckungsbeitrag ist jener Betrag, der nach Abzug der variablen Kosten von den Erlösen übrig bleibt und damit einen Beitrag zur Abdeckung der fien Kosten liefert. Er wird manchmal auch als Bruttogewinn bezeichnet. DB = db = DB = E K v p k v db DB = Gesamt-Deckungsbeitrag db = Stück-Deckungsbeitrag Die Gleichungen für den Gewinn und Stückgewinn lassen sich dann wie folgt modifizieren: G = DB K f g = db k f Entspricht der DB genau den Fikosten, so ist das Minimalziel der Kostendeckung erreicht. Gewinne entstehen erst, wenn der Deckungsbeitrag größer als die Fikosten ist.

18 17 Beispiel: Die fien Kosten betragen 6, die variablen Stückkosten 3. Bei einer Menge von 1. Stück ergeben sich variable Gesamtkosten von 3., und die fien Kosten pro Stück liegen bei,6. Die totalen Kosten sind dann 3.6 und 3,6 pro Stück. Bei einem Verkaufspreis von 4 werden 4. Erlöse erwirtschaftet. Der Gewinn ist 4 insgesamt und,4 pro Stück. Der Deckungsbeitrag von 1. (1 pro Stück) ist größer als die Fikosten. Die Differenz ist der Gewinn. E = 4. p = 4, K v = 3. k v = 3, DB = 1. db = 1, K f = 6 k f =,6 G = 4 g =,4 6 Break-Even-Menge Der Grundgedanke der Break-Even-Analyse ist recht einfach: Die Kosten, Erlöse, Deckungsbeiträge und der Gewinn sind von der Herstellmenge abhängig. Bei kleinen Produktionsmengen sind die Stückkosten im Allgemeinen höher als der Verkaufspreis, insbesondere weil die fien Kosten auf eine geringe Produktionsmenge verteilt werden müssen. Die Deckungsbeiträge reichen noch nicht, den Fikostenblock vollständig abzudecken; es entstehen Verluste. Mit steigender Menge verbessert sich die Situation, weil sich die fien Kosten auf eine höhere Produktionsmenge verteilen. Die Stückkosten sinken unter den Verkaufspreis, es entstehen Gewinne. Die Menge, die mindestens produziert (und verkauft) werden muss, damit kein Verlust eintritt, ist die Gewinnschwellen-Menge das ist der Break-Even-Punkt. Der Break-Even-Point (Gewinnschwelle) ist diejenige Gütermenge, die produziert und abgesetzt werden muss, um alle Kosten zu decken. Im Break-Even-Point werden sämtliche Kosten durch die Erlöse gedeckt, und der Gewinn ist folglich gleich Null ist. Dann entspricht der Deckungsbeitrag genau den fien Kosten. Grafisch liegt die Break-Even-Menge im Schnittpunkt von Erlös- und Kostenkurve, im Schnittpunkt von Gewinnkurve und Nulllinie (Mengenachse), im Schnittpunkt von Fikosten- und Deckungsbeitragskurve. Die bekannteste Berechnungsformel 1 lautet: Fie Kosten Break-Even-Menge = Preis - variable Stückkosten K f B = p kv Beispiel: Bei der Produktion von Leinentaschen fallen 5. fie Kosten und,5 variable Stückkosten an. Der erzielbare Preis liegt bei,75. Der Deckungsbeitrag von,25 pro Stück führt dazu, dass bei einer Menge von 2. Leinentaschen die Gewinnschwelle erreicht wird. 1 Hinweis: Sofern der Preis nicht konstant ist (fallende PAF), muss für Preis die PAF [p = f()] eingesetzt werden.

19 18 Abbildung 12: Break-Even-Menge p Erlös Kosten B Deckungsbeitrag Gew inn Fikosten Gewinn B B = Gewinnschwelle (Break-Even-Menge) Abbildung 12 zeigt die grafische Bestimmung der Break-Even-Menge anhand von konkreten Zahlen. Dabei ist unterstellt, dass die variablen Stückkosten und der Verkaufspreis jeweils konstant sind. In diesem Fall verlaufen die Kostenkurve und die Erlöskurve linear. Beispiel (Abbildung 12) Die fien Kosten betragen K f = 2. und die variablen Stückkosten k v = 4. Der Verkaufspreis sei p = 6. Die Kosten- und Erlösfunktionen lauten somit. K = und E = 6 Hieraus ergeben sich folgende Gleichungen für den Gewinn und den Deckungsbeitrag. DB = 2 und db = 2 G = 2 2. Beim Stückdeckungsbeitrag von db = 2 und fien Kosten von K f = 2. liegt die Break- Even-Menge bei B = 1.

20 19 Wiederholungsfragen 1. Wodurch entsteht Kostendegression? 2. Gibt es fie Kosten, die sich verändern? 3. Wie verändern sich mit steigender Menge die Grenzkosten bei überproportionalen, proportionalen und unterproportionalen Kosten? 4. Wann sind die variablen Stückkosten gleich den Grenzkosten? 5. Was bedeutet eine Kostenelastizität von,4? 6. Wie verlaufen bei ertragsgesetzlichen Kosten die Stückkosten und die Grenzkosten? 7. Sind die Grenzkosten immer niedriger als die Stückkosten? 8. Wo liegt das Betriebsoptimum bei linearen Kosten? 9. Wodurch unterscheidet sich eine Preis-Absatz-Funktion von einer Nachfragefunktion? 1. Was ist mit unelastischer Nachfrage gemein? 11. Kann die Nachfrage vollkommen unelastisch sein? 12. Welches Absatzverhalten von Unternehmen beschreibt eine horizontale Preis-Absatz- Funktion? 13. Wie hoch ist im Erlösmaimum der Grenzerlös? 14. Wie lautet eine notwendige Bedingung für das Gewinnmaimum? 15. Welche betriebswirtschaftlichen Konsequenzen (hinsichtlich der Produktionsmenge) kann man ziehen, wenn die Grenzerlöse kleiner (größer) als die Grenzkosten sind? 16. Wann gilt die Grenzkosten-Preis-Regel? 17. Wie ist der Deckungsbeitrag definiert? 18. In welchen Fällen ist der Stückdeckungsbeitrag für jede Menge gleich groß? 19. Wo liegt die Break-Even-Menge? 2. Wie hoch ist der Deckungsbeitrag im Break-Even-Punkt?

21 2 Übungsaufgaben Übungsaufgabe 1 Gegeben sei die lineare Kostenfunktion K = Die Kapazitätsgrenze sei ma = 2. a) Bestimmen Sie die Gleichungen für die fien Kosten, variablen Kosten, Stückkosten, fien Stückkosten, variablen Stückkosten und Grenzkosten. b) Zeichnen Sie den Verlauf der Gesamtkosten (1. Diagramm) sowie der Stückkosten und Grenzkosten (2. Diagramm). c) Berechnen Sie für = 5 und = 15 die Höhe der in a) genannten Kostenarten. d) Berechnen Sie für = 5 und = 15 die Kostenelastizität. Übungsaufgabe 2 In der Abbildung links sind für drei Mengen die Gesamtkosten markiert. Bei welcher Menge sind die Stückkosten am höchsten und bei welcher Menge am geringsten? Kann die Frage überhaupt beantwortet werden ohne zusätzliche Informationen? Übungsaufgabe 3 Im I. Quartal werden 8 Bohrmaschinen zu Gesamtkosten in Höhe von 8. gefertigt. Im II. Quartal betragen bei einer Produktion von 72 Stück die Gesamtkosten nur noch Die variablen Stückkosten werden als konstant angenommen. a) Wie lauten die Gesamtkostenfunktion und die Stückkostenfunktion? b) Wie hoch sind Stückkosten, Grenzkosten und Kostenelastizität bei 8 Stück (I. Quartal)? Übungsaufgabe 4 Unternehmen Drahtmeister fertigt derzeit täglich 4. Schrauben. Die Gesamtkosten betragen 64. Die Grenzkosten sind konstant und betragen,8. a) Wie lauten die Gesamtkostenfunktion und die Stückkostenfunktion? b) Wie hoch sind die Fikosten und die variablen Stückkosten? c) Welchen Wert hat die Kostenelastizität in der Ausgangslage? Übungsaufgabe 5 Die Jahresproduktion von derzeit 4. Haarspangen verursacht Kosten in Höhe von 5.. Die Kostenelastizität wird mit,75 kalkuliert. Wie lautet die Kostenfunktion? Übungsaufgabe 6 Derzeit wird Maschine A eingesetzt. Sie verursacht fie Kosten in Höhe von 3 und variable Stückkosten von,6. Ihre Maimalkapazität beträgt 12. Stück. Zur Diskussion steht eine neue Maschine B. Sie ist mit einer Kapazität von 2. Stück deutlich leistungsfähiger. Zudem betragen die variablen Stückkosten lediglich,4. Wegen der höheren Anschaffungsausgaben werden allerdings die Fikosten bei 5 liegen. Soll die Maschine B beschafft werden?

22 21 Übungsaufgabe 7 Bei der Delphi AG sollen demnächst Werkzeugteile für die PKW-Fertigung hergestellt werden. Die Firma muss über das günstigste Fertigungsverfahren bei unterschiedlichen Produktionsmengen entscheiden. Folgende Daten liegen vor. Die Kapazitätsgrenze beider Verfahren ist 5 Stück. Fie Kosten: Verfahren A Verfahren B Bei maimal möglicher Produktionsmenge (Kapazitätsgrenze: 5 Stück) betragen die Stückkosten Verfahren A... 1 Verfahren B... 8 Welches Verfahren führt wann zu minimalen Kosten? Bearbeitungshinweis: Gegeben sind nicht die variablen Stückkosten Übungsaufgabe 8 Das Verhalten der Nachfrager wird durch die Gleichung = 6. Liter Heizöl/Tag beschrieben. a) Interpretieren Sie diese Funktion als Nachfragefunktion und als Preis-Absatz-Funktion. b) Ist das Verhalten der Nachfrage elastisch oder unelastisch? c) Zeichnen Sie die Funktion in ein Diagramm. Übungsaufgabe 9 Die Preis-Absatz-Funktion (PAF) lautet: p =,1 +,14. a) Zeichnen Sie PAF in ein Diagramm (1. Diagramm). b) Wie lautet die Erlösfunktion? Zeichnen Sie Funktion in ein Diagram (2. Diagramm). c) Wie lauten die Grenzerlösfunktion? Zeichnen Sie die Funktionen in das 1. Diagramm. d) Zu welchen Preisen können die Mengen 5. und 3. Stück verkauft werden? e) Bestimmen Sie Preis und Menge für das Erlösmaimum. f) Welchen Wert hat die Preiselastizität bei einem Preis von,4 (,1)? Übungsaufgabe 1 Die Preis-Absatz-Funktion lautet =,2p + 5. a) Zeichnen Sie die PAF in ein Diagramm. b) Bestimmen und zeichnen Sie die Grenzerlös-Funktion. c) Ermitteln Sie das Umsatzmaimum. Übungsaufgabe 11 Unternehmen verkauft derzeit 4. Zeitschriften zum Preis von 2,. Eine Preisanhebung um 5% bewirkt eine Absatzeinbuße um 1. Stück. Die PAF ist linear. a) Wie lauten die PAF, die Erlösfunktion und die Grenzerlösfunktion? b) Zeichnen Sie die PAF und die Grenzerlösfunktion in ein Diagramm. c) Bestimmen Sie Preis und Menge für das Erlösmaimum. d) Welchen Wert hat die Preiselastizität im Erlösmaimum? Übungsaufgabe 12 Der Bundesligaverein BORUSSIA KÖLN geht davon aus, dass beim sehr attraktiven Bundesligaspiel gegen den Lokalrivalen FORTUNA LEVERKUSEN am Samstag bei einem Preis von 4 über das Fassungsvermögen des Stadions von 5. Plätzen hinaus noch weitere 38. Karten verkauft werden könnten. Dagegen würden bei einem Preis von Plätze unbesetzt sein. Es gibt nur einen Einheitspreis und die PAF verläuft linear. a) Ermitteln und zeichnen Sie die PAF und die Grenzerlösfunktion in ein Diagramm. b) Bei welchem Eintrittspreis erzielt der Verein die höchsten Einnahmen? Übungsaufgabe 13 Die Kundinnen des Handelsgeschäftes DREHIMPULS kaufen zum Preis von 6 derzeit monatlich 2 rote Tanzschuhe. Die Preiselastizität der Nachfrage wird mit,6 kalkuliert. a) Wie viele Tanzschuhe kann DREHIMPULS bei einem Preis von 9 verkaufen? b) Ermitteln und zeichnen Sie die PAF und die Grenzerlösfunktion in ein Diagramm. c) Bei welchem Preis wird der Umsatz maimiert?

23 22 Übungsaufgabe 14 Unternehmen PLASTOFIX GMBH produziert Kaffeebecher zu konstanten variablen Stückkosten von,28 pro Stück. Die Fikosten belaufen sich auf 2.4. Die Kapazitätsgrenze liegt bei 25. Stück täglich. Am Markt wird ein konstanter Verkaufspreis von,4 erzielt. a) Wie lauten die Kostenfunktion, Erlösfunktion und Gewinnfunktion? b) Wie hoch sind Stückkosten, Grenzkosten und Stückdeckungsbeitrag bei einer Menge von 12. Stück? c) Wie hoch ist die Kostenelastizität bei einer Menge von 12. Stück? d) Bei welcher Menge liegen das Erlösmaimum und das Gewinnmaimum? e) Wo liegt die Gewinnschwelle?- Übungsaufgabe 15 Für die Herstellung von Teppichboden der Sorte TRITTFEST betragen die fien Kosten 2.. Die variablen Stückkosten betragen 12 /qm. Auf dem Markt wird ein Preis von 2 /qm erzielt. Bei welchem Absatz wird die Gewinnschwelle erreicht? Übungsaufgabe 16 Unternehmen Wecker & Schlaf Kg produziert derzeit monatlich 5 Uhren mit Gesamtkosten in Höhe von 5.. Aus Kostenstudien ist bekannt, dass bei dieser Menge die Kostenelastizität,2 beträgt und die variablen Stückkosten konstant sind. Die Kapazitätsgrenze liegt bei 2. Stück Der konstante Verkaufspreis erbringt einen Stückdeckungsbeitrag von 25. a) Wie lauten die Kostenfunktion, Erlösfunktion und Gewinnfunktion? b) Wo liegt die Break-Even-Menge? Übungsaufgabe 17 Kleinunternehmen G stellt Gartenzwerge her. Die fien Kosten belaufen sich auf 2., die variablen Stückkosten auf 5. Pro Monat können maimal 1 Gartenzwerge produziert werden. Der Verkaufspreis von 1 ist von der Geschäftsleitung aus strategischen Gründen fest vorgegeben. Bei einem höheren Preis sind keine Gartenzwerge zu verkaufen, da die Kunden dann sofort bei der Konkurrenz bestellen, die gleichwertige Produkte zu 1 anbietet. Ein niedrigerer Preis würde von der übermächtigen Konkurrenz als Signal zu einem Preiskampf angesehen, was Kleinunternehmen G wahrscheinlich nicht überleben würde. a) Zeichnen Sie in ein Diagramm den Verlauf der Gesamtkosten, der Erlöse und der Gewinne. Bestimmen Sie die entsprechenden Gleichungen. b) Zeichnen Sie in ein weiteres Diagramm den Verlauf der PAF, der Grenzerlöse, der Stückkosten, der Grenzkosten und der Stückgewinne. Bestimmen Sie die entsprechenden Gleichungen. c) Bei welchen Mengen liegen Gewinnmaimum und Umsatzmaimum? d) Berechnen Sie die Break-Even-Menge. e) Es sei geplant, die Menge = 7 herzustellen und zu verkaufen. Wie hoch sind Erlös, Kosten, Gewinn, Stückkosten, Stückgewinn und Umsatzrentabilität? f) Nehmen wir einmal an, der Preis falle auf p = 6. Welche Entscheidung soll das Unternehmen treffen, wenn (1) die Preise in absehbarer Zeit wieder steigen? (2) die Preise auf Dauer nicht wieder steigen? Übungsaufgabe 18 Tischlerei T produziert Tischbeine aus Holz. Die fien Herstellkosten betragen 5.. Weiterhin fallen konstante variable Stückkosten in Höhe von 15 an. Die Kapazitätsgrenze liegt bei 1.8 Stück. Aus Marktuntersuchungen ist folgende Preis-Absatz-Funktion (PAF) bekannt: PAF: p =, a) Zeichnen Sie in ein Diagramm den Verlauf der Gesamtkosten, der Erlöse und der Gewinne. Bestimmen Sie die entsprechenden Gleichungen. b) Zeichnen Sie in ein weiteres Diagramm den Verlauf der PAF, der Grenzerlöse und der Grenzkosten. Bestimmen Sie die entsprechenden Gleichungen. c) Berechnen Sie algebraisch das Gewinnmaimum und das Umsatzmaimum. Zeichen Sie diese Punkte in beide Diagramme ein. d) Wie hoch ist die Umsatzrentabilität jeweils im Umsatzmaimum und im Gewinnmaimum?

24 23 Übungsaufgabe 19 Unternehmen M produziert Maskottchen aus Stahl. Die fien Herstellkosten betragen 14. Weiterhin fallen konstante variable Stückkosten in Höhe von 4 an. Aus Marktuntersuchungen ist die Preis-Absatz-Funktion bekannt: PAF: =,5p + 1 a) Bestimmen Sie algebraisch den Break-Even-Point. b) Welche Menge verkauft M zu welchem Preis, wenn der Gewinn maimiert wird? Bestimmen Sie algebraisch und grafisch die gewinnmaimale Preis-Mengen-Kombination. Hinweis: Zur grafischen Lösung reicht eine Darstellung mit der PAF, der Grenzerlös- und Grenzkostenkurve. Gegenwärtig verkauft der Monopolist zum Preis von p = 8 c) Wie hoch sind dann Grenzkosten und Grenzerlös. Welche Schlussfolgerung lässt sich aus dem Vergleich beider Werte ziehen? d) Wie hoch ist in dieser Ausgangslage die Umsatzrentabilität? e) Welchen Wert hat in dieser Ausgangslage die Preiselastizität der Nachfrage? Übungsaufgabe 2 Bei einer derzeitigen Produktionsmengen von 1. Packungen betragen die Gesamtkosten 25., davon sind 15. Fikosten. Die variablen Stückkosten sind konstant. Die Kapazitätsgrenze liegt bei 16. Packungen. Die PAF sei = 3. 5.p. a) Wie lauten PAF, Erlös- und Kostenfunktion sowie Grenzerlös- und Grenzkostenfunktion? b) Zeichnen Sie eine Prinzipskizze mit PAF, E und K. c) Wie hoch sind derzeit Verkaufspreis, Erlös, Gewinn und Umsatzrentabilität? d) Bestimmen Sie das Erlös- und das Gewinnmaimum. e) Wie hoch ist der Stückdeckungsbeitrag im Erlös- und im Gewinnmaimum? Übungsaufgabe 21 Bei einer Produktionsmengen von derzeit 2 Stück betragen die fien Kosten 9. und die variablen Kosten 4.. Der gegenwärtige Verkaufspreis ist nicht kostendeckend und bringt einen Verlust von 2. Die Kostenfunktion ist linear. Die Preiselastizität für die Ausgangslage ist mit 4 aus Marketinguntersuchungen bekannt. a) Wie lauten PAF, Erlös- und Kostenfunktion sowie Grenzerlös- und Grenzkostenfunktion? b) Zeichnen Sie eine Prinzipskizze mit PAF, E und K. c) Bei welcher Menge wird die Gewinnschwelle erreicht? d) Wie hoch sind derzeit Grenzerlös und Grenzkosten? Was folgt daraus? e) Welche Produktionsmenge und welchen Verkaufspreis schlagen Sie vor? f) Wie hoch ist der Gesamtdeckungsbeitrag im Gewinnmaimum? g) Wie hoch ist die Umsatzrentabilität im Erlösmaimum und im Gewinnmaimum?

25 24 Lösungshinweise Lösungshinweise 1 a) Formel c) Werte für = 5 = 15 K = K f = K v = k = 3/ k f = 3/ 6 2 k v = K = d) Kostenelastizität,57,8 b) Die grafische Darstellung entspricht genau der Abbildung 4 im Tet. Lediglich die Maßstäbe der beiden Achsen sind anders. Lösungshinweise 2 Die Steigung des Fahrstrahls (aus dem Ursprung) ist für A am größten und für B am kleinsten. Diese Steigungen repräsentieren die jeweiligen Stückkosten. Lösungshinweise 3 a) Gesamtkostenfunktion K() = Stückkostenfunktion k() = : b) für = 8 ist k = K : = 1. K = dk : d = 6 Kostenelastizität: ek = K : k =,6 Lösungshinweise 4 a) Gesamtkostenfunktion K() =, Stückkostenfunktion k() =,8 + 32: b) K f = 32 und k v =,8 c) Kostenelastizität für = 4.: ek = K :k =,8 :,16 =,5 Lösungshinweise 5 Für = 4. und K = 5. ist k =,125. Dies multipliziert mit der Kostenelastizität ergibt die Grenzkosten, die hier (lineare Kostenfunktion) gleich den variablen Stückkosten sind: K = k ek =,125,75 =,9375 = k v. Für = 4. ist K v =, = 37.5 und damit K f = K K v = Kostenfunktion: K() =, Lösungshinweise 6 (siehe nachfolgende Seite) Lösungshinweise 7 Wichtig: Gegeben sind nicht die variablen Stückkosten (hier = Grenzkosten = Steigung); sie müssen erst noch berechnet werden. Lösungstabelle Verfahren k K= k K f K v = K K f k v = K v : A B Die beiden Kostenfunktionen lauten: K A = und K B = Kritische Menge (Schnittpunkt): AB = 3. Bis zu dieser Menge ist das Verfahren A günstiger, ab dieser Menge Verfahren B.

26 25 Lösungshinweise 6 Die beiden Kostenfunktionen lauten: K A =,6 + 3 und K B =,4 + 5 Kritische Menge (Schnittpunkt): AB = 1.. Bis zu dieser Menge ist das Verfahren A günstiger, ab dieser Menge Verfahren B Kosten Verfahren B 4 Verfahren A 2 kritische Menge Menge Lösungshinweise 8 a) Es können unabhängig vom Preis täglich genau 6. Liter Heizöl verkauft werden. Als Nachfragefunktion handelt es sich um den Gesamtabsatz aller Unternehmen auf dem relevanten Markt (beispielsweise in einer Region). Als Preis-Absatz-Funktion ist dies die (mögliche) Verkaufsmenge einer Unternehmung. b) Die Nachfrage ist vollkommen unelastisch (= starr). c) In der grafischen Darstellung steht die PAF bei einer Menge von 6. Liter senkrecht auf der -Achse, also parallel zu p-achse. Die Nachfrage ist vollkommen unelastisch. Preis NE PAF Menge 6. Lösungshinweise 9,16 Die Gleichungen lauten: PAF:... p =,1 +,14 Erlös:... E =,1 2 +,14 Grenzerlös:... E =,2 +,14 d) Für = 5. ist p =,9 und für = 3. ist p =,11. e) Aus E = folgt E = 7. und p E =,7. Das ist die Mitte der PAF. Der Erlös beträgt im Maimum 49. f) Für p =,1 (,4) ist die Preiselastizität 2,5 (,4).,14,12,1,8,6,4,2 PAF E Erlösmaimum "Mitte-Mitte" Lösungshinweise 1 -, a) Die grafische Darstellung entspricht der Abbildung 6b im Tet oder auch der Abbildung zur Lösung 9. Lediglich die Maßstäbe sind anders: Die PAF und E -Kurve schneiden die Preisachse bei p = 2.5 und die Mengenachse bei = 5 ( = 25). b) Die Gleichungen lauten: PAF (umgeformt):... p = Erlös:... E = Grenzerlös:... E = c) Aus E = folgt E = 25 und p E = Das Erlösmaimum beträgt