Lehrtext zur Quantenkryptographie

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1 Lehrtext zur Quantenkryptographie

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3 Inhaltsverzeichnis Quantenkryptographie 5.1 Wesenszüge der Quantenmechanik Polarisation von Photonen und deren Messung Einschub: Mathematische Grundlagen Die Unbestimmtheitsrelation Die Eindeutigkeit der Messergebnisse No Cloning Theorem Das EPR-Paradoxon und die Bellsche Ungleichung Das EPR-Paradoxon Einschub: Mathematische Grundlagen Bells Ungleichungen Schneller als das Licht? Quantenmechanische Schlüsselübertragung Schlüsselübertragung mit Einteilchensystemen BB84 Protokoll Sicherheit des BB84 Protokolls Umsetzung in die Praxis Schlüsselübertragung mit Zweiteilchensystemen Schlüsselübertragung ohne Bells Theorem E91 Protokoll Sicherheit des E91 Protokolls EPR-Photonenquellen Quantenkryptographie in der Praxis Abhörattacken Fehlerkorrektur Eine technische Umsetzung Das Experiment Die Ergebnisse Zusammenfassung Literaturverzeichnis 67 3

4 4 INHALTSVERZEICHNIS

5 Kapitel Quantenkryptographie Quantenkryptographie ist eine Methode zum sicheren Schlüsselaustausch zwischen zwei Kommunikationspartnern. Es ist damit kein kryptographisches Verfahren im klassischen Sinne. Vielmehr dient es dazu, Zufallszahlen von einer Station zu einer anderen zu übertragen. Diese Zufallszahlen können dann zur Verschlüsselung von einer Nachricht verwendet werden. 1 Wie man an dieser Definition sieht, geht es bei der Quantenkryptographie hauptsächlich um einen sicheren Schlüsselaustausch. Die Sicherheit der geheimen Kommunikation ergibt sich dann aus den Gesetzen der Mathematik, wenn die Regeln des One Time Pad (vgl. Kapitel??) befolgt werden. Bevor wir uns aber mit der quantenmechanischen Schlüsselübertragung befassen, wollen wir uns einige Wesenszüge und Grundlagen der Quantenmechanik ansehen, um die Sicherheit dieser Methode zu verstehen. Dieses soll im ersten Teil dieses Kapitels geschehen. Der Formalismus wird dabei nicht in den Vordergrund gestellt, wenn nötig aber auch nicht vernachlässigt. Weiterführende Mathematik wird, wenn möglich in den Fußnoten oder Einschüben erscheinen oder auch im Anhang näher erläutert werden. Am Ende des Kapitels werden wir uns mit eventuellen Abhörstrategien und der praktischen Umsetzung beschäftigen..1 Wesenszüge der Quantenmechanik Die Wesenzüge der Quantenmechanik, insbesondere die im Allgemeinen nicht deterministische Vorhersage von Ereignissen macht es möglich Kryptographie zu betreiben, die eine 100% ige Sicherheit liefert. Im Folgenden sollen nun die hierfür wesentlichen Grundlagen erläutert werden. Informationsträger in der Quantenkryptographie sind ausschließlich Photonen, da sie die schnellstmögliche Über- 1 aus der freien Enzyklopädie Wikipedia 5

6 6 KAPITEL. QUANTENKRYPTOGRAPHIE tragungsgeschwindigkeit besitzen und darüber hinaus mittels Glasfaserkabel oder Teleskopverbindungen auf einfache Weise zuverlässig versandt werden können. Aus diesem Grund werden wir im Folgenden die Natur der Quantenmechanik anhand der Photonen verdeutlichen, um so das grundlegende Verständnis für die absolut sichere Kommunikation aufzubauen. In den weiteren Kapiteln werden dann die Funktionsweisen und Einzelheiten der Quantenkryptographie geschildert..1.1 Polarisation von Photonen und deren Messung Eine Eigenschaft von Lichtquanten ist die Möglichkeit ihrer Präparation in einen definierten, linearen Polarisationszustand, entsprechend dem Vektor des elektrischen Feldes, welches im Wellenbild der Schwingungsrichtung der elektromagnetischen Welle entspricht (siehe Abb..1). z x y Abbildung.1: Horizontal und vertikal polarisiertes Licht im Wellenbild Auf der Teilchenebene ist eine entsprechende Analogie nur schwer zu finden. Hier zeigt sich mitunter die Problematik des Welle-Teilchen-Dualismus. Interessiert man sich für einzelne Photonen, so betrachtet man insbesondere den Photonenspin oder auch Drehimpuls genannt, obgleich Photonen mit rotierenden Körpern zu vergleichen problematisch werden kann. Der Spin eines Photons beträgt s Ph = ± k. Eine Analogie zum Wellenbild kann durch rechts und links zirkular polarisiertes Licht hergestellt werden, bei dem der Feldvektor des k Lichtes : das Plancksche Wirkungsquantum (= 6, Js), k : der normierte Wellenvektor (Ausbreitungsrichtung des Lichtes). k

7 .1. WESENSZÜGE DER QUANTENMECHANIK 7 vom Betrag konstant bleibt, aber senkrecht um die Ausbreitungsrichtung k rotiert. Dies entspricht genauer gesagt einer Überlagerung zweier linear polarisierter Wellen mit einer Phasenverschiebung ǫ = π. Ebenso kann linear polarisiertes Licht als Überlagerung von rechts und links zirkular polarisiertem Licht aufgefasst werden. Oft wird argumentiert, dass bei linear polarisiertem Licht eine Hälfte der Photonen einen Spin s + = + k und die andere einen Spin s k = k besitzen, k so dass der Gesamtdrehimpuls einer linear polarisierten Welle Null ist. In Wirklichkeit können wir dies keineswegs annehmen, denn alle Photonen sind identisch und existieren mit gleicher Wahrscheinlichkeit in einer der beiden Spinzustände. Wir wollen linear polarisierte Photonen als eine Überlagerung beider Zustände betrachten, wenngleich ein anschauliches Teilchenmodell fehlt. Gegenstand dieses Kapitels werden ausschließlich die Eigenschaften und die Natur von linear polarisiertem Licht sein, welches für das Verständnis der Quantenkryptographie vollkommen ausreicht und eine vereinfachte Darstellung ermöglicht. Photonen linear polarisierten Lichtes können, wie in Abbildung. zu sehen ist, vertikal, horizontal oder in einer Überlagerung, einer sogenannten Superposition, beider Zustände polarisiert sein. Eine solche Überlagerung wird auch als allgemeiner Zustand bezeichnet. Die Ausbreitungsrichtung k der Photonen ist senkrecht zur Polarisationsebene und entspricht in der Grafik der x-achse. (a) z Superposition (b) z Superposition ϕ +45 polarisiert x vertikal polarisiert y x y horizontal polarisiert 45 polarisiert Abbildung.: (a) Linear polarisiertes Licht in einer H/V-Basis. (b) Linear polarisiertes Licht in einer +/- Basis. In den folgenden graphischen Darstellungen werden die Polarisationszustände der Photonen durch die Feldvektoren des elektrischen Feldes der entsprechenden Lichtwelle dargestellt. Diese schon bekannte Sichtweise der Polarisation soll den Einstieg etwas erleichtern. Die ersten beiden Polarisationszustände (Abb.. (a)) bilden eine orthogonale

8 8 KAPITEL. QUANTENKRYPTOGRAPHIE Basis (H/V Basis) mit horizontalen und vertikalen Basisvektoren ( H, V ), 3 mit denen jeder weitere Polarisationszustand als Linearkombination dargestellt werden kann und somit eine Linearkombination (Superposition) der Basisvektoren bildet. In solch einem einfachen -Zustands-System sieht ein allgemeiner Polarisationszustand wie folgt aus ψ = α H + β V mit α, β C und α + β = 1. (.1) Der Zustand ψ ist ein Element des Hilbertraumes 4 H, der in der Regel ein mehrdimensionaler komplexer Vektorraum mit einem definierten Skalarprodukt ist, wie z.b C mit dem Skalarprodukt: a b = a b = (a 1, a ) (b 1 b ) = a 1 b 1 + a b. (.) Für unsere linearen Polarisationszustände ψ genügt es der Einfachheit halber den reellen Hilbertraum R mit dem euklidischen Skalarprodukt a b = a b = (a 1, a ) (b 1 b ) = a1 b 1 + a b (.3) zu wählen, so dass wir unseren Zustand darstellen können als ψ = α H + β V α, β R mit α + β = 1 = cosϕ H + sin ϕ V mit ϕ [0, 360 ]. (.4) Mit ϕ wird der eingeschlossene Winkel zwischen der Polarisatonsrichtung und der horizontalen y-achse bezeichnet (Abb..). Aufgrund der Symmetrie genügt 3 Die Basisvektoren H und V werden in der Matrizenschreibweise durch die Spaltenvektoren ( ( 1 0) und 0 1) dargestellt. Da dieses der Übersicht eher schadet, werden wir die allgemeine Notation der bracket Schreibweise verwenden: a wird mit ket bezeichnet und beschreibt den Vektor a; z.b.: H ( 1 0). b wird mit bra bezeichnet und entspricht dem adjungierten Vektor b ; z.b.: H (1, 0) = (1, 0). a ist definiert als a T, der transformierte Vektor, dessen Einträge komplex konjungiert sind. Die Konjugation entfällt im Reellen; ( x y) = (x, y) = (x, y) für x, y R. Das Skalarprodukt a b = a b wird mit bracket bezeichnet; z.b.: H V = (1, 0) ( 0 1) = 0. 4 Ein Hilbertraum H, benannt nach dem Mathematiker David Hilbert, ist eine Verallgemeinerung des Euklidischen Raums auf unendlich viele Dimensionen. Der Hilbertraum ist ein Spezialfall eines Innenproduktraums (=Prähilbertraums), d.h. ein Vektorraum über den reellen Zahlen R oder den komplexen Zahlen C mit einem Skalarprodukt (=Innenprodukt). Das Skalarprodukt induziert eine Norm und eine Metrik (aus der freien Enzyklopädie Wikipedia).

9 .1. WESENSZÜGE DER QUANTENMECHANIK 9 es die Beschreibung der Polarisation auf den Winkelbereich [ 90, 90 ] einzuschränken. Ein +45 polarisiertes Photon wird somit durch ψ = 1 H + 1 V (.5) beschrieben. Ebenso kann ein beliebiger Polarisationszustand ψ auch durch andere Basisvektoren unseres Hilbertraumes dargestellt werden, wie dies in Abbildung. zu sehen ist. In einer um 45 gedrehten Basis (+/- Basis) kann ein vertikal polarisiertes Photon ψ V als eine Superposition der Basisvektoren und + aufgefasst werden, so dass gilt ψ V = V = (.6) Allgemein lässt sich die Polarisationseigenschaft auch so formulieren: Ein Photon besitzt die Polarisationseigenschaft ϕ, wenn es einen Polarisationsfilter mit der Orientierung ρ = ϕ sicher passiert. Photonen, deren Polarisationseigenschaft orthogonal zu der Orientierung des Polarisationsfilters sind, werden hingegen sicher absorbiert. Betrachten wir in Abbildung.3 einen Filter mit der Orientierung ρ = 90 und einem dahinter stehenden Photonendetektor. Mithilfe eines Laserpuls wird eine Taktung vorgegeben, so dass nach jeder festen Zeiteinheit ein einzelnes Photon emittiert wird. Photonen mit der Polarisationseigenschaft ϕ = 0 und ϕ = 90 können eindeutig bestimmt werden. Registriert der Detektor ein Teilchen, so kann mit Bestimmtheit gesagt werden, dass der Zustand vor der Messung vertikal polarisiert war, bei einer Nicht-Registrierung des Detektors war der Polarisationszustand des Photons horizontal ausgerichtet. Dieses geht jedoch nur solange man weiß, dass die Polarisation der Photonen parallel, bzw. orthogonal zur Orientierung des Filters sind. Hingegen sind Photonen, deren Polarisation nicht gerade ϕ = 0 oder ϕ = 90 beträgt, keineswegs mehr mit einem Filter der Orientierung ρ = 90 sicher bestimmbar. Die Photonen passieren den Filter in einem vom Winkel abhängigen statistischen Verhalten, dessen Ereignis im Allgemeinen aber nicht vorhersagbar und vom Zufall bestimmt ist. Dieses ist einer der Wesenszüge der Quantenmechanik [3]. Dabei ist zu beachten, dass nur zwei Messergebnisse möglich sind. Das Photon passiert den Filter oder wird absorbiert. Passiert ein Photon den Filter,

10 10 KAPITEL. QUANTENKRYPTOGRAPHIE Photonendetektor Photonendetektor (a) z (b) z ϕ = 90 ϕ = 0 x y Polarisationsfilter mit Orientierung ρ = 90 x y Polarisationsfilter mit Orientierung ρ = 90 Photonendetektor (c) z 90 < ϕ 90 x y Polarisationsfilter mit Orientierung ρ = 90 Abbildung.3: (a) Vertikal polarisiertes Licht fällt auf einen Filter mit vertikaler Orientierung. Es gilt: ρ = ϕ. (b) Horizontal polarisiertes Licht fällt auf einen Filter mit vertikaler Orientierung. Es gilt: ρ ϕ. (c) Unpolarisiertes Licht fällt auf einen Filter mit vertikaler Orientierung. so befindet es sich danach in dem Zustand, dessen Eigenschaft gemessen 5 wurde, hier also die vertikale Orientierung. In Abbildung.3 ist dies auch farblich hervorgehoben. Über die Interpretation dieser Tatsache wurde im Laufe der Geschichte sehr kontrovers diskutiert. Die einfachste Erklärung wäre die Unkenntnis des Beobachters. Die Annahme verborgener Variablen besagt, dass die Photonen uns verborgene Regeln beinhalten, ob sie einen Filter der Orientierung ρ passieren oder 5 Unter dem Begriff Messen wollen wir im weiteren Verlauf die Registrierung, bzw. Nicht- Registrierung mithilfe eines Detektors und einem vorgeschalteten Polarisationsfilter verstehen. Sprechen wir vom Messen und Weiterleiten, so ist selbstverständlich die Weiterleitung eines neuen präparierten Photons gemeint, dessen Eigenschaft (Polarisation) der Orientierung des Filters entsprechen soll,denn nach jeder Registrierung eines Photons wird dieses unweigerlich zerstört.

11 .1. WESENSZÜGE DER QUANTENMECHANIK 11 an ihm absorbiert werden. Diese Annahme konnte spätestens mit der Bellschen Ungleichung, auf die wir in Kapitel.1.3. stoßen, widerlegt werden. Es scheint ganz so zu sein, als würde der Zustand, in den die Wellenfunktion bei der Messung kollabiert, vollkommen vom Zufall abhängen und nicht vorher bestimmt sein. Mit der Ausnahme von Photonen, die in einem zum Filter parallelen oder orthogonalen Zustand präpariert wurden, entscheiden sich diese erst bei der Messung über den Ausgang des Experimentes. Die hier auftretenden Wahrscheinlichkeiten müssen bei häufiger Wiederholung die Intensitätsverteilung klassischen Lichts an einem Polarisationsfilter wiederspiegeln. Somit erhalten wir für die Durchlass- und Absorbtionswahrscheinlichkeit eines Photons der Polarisation ϕ, bei einer Orientierung ρ des Filters P(Photon passiert) = cos (δ) P(Photon wird absorbiert) = 1 cos (δ) = sin (δ) (.7) mit δ = ρ ϕ und 90 < ϕ, ρ 90. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung in Abhängigkeit von δ ist in Abbildung.4 graphisch dargestellt. P 1.00 P(X = 1) = cos (δ) P(X = 1) = sin (δ) δ Abbildung.4: Wahrscheinlichkeitsverteilungen in Abhängigkeit von δ Beispiel. Betrachten wir ein Experiment bei dem einzelne Photonen in einem bestimmten Polarisationszustand präpariert wurden und auf einen Filter der Orientierung ρ = 90 treffen. Des Weiteren werden die Ereignisse {Photon passiert} mit {X = 1} und {Photon wird absorbiert} mit {X = 1} bezeichnet.

12 1 KAPITEL. QUANTENKRYPTOGRAPHIE 1. Für ϕ = 90 folgt δ = 0 und es gilt: P(X = 1) = cos (0 ) = 1 P(X = 1) = sin (0 ) = 0. (.8) Wie zu erwarten, ist die Durchlasswahrscheinlichkeit für ein Photon 1 und das Ergebnis ist absolut bestimmbar. Alle Photonen vertikaler Polarisation passieren den Filter. Der Erwartungswert beträgt E(X) = 1 cos (0 ) + ( 1) sin (0 ) = 0. (.9). Für ϕ = 70 folgt δ = 0 und wir erhalten: P(X = 1) = cos (0 ) = 0, 883 P(X = 1) = sin (0 ) = 0, 117. (.10) Beide Ereignisse {X = 1} und {X = 1} sind jetzt unbestimmt. Lediglich eine Angabe der Wahrscheinlichkeit ist möglich. Zu 11, 7% wird ein Photon absorbiert. Eine genaue Vorhersage ist nicht mehr möglich. Der Erwartungswert beträgt E(X) = 1 cos (0 ) + ( 1) sin (0 ) = 0, 766. (.11) Wir können also nicht mehr aussagen, als dass im Schnitt von 100 Photonen der Polarisation ϕ = 70 ca. 88 den Filter passieren, bzw. die Lichtintensität um 11,7 % abnimmt. Eine maximale Unbestimmtheit über den Ausgang des Experimentes erreicht man bei einem Winkel δ = 45 bzw. 135, genau dann, wenn Absorptions- und Durchlasswahrscheinlichkeit gleich groß sind. Ein Maß für die Unbestimmtheit gibt uns die Varianz V(X), die der Streuung der Messergebnisse um den Erwartungswert entspricht. Ist sie maximal, so ist auch der Ausgang eines Experimentes, wie oben geschildert maximal unbestimmt. V(X) wird oftmals mit X bezeichnet. Die Varianz einer Zufallsgröße lässt sich wie folgt berechnen: V(X) = E(X ) E (X) = 1 cos (δ) + ( 1) sin (δ) [1 cos (δ) + ( 1) sin (δ)] = cos (δ) cos 4 (δ) + sin (δ) sin 4 (δ) + sin (δ) cos (δ) = cos (δ)[1 cos (δ)] + sin (δ)[1 sin (δ)] + sin (δ) cos (δ) = cos (δ) sin (δ) + sin (δ) cos (δ) + sin (δ) cos (δ) = 4 cos (δ) sin (δ) = [ cos(δ) sin(δ)] δ = sin (δ) (.1)

13 .1. WESENSZÜGE DER QUANTENMECHANIK 13 In Abbildung.5 ist der Graph der Funktion (.1) dargestellt. Die Unbestimmtheit hat, wie erwartet ihre Maximalwerte bei δ = 45 bzw Ihr Minimum stellt den Winkel dar, bei dem der Ausgang des Experimentes absolut sicher bestimmbar ist. δ 1.00 δ = sin (δ) δ Abbildung.5: Standardabweichung der Messergebnisse in Abhängigkeit von δ Einschub: Mathematische Grundlagen Der Vollständigkeit halber wollen wir uns auch kurz den mathematischen Formalismus der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in der Quantenmechanik ansehen, welches jedoch für den weiteren Verlauf nicht von wesentlicher Bedeutung ist und deswegen nur als Einschub erscheint: Betrachten wir einen beliebigen Polarisationszustand ψ = cosϕ H + sin ϕ V, wie wir ihn in Gleichung (.4) vorgestellt haben. Dieser Zustand wird in einem zweidimensionalen Vektorraum durch eine Linearkombination zweier Basisvektoren dargestellt (vergleiche Fußnote auf Seite 8). Eine Messung des Polarisationszustandes, wird durch den Operator M, eine -Matrix beschrieben. Diese muss bezüglich der Orientierung ρ des Filters, die folgende Eigenwertgleichung M ρ v nρ = m nρ v nρ mit m 1ρ = +1 und m ρ = 1 (.13) erfüllen. Die sogenannten Eigenwerte m 1ρ = +1 und m ρ = 1 sind die einzig möglichen Messergebnisse und die Eigenvektoren ( ) ( ) cos(ρ) sin(ρ) v 1ρ = und v ρ = (.14) sin(ρ) cos(ρ) bilden eine Basis unseres Zustandsraumes. Diese entspricht der Basis in der wir messen. Bei einem Filter der Orientierung ρ = 0 erhalten wir die Basisvektoren ( ( 1 0) und 0 1), die eine H/V-Basis bilden. Der Messoperator M hat die Form: ( ) cos(ρ) sin(ρ) M =. (.15) sin(ρ) cos(ρ) Letztendlich lassen sich die Wahrscheinlichkeiten, mit denen man das Messergebnis m 1ρ = +1 (Photon passiert) oder m ρ = 1 (Photon wird absorbiert) erhält, mithilfe eines einfachen Skalarproduktes zwischen

14 14 KAPITEL. QUANTENKRYPTOGRAPHIE dem Zustandsvektor ψ, welcher im wesentlichen die Polarisation des Photons wiederspiegelt und dem Eigenvektor v nρ, welcher der Orientierung des Filters entspricht berechnen. Quadriert man das Skalarprodukt, so erhält man die Wahrscheinlichkeit, dass ein Photon der Polarsiation ϕ den Filter der Orientierung ρ passiert. Die Gleichung hierfür lautet: P ρ (m 1ρ = +1) = v 1ρ ψ ( ) cos(ϕ) = (cos(ρ), sin(ρ)) sin(ϕ) = cos(ρ)cos(ϕ) + sin(ρ)sin(ϕ) = cos(ρ ϕ) = cos (δ). (.16) Dies entspricht genau der Wahrscheinlichkeit, die wir aus der Intensitätsverteilung des Lichtes hergeleitet haben. Die unten abgebildete Grafik veranschaulicht dies noch einmal. V v ρ cosϕ ψ sin ϕ ϕ ρ H cos(ρ ϕ) v 1ρ Die Graphische Darstellung zeigt einen beliebigen Polarisationszustandes in einer H/V-Basis. ϕ entspricht der Polarisation des Photons und ρ der Orientierung des Filters. Das Betragsquadrat des Skalarproduktes cos(ρ ϕ) liefert die Warscheinlichkeit, dass der Zustand den Filter passiert Die Unbestimmtheitsrelation Wie schon bei den oben gezeigten Beispielen, ist die Unbestimmtheit ein wesentlicher Bestandteil der Quantenmechanik. Heisenberg drückte diese Unschärfe mit der heute allgemein bekannten Formel x p (.17) aus. Diese beschreibt die Streuung der Messergebnisse bei gleichzeitiger Bestimmung von Ort und Impuls. Das Produkt beider kann eine feste Schranke nicht

15 .1. WESENSZÜGE DER QUANTENMECHANIK 15 unterschreiten und so nicht beliebig klein werden. Eine exakte Bestimmung beider Größen ist nicht möglich, da keine der Varianzen 0 sein darf. Eine solche Unbestimmtheit haben wir mittlerweile auch bei unseren Photonen sehen können. Wir wollen nun die Unbestimmtheitsrelation für polarisierte Photonen betrachten. Eine genaue Herleitung kann unter [3] nachgelesen werden. Betrachtet man ein Photon bestimmter Polarisation bezüglich zweier unterschiedlicher Orientierungen ρ 1 und ρ eines Filters, so kann nach Gleichung (.1) für jeden Filter die Varianz δ ρi berechnet werden. Dies entspricht der Messung zweier Eigenschaften an einem Photon, entsprechend der Orts- und Impulsmessung an einem Teilchen. Das Produkt aus beiden Varianzen δ ρ1 und δ ρ würde bei Photonen, die bezüglich einer Orientierung absolut bestimmt sind, stets 0 ergeben, wodurch auch auf der rechten Seite der Ungleichung 0 stehen muss. Dies ist natürlich wenig aussagekräftig. Betrachten wir aber die Summe beider Varianzen, so finden wir eine Unbestimmtheitsrelation, die unabhängig von der Polarisationsrichtung ϕ ist. Sie lautet: δ ρ1 + δ ρ Min [ sin (ρ 1 ρ ), cos (ρ 1 ρ )]. (.18).0 Für ein Photon der Orientierung ϕ = δ ρ1 + δ ρ δ Abbildung.6: Unbestimmtheitsrelation zweier Polarisationsfilter in Abhängigkeit von δ = (ρ 1 ρ ). Die dunkel schraffierte Fläche stellt das Minimum dar. Die hellgraue Fläche stellt den Bereich dar, in der sich die Summe der Varianzen, abhängig von den Winkeleinstellungen der Filter und der Polarisationsrichtungen der Filter zueinander, befinden kann. Die Aussage dieser Gleichung ist ähnlich der aus Gleichung (.17). Die Messergebnisse der Polarisationsrichtung von Photonen, bezüglich zweier Orientierungen, die nicht senkrecht aufeinander stehen, können nicht beide beliebig genau bestimmt werden. In Abbildung.6 ist dies in einer graphischen Darstellung illustriert. Die Summe der Varianzen δ ρ1 + δ ρ befindet sich stets, in Abhängigkeit der Winkeleinstellungen der Filter, sowie der Polarisationsrichtung der Photonen, in dem hellgrauen Bereich. Der dunkel schraffierte Bereich stellt das Minimum dar.

16 16 KAPITEL. QUANTENKRYPTOGRAPHIE.1.1. Die Eindeutigkeit der Messergebnisse Ein weiteres schon erwähntes Merkmal der Quantenmechanik ist die Eindeutigkeit der Messergebnisse [3]. Wie der Name schon sagt, sind die Messergebnisse eindeutig, auch dann, wenn der Zustand vor dem eigentlichen Messen, bezüglich der zu messenden Größe unbestimmt war. Eine Wiederholung der Messung ist im eigentlichen Sinne nicht möglich, denn entweder wurde das Photon schon am Filter absorbiert oder durch die Registrierung des Detektors zerstört. Eine zweite Messung könnte nur am weitergeleiteten Photon durchgeführt werden, was aber keine neue Erkenntnis mit sich bringt. Dieses wurde ja selbst in einen, der Filterorientierung entsprechenden Zustand präpariert und der neue Zustand muss keineswegs mit dem vorherigen Zustand übereinstimmen, wenn die Filterorientierung nicht zufällig der Polarisation des Photons entsprach. Somit erhalten wir bei jeder Messung ein eindeutiges Messergebnis. Dieses ist maßgeblich für die Funktionsweise der Quantenkryptographie. In Bezug auf unsere Photonen bedeutet dies, dass ein Photon unbestimmter Polarisation einen Polarisationsfilter entweder passiert oder an diesem absorbiert wird. Findet keine Absorbtion statt, so gilt für den Polarisationszustand der Photonen danach: ϕ = ρ. Der vorher unbestimmte Zustand wurde nun bzgl. der Orientierung ρ des Polarisationsfilters umpräpariert und ist somit keineswegs mehr unbestimmt. Die Eindeutigkeit der Messergebnisse hat auch zur Folge, dass das Messen eines unbekannten Polarisationszustandes nur ein Bit an Information hervorbringt. Wir erhalten 1 mit Wahrscheinlichkeit P(X = 1) = cos δ oder 0 mit Wahrscheinlichkeit P(X = 1) = sin δ. Beispiele. Stellen wir uns folgende Situationen vor: 1. Ein Lichtstrahl unbekannter Polarisation soll bezüglich eines Filters mit der Orientierung ρ = 90 bestimmt werden. Dafür müssen wir lediglich die Intensität hinter dem Filter messen. Für diese gilt: I(ϕ) = I 0 cos( 90 ϕ ). Somit lässt sich ohne weiteres die Polarisation des Lichtes bestimmen. Dabei wird mit I 0 die Intensität des Lichtstrahles vor dem Filter bezeichnet, welche als bekannt vorausgesetzt wird.. Betrachten wir nun keinen Lichtstrahl mehr, sondern eine größere Anzahl einzelner Photonen gleicher, unbekannter Polarisation. Wir möchten auch hier die Polarisation der Photonen bestimmen. Durchlaufen diese den Polarisationsfilter der Orientierung ρ = 90, so messen wir mithilfe des Photonendetektors eine relative Häufigkeit von Photonen, die den Filter passieren. Diese konvergiert mit zunehmender Anzahl gemessener Photonen gegen die bekannte Durchlasswahrscheinlichkeit: P(X = 1) = cos (δ). Womit auch hier der Polarisationszustand beliebig genau zu bestimmen ist.

17 .1. WESENSZÜGE DER QUANTENMECHANIK Was passiert aber, wenn die Polarisation eines einzelnen Photons zu bestimmen ist. Befindet sich der Polarisationszustand in vertikaler oder horizontaler Lage, so kann mit einem Filter entsprechender Orientierung (ρ = 0, ρ = 90 ) ohne weiteres die Polarisation eines Photons bestimmt werden. Abhängig davon, ob das Photon den Filter passiert oder nicht. Hingegen ist dies bei einem allgemein unbekannten Polarisationszustand nicht mehr möglich, da die Ereignisse {X = 1} und {X = 1} zufällig sind. Wird das Photon absorbiert, ist eine weitere Messung nicht mehr möglich. Passiert das Photon den Filter, so ist der anfangs unbestimmte Zustand in die Orientierung ρ umpräpariert worden. Eine weitere Messung ist zwecklos, denn wir erhalten keine neuen Informationen. Somit ist es nicht möglich über eine relative Häufigkeit auf die Durchlass- bzw. Absorbtionswahrscheinlichkeiten zu schließen und somit auf den Zustand des Photons. Letzteres Beispiel verdeutlicht, dass auf Ebene der Quantenmechanik das Messen eines allgemeinen Zustandes auch gleichzeitig eine Veränderung dessen bedeutet. Die Photonen unbestimmter Polarisation werden in einen Zustand gezwungen, der von der zu messenden Größe, hier die Orientierung ρ des Filters, abhängt. Das Potential dieses Wesenszuges der Quantemechanik liegt somit in der Veränderung eines Zustandes beim Messen, also beim Abhören, was lediglich durch das Messen physikalischer Größen möglich ist. In der klassischen Mechanik ist das Abhören ohne weiteres möglich, denn das Anzapfen einer Telefonleitung verändert noch nicht das Telefongespräch. Ebenso wenig wie das Abfangen und Kopieren von s den Inhalt der Nachricht verändert..1. No Cloning Theorem Stellen wir uns vor, es gäbe eine Maschine, wie in Abbildung.7, die den Zustand eines Teilchens klonen kann. In Verbindung mit einer Messapperatur wäre es möglich ein einzelnes Photon unbestimmten Zustandes beliebig oft zu klonen und jede dieser Kopien zu messen. Der Polarisationszustand ρ wäre somit über die relative Häufigkeit der Messergebnisse der einzelnen Kopien beliebig genau bestimmbar. Zudem könnte eine beliebig große Menge an Informationen in ein einzelnes Photon gesteckt werden, wenn der Polarisationswinkel ρ eine Bitfolge repräsentiert (die Genauigkeit des Winkels entscheidet über die Länge der Information). Aus der Eindeutigkeit der Messergebnisse ist die Existenz einer solchen Maschine nicht möglich, denn es würde im Widerspruch zu deren Folgen stehen. Der Beweis zum folgenden Satz ist der Vollständigkeit halber aufgeführt, für den weiteren Verlauf jedoch nicht notwendig und kann übersprungen werden, wenngleich er nicht sonderlich kompliziert ist.

18 18 KAPITEL. QUANTENKRYPTOGRAPHIE ψ ψ ψ φ Abbildung.7: Klonmaschine Satz.1.1. Es ist nicht möglich einen unbekannten Quantenzustand perfekt zu klonen. Mit anderen Worten ist es unmöglich einen allgemeinen (unbekannten) Zustand eines quantenmechanischen Teilchens auf ein anderes zu übertragen, ohne das ursprüngliche Teilchen zu verändern. Beweis. Betrachten wir ein System aus zwei Photonen und einer Kopiermaschine, deren Zustände wie folgt definiert sind: ψ : Zustand des zu kopierenden Photons. φ : Leerzustand des Photons, auf welches der Zustand ψ kopiert werden soll. M : Zustand der Maschine, der sich nach dem Kopiervorgang zu M ψ ändern darf. Der Index ψ bedeutet, dass der Endzustand der Kopiermaschine von der Wellenfunktion ψ selber abhängt. Angenommen es gäbe eine Maschine, die die Transformation ψ φ M ψ ψ M ψ ermöglicht. Eine solche unitäre 6 Transformation in einem zweidimensionalem Zustandsraum sieht dann wie folgt aus: U( ψ φ M ) = ψ ψ M = (α H + β V )(α H + β V ) M ψ, (.19) wobei für ψ = α H +β V gesetzt wurde und Mψ den Zustand der Maschine nach dem Kopiervorgang beschreibt. Ist das erste Photon im Zustand H, also horizontal polarisiert, so lässt sich die Transformation darstellen als U( H φ M ) = U( H H MH ) (.0) 6 Unitäre Transformation: ψ = U( ψ ), wobei UU = 1 gilt mit U = U T, welches einer transponierten Matrix entspricht, deren Elemente komplex konjungiert wurden.

19 .1. WESENSZÜGE DER QUANTENMECHANIK 19 und ebenso für ein vertikal polarisiertes Photon V als U( V φ M ) = U( V V M V ). (.1) Für ein Photon mit allgemeinem Zustand ψ = α H +β V sieht die Transformation wie folgt aus: U((α H + β V ) φ M ) = α U( H φ M ) + β U( V φ M ), (.) wobei wir die Linearität der Quantenmechanik angewendet haben. Setzen wir Gleichung (.0) und (.1) ein, erhalten wir U((α H + β V ) φ M ) = α H H MH + β V V M V, (.3) welches im Widerspruch zu Gleichung (.19) steht. Dieses Gesetz ist ein grundlegender Unterschied zur klassischen Informationstheorie und sorgt, wie wir später sehen werden, für eine beliebig große Sicherheit beim Austausch eines Schlüssels. Es verbietet dem Abhörer die Zustände so oft wie nötig zu kopieren, um dann durch einzelne Messungen den anfangs unbekannten Zustand zu ermitteln. Es sei aber noch gesagt, dass sich dieses Theorem lediglich auf einen unbekannten Zustand bezieht. Wissen wir von Beginn an, dass sich das Photon in einem uns bekannten oder dazu orthogonalen Zustand befindet, so können wir ohne weiteres den Zustand mit 100% Sicherheit bestimmen und soviele Kopien wie nötig herstellen..1.3 Das EPR-Paradoxon und die Bellsche Ungleichung Das EPR-Paradoxon Ein weiteres beeindruckendes Phänomen der Quantenmechanik ist die Existenz der Verschränkung, die oftmals auch unter den Namen EPR-Paradoxon 7 auftaucht. Das daraus resultierende Verhalten von Quantenteilchen ist mit der menschlichen Intuition nur schwer zu vereinbaren und ebenso wenig mit einer lokalen Theorie 8 zu erklären, wie wir später sehen werden. Bevor wir uns näher an die Verschränkung von Quantenobjekten (Photonen) wagen, betrachten wir zur Verdeutlichung dieser Eigenschaft einen 7 Die Abkürzung EPR leitet sich aus den Namen EINSTEIN, PODOLSKY und ROSEN ab, welche als erstes öffentlich über das Problem der Verschränkung diskutierten. 8 Lokale Theorien beschreiben Vorgänge, bei denen sich Änderungen an einer Stelle in kurzer Zeit nur in unmittelbarer Umgebung, also lokal auswirken. Kräfte der Elektrizität und der Gravitation sind mit lokalen Theorien beschreibar. Beide diese Kräfte können nur maximal mit Lichtgeschwindigkeit wirken. Eine spukhafte Fernwirkung (instantan wirkende Kraft) gibt es in der klassischen Physik nicht.

20 0 KAPITEL. QUANTENKRYPTOGRAPHIE Versuch. Wir erzeugen mit einer Photonenquelle sogenannte verschränkte Photonen. Beide verlassen die Quelle in entgegengesetzter Richtung und durchlaufen einen Polarisationsfilter mit der Orientierung ρ = 90, wie in Abbildung.8 zu sehen ist. Hinter dem Filter ist wieder ein Detektor, der passierte Photonen registrieren kann. Dabei können wir zwei Beobachtungen machen: Polarisationsfilter mit Orientierung ρ = 90 Photonenquelle Photonendetektor Photonendetektor Photon A Photon B Polarisationsfilter mit Orientierung ρ = 90 Abbildung.8: Verschränktes Photonenpaar 1. Wir beobachten, dass im Schnitt die Hälfte aller Photonen beide Filter passieren. Dies geschieht unabhängig von der Orientierung des Filters. Nehmen wir an, dass die Quelle Photonen jeder Polarisation (wir sprechen von unpolarisiertem Licht) emittiert, dann passieren im Mittel rund die Hälfte der Photonen die jeweiligen Filter. Jedes emittierte Photon könnte weiterhin durch den beliebigen Zustand ψ = cosϕ H + sin ϕ V mit ϕ [ 90, 90 ] beschrieben werden und das Ereignis ist mit unserem bisherigen Verständnis vereinbar.. Sehen wir genauer hin, können wir beobachten, dass jedesmal, wenn Photon A den linken Filter passiert, auch Photon B auf der rechten Seite den Filter passiert. Dieses gilt ebenso umgekehrt, wenn einer der Photonen absorbiert wird. Beide Zufallsprozesse sind nicht mehr unabhängig voneinander, wodurch die Beobachtung nicht mehr damit begründet werden kann, dass beide Photonen sich nach der Emmission einfach nur in demselben Polarisationszustand ψ = cosϕ H + sin ϕ V befinden. Beide Photonen besäßen jeweils die Durchlasswahrscheinlichkeit cos (90 ϕ), was dazu führen würde, dass durchaus Fälle auftreten, bei denen ein Photon absorbiert wird und das andere den Filter passiert. Aber genau das wird nicht beobachtet. Entweder passieren beide Photonen den Filter oder werden an ihm absorbiert. Und zwar unabhängig von seiner Orientierung ρ. In diesem Falle sprechen wir von einer Korrelation oder auch Verschränkung.

21 .1. WESENSZÜGE DER QUANTENMECHANIK 1 Um dieses Phänomen besser zu verstehen, wollen wir zwei lokale Theorien betrachten, die die Verschränkung vielleicht plausibel erklären können. Die erste lokale Theorie beruht auf einen Informationsaustausch beider Photonen: Beide Photonen tauschen über Signale Informationen aus. Photon A, das beispielsweise den Filter passiert informiert Photon B darüber, dass es in den Zustand H übergegangen ist. Dieses nimmt darauf dieselbe Eigenschaft an. Ändern wir das Experiment, so dass beide Filter einen sehr großen Abstand voneinander besitzen, kommen wir schnell zu einem Widerspruch. Nach Einsteins Relativitätstheorie ist kein Signal schneller als die Lichtgeschwindigkeit. Werden die Abstände nur groß genug gewählt, so dass die Dauer eines Signales von Filter zu Filter länger ist, als die Zeitspanne zwischen beiden Ereignissen, so ist auch der Informationsaustausch der Photonen untereinander nicht mehr rechtzeitig möglich. In verschiedenen Experimenten konnten trotz solcher Abstände keine Abweichungen von den zuvor genannten Beobachtungen gemacht werden. Dieses wird oftmals als spukhafte Fernwirkung bezeichnet, bei der die Ursache (Photon A passiert den Filter) instantan auf Photon B wirkt. Somit kommen wir zu dem Schluss, dass eine lokale Theorie des Informationsaustauschs für eine korrekte Beschreibung der Quantenphysik nicht nützlich ist. Bevor wir die zweite lokale Theorie, die Annahme von verborgenen Variablen betrachten, gehen wir zurück zu unseren sogenannten verschränkten Photonen. Wir können also nicht mehr von einem gleichen Polarisationszustand ausgehen, denn dies widerspricht unserer zweiten Beobachtung. Wir halten fest, dass die Messergebnisse voneinander abhängig sind. Aus diesem Grunde betrachten wir die Photonen nicht mehr als einzelne Zustände, sondern vielmehr als ein einziges quantenmechanisches Zustandssystem, welches sich wie folgt darstellen lässt: ψ = α H A H B + β V A V B mit α + β = 1. (.4) Setzen wir für α und β den Wert 1 ein, so erhalten wir den sogenannten Bell- Zustand, welchen wir auch in unserem Experiment verwendet haben. Die Zustandsvektoren H A H B und V A V B werden zusammengesetzt durch die Basisvektoren { H A, V A } und { H B, V B } der Hilberträume H A = R und H B = R. Wir erhalten vier neue Basisvektoren { H A H B, V A V B, H A V B, V A H B } (.5) des Tensorproduktes H = H A H A, welches auf Grund der Isormophie mit einem vierdimensionalen Raum verglichen werden kann. Nach der Notation gilt: i A j B i A j B für i, j {H, V }. (.6)

22 KAPITEL. QUANTENKRYPTOGRAPHIE Auch in diesem System kann ein beliebiger Zustand als Linearkombination, also als eine Superposition seiner Basisvektoren dargestellt werden: ψ = c ij ij mit c ij R und c ij = 1. (.7) i,j {H,V } i,j {H,V } Der erste Index in ij bezieht sich auf den Hilbertraum H A und der zweite auf H B. Das Quadrat des Koeffizienten c ij gibt die Wahrscheinlichkeit wieder, dass die Wellenfunktion in den Zustand ij übergeht, wenn Photon A bezüglich der Eigenschaft i, bzw. Photon B bezüglich der Eigenschaft j gemessen wird. Ein beliebiger Zustand, der nicht als ein Tensorprodukt zweier Zustände aus H A und H B geschrieben werden kann, ist nach Definition verschränkt. Betrachten wir diese Definition anhand eines Beispiels. Beispiel. Der Zustand ist verschränkt. Hingegen ist der Zustand ψ = 1 H A H B + 1 V A V B (.8) ψ = 1 H A V B + 1 V A V B (.9) seperabel (nicht verschränkt), denn er lässt sich darstellen als ( 1 ψ = H A + 1 ) V A V B. (.30) Wenn also zwei Systeme miteinander verschränkt sind, können ihnen keine eigenen individuellen Zustandsvektoren zugeschrieben werden. Dies ist in (.30) nicht der Fall, denn der Gesamtzustand kann als Tensorprodukt des Zustandes ψ A = 1 H A + 1 V A aus H A und ψ B = V B aus H B dargestellt werden, wodurch die Messung an einem der beiden Photonen keine Auswirkungen mehr auf das andere Photon haben kann. Kehren wir wieder zurück zu unseren Photonen. Diese bilden zusammen ein quantenmechanisches System, deren Polarisation absolut unscharf (unbestimmt) ist. Dieses System wird durch die Wellenfunktion ψ = 1 H A H B + 1 V A V B (.31) beschrieben, dem sogenannten Bell-Zustand. Dieser hat die besondere Eigenschaft, dass für beide Teilchen die Wahrscheinlichkeit die Filter gleichzeitig zu

23 .1. WESENSZÜGE DER QUANTENMECHANIK 3 passieren, bzw. an ihnen absorbiert zu werden genau 1 beträgt. Messen wir das System in der Basis V A V B, also beide Filter sind vertikal aufgestellt, so beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der Zustand ψ in den Zustand V A V B übergeht genau ( ) 1. Eine Messung an dem System findet jedoch schon mit der Messung an nur einem Photon statt. Nach einer Messung kollabiert die Wellenfunktion in die gemessene Eigenschaft oder senkrecht dazu. In unserem Fall in den Zustand V A V B oder H A H B. Die Wellenfunktion ist jetzt nicht mehr verschränkt, denn der Zustand i A i B kann dargestellt werden durch das Tensorprodukt ψ = i A i B. Messen wir nun das zweite Photon in der gleichen Basis wie das erste Photon, so erhalten wir die triviale Wahrscheinlichkeit 1 für das gleiche Ereignis, welches zu einer Gesamtwahrscheinlichkeit von 1 führt. Diese Eigenschaft des Bell-Zustandes ist unabhängig von der Orientierung der Filter, solange beide Filter dieselbe Orientierung beibehalten. Somit ist ein verschränkter Zustand absolut unscharf bezüglich einer Messung, egal in welcher Basis er gemessen wird. Im Gegensatz dazu war der Zustand ψ = 1 H + 1 V in Abhängigkeit der gemessenen Basis, also der Orientierung der Filter unbestimmt. In einer +/- Basis war der Zustand genau bestimmbar. Die Herleitung der Wahrscheinlichkeiten zum Passieren der Filter bei einem Bell-Zustand findet sich in dem Einschub auf Seite 4. Neben dem in Gleichung (.31) gezeigten Bell-Zustand, gibt es noch weitere. Der Zustand ψ = 1 V A H B 1 H A V B (.3) hat die Eigenschaft, dass wenn ein Photon registriert wird, das andere stets absorbiert wird und umgekehrt. Die Wahrscheinlichkeit für das Passieren, bzw. die Absorbtion der Photonen beträgt wieder unabhängig von der Orientierung der Filter 1. Selbstverständlich existieren theoretisch noch andere Zustände der Verschränkung. Möglich wäre der Zustand ψ = 4 5 H AH B 3 5 V AV B. (.33) Hier ist die Wahscheinlichkeit für das Passieren beider Photonen nicht mehr unabhängig von der Orientierung der Filter. Sie beträgt in diesem Falle 4 5 cos (ρ) sin (ρ). Das ursprüngliche EPR-Gedankenexperiment wurde von den Autoren AL- BERT EINSTEIN, BORIS PODOLSKY und NATHAN ROSEN in einer etwas anderen Form verfasst. Sie verwendeten für ihre unbestimmten Größen Ort und Impuls zweier Teilchen. Das Paradoxe an dem Experiment war jedoch dasselbe, wie in unserem Versuch. Ihre Argumentation beruht auf der Lokalitätsannahme, nach der eine Messung eines Teilchens nicht instantan auf die Eigenschaft eines anderen (verschränkten) Teilchens wirken kann. Sie erklärten die Quantenmechanik

24 4 KAPITEL. QUANTENKRYPTOGRAPHIE für unvollständig, denn nach ihnen sei die Vollständigkeit einer physikalischen Theorie dadurch gegeben, dass jedes Element einer physikalischen Realität seine Entsprechung in der physikalischen Theorie haben muss. Mithilfe der Verschränkung ist es möglich jeweils das zweite Photon bezüglich seiner Polarisationsrichtung mit Wahrscheinlichkeit 1 zu bestimmen. In Bezug auf zwei unterschiedliche Orientierungen (ρ = 0 oder ρ = 45 ) können wir die Eigenschaft des zweiten Photons also immer sicher bestimmen. Somit sind nach den Autoren diese Eigenschaften Elemente der Realität, die aber keine entsprechenden Elemente in der Theorie haben, da sie mit der Unbestimmtheitsrelation im Widerspruch stehen. Die quantenmechanische Beschreibung von Teilchen durch die Wellenfunktion ψ ist also nach EINSTEIN, PODOLSKY und ROSEN unvollständig. Einschub: Mathematische Grundlagen 3 Wie schon auf Seite 13, besteht hier die Möglichkeit sich einen tieferen Einblick in den mathematischen Formalismus zu verschaffen. Für den weiteren Verlauf kann auch dieser Einschub übersprungen werden. Wir haben gesehen, dass die Basisvektoren H und V durch Spaltenvektoren dargestellt werden können. Ebenso können wir den Vektor HV durch das Tensorprodukt der Spaltenvektoren ( ( 1 0) 0 1) darstellen. Einfacher geht es aber, indem wir die Isormophie zu R 4 ausnützen. Dies bedeutet lediglich, dass jeder Vektor in R R durch einen Vektor des R 4 repräsentiert wird (R R = R 4 ). Unsere vier Basisvektoren aus.5 können somit durch H A H B = , V AV B = , H AV B = , V AH B = beschrieben werden. Allgemein wird ein Vektor aus R R durch folgende Rechnung in den R 4 abgebildet: a b = ( a 1 ) ( a b1 ) b ( ) a b1 a b = a 1 b 1 a 1 b a b 1 a b (.34) Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Photonen jeweils einen Filter der Orientierung ρ passieren, wird, ähnlich wie zuvor, durch das Betragsquadrat des Skalarproduktes des Zustandsvektors ψ und jetzt dem Tensorprodukt der Eigenvektoren ( v 1ρ v 1ρ = v 1ρ v 1ρ ) errechnet. Beide Photonen sollen ja ihre Filter passieren und der Eigenvektor v 1ρ gehört zu dem Eigenwert m 1ρ = +1, welches das Ereignis Photon passiert darstellt. Auf Seite 13 können wir die Eigenvektoren für einen Filter mit der Orientierung ρ ablesen: v 1ρ = ( ) cos(ρ) sin(ρ) und v ρ = ( ) sin(ρ) cos(ρ). (.35)

25 .1. WESENSZÜGE DER QUANTENMECHANIK 5 Für das Tensorprodukt erhalten wir: ( ) ( ) cos(ϕ) cos(ϕ) = sin(ϕ) sin(ϕ) cos (ϕ) cos(ϕ) sin(ϕ) sin(ϕ) cos(ϕ) sin (ϕ). (.36) Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Photonen des Zustands ψ = 1 H A H B + 1 V A V B ihren Filter passieren, lautet somit: P(m A 1ρ = +1, mb 1ρ = +1) = v 1ρv 1ρ ψ = = cos T (ϕ) cos(ϕ) sin(ϕ) 1 sin(ϕ) cos(ϕ) sin (ϕ) ( ) 1 cos (ϕ) + sin (ϕ) = 1. (.37) Die Wahrscheinlichkeit beträgt also, unabhängig von der Orientierung der Filter, immer 1. Dies entspricht genau unseren Beobachtungen. Bei der Wahl eines anderen Zustandes oder unterschiedlicher Orientierungen der Filter, können wir selbstverständlich andere Werte erhalten Bells Ungleichungen Wir haben gesehen, dass eine lokale Theorie, in der die Photonen Informationen austauschen, nicht haltbar ist. Eine alternative Deutung der Ergebnisse wäre die lokale Theorie der verborgenen Variablen (LHV) 9 : Photon A und Photon B enthalten für jede Orientierung ρ des Filters eine uns verborgene Regel, die besagt, ob sie den Filter passieren können oder absorbiert werden. Da es für jeden Winkel ρ [ 90, 90 ] einer eigenen Regel bedarf, benötigen sie eine unendlich lange Liste mit Verhaltensregeln. Da beide Photonen verschränkt sind, enthalten sie die gleichen Listen. Auch dieser Ansatz einer lokalen Theorie konnte widerlegt werden. JOHN STE- WART BELL 10 zeigte 1964, dass die Grundsätze der Lokalität zu Ungleichungen führen, die mit der Vorhersage der Quantentheorie nicht im Einklang stehen. Gegenstand wird jedoch nicht die von BELL herausgearbeitete Gleichung sein, sondern eine Umformung, die unter den Namen CHSH-Ungleichung 11 bekannt 9 LHV: Local Hidden Variables. 10 JOHN STEWART BELL ( ): irischer Physiker, der in den Bereichen der Elementarteilchenphysik, den Grundlagen der Quantenphysik und dem Gebiet der Quantenfeldtheorie arbeitete. 11 Benannt nach ihren Entdeckern: CLAUSER, HORNE, SHIMONY, HOLT.

26 6 KAPITEL. QUANTENKRYPTOGRAPHIE ist. Ihre spätere Anwendung im E9-Protokoll ist wesentlicher einfacher. Da die Herleitung etwas komplizierter ist, werden wir uns nur mit der Ungleichung an sich und ihren Folgen auseinander setzen. Zuvor wollen wir uns aber eine andere Ungleichung von EUGENE WIGNER 1 ansehen, die gerade in didaktischen Werken der Quantenmechanik unter der Bellschen Ungleichung zu finden ist, da ihre Herleitung wesentlich anschaulicher und wenig komplizierter ist, trotzdem aber auf der gleichen Grundlage basiert. Wir werden hier ein Modell von J.J. SA- KURAI vorstellen, dass die Annahme einer lokalen Theorie auf einfachem Wege widerlegt. In unserem vorherigen Versuch haben wir beide Photonen mit Filtern der gleichen Orientierung ρ gemessen. Unser Messergebnis war auf beiden Seiten immer dasselbe. Wenn wir nun aber mit unterschiedlichen Orientierungen messen, können wir nicht mehr von gleichen Messergebnissen ausgehen. Wir betrachten nun drei Fälle mit unterschiedlichen Orientierungen der Filter. Wir verwenden wieder den Bell-Zustand ψ = 1 H A H B + 1 V A V B. (.38) Für die unterschiedlichen Orientierungen der Filter, wie sie in Abbildung.9 zu sehen sind, verwenden wir die Bezeichnungen: a: ρ = 0 b: ρ =, 5 c: ρ = 45. a b c Abbildung.9: Filter der Orientierungen a, b und c Zudem führen wir die Ereignisse (i A ±,i B ±) i {a,b,c} (.39) 1 EUGENE WIGNER( ): amerikanischer Physiker (ungarisch-jüdischer Herkunft) und Nobelpreisträger (1963).

27 .1. WESENSZÜGE DER QUANTENMECHANIK 7 ein, die beschreiben, welches Photon bei welcher Orientierung passiert ist oder absorbiert wurde. So bedeutet (a+, c ), dass Photon A den Filter mit der Orientierung a passiert hat und Photon B bei dem Filter der Orientierung c absorbiert wurde. Im Folgenden wollen wir nun von drei ausgewählten Ereignissen die Wahrscheinlichkeiten berechnen. Diese benötigen wir im späteren Verlauf um zu zeigen, dass die Vorhersage der Quantenmechanik die Ungleichung von WIGNER verletzt und somit eine Lokalität auf Grundlage von verborgenen Variablen ausschließt. 1. (a+,b+): Beide Photonen passieren die Filter der entsprechenden Orientierung a und b. Die Wahrscheinlichkeit, dass Photon A seinen Filter passiert (P a+ ) beträgt stets 1, unabhängig von der Orientierung des Filters. Beide Photonen befinden sich nach dem Kollaps der Wellenfunktion in dem wohldefinierten Zustand H. Die Wellenfunktion ist jetzt nicht mehr verschränkt. Photon B, dessen Polarisationswinkel nun ρ = 0 beträgt, passiert den Filter der Orientierung b mit der Wahrscheinlichkeit P b+ = cos (δ) = cos ( ρ ϕ ) = cos ( 0, 5 ) = 0, 854. (.40) Somit erhalten wir für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses (a+,b+): P (a+,b+) = P a+ P b+ = 1 0, 854 = 0, 47. (.41). (a+,c+): Beide Photonen passieren die Filter der Orientierung a und c. Die Wahrscheinlichkeit für A beträgt wieder P a+ = 1. Die Wahrscheinlichkeit für Photon B lautet: P c+ = cos (δ) = cos ( ρ ϕ ) = cos ( 45 0 ) = 1, (.4) wodurch die Gesamtwahrscheinlichkeit für das Ereignis (a+,c+) gegeben ist durch P (a+,c+) = P a+ P c+ = 1 1 = 1 4. (.43) 3. (b+,c ) Photon A passiert den Filter der Orientierung b wieder mit Wahrscheinlichkeit 1. Beide Photonen befinden sich fortan in dem Zustand ψ =

28 8 KAPITEL. QUANTENKRYPTOGRAPHIE cos(, 5 ) H + sin(, 5 ) V. Photon B hat nun einen Polarisationswinkel gegenüber der Vertikalen von ϕ =, 5. Die Wahrscheinlichkeit den Filter mit Orientierung c nicht zu passieren ist: P c = 1 P c+ = 1 cos (δ) = sin ( ρ ϕ ) = sin ( 45, 5 ) = 0, 146. (.44) Das Ereignis (b+,c ) hat somit eine Wahrscheinlichkeit von P (b+,c ) = P b+ P c = 1 0, 146 = 0, 073. (.45) Gehen wir jetzt zurück zu der Annahme, dass jedes Photon neben seiner Polarisationseigenschaft ϕ verborgene Variablen besitzt. Für jede Orientierung eines Filters existiert eine uns verborgene Regel, ob das Photon diesen passiert oder von ihm absorbiert wird. Letztendlich benötigt also jedes Photon unendlich viele dieser Vorschriften, da der Bereich [ 90, 90 ] für ρ unendlich viele Elemente enthält. Wir wollen uns nun die Regeln anschauen, die für unsere drei Orientierungen a, b und c notwendig sind. Hierfür benötigt ein Photon acht verschiedene Vorschriften. Eine Vorschrift könnte (a+,b,c+) sein, was bedeutet, dass solch ein Photon durch die Filter der Orientierungen a und c durchkommt, aber durch einen Filter der Orientierung b absorbiert wird. In Tabelle.1 sind die acht gemeinsamen Vorschriften für Photon A und Photon B aufgelistet. Die Regeln müssen für beide Photonen aufgrund der Beobachtungen in unserem Versuch identisch sein. Anzahl der Photonen Vorschrift Photon A Vorschrift Photon B N 1 (a+,b+,c+) (a+,b+,c+) N (a+,b+,c ) (a+,b+,c ) N 3 (a+,b,c+) (a+,b,c+) N 4 (a,b+,c+) (a,b+,c+) N 5 (a+,b,c ) (a+,b,c ) N 6 (a,b,c+) (a,b,c+) N 7 (a,b+,c ) (a,b+,c ) N 8 (a,b,c ) (a,b,c ) Tabelle.1: Verborgene Regeln bezüglich dreier Orientierungen für das verschränktes Photonenpaar ψ = 1 H A H B + 1 V A V B. Betrachten wir jetzt eine große Anzahl N von Photonen. N i ist dabei die Anzahl, also die absolute Häufigkeit der Photonen der Gruppe i mit der in Tabelle.1 entsprechenden Vorschrift. Führen wir eine große Anzahl von Messungen bezüglich der Eigenschaften a, b und c durch, so werden wir für die Ereignisse (a+, b+), (a+, c+) und (b+, c ) folgende relative Häufigkeiten feststellen, die

29 .1. WESENSZÜGE DER QUANTENMECHANIK 9 bei einer großen Anzahl von Photonen ohne weiteres durch die Wahrscheinlichkeiten ersetzt werden können: H r (a+,b+) = P (a+,b+) = N 1 + N N H r (a+,c+) = P (a+,c+) = N 1 + N 3 N H r (b+,c ) = P (b+,c ) = N + N 7 N. Wir können nun folgende Ungleichung erstellen: (.46) (.47) (.48) wodurch wir N 1 + N (N 1 + N 3 ) + (N + N 7 ) N 1 + N N 1 + N 3 + N + N 7 N N N, (.49) P (a+,b+) P (a+,c+) + P (b+,c ) (.50) erhalten. Vergleichen wir dies nun mit den Vorhersagen der Quantenmechanik und setzen die berechneten Wahrscheinlichkeiten aus (.41), (.43) und (.45) in Ungleichung (.50) ein. Wir erhalten 0, 47 0, 5 + 0, 073 = 0, 33, (.51) was zu einem Widerspruch führt. Die Verletzung der Ungleichung (.50) bringt uns zu dem Schluss, dass eine Theorie verborgener Parameter, zumindest bei unterschiedlichen Orientierungen der Filter keine korrekte Beschreibung liefert, denn die Vorhersagen der Quantenmechanik lassen sich mit den experimentellen Befunden einwandfrei zeigen. Photonen lassen sich nur mit einer nichtlokalen Theorie beschreiben. Doch genau diese nicht vorhandene Lokalität garantiert uns letztendlich die Sicherheit der Quantenkryptographie. Die Ungleichung von WIGNER, oder auch die Ungleichung von BELL, sind für den Gebrauch des E9-Protokolls schwer zu handhaben. Eine schon am Anfang erwähnte Form der Bell-Ungleichungen ist die sogenannte CHSH-Ungleichung. Hierfür betrachten wir für zwei Parteien jeweils drei unterschiedliche Filterorientierungen, die wir jeweils durch die Drehung der H/V-Basis um die x-achse erhalten. Die Werte für die Orientierungen ρ sind in Tabelle. aufgelistet und in Abbildung.10 graphisch dargestellt. Desweiteren verwenden wir ein System verschränkter Teilchen. Wir wollen der Abwechslung halber den Zustand ψ = 1 V A H B 1 H A V B aus Gleichung (.3) verwenden. Statt der gleichen Messergebnisse werden bei den Filtern gleicher Orientierung jeweils das gegenteilige Messergebnis registriert. Für