Einführung in DSGE-Modelle und deren Lösung mit Hilfe von Dynare 3. Das klassische monetäre Grundmodell

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1 Einführung in DSGE-Modelle und deren Lösung mit Hilfe von Dynare 3. Das klassische monetäre Grundmodell Wintersemester 2015/2016

2 3. Das klassische monetäre Grundmodell als Benchmark Gali, Jordi (2008): Monetary Policy, Inflation, and the Business Cycle, Chap. 2 Ausgangspunkt: keine Marktunvollkommenheiten perfekt flexible Preise auf allen Märkten vollständige Informationen zwei Akteure (Haushalte und Unternehmen) einzige Funktion von Geld: Geld als Recheneinheit Ziel: Entwicklung eines Maßstabs analog vollständiger Konkurrenz spätere Abschnitte: Einführung von Imperfektionen 2

3 Haushalte: Klassisches monetäres Grundmodell repräsentativer Haushalt maximiert die Zielfunktion Welfare = F(Konsum C, Arbeitszeit N) W = U C 0, N 0 + βe 0 U C 1, N 1 + β 2 E 0 U C 2, N 2 + W = E 0 t=0 β t U(C t, N t ) mit β < 1 als Diskontfaktor und E 0 als Erwartungsoperator (Erw-bildung in t = 0) positiver und abnehmender Grenznutzen des Konsums: U c > 0 und U cc < 0 zunehmendes Grenzleid der Arbeit: U N < 0 und U NN < 0 3

4 Typische Annahme über funktionale Form der Perioden-Nutzenfunktion: (3.1) W = E 0 β t 1 σ C t t=0 1 σ N 1+φ t 1+φ σ = intertemporale Substitutionselastizität Maß für die angestrebte Konsumglättung Approximation für σ = 1: ln C s Empirie: σ 2 φ = (inverse) Frisch-Elastizität des Arbeitsangebots - Empirie: φ 3 Annahmen: unendlicher Planungshorizont Nutzenfunktion additiv separabel in beiden Argumenten (U CN = U NC = 0) 4

5 Budgetrestriktion (Periode t): (3.2) W t N t + T t I t 1 B t 1 = P t C t + B t W t = Lohnsatz B t = Bestand an risikolosen Wertpapieren I t = Nominalzins für ein einperiodiges WP gekauft in Periode t und gehalten bis t+1 T t = lump sum Zahlungen (Steuern, Transfers, Dividenden etc.) Optimierungsproblem des Haushalts: Maximiere Zielfunktion (3.1) unter den Nebenbedingungen (3.2) Lösung mittels Lagrange-Verfahren 5

6 (3.3) L = C t 1 σ 1 σ N 1+φ t + λ 1+φ t W t N t + T t I t 1 B t 1 P t C t B t +E t β C t+1 1 σ 1 σ N 1+φ t+1 + λ 1+φ t+1 W t+1 N t+1 + T t I t B t P t+1 C t+1 B t+1 +E t β 2 + First-order conditions: (3.4) L C t = C t σ λ t P t = 0 (3.5) L B t = λ t + βe t λ t+1 (1 + I t ) = 0 (3.6) L N t = N t φ + λ t W t = 0 6

7 Optimales Arbeitsangebot Setze (3.4) ein in (3.6): (3.7) W t P t = U N,t U C,t = N t φ C t σ für t = 0,1,2, Reallohn gleich Grenzrate der Substitution zwischen Konsum und Freizeit Logarithmieren: (3.8) w t p t = φ n t + σ c t mit lowercase letters als logarithmierte Werte, z.b. w t lnw t 7

8 Optimaler intertemporaler Konsum: Kauf von WP (Ersparnisbildung) optimal, wenn Nutzenrückgang infolge des verminderten Konsums C t kompensiert wird durch Nutzensteigerung infolge eines höheren Konsums C t+1. Setze (3.4) ein in (3.5): Beachte: λ t = 1 P t C t σ λ t+1 = 1 P t+1 (C t+1 ) σ E tλ t+1 = 1 E t P t+1 E t [ C t+1 σ ] Euler-Gleichung: (3.9) E t [ C t+1 σ ] = β(1 + I t ) P tc t σ E t P t+1 Logarithmieren: σe t c t+1 = ln β + ln 1 + I t + p t + σ c t E t p t+1 σ c t = σ E t c t+1 ln 1 + I t + (E t p t+1 p t ) ln β 8

9 Beachte die Definition der Inflationsrate: π t+1 = P t+1 P t P t 1 + π t+1 = P t+1 P t ln 1 + π t+1 = p t+1 p t Für kleine Inflationsraten gilt die Approximation: ln 1 + π t+1 π t+1 Es folgt: π t+1 = p t+1 p t E t π t+1 = E t p t+1 p t Damit formt sich die Euler-Gleichung um zu: (3.10) c t = E t c t+1 1 σ (i t E t π t+1 ρ) mit i t ln (1 + I t ) und ρ ln β > 0 als Maß für die Zeitpräferenz Konsum heute ist eine positive Funktion des erwarteten Konsums morgen negative Funktion des Realzinssatzes r t i t E t π t+1 positive Funktion der Zeitpräferenz 9

10 Firmen Eine repräsentative Firma produziert mit folgender Technologie: (3.11) Y t = A t N t 1 α bzw. y t = a t + (1 α)n t mit A t als Stand der Technologie und a t ln A t häufige Annahme: A t folgt einem stochastischen Prozess, bspw. AR(1) Faktor Arbeit hat positive und abnehmende Grenzerträge häufig betrachteter Grenzfall: Technologie ist linear in Arbeit (α = 0) Firma maximiert den Gewinn Π t = P t Y t W t N t unter der Nebenbedingung (3.11): (3.12) Π t N t = P t 1 α A t N t α W t = 0 Preise und Löhne werden als gegeben angenommen (vollständige Konkurrenz) 10

11 Grenzproduktivitätsentlohnung: (3.13) W t P t = 1 α A t N t α in logarithmierter Form: (3.14) w t p t = a t α n t + ln(1 α) Gütermarktgleichgewicht (Markträumung): Weil wir von Investitionen, Staatskäufen und Nettoexport abstrahieren, ist das Gütermarktgleichgewicht gegeben durch (in logarithmierter Form): (3.15) y t = c t Der gesamte Output wird konsumiert. 11

12 Zusammenfassung des Grundmodells: (3.16) w t p t = a t α n t + log(1 α) Arbeitsnachfrage (3.17) w t p t = φ n t + σ c t Arbeitsangebot (3.18) y t = a t + (1 α)n t Technologie (3.19) y t = c t Markträumung (3.20) c t = E t c t+1 1 σ (r t ρ) Güternachfrage (Euler-Gleichung) endogen: y t, c t, n t, w t p t, r t exogen: α, σ, φ, ρ, a t (3.21) a t = ρ a a t 1 + ε a,t Annahme: Technologieschock sei AR(1) 12

13 Lösung des Grundmodells Aus (3.16) bis (3.19) lassen sich sofort ermitteln: (3.22) n t = (3.23) y t = c t = (3.24) w t p t = 1 σ α+φ+σ(1 α) a t + ln(1 α) α+φ+σ(1 α) 1+φ a (1 α) ln(1 α) α+φ+σ(1 α) t + α+φ+σ(1 α) φ+σ a [φ+σ 1 α ] ln(1 α) α+φ+σ(1 α) t + α+φ+σ(1 α) Positiver Technologie-Schock erhöht Reallohn, Output und Konsum eindeutig. Der Beschäftigungseffekt hängt von σ ab: für σ < 1 ist der Substitutionseffekt der Lohnerhöhung groß, das Arbeitsangebot steigt. für σ > 1 dominiert der Einkommenseffekt der Lohnerhöhung, das Arbeitsangebot sinkt. 13

14 Aus Euler-Gleichung resultiert für den Realzins: r t = ρ + σ E t c t+1 c t Aus (3.23) folgt: E t c t+1 = 1+φ E (1 α) ln(1 α) α+φ+σ(1 α) ta t+1 +, α+φ+σ(1 α) woraus unter Berücksichtigung von (3.23) für die erwartete Konsumänderung folgt: 1+φ E t c t+1 c t = E ta t+1 a t α+φ+σ(1 α) Erwarten die Haushalte einen dauerhaften technischen Fortschritt, so - erwarten sie für die Zukunft einen Anstieg des Konsums - zwecks Konsumglättung werden sie bereits heute mehr konsumieren und weniger sparen - folglich steigt der Realzins 14

15 Sehen die HH den Technologie-Schub als transitorisch an, so - steigt der Konsum heute stark - der Konsumanstieg wird als transitorisch angesehen - für die Zukunft wird ein wieder sinkender Konsum erwartet - zwecks Konsumglättung werden die HH einen Teil des heutigen Ressourcenanstiegs in die Zukunft verlagern - sie sparen mehr - der Realzins sinkt 15

16 Analytisch: Klassisches monetäres Grundmodell aus Technologie (3.21) folgt E t a t+1 = ρ a a t, sodass E t a t+1 a t = (ρ a 1)a t Einsetzen liefert: (3.25) r t = ρ σ(1 ρ a ) 1+φ α+φ+σ(1 α) a t Wird Technologie-Schock als transitorisch angesehen ρ a < 1, dann gilt E t a t+1 < a t, dann wird kurzfristig mehr gespart, dann sinkt der Realzins Wird Technologie-Schock als einmalig aber dauerhaft angesehen ρ a = 1, dann findet keine intertemporale Konsumglättung statt, der Zins bleibt unverändert Wird mit einer fortlaufenden Technologie-Verbesserung gerechnet (ρ a > 1), dann wird heute weniger gespart, der Realzins steigt 16

17 Was ist mit den nominalen Variablen wie Nominalzins und Inflationsrate? Ermittlung nominaler Größen erfordert Spezifikation der unterstellten Geldpolitik! Dritter Akteur: Zentralbank Zu beachten ist die Fisher-Gleichung: (3.26) i t = r t + E t π t+1 Vorgabe einer Zinsregel für den Nominalzins. 1. Inflationsbasierte Zinsregel: (3.27) i t = ρ + ψ π π t mit ψ π 0. 17

18 Einsetzen in die Fisher-Gleichung (3.26) liefert: ρ + ψ π π t = E t π t+1 + r t (3.28) ψ π π t = E t π t+1 + r t ρ = E t π t+1 + rt mit rt r t ρ = σ(1 ρ a ) 1+φ α+φ+σ(1 α) a t aus (3.25). (3.28) ist eine Differenzengleichung erster Ordnung in Erwartungswerten Umformen: (3.29) π t = 1 ψ π E t π t ψ π rt 18

19 Lösung durch Vorwärts-Iteration und Einsetzen: eine Periode vordatieren: π t+1 = 1 ψ π E t+1 π t ψ π rt+1 Erwartungswert bilden: E t π t+1 = 1 ψ π E t E t+1 π t ψ π E t rt+1 Bei rationalen Erwartungen gilt für iterierte Erwartungswerte: E t E t+1 π t+2 = E t π t+2 also: E t π t+1 = 1 ψ π E t π t ψ π E t rt+1 19

20 Einsetzen in (3.29): π t = 1 ψ π 1 ψ π E t π t ψ π E t rt ψ π rt π t = 1 (ψ π ) 2 E tπ t (ψ π ) 2 E trt ψ π rt Jetzt (3.29) um zwei Perioden vordatieren, Erwartungswert bilden und einsetzen etc. Notwendige und hinreichende Bedingung für Existenz und Eindeutigkeit: Term der erwarteten Inflationsrate muss gegen null konvergieren, das ist gegeben für (3.30) ψ π > 1 System nur eindeutig definiert und stabil, wenn das Gewicht der Inflation in Zinsregel größer eins ist (= Taylor-Prinzip) 20

21 Lösung der Differenzengleichung (3.29): π t = 1 ψ π rt + 1 (ψ π ) 2 E trt (ψ π ) 3 E trt+2 + (3.31) π t = k=0 (ψ π ) (k+1) E t rt+k Angewendet auf unsere Technologie-Annahme (vgl. (3.21) und (3.25)): rt = σ(1 ρ a)(1 + φ) α + φ + σ(1 α) a t E t rt+1 = σ(1 ρ a)(1 + φ) α + φ + σ(1 α) ρ aa t E t rt+2 = σ(1 ρ a)(1 + φ) α + φ + σ(1 α) (ρ a) 2 a t 21

22 Einsetzen in (3.31): π t = 1 ψ π σ(1 ρ a)(1 + φ) α + φ + σ(1 α) 1 + ρ a ψ π + ρ a ψ π 2 + a t Eckige Klammer = 1 1 ρ a ψπ = ψ π ψ π ρ a Gleichgewichtige Inflationsrate: (3.32) π t = σ(1 ρ a)(1+φ) α+φ+σ(1 α) 1 ψ π ρ a a t Aus (3.25) und (3.32) folgt für den Nominalzins: (3.33) i t = r t + E t π t+1 = ρ σ(1 ρ a)(1+φ) α+φ+σ(1 α) ψ π ψ π ρ a a t 22

23 Damit sind alle realen und nominalen Variablen beschrieben als eindeutige Funktion - der Technologie - der Nutzenfunktion der Haushalte - der Zielfunktion der Zentralbank 2. Zinsregel: Politik des konstanten Nominalzinssatzes (ψ π = 0): (3.34) i t = ρ Inflationsrate und Preisniveau nicht eindeutig determiniert, das Taylor-Prinzip wird verletzt! 23

24 3. Zinsregel: Zentralbank setzt exogen einen Pfad für die Geldmenge m t ; der Zins ist endogen und sichert das Zustandekommen eines Geldmarktgleichgewichts Lösung für Preisniveau ist eindeutig! Einzelheiten bei Gali (2008), Chap. 2. Weiterentwicklungen: Money in the Utility Function: U(C t, M t, N P t ) t Nutzen nicht separabel in den Argumenten: U = θc t 1 ω + (1 θ)n t 1 ω 1 1 ω Bestimmung einer optimalen Geldpolitik 24

25 Zusammenfassung Geldpolitik hat keine realen Effekte: reale Variablen wie Produktion, Beschäftigung, Reallohn sind unabhängig von der Geldpolitik anders formuliert: Geld ist neutral Geldpolitik bestimmt nur das Aussehen der nominalen Variablen Da nur reale Variablen in die Zielfunktion der Haushalte eingehen, gibt es keine gute oder schlechte oder optimale Geldpolitik Kernaussagen sind empirisch nicht haltbar, insbesondere hat Geldpolitik reale Effekte, daher Einführung von Friktionen notwendig 25