Laborversuche zur Physik 1 I - 8. Mechanische Schwingungen und Resonanz mit dem Pohl'schen Rad

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1 FB Physik Laborversuche zur Physik 1 I - 8 Pohlsches Rad Reyher Mechanische Schwingungen und Resonanz mit dem Pohl'schen Rad Ziele Beobachtung von freien und erzwungenen Torsionsschwingungen, Einfluss der Dämpfung auf ein schwingendes System, Messung von Resonanzkurven, Beobachtung des Phasenwinkels zwischen Erreger und Resonator. 1 Grundlagen Die Beschreibung von Schwingungen stellt ein zentrales Thema der klassischen Physik dar. Freie Schwingungen werden im Praktikum üblicherweise mit Feder- und Fadenpendel studiert, gedämpfte und erzwungene Schwingungen traditionell mit dem sogenannten Pohl'schen Rad, einem besonderen Drehpendel. Robert Wichard Pohl ( ) hat über 30 Jahre lang an der Uni Göttingen Studenten die Physik beigebracht. Nach übereinstimmenden Berichten vieler Hörer waren die Vorlesungen einfach klasse. Seine Lehrbücher sind daher auch immer noch lebendig (Neuauflagen 2004 und 2005), wenngleich die bunten Bilder der modernen amerikanischen Werke freilich fehlen. Auch wird darin weitaus weniger Wert auf Mathematik gelegt, als es heute üblich geworden ist. Dafür wird die physikalische Begriffsbildung in vielleicht einmaliger Weise diskutiert. Sie sollten unbedingt mal im Pohl schmökern. Ebenfalls lebendig sind gewisse experimentelle Aufbauten, die für seine Vorlesungen entwickelt wurden, so auch das Pohl'sche Rad. Mit diesem mechanischen Modellsystem können die elementaren Eigenschaften der Abbildung 1: Pohl'sche Rad. Die Spiralfeder sorgt für das rücktreibende Drehmoment. Unser Rad ist aus Aluminium. Der Auslenkwinkel kann auf einer Skala in willkürlichen Einheiten abgelesen werden. I-8 Trägheitsmomente

2 freien gedämpften und der erzwungenen Schwingung und damit auch die physikalisch ungeheuer wichtige Erscheinung der Resonanz studiert werden. Die gleichen Grundphänomene sind bei elektrischer Resonanz oder auch zum Beispiel in der Atomphysik wiederzufinden. Dies ist also ein sehr wichtiger Versuch. 2 Mathematische Beschreibung des Drehpendels Die relevanten physikalischen Größen und die mathematische Beschreibung der Schwingungen werden im Folgenden kurz geschildert. Wir diskutieren zuerst die freien gedämpften Schwingungen und anschließend erzwungene gedämpfte Schwingungen. 2.1 Freie gedämpfte Schwingungen Bei dem wohl am besten bekannten schwingungsfähigen System, dem Federpendel, wird bekanntlich als Auslenkungskoordinate eine Ortskoordinate x verwendet und als Bewegungsgleichung 1 bietet sich das Gleichgewicht der Kräfte an. Bei einem Drehpendel verwendet man jedoch zweckmäßigerweise eine Winkelkoordinate, den Drehwinkel Φ (vergleiche Versuch 1, Pendel und Versuch 7, Trägheitsmomente). Außerdem sind Drehmomente statt Kräfte beim Aufstellen der Bewegungsgleichung zu verwenden, statt der Masse m das Trägheitsmoment des Rades Θ und statt der Federkonstante einer geraden Feder die Winkelrichtgröße D Φ. Bei diesem Versuch wird insbesondere auch die Dämpfung der Schwingung behandelt: Verliert ein schwingendes System Energie, z. B. durch Reibung, die nicht durch Energiezufuhr von außen kompensiert wird, so muss sich die Amplitude ständig verringern, d. h., die Schwingung ist gedämpft. Bei Drehpendeln sind Drehmomente, die infolge der Reibung auftreten, häufig der Winkelgeschwindigkeit proportional, die Reibungskonstante soll K genannt werden. Insgesamt ergibt sich für die Gesamtbilanz der Drehmomente die Bewegungsgleichung Θ Φ+K Φ+D Φ Φ=0. (1) Hierin ist Φ die Winkelgeschwindigkeit und Φ die Winkelbeschleunigung. Die Bewegungsgleichung (1) kann mit der Dämpfungskonstanten β := K 2Θ folgendermaßen umgeschrieben werden: 1 Die Bewegungsgleichung ist mathematisch gesehen eine Differenzialgleichung. Unterscheiden Sie bitte den physikalischen vom mathematischen Begriff. V08 Pohlsches Rad 2

3 Φ+2 β Φ+ω 2 o Φ=0 (2) Dabei wurde außerdem ω 2 o =D Φ /Θ eingesetzt, wobei ω 0 der Eigenfrequenz des Drehpendels ohne Dämpfung entspricht (vergl. Versuch 7, Trägheitsmomente). Die willkürlich eingeführte 2 bei β vereinfacht die Lösung (s. unten). Die allgemeine Lösung erhält man auf einfache Weise nur, wenn man die Differenzialgleichung (1 oder 2) mit komplexen Zahlen löst (vergl. z. B. Kallenrode, Rechenmethoden der Physik). Dabei sind drei Fälle zu unterscheiden, wobei wir hier aber nur die beiden einfachsten erwähnen wollen: a) β>ω 0 : starke Dämpfung; das System schwingt nicht, sondern kriecht in die Ruhelage. Dies wollen wir im Versuch zwar betrachten, aber nicht weiter untersuchen. b) β<ω 0 : schwache Dämpfung; das System kann schwingen. Dies der Standardfall im Experiment, ja es liegt in der Regel sogar β ω 0 vor. Im Fall (b) findet man mit der Anfangsbedingung A = Loslassen aus der Ruhe, also Φ(0)=0, die Lösung Ein Parameter in (3) ist Φ (t )=Φ o e β t cos (ω t+φ 0 ). (3) ω= ω o 2 β 2, (4) das System schwingt also nur ein wenig langsamer als ohne Dämpfung, wenn β ω 0 gilt. Der andere Parameter, der Phasenwinkel ergibt sich zu φ 0 = arctan β ω. φ 0 wird für β ω 0 sehr klein, so dass in diesem Fall geringer Dämpfung Φ(0) Φ 0 gilt. Dies wird in vielen Büchern für die Anfangsbedingung A angegeben, meist mit Gleichheitszeichen, was nicht ganz richtig ist. Bei einer Messung erscheint daher das lohnenswerte Ziel, die Verschiebung der Eigenfrequenz mit wachsender Dämpfung nach Gl. (4) zu verifizieren. Also muss man auch β messen können. Dies geschieht wie folgt: Die Dämpfungskonstante β kann aus dem Verhältnis zweier zeitlich aufeinanderfolgender Maximalausschläge Φ n und Φ n+1 ermittelt werden. Es gilt Φ n /Φ n+1 =exp ( β T )=exp ( Λ), womit das so genannte logarithmische Dekrement Λ definiert wurde. Es folgt ln Φ n =β T = β Φ n+1 ν = 2π β =Λ. (5) ω Im Experiment wird bei einer gewissen eingestellten Dämpfung das dazugehörige Λ durch Be- V08 Pohlsches Rad 3

4 obachtung der Amplitudenabnahme gemessen. β muss dann aus Gl. (5) berechnet werden. Wir werden bei der Aufgabenstellung sehen, dass Λ genauer bestimmt werden kann, wenn man das Verhältnis zweier weiter auseinanderliegender Amplituden misst, also zum Beispiel Φ n und Φ n Erzwungene gedämpfte Schwingung Wirkt auf das im letzten Abschnitt (2.1) beschriebene System von außen ein Drehmoment D=D o cosω e t ein, so ergibt sich aus der Bilanz der Drehmomente die Bewegungsgleichung oder mit β Θ Φ+K Φ+D Φ Φ=D o cosω e t, (6) Die Frequenz ω e ist die des externen Erregers. Φ+2 β Φ+ω o 2 Φ= D o Θ cosω e t. (7) Sie haben sicherlich schon gelernt, dass die Lösung dieser inhomogenen Differenzialgleichung (DLG) erhalten werden kann, indem man zur allgemeinen Lösung des homogenen Teils (rechte Seite gleich Null, s. letzter Abschnitt) eine spezielle Lösung der inhomogenen DLG addiert. Also Φ=Φ o e β t cos (ω t +φ 0 )+ speziellelösung (t ). (8) Wegen e β t erlischt der erste Summand nach t 1 β. Es herrscht dann die spezielle Lösung, für die man den folgenden Ausdruck benutzen kann: speziellelösung (t )=Φ sp (t )=Φ a cos(ω e t α) (9) Dabei ist ω e die Frequenz des Erregers! Man kann sich durch Einsetzen von (9) in die DGL (7) überzeugen, dass (9) tatsächlich eine Lösung ist, wenn Φ a und α richtig gewählt werden. Das Ergebnis für Φ a und α werden wir gleich darstellen, zuvor wollen wir noch kurz auf den ersten Summanden in Gl. (8) eingehen. So lange der erste Summand in (8), die Eigenschwingung des Rades, noch lebendig ist (z. B. für die Zeiten 2 mit t<2/ β :=t ES ), sind zwei Frequenzen am Werke, ω und ω e. Man nennt dies Einschwingen des Rades. Die innerhalb dieser sogenannten Einschwingzeit t ES beobachtete Schwingung ist lustig anzusehen. Sie hat den Charakter einer Schwebung und wird in diesem Versuch qualitativ untersucht. Nach t ES hat das System den Einschwingvorgang weitgehend beendet und schwingt stationär. Dies 2 Der Faktor 2 bei der Definition von t ES ist willkürlich gewählt. Die Eigenschwingung des Rades ist dann auf e 2 abgeklungen, das sind etwa 14% der Anfangsamplitude. V08 Pohlsches Rad 4

5 bedeutet zum einen: Schwingen mit konstanter Amplitude Φ a, und zum andern: Schwingen mit der Erregerfrequenz ω e. Dies ist ein Fundamentalprinzip, das bei jeder durch einen Erreger erzwungenen Schwingung gültig ist, beispielsweise auch bei der Atomanregung durch Licht. Nun endlich zu den Ausdrücken für Φ a und α, die man durch Einsetzen der speziellen Lösung Φ sp (t )=Φ a cos(ω a t α) in die DLG (7) erhält 3 : und für den Phasenwinkel Φ a (ω e )= D o Θ (ω o 2 ω e2 ) 2 +(2 β ω e ) 2 (10) tan α= 2 β ω e ω o 2 ω e 2. (11) Die Amplitude Φ a des Rades und die Phasenverschiebung α relativ zum Erreger hängen also von der Dämpfung und der Erregerfrequenz ω e ab, der typische Verlauf wird unten gezeigt Phasenwinkel (Grad) Amplitude (willk. Einheiten) Erregerfrequenz (rad/s) Erregerfrequenz (rad/s) Sie werden die sogenannten Resonanzkurven Φ a (ω e ) und α (ω e ) im Experiment für zwei Dämpfungen ausmessen. Wichtig ist dabei insbesondere, zu erkennen, dass die Breite der 3 Demtröder rechnet dies in Band 1, Kapitel 11 ohne den Einsatz komplexer Zahlen vor. V08 Pohlsches Rad 5

6 Resonanzkurve von der Dämpfung abhängt, auch so eine fundamentale, also alle Resonanzen betreffende Erscheinung. Durch Differenzieren von (10) findet man mathematisch für die maximale Amplitude (Resonanzstelle) die Bedingung ω e, res = ω β 2. (12) Diese Frequenz kann als Resonanzfrequenz bezeichnet werden. Dies wollen wir auch in diesem Experiment tun. Eine andere Definition für Resonanzfrequenz ist ω e, res =ω 0. Für diese Erregerfrequenz wird die Amplitude der Geschwindigkeit Φ maximal. Letztere Definition ist z. B. die gängige beim elektrischen RLC-Schwingkreis, bei dem eine zu Gl. (7) mathematisch identische DLG für die Ladung Q gilt. Dort wird bei ω e =ω 0 die Amplitude des Stromes Q maximal, wohingegen die Amplitude von Q bei einer Resonanzbedingung maximal wird, welche Gl. (12) entspricht. 3 Beschreibung des Drehpendels Das schwingende System besteht aus einem kugelgelagerten Rad aus Aluminium. An dessen Achse greift eine Spiralfeder an, die an dem Antriebshebel endet. Einmal angestoßen führt das Rad Drehschwingungen aus, die akzeptabel schwach gedämpft sind (Lager- und Luftreibung). Als Erreger der erzwungenen Schwingung dient ein Schrittmotor (rechts), der über einen Exzenter mit Schubstange den Hebel und damit die Spiralfeder in periodischer Folge zusammendrückt und V08 Pohlsches Rad 6

7 auseinanderzieht. Auf diese Weise kann man am Drehpendel nahezu sinusförmig verlaufende Drehmomente von konstanter Amplitude D 0, aber beliebig einstellbarer Frequenz, angreifen lassen. Diese entsprechen dem Term D o cosω e t aus dem letzten Abschnitt 4. Als Motor wird deshalb ein Schrittmotor verwendet, weil dessen Umdrehungsfrequenz von der Belastung durch das Rad (Rückwirkung) unabhängig ist, solange er keine Schritte verliert. Die Schrittfrequenz, und damit die Umdrehungsfrequenz wird durch einen Oszillator (untere Box rechts außen) vorgegeben und mittels Zähler in der oberen Box angezeigt. Eine zusätzliche Dämpfung des Drehpendels erfolgt durch einen Elektromagneten, zwischen dessen Polschuhen das Rad schwingt (Wirbelstrombremse, s. Lehrbuch). Sie kann durch Änderung der Stromstärke variiert werden. Halten Sie unbedingt die maximal zulässigen Stromstärken ein, die am Arbeitsplatz angegeben sind. Die Bewegungen des Systems werden durch elektronische Sensoren erfasst. Die Signale für die Auslenkung Φ des Drehpendels und für die Auslenkung des Antriebes werden simultan auf einem Zweikanal-Speicheroszilloskop dargestellt. Damit kann bequem der Schwingungsvorgang untersucht werden, insbesondere die Amplitude und die Phasendifferenz zwischen Erreger und Pendel. Im einzelnen geschieht dies folgendermaßen. Die Auslenkung Φ des Drehpendels wird durch einen berührungslosen Drehbewegungssensor erfasst. Dieser gibt eine zum Winkel proportionale Spannung heraus, die etwa zwischen 0 und 10V und folglich bei Ruhelage des Pendels bei ca. 5V liegt. Diese Spannung wird an einen Kanal des Oszilloskops gegeben. Da beide Kanäle des Oszilloskops gleichspannungsgekoppelt betrieben werden müssen 5, muss mit der Nullpunktsverschiebung des betreffenden Kanals die Oszillographenspur in die Mitte des Schirms gebracht werden. Die Empfindlichkeit des Kanals ist geeignet einzustellen. Die Auslenkung des Erregers wird durch einen Kraftmesser erfasst, der über eine Feder an den Antriebshebel koppelt. Die Kraft ist daher proportional zur Auslenkung des Antriebshebels. Das Spannungssignal geht zum zweiten Kanal des Oszillographen. Auch hier müssen die Nullpunktsverschiebung und die Empfindlichkeit geeignet eingestellt werden. 4 In Wahrheit ist der Sachverhalt etwas komplizierter, da die Bewegung des Federendes gleichzeitig einer Verschiebung des Nullpunktes des schwingenden Systems entspricht. Als Auslenkung müsste also die Differenz zwischen Zeiger am Rad und dem Zeiger am Hebel definiert werden. Ideal wäre eine Übertragung des externen Drehmomentes mittels einer Kopplung, die das schwingende System nicht modifiziert. 5 Es handelt sich hier um relativ langsam veränderliche Signale. Wechselspannungskopplung würde die Phasenlage und die Amplitude verzerrt wiedergeben. V08 Pohlsches Rad 7

8 Ebenso muss die Zeitbasis geschickt gewählt werden. Näheres zur Bedienung erläutert der Betreuer, außerdem liegt ein Merkblatt aus. Alle elektronischen Geräte dieses Versuchs sind lediglich Hilfsmittel zur einfacheren Messung. Thema des Versuchs ist allein die Schwingung am Pohlschen Rad. Behalten Sie also bitte die Physik der mechanischen Schwingungen im Auge, die Messtechnik ist hier von sekundärer Bedeutung. V08 Pohlsches Rad 8

9 4 Fragen zur Selbstkontrolle, Aufgaben und Hinweise 1. Können Sie den Einfluss der Dämpfung auf die Eigen- und die Resonanzfrequenz beschreiben? 2. Mit welcher Frequenz schwingt ein durch einen externen Erreger angetriebenes System? 3. Wie verhalten sich Amplitude und Phase bei der Resonanz? 4.1 Schwingungsdauer des ungedämpften Pendels Messen Sie für mindestens drei deutlich verschiedene Anfangsamplituden die Schwingungsdauer des freien ungedämpften Drehpendels. Dazu lesen Sie auf dem Oszilloskop nach Aufzeichnung des Verlaufs bei angehaltenem Gerät (STOP-Taste) den zeitlichen Abstand möglichst vieler Schwingungen ab. Berechnen Sie daraus jeweils die Eigenfrequenz (kleine Tabelle). Wie groß schätzen Sie die Ablesegenauigkeit? Die Zeitbasis des Geräts soll als fehlerfrei angenommen werden. Handelt es sich um ein vollständig harmonisch schwingendes System? 4.2 Freie gedämpfte Schwingung Stellen Sie am Netzgerät für die Wirbelstrombremse die Ströme 160 und 320 ma (bzw. 220 und 380 ma beim rechten Gerät) ein. Damit der Strom stabilisiert wird und nicht die Spannung, müssen Sie die Einstellung am Knopf für die Stromstärke vornehmen. Der Regler für die Spannung muss dabei aber ebenfalls hochgedreht werden, wenn Sie den Strom mit dem Stromregler nicht weiter erhöhen können. Messen Sie für jeden Wert jeweils t ES 2 β und gleichzeitig die Eigenfrequenz (d. h. die Periode T ): Dazu starten Sie bei Amplitude Φ 0 =15, indem Sie den weißen Zeiger am Rad mit einem Plastikstreifen halten und loslassen. Als t ES wählen Sie die Zeit, bei der die Amplitude erstmalig unterhalb Φ 0 exp ( 2 ) liegt. Diese Zeiten dienen später bei der Resonanzmessung als Anhaltspunkte für das Abwarten des Endes der Einschwingzeit. Können Sie eine Abnahme der Eigenfrequenz mit wachsender Dämpfung nach Gl. (4) eindeutig feststellen oder nicht? (kleine Tabelle) Zum Schluss erhöhen Sie den Strom - aber nicht länger als eine Minute - auf den maximalen Wert, der am Gerät angegeben ist (eventuell auch das 1.5-fache). Bewundern Sie die Erscheinung des Kriechfalls und beschreiben Sie diese im Protokoll. V08 Pohlsches Rad 9

10 4.3 Logarithmisches Dekrement und Dämpfungskonstante β Zur Bestimmung des logarithmischen Dekrements mitteln Sie jeweils über möglichst viele aufeinanderfolgende Amplitudenverhältnisse. Dazu genügt es aber, lediglich die (willkürlich ausgewählte) Anfangs- und die Endamplitude Φ n und Φ n+ν abzulesen und die Zahl N der Schwingungen dazwischen zu zählen (direktes Ablesen auf dem Schirm des Oszillographen bei angehaltener Messung, STOP-Taste!) Wenn Sie nämlich den Mittelwert Λ der Λ von aufeinanderfolgenden Amplituden nach Gl. (5) bilden, so hängt das mittlere logarithmische Dekrement nur von der Anfangs- und Endamplitude ab. Dies sieht man mit ein wenig Rechnung, wenn man den Mittelwert Λ= 1 N Λ i bildet. Es ergibt sich Λ= 1 N ln Φ n Φ n+n. Dabei ist wichtig, Φ n+ν nur so klein zu wählen, dass dies noch auf dem Oszillographen abgelesen werden kann. Φ n kann eine beliebige Amplitude sein. Messen Sie mit den gleichen Dämpfungsströmen wie oben und benutzen Sie zum Starten wieder den Plastikstreifen. Aus Λ kann die Dämpfungskonstante β nach (Gl. 5) bestimmt werden. Für T können Sie die Werte aus dem letzten Abschnitt verwenden. 4.4 Resonanzkurven Es gilt die Kurven nach Gl. (10, 11) auszumessen. Wir wollen zunächst den Frequenzbereich für die Messung festlegen. Weit außerhalb der Resonanz ist es nämlich nicht sehr aufregend, dort herrschen kleine und nahezu konstante Werte für Φ a und α. Gehen Sie dazu auf den kleineren von Ihnen verwendeten Dämpfungsstrom und messen Sie das stationäre Φ a bei ω 0. Erhöhen Sie dann die Erregerfrequenz bis Φ a deutlich absinkt (auf 20 % des Resonanzwertes). Dies ergibt die maximale Frequenz, die für alle weiteren Messungen sinnvoll ist. Dabei immer den stationären Zustand abwarten (beobachten des Oszillographen, etwa T ES, siehe 4.4). Je nach momentanem Schwingungszustand beim Wechsel von ω e auf einen neuen Wert kann es Zeit sparen, wenn Sie nach dem Einstellen der neuen Frequenz das Rad anhalten und neu aus der Ruhe einschwingen lassen. Anschließend verfahren Sie entsprechend zur Ermittlung der untere Frequenzgrenze ihrer Messungen. V08 Pohlsches Rad 10

11 Messen Sie die Resonanzkurven Φ a und α in ca. 16 Schritten für ω e innerhalb des von Ihnen nach obigem Verfahren festgelegten Intervalls und tragen Sie die Werte sofort in eine Grafik ein. Legen Sie zu Hause jeweils frei Ηand eine ausgleichende Resonanzkurve durch die Messpunkte (in der während der Messung angefertigten Zeichnung). Falls Sie eine numerische Anpassung (Fit) nach Gl. (10, 11) mit PC und geeigneter Software beherrschen, können Sie natürlich auch gern einen Computer benutzen. Aus der grafischen Auftragung können die maximale Amplitude und die zugehörige Frequenz grafisch bestimmt werden (Augenmaß). Ebenso kann die Halbwertsbreite der Resonanzkurve ermittelt werden. Dies ist der Abstand der Frequenzen, bei denen die Amplitude auf die Hälfte des Resonanzwertes gefallen ist (FWHM = Full Width at Half Maximum). Auch die FWHM ist eine fundamental wichtige Größe bei den Resonanzen. Geht α wirklich beim Maximum von Φ a durch 90? Zeichnen Sie auch das vorher gemessene ω 0 (frei, ungedämpft) sowie die ebenfalls vorher gemessenen, bzw. aus den β berechneten Eigenfrequenzen mit Dämpfung ein (soweit grafisch möglich). Messen Sie nun bei dem höheren von Ihnen oben verwendeten Dämpfungsstrom und prüfen Sie, ob sich eine Abhängigkeit der Resonanzfrequenz, der Resonanzamplitude und der Halbwertsbreite von β ergibt, die den Erwartungen, das heißt den betreffenden Formeln entspricht. Einen quantitativen Vergleich können Sie im Falle der Resonanzfrequenz versuchen, jedoch gelingt dies selten zufriedenstellend. (Dazu müssen Sie aus Λ den Parameter β berechnen wie oben beschrieben.) 4.5 Resonanzstelle mit der Lissajousfigur Laut Gl. (11) und herrscht an der Resonanzstelle eine Phasendifferenz von 90 zwischen zwischen Pendel und Antrieb. Diese Stelle lässt sich durch geeignete Messung der Phasendifferenz wesentlich einfacher ermitteln, als durch Messung des Amplitudenverlaufs, wie es im letzten Abschnitt geschah. Auch dies ist eine allgemeine Resonanzeigenschaft. Die Detektion der 90 -Bedingung geschieht mit einer Lissajous-Figur auf dem Oszilloskop, das dazu in den xy-modus gebracht wird. Hätten beide Funktionen Φ(t) (Pendel) und Φ e (t) (Erreger) die gleiche Amplitude, so würde bekanntlich ein Kreis entstehen, wenn 90 erreicht sind. In unserem Fall haben wir aber unterschiedliche Werte, u.a. durch unterschiedliche Sensoren. Es resultiert als Lissajous-Figur eine Ellipse. V08 Pohlsches Rad 11

12 Die 90 -Bedingung erkennt man nun daran, dass die Hauptachsen der Ellipse parallel zu den Schirmachsen liegen. Dies lässt sich recht gut erkennen und einstellen. Messen Sie auf diese Weise die Resonanzfrequenz bei gleicher Dämpfung wie oben (kleinerer Wert) und vergleichen Sie mit dem Wert aus Abschnitt (4.4). Erhöhen Sie die Dämpfung auf Ihren höheren Wert und messen Sie die Resonanzverschiebung. Vergleichen Sie mit Gl. (12). V08 Pohlsches Rad 12

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