9. Periodische Bewegungen

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1 Inhalt 9.1 Schwingungen Schwingungsenergie Gedämpfte Schwingung Erzwungene Schwingung 9.1 Schwingungen

2 9.1 Schwingungen Schwingung Zustand y wiederholt sich in bestimmten Zeitabständen Mit Schwingungsdauer (Periode, Periodendauer) T Welle Schwingung breitet sich im Raum aus Zustand y wiederholt sich in Raum und Zeit Raumperiode = Wellenlänge l Zeitperiode = Schwingungsdauer T Ebene Welle 9.1 Schwingungen

3 9.1 Schwingungen Beispiele Schwingung eines Pendels Schwingung eines Quarzkristalls Schwingung elektrischer Ladungen Schallwellen (Schwingung von Luftmolekülen) Elektromagnetische Wellen (Schwingung elektromagnetischer Felder) 9.1 Schwingungen Man unterscheidet: Harmonische Schwingung (z.b. freie Schwingung) Gedämpfte Schwingung (z.b. durch Reibung) Erzwungene Schwingung (durch äußere Kraft)

4 y = y 0 cos (wt + d) ω = 2π f Es gilt: - Jedes Objekt ist schwingungsfähig. - Harmonische Schwingung bei Auslenkung aus stabilem Gleichgewicht Harmonische Schwingung ist bestimmt durch zwei Größen: 1. Es wirkt Kraft immer in Richtung Gleichgewichtslage = Rückstellkraft 2. Es wirkt Trägheit des Systems.

5 Man definiert: Schwingungsdauer T = zeitliche Periode Man definiert: (Eigen-)Frequenz f = Schwingungen pro s Man definiert: Amplitude A = maximale Auslenkung Amplitude

6 Beispiel Federschwingung Rückstellkraft der Feder: F = - kx k: Federkonstante Es gilt: - Rückstellkraft ist proportional zur Auslenkung (Elongation). - Rückstellkraft ruft nach Newton II Beschleunigung hervor: Es gilt allgemein: Jede harmonische Schwingung lässt sich durch Dgl. beschreiben: Lösung der Dgl:

7 Frage: Welche Bedeutung hat w (Eigenfrequenz)? Antwort: w = Kreisfrequenz Ja was denn nun????? Es gilt: Zusammenhang mit Schwingungsdauer T Beweis: Es gilt: Man definiert: Frequenz f ω = 2 πf Ach so!!!

8 Allgemein gilt: (1) Amplitude A und Phasenverschiebung d Anfangsbedingungen gegeben: werden durch (2) Mit (1) und (2) gilt: Für Amplitude gilt: Ja?

9 Beispiel Mathematisches Pendel (masseloser Faden mit Punktmasse) Es wirkt Kraft F auf Masse m Nach 2. Newtonschen Gesetz gilt: a (t) =? θ (t) =? a = f(θ) =?

10 Aufgabe: a = f(θ) =...???

11 Frage: Beschreibt harmonische Schwingung? Nein!!! Aber für kleine Winkel θ gilt: Der Vergleich mit liefert Eigenfrequenz des Oszillators Oder Schwingungsdauer Somit lautet Lösung der Schwingungsgleichung

12 9.1.2 Schwingungsenergie Fragen: Ist allgemeine Lösung von? Ist T unabhängig von Amplitude? Ist T unabhängig vom Koordinatensystem? Ist T unabhängig vom Bezugssystem? Ist T unabhängig von der Temperatur?

13 9.1.3 Gedämpfte Schwingung Schwingungsenergie Schwingungsenergie (harmonisch) Beispiel: Federschwingung Für harmonische Schwingung gilt: Für potentielle Energie gilt: Für kinetische Energie gilt: Für Gesamtenergie gilt:

14 9.1.3 Gedämpfte Schwingung Gedämpfte Schwingung Gedämpfte Schwingung Es gilt: r: Reibungskoeffizient k: Federkonstante Bewegungsgleichung allgemein

15 9.1.3 Gedämpfte Schwingung Gedämpfte Schwingung Lösung der Bewegungsgleichung: Man unterscheidet 3 Fälle: 1. Schwingfall (schwache Dämpfung) 0 2. Kriechfall (starke Dämpfung) Aperiodischer Grenzfall

16 9.1.3 Gedämpfte Schwingung Erzwungene Schwingung

17 9.1.4 Erzwungene Schwingung Erzwungene Schwingung Erzwungene Schwingung Bewegungsgleichung: Lösung: Mit:

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