Musterklausur Wirtschaftsmathematik und Statistik. Zusatzstudium für Wirtschaftsingenieur

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1 Musterklausur Wrtschaftsmathematk und Statstk Zusatzstudum für Wrtschaftsngeneur Telnehmer (Name, Vorname): Datum:.2006 Prüfer: Böhm-Retg Matrkelnummer: REGELN 1. Zum Bestehen der Klausur snd mndestens 22 Punkte zu erzelen. 2. Jede Aufgabe wrd auf enem separaten Blatt bearbetet. Es wrd nur das beretgestellte Paper verwendet und vollständg abgegeben. De Heftung der Seten muß erhalten bleben! Se dürfen weder rote Tnte noch Blestfte verwenden! 3. Lösungen müssen mmer vollständg erläutert und gekennzechnet werden. Der Lösungsweg muß ausrechend dokumentert, verständlch und lesbar sen. Alle Schrtte müssen drekt enschtg und alle Symbole mt kurzen Erklärungen (Abkürzungen snd OK) versehen sen. 4. Als Hlfsmttel snd nur Fachbücher, ene gedruckte Formelsammlung sowe en Taschenrechner erlaubt. Lose Blattsammlungen und Musterlösungen snd ncht erlaubt. Andere Hlfsmttel nsbesondere Enzelblätter und vorgefertgte Lösungsseten snd ncht gestattet! 5. Es stehen 90 Mnuten zur Bearbetung der Klausur zur Verfügung. max. Punktzahl Aufg. 1 7 Aufg evtl. 15 Aufg. 3 6 Aufg Aufg. 5 9 errechte Punkte Summe : 46 45,7 =^ 100% Note : Gummersbach, den Unterschrft des Erstprüfers: [MUSTERKLAUSUR_WZ SS06.DOC] SEITE 1 [ ]

2 MERKMALE GRUPPIERTER DATEN FÜR AUFG. 1 : De: Emprsche Vertelungsfunkton ("Summenhäufgketsfunkton") F(x) st be dskreten Merkmalen ene Treppenfunkton. Be grupperten Daten st unklar/unbestmmt, wo genau de Stufen legen sollen, Be grupperten (klassfzerten) Daten snd oft de Klassenbreten b a unglech (a, b untere bzw. obere Klassengrenze). Gezählt wrd n jeder Klasse das Auftreten m Intervall [ a ; b [: n : abs. Häufgketen jeder Klasse ; h := n /n.: rel. Häufgketen f := h j : de kumulerten rel. Häufgketen; j= 1 h h = : normerte rel. Häufgketen b a Man geht somt davon aus, daß n jeder Klasse Glechvertelung der Merkmale herrscht. De klasserte emprsche Vertelungsfunkton: 0 1 H(x) = f h ( b x) für x < a1 für a x < b und alle {1,...,m} für x bm st stetg und besteht aus geraden Strecken ( Polygonzug ) jewels mt der Stegung h. Alle statstschen Maße snd nur schätzbar, ncht exakt berechenbar, da Informatonen verdchtet wurden. Mttelwert klassfzerter Daten: x m = x = m Fall von m Klassen jewels mt den b a Klassenmtten x = + 2 Modalwert klass. Daten: x ˆ = x für de am dchtesten besedelste Klasse: h k = max h k Medan und Quantle klass. Daten : Bestmmungsglechung: H(x 0,5 ) = 0,5 läßt sch endeutg auflösen, da H ene stetge Funkton st (analog für bel. Quantle): 0,5 = H(x 0,5 ) = f k h k (b k x 0,5 ) wenn k de passende Klasse darstellt: f k 0,5 und f k-1 < 0,5. f Auflösen nach x 0,5 : k - 0,5 x0,5 = bk h k Des entsprcht der gewöhnlchen Interpolatonsformel. Für andere Quantle löse man H(x α ) = α entsprechend auf! [MUSTERKLAUSUR_WZ SS06.DOC] SEITE 2 [ ]

3 Aufg. 1 : Auswertung grupperte Daten Be 90 Patenten wurden de Blutdruckwerte gemessen : Werteklasse beobachtete Häufgket a) Geben Se an, welcher Antel der Patenten enen Blutdruckwert oberhalb von 130 hat! b) Erklären Se, warum das Säulendagramm ken Hstogramm st! Anzahl Blutdruck <= >= 151 c) Wevele Klassen hätte man rchtg wählen sollen? d) We groß st der Medan der Vertelung? [MUSTERKLAUSUR_WZ SS06.DOC] SEITE 3 [ ]

4 Aufg. 2 : Modellbldung, Optmerung Ene Lösung des Modells st ncht erforderlch! En Betreb kann de Produkte 1 und 2 fertgen, de unterschedlche Deckungsbeträge je t (Tonne) brngen. Be hrer Fertgung durchlaufen se de Anlagen A, B und C, deren monatlche Kapaztäten (n h je Monat) begrenzt snd. Bede Produkte benötgen durchschnttlche Fertgungszeten (n h je t) auf den Anlagen : Produkt 1 2 Deckungsbetrag [ / t ] 1600, ,00 Kapaztät [ h / Monat] A Fertgungszet [h/t] B 4,8 4,8 220 auf der Anlage C 1,4 7,0 270 a) Formuleren Se das Problem mathematsch! Sagen Se explzt, welches Ihre Entschedungsvarablen snd und was se bedeuten. b) Zusätzlch zu den Kapaztätsrestrktonen von a) snd noch de knappen Rohstoffe P und Q zu berückschtgen. Se stehen mt monatlch 11 t (P) bzw. 16 t (Q) zur Verfügung. Für jede Tonne des Produktes 1 werden 0,3 t von P und 0,5 t von Q, für jede Tonne des Produktes 2 werdem 0,4 t von P und 0,4 t von Q verbraucht. c) Außerdem sollen Se noch de knappen Betrebstoffe U und V berückschtgen, de mt 3100 ME (Mengenenheten von U) bzw ME (V) monatlch zur Verfügung stehen. Das snd de Verbräuche je Fertgungsstunde für de Anlagen A, B und C: Verbrauch [ME/h] U V A 7 8 B 5 18 C 6 12 Se sollen kene Lösung bestmmen, sondern nur de rchtgen mathematschen Formulerungen zur Problemdefnton aufstellen! De verwendeten Formeln sollen alle lnear n den Entschedungsvarablen und n Normalform ("ax+by+...{,=, } r") erschenen. De Vollständgket der Formulerung wrd bewertet. Vergessen Se ncht de Dmensonerung aller Größen und Formulerungen! [MUSTERKLAUSUR_WZ SS06.DOC] SEITE 4 [ ]

5 Aufg. 3 : Regresson Ene Feder wurde bs zu ener konstanten Ausdehnung belastet. De dafür notwendge Kraft nmmt m Lauf der Zet ab: Tage Haltekraft [N] Tage Haltekraft [N] Das folgende Streudagramm zegt de zetlche Veränderung der Haltekraft n ener logarthmschen Abszssenskalerung: Haltekraft ener Feder Kraft (N) Tage De Regressonsgerade hat de Glechung: Kraft = 54,009 ln(tage) a) Schätzen Se den Korrelatonskoeffzenten und das Bestmmthetsmaß! b) Bewerten Se de Datenlage! Beschreben Se kurz aber detallert, welche Besonderheten Se n der Grafk erkennen! Geben Se Ihre Vermutung über de Gründe deser Besonderheten an! c) Welchen Schätzwert ergbt de Trendgerade für 90 Tage? [MUSTERKLAUSUR_WZ SS06.DOC] SEITE 5 [ ]

6 Aufg. 4 : Normalvertelung Nehmen Se an, de tatsächlche Bohrungswete an ener wchtgen Stelle enes Fertgungstels st m Laufe der Herstellung normalvertelt mt enem Erwartunsgwert von µ=30,000 mm und mt ener Standardabwechung von 0,040mm. a) Welcher Antel der gefertgten Tele west dann gemäß Normalvertelung ene Bohrungswete von mehr als 30,060 mm auf? b) Bestmmen Se ene Bohrungswete x so, daß nur 2% der gefertgten Tele klenere Bohrungsdurchmesser aufwesen. c) We klen müßte de Standardabwechung be glechem µ sen, um den Antel der Fertgungstele mt Bohrungen unter 29,950mm gernger als 2% zu halten? Hnwes Musterklausur: 1 : Sonderpunkt für klare Dokumentaton bzw. Abzüge bem Fehlen. Kene langen Erläuterungen der Formeln, aber rchtge Schrebwese für de Antele und Beschrebung, wo bestmmte verwendeten Konstanten herkommen, z:b: P NV (X<c) = P SNV (Z<(c-µ)/σ) = 1% Vorgabewert. Φ(x) = 1% x = Φ -1 (1%)=2,326 und x=(c-µ)/σ... [MUSTERKLAUSUR_WZ SS06.DOC] SEITE 6 [ ]

7 Aufg. 5 : Konfdenzntervall Be ener Versuchperson wurden 8 Messungen der Reaktonszet n Sekunden unter Medkamentenenfluß durchgeführt: 0,39 0,44 0,42 0,35 0,37 0,47 0,36 0,37 3 a) Bestmmen Se x, den Medan und de Standardabwechung s n-1 aus der Stchprobe. 4 b) Bestmmen Se aus deser Stchprobe en 95%-Konfdenzntervall für den unbekannten Mttelwert mt Medkamentenenfluß µ m. 2 c) Beschreben Se genau, welche Voraussetzungen Se unterstellen für b). [MUSTERKLAUSUR_WZ SS06.DOC] SEITE 7 [ ]